Theorem dvmptfsum 21445

Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfsum.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfsum.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfsum.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfsum.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfsum.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfsum.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfsum.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfsum.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfsum	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Distinct variable groups:   x, i, I   ph, i, x   S, i, x   i, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   B( x, i)   J( x, i)   K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3373	. 2 |- I C_ I
2		dvmptfsum.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
3		sseq1 3375	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
4		sumeq1 13164	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. (/) A )
5	4	mpteq2dv 4377	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) )
6	5	oveq2d 6105	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) )
7		sumeq1 13164	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. (/) B )
8	7	mpteq2dv 4377	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
9	6, 8	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
10	3, 9	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) )
11	10	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) ) )
12		sseq1 3375	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
13		sumeq1 13164	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> sum_ i e. a A = sum_ i e. b A )
14	13	mpteq2dv 4377	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) )
15	14	oveq2d 6105	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) )
16		sumeq1 13164	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> sum_ i e. a B = sum_ i e. b B )
17	16	mpteq2dv 4377	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) )
18	15, 17	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
19	12, 18	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) )
20	19	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) ) )
21		sseq1 3375	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
22		sumeq1 13164	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. ( b u. { c } ) A )
23	22	mpteq2dv 4377	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
24	23	oveq2d 6105	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
25		sumeq1 13164	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. ( b u. { c } ) B )
26	25	mpteq2dv 4377	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
27	24, 26	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) )
28	21, 27	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
29	28	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
30		sseq1 3375	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
31		sumeq1 13164	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> sum_ i e. a A = sum_ i e. I A )
32	31	mpteq2dv 4377	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) )
33	32	oveq2d 6105	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) )
34		sumeq1 13164	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> sum_ i e. a B = sum_ i e. I B )
35	34	mpteq2dv 4377	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )
36	33, 35	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
37	30, 36	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = I -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
38	37	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) ) )
39		dvmptfsum.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
40		0cnd 9377	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> 0 e. CC )
41		0cnd 9377	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. CC )
42	39, 41	dvmptc 21430	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. S |-> 0 ) ) = ( x e. S |-> 0 ) )
43		dvmptfsum.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( K ↾t S )
44		dvmptfsum.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
45	44	cnfldtopon 20360	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
46		recnprss 21377	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
47	39, 46	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ CC )
48		resttopon 18763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
49	45, 47, 48	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
50	43, 49	syl5eqel 2525	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` S ) )
51		dvmptfsum.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. J )
52		toponss 18532	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` S ) /\ X e. J ) -> X C_ S )
53	50, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
54	39, 40, 40, 42, 53, 43, 44, 51	dvmptres 21435	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 0 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
55		sum0 13196	. . . . . . . 8 |- sum_ i e. (/) A = 0
56	55	mpteq2i 4373	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 0 )
57	56	oveq2i 6100	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
58		sum0 13196	. . . . . . 7 |- sum_ i e. (/) B = 0
59	58	mpteq2i 4373	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
60	54, 57, 59	3eqtr4g 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
61	60	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
62		ssun1 3517	. . . . . . . . . 10 |- b C_ ( b u. { c } )
63		sstr 3362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
64	62, 63	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
65	64	imim1i 58	. . . . . . . 8 |- ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
66		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ph )
67	66, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
68	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> I e. Fin )
69	64	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b C_ I )
70		ssfi 7531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. Fin /\ b C_ I ) -> b e. Fin )
71	68, 69, 70	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b e. Fin )
72		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> ph )
73	69	sselda 3354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> i e. I )
74		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> a e. X )
75		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ph /\ i e. I /\ a e. X )
76		nfcsb1v 3302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x [_ a / x ]_ A
77	76	nfel1 2587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [_ a / x ]_ A e. CC
78	75, 77	nfim 1853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
79		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( x e. X <-> a e. X ) )
80	79	3anbi3d 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) ) )
81		csbeq1a 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> A = [_ a / x ]_ A )
82	81	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( A e. CC <-> [_ a / x ]_ A e. CC ) )
83	80, 82	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC ) ) )
84		dvmptfsum.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
85	78, 83, 84	chvar 1957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
86	72, 73, 74, 85	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
87	71, 86	fsumcl 13208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
88	87	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
89		sumex 13163	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. _V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. _V )
91		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a sum_ i e. b A
92		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x b
93	92, 76	nfsum 13166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ A
94	81	sumeq2sdv 13179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> sum_ i e. b A = sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
95	91, 93, 94	cbvmpt 4380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
96	95	oveq2i 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) )
97		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a sum_ i e. b B
98		nfcsb1v 3302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ B
99	92, 98	nfsum 13166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ B
100		csbeq1a 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> B = [_ a / x ]_ B )
101	100	sumeq2sdv 13179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> sum_ i e. b B = sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
102	97, 99, 101	cbvmpt 4380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
103	96, 102	eqeq12i 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) <-> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
104	103	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
105	104	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
106		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ph )
107		ssun2 3518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { c } C_ ( b u. { c } )
108		sstr 3362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> { c } C_ I )
109	107, 108	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> { c } C_ I )
110		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- c e. _V
111	110	snss 3997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. I <-> { c } C_ I )
112	109, 111	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
113	112	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. I )
114		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> a e. X )
115	84	3expb 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
116	115	ancom2s 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> A e. CC )
117	116	ralrimivva 2806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I A e. CC )
118		nfcsb1v 3302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
119	118	nfel1 2587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC
120		csbeq1a 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
121	120	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ A e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
122	77, 119, 82, 121	rspc2 3076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
123	122	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
124	117, 123	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
125	106, 113, 114, 124	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
126	125	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
127		dvmptfsum.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
128	127	3expb 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> B e. CC )
129	128	ancom2s 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> B e. CC )
130	129	ralrimivva 2806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I B e. CC )
131	98	nfel1 2587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [_ a / x ]_ B e. CC
132		nfcsb1v 3302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
133	132	nfel1 2587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC
134	100	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( B e. CC <-> [_ a / x ]_ B e. CC ) )
135		csbeq1a 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
136	135	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ B e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
137	131, 133, 134, 136	rspc2 3076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
138	137	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
139	130, 138	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
140	106, 113, 114, 139	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
141	140	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
142	112	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> c e. I )
143		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ph /\ c e. I )
144		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i S
145		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i _D
146		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i X
147		nfcsb1v 3302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
148	146, 147	nfmpt 4378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A )
149	144, 145, 148	nfov 6112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
150		nfcsb1v 3302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ B
151	146, 150	nfmpt 4378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
152	149, 151	nfeq 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
153	143, 152	nfim 1853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
154		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( i e. I <-> c e. I ) )
155	154	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
156		csbeq1a 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
157	156	mpteq2dv 4377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
158	157	oveq2d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
159		csbeq1a 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> B = [_ c / i ]_ B )
160	159	mpteq2dv 4377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
161	158, 160	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) )
162	155, 161	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = c -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) ) )
163		dvmptfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
164	153, 162, 163	chvar 1957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
165		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a [_ c / i ]_ A
166		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x c
167	166, 76	nfcsb 3304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
168	81	csbeq2dv 3685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
169	165, 167, 168	cbvmpt 4380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
170	169	oveq2i 6100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
171		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a [_ c / i ]_ B
172	166, 98	nfcsb 3304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
173	100	csbeq2dv 3685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
174	171, 172, 173	cbvmpt 4380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
175	164, 170, 174	3eqtr3g 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
176	66, 142, 175	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
177	67, 88, 90, 105, 126, 141, 176	dvmptadd 21432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
178		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) A
179		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( b u. { c } )
180	179, 76	nfsum 13166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A
181	81	sumeq2sdv 13179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) A = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
182	178, 180, 181	cbvmpt 4380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
183		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
184		disjsn 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b i^i { c } ) = (/) <-> -. c e. b )
185	183, 184	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
186		eqidd 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) = ( b u. { c } ) )
187		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
188		ssfi 7531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. Fin /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
189	68, 187, 188	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
190		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> ph )
191	187	sselda 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> i e. I )
192		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> a e. X )
193	190, 191, 192, 85	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
194	185, 186, 189, 193	fsumsplit 13214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) )
195		sumsns 13217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
196	110, 125, 195	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
197	196	oveq2d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
198	194, 197	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
199	198	mpteq2dva 4376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
200	182, 199	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
201	200	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
202	201	oveq2d 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) )
203		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) B
204	179, 98	nfsum 13166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B
205	100	sumeq2sdv 13179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) B = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
206	203, 204, 205	cbvmpt 4380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
207	75, 131	nfim 1853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
208	80, 134	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC ) ) )
209	207, 208, 127	chvar 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
210	190, 191, 192, 209	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
211	185, 186, 189, 210	fsumsplit 13214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) )
212		sumsns 13217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
213	110, 140, 212	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
214	213	oveq2d 6105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
215	211, 214	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
216	215	mpteq2dva 4376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
217	206, 216	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
218	217	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
219	177, 202, 218	3eqtr4d 2483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
220	219	exp32 605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
221	220	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
222	65, 221	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
223	222	expcom 435	. . . . . 6 |- ( -. c e. b -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
224	223	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
225	224	a2d 26	. . . 4 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
226	11, 20, 29, 38, 61, 225	findcard2s 7551	. . 3 |- ( I e. Fin -> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
227	2, 226	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
228	1, 227	mpi 17	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2713   _Vcvv 2970   [_csb 3286   u. cun 3324   i^i cin 3325   C_ wss 3326   (/)c0 3635   {csn 3875   {cpr 3877   e. cmpt 4348   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Fincfn 7308   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   + caddc 9283   sum_csu 13161   ↾_t crest 14357   TopOpenctopn 14358  ℂ_fldccnfld 17816  TopOnctopon 18497   _D cdv 21336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-rest 14359  df-topn 14360  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-topgen 14380  df-pt 14381  df-prds 14384  df-xrs 14438  df-qtop 14443  df-imas 14444  df-xps 14446  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-mulg 15546  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-cnfld 17817  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-nei 18700  df-lp 18738  df-perf 18739  df-cn 18829  df-cnp 18830  df-haus 18917  df-tx 19133  df-hmeo 19326  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-xms 19893  df-ms 19894  df-tms 19895  df-cncf 20452  df-limc 21339  df-dv 21340

This theorem is referenced by:  dvply1  21748  dvtaylp  21833  pserdvlem2  21891  advlogexp  22098