Theorem dvmptfsum 22927

Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfsum.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfsum.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfsum.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfsum.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfsum.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfsum.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfsum.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfsum.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfsum	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Distinct variable groups:   x, i, I   ph, i, x   S, i, x   i, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   B( x, i)   J( x, i)   K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3451	. 2 |- I C_ I
2		dvmptfsum.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
3		sseq1 3453	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
4		sumeq1 13755	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. (/) A )
5	4	mpteq2dv 4490	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) )
6	5	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) )
7		sumeq1 13755	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. (/) B )
8	7	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
9	6, 8	eqeq12d 2466	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
10	3, 9	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) )
11	10	imbi2d 318	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) ) )
12		sseq1 3453	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
13		sumeq1 13755	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> sum_ i e. a A = sum_ i e. b A )
14	13	mpteq2dv 4490	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) )
15	14	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) )
16		sumeq1 13755	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> sum_ i e. a B = sum_ i e. b B )
17	16	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) )
18	15, 17	eqeq12d 2466	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
19	12, 18	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) )
20	19	imbi2d 318	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) ) )
21		sseq1 3453	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
22		sumeq1 13755	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. ( b u. { c } ) A )
23	22	mpteq2dv 4490	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
24	23	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
25		sumeq1 13755	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. ( b u. { c } ) B )
26	25	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
27	24, 26	eqeq12d 2466	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) )
28	21, 27	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
29	28	imbi2d 318	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
30		sseq1 3453	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
31		sumeq1 13755	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> sum_ i e. a A = sum_ i e. I A )
32	31	mpteq2dv 4490	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) )
33	32	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) )
34		sumeq1 13755	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> sum_ i e. a B = sum_ i e. I B )
35	34	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )
36	33, 35	eqeq12d 2466	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
37	30, 36	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( a = I -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
38	37	imbi2d 318	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) ) )
39		dvmptfsum.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
40		0cnd 9636	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> 0 e. CC )
41		0cnd 9636	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. CC )
42	39, 41	dvmptc 22912	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. S |-> 0 ) ) = ( x e. S |-> 0 ) )
43		dvmptfsum.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( K ↾t S )
44		dvmptfsum.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
45	44	cnfldtopon 21803	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
46		recnprss 22859	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
47	39, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ CC )
48		resttopon 20177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
49	45, 47, 48	sylancr 669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
50	43, 49	syl5eqel 2533	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` S ) )
51		dvmptfsum.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. J )
52		toponss 19944	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` S ) /\ X e. J ) -> X C_ S )
53	50, 51, 52	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
54	39, 40, 40, 42, 53, 43, 44, 51	dvmptres 22917	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 0 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
55		sum0 13787	. . . . . . . 8 |- sum_ i e. (/) A = 0
56	55	mpteq2i 4486	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 0 )
57	56	oveq2i 6301	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
58		sum0 13787	. . . . . . 7 |- sum_ i e. (/) B = 0
59	58	mpteq2i 4486	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
60	54, 57, 59	3eqtr4g 2510	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
61	60	a1d 26	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
62		ssun1 3597	. . . . . . . . . 10 |- b C_ ( b u. { c } )
63		sstr 3440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
64	62, 63	mpan 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
65	64	imim1i 60	. . . . . . . 8 |- ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
66		simpll 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ph )
67	66, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
68	2	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> I e. Fin )
69	64	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b C_ I )
70		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. Fin /\ b C_ I ) -> b e. Fin )
71	68, 69, 70	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b e. Fin )
72		simp-4l 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> ph )
73	69	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> i e. I )
74		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> a e. X )
75		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ph /\ i e. I /\ a e. X )
76		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x [_ a / x ]_ A
77	76	nfel1 2606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [_ a / x ]_ A e. CC
78	75, 77	nfim 2003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
79		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( x e. X <-> a e. X ) )
80	79	3anbi3d 1345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) ) )
81		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> A = [_ a / x ]_ A )
82	81	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( A e. CC <-> [_ a / x ]_ A e. CC ) )
83	80, 82	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC ) ) )
84		dvmptfsum.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
85	78, 83, 84	chvar 2106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
86	72, 73, 74, 85	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
87	71, 86	fsumcl 13799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
88	87	adantlrr 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
89		sumex 13754	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. _V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. _V )
91		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a sum_ i e. b A
92		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x b
93	92, 76	nfsum 13757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ A
94	81	sumeq2sdv 13770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> sum_ i e. b A = sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
95	91, 93, 94	cbvmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
96	95	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) )
97		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a sum_ i e. b B
98		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ B
99	92, 98	nfsum 13757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ B
100		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> B = [_ a / x ]_ B )
101	100	sumeq2sdv 13770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> sum_ i e. b B = sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
102	97, 99, 101	cbvmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
103	96, 102	eqeq12i 2465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) <-> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
104	103	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
105	104	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
106		simplll 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ph )
107		ssun2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { c } C_ ( b u. { c } )
108		sstr 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> { c } C_ I )
109	107, 108	mpan 676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> { c } C_ I )
110		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- c e. _V
111	110	snss 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. I <-> { c } C_ I )
112	109, 111	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
113	112	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. I )
114		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> a e. X )
115	84	3expb 1209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
116	115	ancom2s 811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> A e. CC )
117	116	ralrimivva 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I A e. CC )
118		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
119	118	nfel1 2606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC
120		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
121	120	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ A e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
122	77, 119, 82, 121	rspc2 3158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
123	122	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
124	117, 123	mpan9 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
125	106, 113, 114, 124	syl12anc 1266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
126	125	adantlrr 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
127		dvmptfsum.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
128	127	3expb 1209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> B e. CC )
129	128	ancom2s 811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> B e. CC )
130	129	ralrimivva 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I B e. CC )
131	98	nfel1 2606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [_ a / x ]_ B e. CC
132		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
133	132	nfel1 2606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC
134	100	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( B e. CC <-> [_ a / x ]_ B e. CC ) )
135		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
136	135	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ B e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
137	131, 133, 134, 136	rspc2 3158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
138	137	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
139	130, 138	mpan9 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
140	106, 113, 114, 139	syl12anc 1266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
141	140	adantlrr 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
142	112	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> c e. I )
143		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ph /\ c e. I )
144		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i S
145		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i _D
146		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i X
147		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
148	146, 147	nfmpt 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A )
149	144, 145, 148	nfov 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
150		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ B
151	146, 150	nfmpt 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
152	149, 151	nfeq 2603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
153	143, 152	nfim 2003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
154		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( i e. I <-> c e. I ) )
155	154	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
156		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
157	156	mpteq2dv 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
158	157	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
159		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> B = [_ c / i ]_ B )
160	159	mpteq2dv 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
161	158, 160	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) )
162	155, 161	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = c -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) ) )
163		dvmptfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
164	153, 162, 163	chvar 2106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
165		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a [_ c / i ]_ A
166		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x c
167	166, 76	nfcsb 3381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
168	81	csbeq2dv 3781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
169	165, 167, 168	cbvmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
170	169	oveq2i 6301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
171		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a [_ c / i ]_ B
172	166, 98	nfcsb 3381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
173	100	csbeq2dv 3781	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
174	171, 172, 173	cbvmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
175	164, 170, 174	3eqtr3g 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
176	66, 142, 175	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
177	67, 88, 90, 105, 126, 141, 176	dvmptadd 22914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
178		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) A
179		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( b u. { c } )
180	179, 76	nfsum 13757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A
181	81	sumeq2sdv 13770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) A = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
182	178, 180, 181	cbvmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
183		simpllr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
184		disjsn 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b i^i { c } ) = (/) <-> -. c e. b )
185	183, 184	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
186		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) = ( b u. { c } ) )
187		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
188		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. Fin /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
189	68, 187, 188	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
190		simp-4l 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> ph )
191	187	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> i e. I )
192		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> a e. X )
193	190, 191, 192, 85	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
194	185, 186, 189, 193	fsumsplit 13806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) )
195		sumsns 13811	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
196	110, 125, 195	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
197	196	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
198	194, 197	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
199	198	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
200	182, 199	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
201	200	adantrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
202	201	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) )
203		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) B
204	179, 98	nfsum 13757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B
205	100	sumeq2sdv 13770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) B = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
206	203, 204, 205	cbvmpt 4494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
207	75, 131	nfim 2003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
208	80, 134	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC ) ) )
209	207, 208, 127	chvar 2106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
210	190, 191, 192, 209	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
211	185, 186, 189, 210	fsumsplit 13806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) )
212		sumsns 13811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
213	110, 140, 212	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
214	213	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
215	211, 214	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
216	215	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
217	206, 216	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
218	217	adantrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
219	177, 202, 218	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
220	219	exp32 610	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
221	220	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
222	65, 221	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
223	222	expcom 437	. . . . . 6 |- ( -. c e. b -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
224	223	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
225	224	a2d 29	. . . 4 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
226	11, 20, 29, 38, 61, 225	findcard2s 7812	. . 3 |- ( I e. Fin -> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
227	2, 226	mpcom 37	. 2 |- ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
228	1, 227	mpi 20	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   sum_csu 13752   ↾_t crest 15319   TopOpenctopn 15320  ℂ_fldccnfld 18970  TopOnctopon 19918   _D cdv 22818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

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