Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptidg Structured version   Unicode version

Theorem dvmptidg 31954
Description: Function-builder for derivative: derivative of the identity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptidg.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptidg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptidg  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  A  |->  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, S    ph, x

Proof of Theorem dvmptidg
StepHypRef Expression
1 dvmptidg.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 ax-resscn 9538 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
3 sseq1 3510 . . . . . 6  |-  ( S  =  RR  ->  ( S  C_  CC  <->  RR  C_  CC ) )
42, 3mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( S  =  RR  ->  S  C_  CC )
5 eqimss 3541 . . . . 5  |-  ( S  =  CC  ->  S  C_  CC )
64, 5pm3.2i 453 . . . 4  |-  ( ( S  =  RR  ->  S 
C_  CC )  /\  ( S  =  CC  ->  S  C_  CC )
)
7 elpri 4036 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
81, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
9 pm3.44 509 . . . 4  |-  ( ( ( S  =  RR 
->  S  C_  CC )  /\  ( S  =  CC  ->  S  C_  CC ) )  ->  (
( S  =  RR  \/  S  =  CC )  ->  S  C_  CC ) )
106, 8, 9mpsyl 63 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1110sselda 3489 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
12 1red 9600 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  1  e.  RR )
131dvmptid 22529 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  S  |->  x ) )  =  ( x  e.  S  |->  1 ) )
14 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1514cnfldtopon 21459 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
17 resttopon 19832 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1816, 10, 17syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
19 dvmptidg.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
20 toponss 19600 . . 3  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  /\  A  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )  ->  A  C_  S )
2118, 19, 20syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
22 eqid 2454 . 2  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
231, 11, 12, 13, 21, 22, 14, 19dvmptres 22535 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  A  |->  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   {cpr 4018    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482   ↾t crest 14913   TopOpenctopn 14914  ℂfldccnfld 18618  TopOnctopon 19565    _D cdv 22436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-rest 14915  df-topn 14916  df-topgen 14936  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440
This theorem is referenced by:  dvxpaek  31979  fourierdlem28  32159  fourierdlem58  32189  fourierdlem59  32190
  Copyright terms: Public domain W3C validator