MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres Structured version   Unicode version

Theorem dvmptres 22658
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptres.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
dvmptres.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres.t  |-  ( ph  ->  Y  e.  J )
Assertion
Ref Expression
dvmptres  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptres
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptadd.a . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 dvmptadd.b . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
4 dvmptadd.da . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
5 dvmptres.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
6 dvmptres.j . 2  |-  J  =  ( Kt  S )
7 dvmptres.k . 2  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
87cnfldtop 21583 . . . . 5  |-  K  e. 
Top
9 resttop 19954 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( Kt  S )  e.  Top )
108, 1, 9sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
116, 10syl5eqel 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
12 dvmptres.t . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  J )
13 isopn3i 19876 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  Y )  =  Y )
1411, 12, 13syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Y )  =  Y )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14dvmptres2 22657 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   {cpr 3974    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   ↾t crest 15035   TopOpenctopn 15036  ℂfldccnfld 18740   Topctop 19686   intcnt 19810    _D cdv 22559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-rest 15037  df-topn 15038  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-cnp 20022  df-xms 21115  df-ms 21116  df-limc 22562  df-dv 22563
This theorem is referenced by:  dvmptfsum  22668  dvexp3  22671  dvlipcn  22687  dvivthlem1  22701  lhop2  22708  dvfsumle  22714  dvfsumabs  22716  dvfsumlem2  22720  taylthlem2  23061  pserdvlem2  23115  advlog  23329  advlogexp  23330  logtayl  23335  loglesqrt  23428  dvatan  23591  log2sumbnd  24110  dvtan  31438  dvasin  31474  dvacos  31475  areacirclem1  31478  dvmptconst  37078  dvmptidg  37080  itgsin0pilem1  37116  itgsbtaddcnst  37149  fourierdlem56  37313  fourierdlem60  37317  fourierdlem61  37318  fourierdlem62  37319
  Copyright terms: Public domain W3C validator