MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres2 Structured version   Unicode version

Theorem dvmptres2 21411
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptres2.z  |-  ( ph  ->  Z  C_  X )
dvmptres2.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptres2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres2.i  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvmptres2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Z  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, Y    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptres2
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 recnprss 21354 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
4 dvmptadd.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
64, 5fmptd 5862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
7 dvmptadd.da . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
87dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
9 dvmptadd.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
109ralrimiva 2794 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
11 dmmptg 5330 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
138, 12eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
14 dvbsss 21352 . . . 4  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) 
C_  S
1513, 14syl6eqssr 3402 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
16 dvmptres2.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  C_  X )
1716, 15sstrd 3361 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  C_  S )
18 dvmptres2.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
19 dvmptres2.j . . . 4  |-  J  =  ( Kt  S )
2018, 19dvres 21361 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  Z  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
213, 6, 15, 17, 20syl22anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
22 resmpt 5151 . . . 4  |-  ( Z 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z )  =  ( x  e.  Z  |->  A ) )
2316, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Z )  =  ( x  e.  Z  |->  A ) )
2423oveq2d 6102 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Z  |->  A ) ) )
257reseq1d 5104 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
26 dvmptres2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  =  Y )
2726reseq2d 5105 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )
)
2818cnfldtopon 20337 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
29 resttopon 18740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3028, 3, 29sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3119, 30syl5eqel 2522 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
32 topontop 18506 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  J  e.  Top )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
34 toponuni 18507 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. J )
3531, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. J
)
3617, 35sseqtrd 3387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  C_  U. J )
37 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
3837ntrss2 18636 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Z  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  Z
)  C_  Z )
3933, 36, 38syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  C_  Z )
4026, 39eqsstr3d 3386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  Z )
4140, 16sstrd 3361 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
42 resmpt 5151 . . . 4  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4341, 42syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4425, 27, 433eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4521, 24, 443eqtr3d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Z  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323   {cpr 3874   U.cuni 4086    e. cmpt 4345   dom cdm 4835    |` cres 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   ↾t crest 14351   TopOpenctopn 14352  ℂfldccnfld 17793   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   intcnt 18596    _D cdv 21313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-rest 14353  df-topn 14354  df-topgen 14374  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-cnp 18807  df-xms 19870  df-ms 19871  df-limc 21316  df-dv 21317
This theorem is referenced by:  dvmptres  21412  dvmptcmul  21413  rolle  21437  mvth  21439  taylthlem1  21813  pige3  21954  logccv  22083  lgamgulmlem2  26968  itgpowd  29543  lhe4.4ex1a  29556  itgsinexplem1  29747
  Copyright terms: Public domain W3C validator