MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Structured version   Unicode version

Theorem dvmptres3 22804
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres3.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptres3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptres3.y  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  X
)  =  Y )
dvmptres3.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptres3.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptres3.d  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptres3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    S( x)    J( x)    V( x)

Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptres3.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 eqid 2420 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
42, 3fmptd 6052 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
5 dvmptres3.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
6 dvmptres3.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
76dmeqd 5048 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
8 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
9 dvmptres3.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
108, 9dmmptd 5717 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
117, 10eqtrd 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
12 dvmptres3.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1312dvres3a 22763 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  e.  J  /\  dom  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  X ) )  ->  ( S  _D  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S ) )
141, 4, 5, 11, 13syl22anc 1265 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S )
)
15 rescom 5140 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  |`  X )
16 resres 5128 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  |`  X )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )
1715, 16eqtri 2449 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )
18 dvmptres3.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  X
)  =  Y )
1918reseq2d 5116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )
)
2017, 19syl5eq 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )
21 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  ->  ( x  e.  X  |->  A )  Fn  X )
22 fnresdm 5694 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  Fn  X  -> 
( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
234, 21, 223syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
2423reseq1d 5115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )
25 inss2 3680 . . . . . 6  |-  ( S  i^i  X )  C_  X
2618, 25syl6eqssr 3512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2726resmptd 5167 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
2820, 24, 273eqtr3d 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
2928oveq2d 6312 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
30 rescom 5140 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  S )  |`  X )
31 resres 5128 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  S )  |`  X )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )
3230, 31eqtri 2449 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )
3318reseq2d 5116 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )
)
3432, 33syl5eq 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y ) )
359ralrimiva 2837 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
368fnmpt 5713 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X )
37 fnresdm 5694 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X  -> 
( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
3835, 36, 373syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
3938, 6eqtr4d 2464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
4039reseq1d 5115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( CC 
_D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S ) )
4126resmptd 5167 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4234, 40, 413eqtr3d 2469 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4314, 29, 423eqtr3d 2469 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773    i^i cin 3432   {cpr 3995    |-> cmpt 4475   dom cdm 4845    |` cres 4847    Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   TopOpenctopn 15272  ℂfldccnfld 18898    _D cdv 22712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fi 7922  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-icc 11631  df-fz 11772  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-rest 15273  df-topn 15274  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-perf 20077  df-cnp 20168  df-haus 20255  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-limc 22715  df-dv 22716
This theorem is referenced by:  dvmptid  22805  dvmptc  22806  taylthlem1  23219  taylthlem2  23220  pige3  23363  dvcxp1  23571  dvreasin  31763  dvreacos  31764  areacirclem1  31765
  Copyright terms: Public domain W3C validator