MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres Structured version   Unicode version

Theorem dvmptres 22094
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptres.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
dvmptres.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres.t  |-  ( ph  ->  Y  e.  J )
Assertion
Ref Expression
dvmptres  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptres
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptadd.a . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 dvmptadd.b . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
4 dvmptadd.da . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
5 dvmptres.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
6 dvmptres.j . 2  |-  J  =  ( Kt  S )
7 dvmptres.k . 2  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
87cnfldtop 21019 . . . . 5  |-  K  e. 
Top
9 resttop 19420 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( Kt  S )  e.  Top )
108, 1, 9sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
116, 10syl5eqel 2552 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
12 dvmptres.t . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  J )
13 isopn3i 19342 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  Y )  =  Y )
1411, 12, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Y )  =  Y )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14dvmptres2 22093 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3469   {cpr 4022    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   ↾t crest 14665   TopOpenctopn 14666  ℂfldccnfld 18184   Topctop 19154   intcnt 19277    _D cdv 21995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-fz 11662  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-rest 14667  df-topn 14668  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-cnp 19488  df-xms 20551  df-ms 20552  df-limc 21998  df-dv 21999
This theorem is referenced by:  dvmptfsum  22104  dvexp3  22107  dvlipcn  22123  dvivthlem1  22137  lhop2  22144  dvfsumle  22150  dvfsumabs  22152  dvfsumlem2  22156  taylthlem2  22496  pserdvlem2  22550  advlog  22756  advlogexp  22757  logtayl  22762  loglesqr  22853  dvatan  22987  log2sumbnd  23450  dvtan  29629  dvasin  29667  dvacos  29668  areacirclem1  29671  dvmptconst  31198  dvmptidg  31200  itgsin0pilem1  31222  itgsbtaddcnst  31255  fourierdlem56  31418  fourierdlem60  31422  fourierdlem61  31423  fourierdlem62  31424
  Copyright terms: Public domain W3C validator