MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres2 Structured version   Unicode version

Theorem dvmptres2 22659
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptres2.z  |-  ( ph  ->  Z  C_  X )
dvmptres2.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptres2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres2.i  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvmptres2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Z  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, Y    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptres2
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 recnprss 22602 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
4 dvmptadd.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
64, 5fmptd 6035 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
7 dvmptadd.da . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
87dmeqd 5028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
9 dvmptadd.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
109ralrimiva 2820 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
11 dmmptg 5322 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
138, 12eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
14 dvbsss 22600 . . . 4  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) 
C_  S
1513, 14syl6eqssr 3495 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
16 dvmptres2.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  C_  X )
1716, 15sstrd 3454 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  C_  S )
18 dvmptres2.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
19 dvmptres2.j . . . 4  |-  J  =  ( Kt  S )
2018, 19dvres 22609 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  Z  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
213, 6, 15, 17, 20syl22anc 1233 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
2216resmptd 5147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Z )  =  ( x  e.  Z  |->  A ) )
2322oveq2d 6296 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Z  |->  A ) ) )
247reseq1d 5095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
25 dvmptres2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  =  Y )
2625reseq2d 5096 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )
)
2718cnfldtopon 21584 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
28 resttopon 19957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2927, 3, 28sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3019, 29syl5eqel 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
31 topontop 19721 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  J  e.  Top )
3230, 31syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
33 toponuni 19722 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. J )
3430, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. J
)
3517, 34sseqtrd 3480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  C_  U. J )
36 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
3736ntrss2 19852 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Z  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  Z
)  C_  Z )
3832, 35, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  C_  Z )
3925, 38eqsstr3d 3479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  Z )
4039, 16sstrd 3454 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
4140resmptd 5147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4224, 26, 413eqtrd 2449 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4321, 23, 423eqtr3d 2453 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Z  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756    C_ wss 3416   {cpr 3976   U.cuni 4193    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825    |` cres 4827   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   ↾t crest 15037   TopOpenctopn 15038  ℂfldccnfld 18742   Topctop 19688  TopOnctopon 19689   intcnt 19812    _D cdv 22561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-fz 11729  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-rest 15039  df-topn 15040  df-topgen 15060  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-cnp 20024  df-xms 21117  df-ms 21118  df-limc 22564  df-dv 22565
This theorem is referenced by:  dvmptres  22660  dvmptcmul  22661  rolle  22685  mvth  22687  taylthlem1  23062  pige3  23204  logccv  23340  lgamgulmlem2  23687  itgpowd  35559  lhe4.4ex1a  36095  binomcxplemdvbinom  36119  binomcxplemnotnn0  36122  itgsinexplem1  37133  dirkeritg  37265  fourierdlem39  37309  etransclem46  37444
  Copyright terms: Public domain W3C validator