Theorem dvmptid 21446

Description: Function-builder for derivative: derivative of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvmptid.1	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )

Assertion

Ref	Expression
dvmptid	|- ( ph -> ( S _D ( x e. S |-> x ) ) = ( x e. S |-> 1 ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, S

Proof of Theorem dvmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. 2 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
2		dvmptid.1	. 2 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
3	1	cnfldtopon 20377	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
4		toponmax 18548	. . 3 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
5	3, 4	mp1i 12	. 2 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
6		recnprss 21394	. . . 4 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
7	2, 6	syl 16	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
8		df-ss 3357	. . 3 |- ( S C_ CC <-> ( S i^i CC ) = S )
9	7, 8	sylib 196	. 2 |- ( ph -> ( S i^i CC ) = S )
10		simpr 461	. 2 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> x e. CC )
11		ax-1cn 9355	. . 3 |- 1 e. CC
12	11	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
13		mptresid 5175	. . . . 5 |- ( x e. CC |-> x ) = ( _I |` CC )
14	13	oveq2i 6117	. . . 4 |- ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) )
15		dvid 21407	. . . 4 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( CC X. { 1 } )
16		fconstmpt 4897	. . . 4 |- ( CC X. { 1 } ) = ( x e. CC |-> 1 )
17	14, 15, 16	3eqtri 2467	. . 3 |- ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
18	17	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
19	1, 2, 5, 9, 10, 12, 18	dvmptres3 21445	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. S |-> x ) ) = ( x e. S |-> 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   i^i cin 3342   C_ wss 3343   {csn 3892   {cpr 3894   e. cmpt 4365   _I cid 4646   X. cxp 4853   |` cres 4857   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   CCcc 9295   RRcr 9296   1c1 9298   TopOpenctopn 14375  ℂ_fldccnfld 17833  TopOnctopon 18514   _D cdv 21353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fi 7676  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-icc 11322  df-fz 11453  df-seq 11822  df-exp 11881  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-rest 14376  df-topn 14377  df-topgen 14397  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-lp 18755  df-perf 18756  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-haus 18934  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-cncf 20469  df-limc 21356  df-dv 21357

This theorem is referenced by:  dvef  21467  dvsincos  21468  mvth  21479  dvlipcn  21481  dvivthlem1  21495  lhop2  21502  dvfsumle  21508  dvfsumabs  21510  dvfsumlem2  21514  dvtaylp  21850  taylthlem2  21854  pige3  21994  advlog  22114  advlogexp  22115  logtayl  22120  dvcxp1  22195  dvcxp2  22196  loglesqr  22211  dvatan  22345  log2sumbnd  22808  lgamgulmlem2  27031  dvcncxp1  28496  dvasin  28499  areacirclem1  28503  lhe4.4ex1a  29622  expgrowthi  29626  expgrowth  29628