MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres2 Structured version   Unicode version

Theorem dvmptres2 22100
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptres2.z  |-  ( ph  ->  Z  C_  X )
dvmptres2.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptres2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres2.i  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvmptres2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Z  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, Y    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptres2
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 recnprss 22043 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
4 dvmptadd.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
64, 5fmptd 6043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
7 dvmptadd.da . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
87dmeqd 5203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
9 dvmptadd.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
109ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
11 dmmptg 5502 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
138, 12eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
14 dvbsss 22041 . . . 4  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) 
C_  S
1513, 14syl6eqssr 3555 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
16 dvmptres2.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  C_  X )
1716, 15sstrd 3514 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  C_  S )
18 dvmptres2.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
19 dvmptres2.j . . . 4  |-  J  =  ( Kt  S )
2018, 19dvres 22050 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  Z  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
213, 6, 15, 17, 20syl22anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
22 resmpt 5321 . . . 4  |-  ( Z 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z )  =  ( x  e.  Z  |->  A ) )
2316, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Z )  =  ( x  e.  Z  |->  A ) )
2423oveq2d 6298 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Z  |->  A ) ) )
257reseq1d 5270 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
26 dvmptres2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  =  Y )
2726reseq2d 5271 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )
)
2818cnfldtopon 21025 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
29 resttopon 19428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3028, 3, 29sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3119, 30syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
32 topontop 19194 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  J  e.  Top )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
34 toponuni 19195 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. J )
3531, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. J
)
3617, 35sseqtrd 3540 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  C_  U. J )
37 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
3837ntrss2 19324 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Z  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  Z
)  C_  Z )
3933, 36, 38syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  C_  Z )
4026, 39eqsstr3d 3539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  Z )
4140, 16sstrd 3514 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
42 resmpt 5321 . . . 4  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4341, 42syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4425, 27, 433eqtrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4521, 24, 443eqtr3d 2516 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Z  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   {cpr 4029   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   ↾t crest 14672   TopOpenctopn 14673  ℂfldccnfld 18191   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   intcnt 19284    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-rest 14674  df-topn 14675  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-cnp 19495  df-xms 20558  df-ms 20559  df-limc 22005  df-dv 22006
This theorem is referenced by:  dvmptres  22101  dvmptcmul  22102  rolle  22126  mvth  22128  taylthlem1  22502  pige3  22643  logccv  22772  lgamgulmlem2  28212  itgpowd  30787  lhe4.4ex1a  30834  itgsinexplem1  31271  dirkeritg  31402  fourierdlem39  31446
  Copyright terms: Public domain W3C validator