MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptmul Structured version   Unicode version

Theorem dvmptmul 21561
Description: Function-builder for derivative, product rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptadd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
dvmptadd.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  W )
dvmptadd.dc  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptmul  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( D  x.  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, W    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem dvmptmul
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptadd.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 eqid 2451 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
42, 3fmptd 5969 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
5 dvmptadd.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
6 eqid 2451 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  C )  =  ( x  e.  X  |->  C )
75, 6fmptd 5969 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C ) : X --> CC )
8 dvmptadd.da . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
98dmeqd 5143 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
10 dvmptadd.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
1110ralrimiva 2825 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
12 dmmptg 5436 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
149, 13eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
15 dvmptadd.dc . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
1615dmeqd 5143 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  D ) )
17 dvmptadd.d . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  W )
1817ralrimiva 2825 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  D  e.  W )
19 dmmptg 5436 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  D  e.  W  ->  dom  (
x  e.  X  |->  D )  =  X )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  D )  =  X )
2116, 20eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  =  X )
221, 4, 7, 14, 21dvmulf 21543 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  oF  x.  ( x  e.  X  |->  C ) ) )  =  ( ( ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  oF  x.  ( x  e.  X  |->  C ) )  oF  +  ( ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  oF  x.  ( x  e.  X  |->  A ) ) ) )
23 ovex 6218 . . . . . 6  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  e.  _V
2423dmex 6614 . . . . 5  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  e.  _V
2521, 24syl6eqelr 2548 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
26 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
27 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
2825, 2, 5, 26, 27offval2 6439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  oF  x.  ( x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  x.  C ) ) )
2928oveq2d 6209 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  oF  x.  ( x  e.  X  |->  C ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( A  x.  C ) ) ) )
30 ovex 6218 . . . 4  |-  ( B  x.  C )  e. 
_V
3130a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  x.  C )  e.  _V )
32 ovex 6218 . . . 4  |-  ( D  x.  A )  e. 
_V
3332a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  x.  A )  e.  _V )
3425, 10, 5, 8, 27offval2 6439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  oF  x.  ( x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  x.  C ) ) )
3525, 17, 2, 15, 26offval2 6439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  oF  x.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( D  x.  A ) ) )
3625, 31, 33, 34, 35offval2 6439 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  oF  x.  (
x  e.  X  |->  C ) )  oF  +  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  C ) )  oF  x.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( D  x.  A ) ) ) )
3722, 29, 363eqtr3d 2500 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( D  x.  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3071   {cpr 3980    |-> cmpt 4451   dom cdm 4941  (class class class)co 6193    oFcof 6421   CCcc 9384   RRcr 9385    + caddc 9389    x. cmul 9391    _D cdv 21464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468
This theorem is referenced by:  dvmptcmul  21564  itgparts  21645  advlog  22225  advlogexp  22226  log2sumbnd  22919  dvtan  28583  areacirclem1  28625
  Copyright terms: Public domain W3C validator