Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmulcncf Structured version   Unicode version

Theorem dvmulcncf 37103
Description: A sufficient condition for the derivative of a product to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmulcncf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmulcncf.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvmulcncf.g  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
dvmulcncf.fdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  e.  ( X
-cn-> CC ) )
dvmulcncf.gdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  e.  ( X
-cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
dvmulcncf  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  oF  x.  G
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )

Proof of Theorem dvmulcncf
StepHypRef Expression
1 dvmulcncf.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmulcncf.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
3 dvmulcncf.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
4 dvmulcncf.fdv . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  e.  ( X
-cn-> CC ) )
5 cncff 21691 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F )  e.  ( X -cn-> CC )  ->  ( S  _D  F ) : X --> CC )
6 fdm 5720 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) : X --> CC  ->  dom  ( S  _D  F
)  =  X )
74, 5, 63syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
8 dvmulcncf.gdv . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  e.  ( X
-cn-> CC ) )
9 cncff 21691 . . . 4  |-  ( ( S  _D  G )  e.  ( X -cn-> CC )  ->  ( S  _D  G ) : X --> CC )
10 fdm 5720 . . . 4  |-  ( ( S  _D  G ) : X --> CC  ->  dom  ( S  _D  G
)  =  X )
118, 9, 103syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  =  X )
121, 2, 3, 7, 11dvmulf 22640 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  oF  x.  G
) )  =  ( ( ( S  _D  F )  oF  x.  G )  oF  +  ( ( S  _D  G )  oF  x.  F
) ) )
13 ax-resscn 9581 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
14 sseq1 3465 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  RR  ->  ( S  C_  CC  <->  RR  C_  CC ) )
1513, 14mpbiri 235 . . . . . . 7  |-  ( S  =  RR  ->  S  C_  CC )
16 eqimss 3496 . . . . . . 7  |-  ( S  =  CC  ->  S  C_  CC )
1715, 16pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( ( S  =  RR  ->  S 
C_  CC )  /\  ( S  =  CC  ->  S  C_  CC )
)
18 elpri 3994 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
191, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
20 pm3.44 511 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  =  RR 
->  S  C_  CC )  /\  ( S  =  CC  ->  S  C_  CC ) )  ->  (
( S  =  RR  \/  S  =  CC )  ->  S  C_  CC ) )
2117, 19, 20mpsyl 64 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
22 dvbsss 22600 . . . . . 6  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
237, 22syl6eqssr 3495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
24 dvcn 22618 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  G : X --> CC  /\  X  C_  S )  /\  dom  ( S  _D  G
)  =  X )  ->  G  e.  ( X -cn-> CC ) )
2521, 3, 23, 11, 24syl31anc 1235 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( X
-cn-> CC ) )
264, 25mulcncff 37051 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  oF  x.  G )  e.  ( X -cn-> CC ) )
27 dvcn 22618 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  F : X --> CC  /\  X  C_  S )  /\  dom  ( S  _D  F
)  =  X )  ->  F  e.  ( X -cn-> CC ) )
2821, 2, 23, 7, 27syl31anc 1235 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X
-cn-> CC ) )
298, 28mulcncff 37051 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G )  oF  x.  F )  e.  ( X -cn-> CC ) )
3026, 29addcncff 37068 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F )  oF  x.  G )  oF  +  ( ( S  _D  G
)  oF  x.  F ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
3112, 30eqeltrd 2492 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( F  oF  x.  G
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    C_ wss 3416   {cpr 3976   dom cdm 4825   -->wf 5567  (class class class)co 6280    oFcof 6521   CCcc 9522   RRcr 9523    + caddc 9527    x. cmul 9529   -cn->ccncf 21674    _D cdv 22561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  37342
  Copyright terms: Public domain W3C validator