MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Structured version   Unicode version

Theorem dvmptres3 21435
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres3.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptres3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptres3.y  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  X
)  =  Y )
dvmptres3.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptres3.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptres3.d  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptres3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    S( x)    J( x)    V( x)

Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptres3.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
42, 3fmptd 5872 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
5 dvmptres3.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
6 dvmptres3.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
76dmeqd 5047 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
8 dvmptres3.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
98ralrimiva 2804 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
10 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1110fnmpt 5542 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X
)
13 fndm 5515 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
157, 14eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
16 dvmptres3.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1716dvres3a 21394 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  e.  J  /\  dom  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  X ) )  ->  ( S  _D  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S ) )
181, 4, 5, 15, 17syl22anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S )
)
19 rescom 5140 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  |`  X )
20 resres 5128 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  |`  X )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )
2119, 20eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )
22 dvmptres3.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  X
)  =  Y )
2322reseq2d 5115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )
)
2421, 23syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )
25 ffn 5564 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  ->  ( x  e.  X  |->  A )  Fn  X )
26 fnresdm 5525 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  Fn  X  -> 
( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
274, 25, 263syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
2827reseq1d 5114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )
29 inss2 3576 . . . . . 6  |-  ( S  i^i  X )  C_  X
3022, 29syl6eqssr 3412 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
31 resmpt 5161 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3230, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3324, 28, 323eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3433oveq2d 6112 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
35 rescom 5140 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  S )  |`  X )
36 resres 5128 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  S )  |`  X )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )
3735, 36eqtri 2463 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )
3822reseq2d 5115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )
)
3937, 38syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y ) )
40 fnresdm 5525 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X  -> 
( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
4112, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
4241, 6eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
4342reseq1d 5114 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( CC 
_D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S ) )
44 resmpt 5161 . . . 4  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4530, 44syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4639, 43, 453eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4718, 34, 463eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720    i^i cin 3332    C_ wss 3333   {cpr 3884    e. cmpt 4355   dom cdm 4845    |` cres 4847    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   TopOpenctopn 14365  ℂfldccnfld 17823    _D cdv 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-icc 11312  df-fz 11443  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-rest 14366  df-topn 14367  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-limc 21346  df-dv 21347
This theorem is referenced by:  dvmptid  21436  dvmptc  21437  taylthlem1  21843  taylthlem2  21844  pige3  21984  dvcxp1  22185  dvreasin  28487  dvreacos  28488  areacirclem1  28489
  Copyright terms: Public domain W3C validator