MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptsub Structured version   Unicode version

Theorem dvmptsub 22215
Description: Function-builder for derivative, subtraction rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptsub.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
dvmptsub.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  W )
dvmptsub.dc  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptsub  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  -  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  -  D ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, W    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem dvmptsub
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptadd.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 dvmptadd.b . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
4 dvmptadd.da . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
5 dvmptsub.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
65negcld 9927 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -u C  e.  CC )
7 negex 9828 . . . 4  |-  -u D  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -u D  e.  _V )
9 dvmptsub.d . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  W )
10 dvmptsub.dc . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
111, 5, 9, 10dvmptneg 22214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  -u C ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
-u D ) )
121, 2, 3, 4, 6, 8, 11dvmptadd 22208 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  +  -u C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  +  -u D ) ) )
132, 5negsubd 9946 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  +  -u C )  =  ( A  -  C ) )
1413mpteq2dva 4538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  +  -u C ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  -  C
) ) )
1514oveq2d 6310 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  +  -u C
) ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  -  C ) ) ) )
161, 2, 3, 4dvmptcl 22207 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
171, 5, 9, 10dvmptcl 22207 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  CC )
1816, 17negsubd 9946 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  +  -u D )  =  ( B  -  D ) )
1918mpteq2dva 4538 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( B  +  -u D ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  -  D
) ) )
2012, 15, 193eqtr3d 2516 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  -  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  -  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   {cpr 4034    |-> cmpt 4510  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501    + caddc 9505    - cmin 9815   -ucneg 9816    _D cdv 22112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116
This theorem is referenced by:  dvmptim  22218  dvef  22226  cmvth  22237  dvlipcn  22240  dv11cn  22247  dvle  22253  dvivthlem1  22254  dvfsumabs  22269  ftc2  22290  dvtaylp  22609  taylthlem1  22612  taylthlem2  22613  ulmdvlem1  22639  advlog  22878  advlogexp  22879  logtayl  22884  dvatan  23109  log2sumbnd  23572  lgamgulmlem2  28365  ftc2nc  29994  dvasin  29998  dvacos  29999  areacirclem1  30002  lhe4.4ex1a  31126  dvsubf  31533  itgsbtaddcnst  31591  fourierdlem57  31755  fourierdlem60  31758  fourierdlem61  31759  fourierdlem68  31766
  Copyright terms: Public domain W3C validator