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Theorem dvmptfsum 22502
Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfsum.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptfsum.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptfsum.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfsum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptfsum.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
dvmptfsum.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfsum.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
dvmptfsum.d  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptfsum  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) )
Distinct variable groups:    x, i, I    ph, i, x    S, i, x    i, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, i)    B( x, i)    J( x, i)    K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3518 . 2  |-  I  C_  I
2 dvmptfsum.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
3 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
4 sumeq1 13523 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  (/)  A )
54mpteq2dv 4544 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )
65oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) ) )
7 sumeq1 13523 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  (/)  B )
87mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) )
96, 8eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) )
103, 9imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )
)  <->  ( (/)  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) ) )
1110imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( a  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) ) ) )
12 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  I  <->  b  C_  I ) )
13 sumeq1 13523 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  b  A )
1413mpteq2dv 4544 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)
1514oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) ) )
16 sumeq1 13523 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  b  B )
1716mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)
1815, 17eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )
1912, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( b 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) ) ) )
21 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  I 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )
22 sumeq1 13523 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )
2322mpteq2dv 4544 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )
2423oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) ) )
25 sumeq1 13523 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B )
2625mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) )
2724, 26eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) )
2821, 27imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) ) ) )
2928imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ph  ->  ( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
30 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
a  C_  I  <->  I  C_  I
) )
31 sumeq1 13523 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  I  A )
3231mpteq2dv 4544 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A )
)
3332oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) ) )
34 sumeq1 13523 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  I  B )
3534mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B )
)
3633, 35eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) )
3730, 36imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) )
3837imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( ph  ->  ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( I 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) ) )
39 dvmptfsum.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
40 0cnd 9606 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  CC )
41 0cnd 9606 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
4239, 41dvmptc 22487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  S  |->  0 ) )  =  ( x  e.  S  |->  0 ) )
43 dvmptfsum.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Kt  S )
44 dvmptfsum.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
4544cnfldtopon 21416 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
46 recnprss 22434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4739, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
48 resttopon 19789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
4945, 47, 48sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
5043, 49syl5eqel 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
51 dvmptfsum.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
52 toponss 19557 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  S )  /\  X  e.  J )  ->  X  C_  S )
5350, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
5439, 40, 40, 42, 53, 43, 44, 51dvmptres 22492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
55 sum0 13555 . . . . . . . 8  |-  sum_ i  e.  (/)  A  =  0
5655mpteq2i 4540 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
5756oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) )
58 sum0 13555 . . . . . . 7  |-  sum_ i  e.  (/)  B  =  0
5958mpteq2i 4540 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
6054, 57, 593eqtr4g 2523 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) )
6160a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  I  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) )
62 ssun1 3663 . . . . . . . . . 10  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
63 sstr 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I )  -> 
b  C_  I )
6462, 63mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b  C_  I )
6564imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )
66 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ph )
6766, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
682ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  I  e.  Fin )
6964ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  b  C_  I )
70 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  b  C_  I )  -> 
b  e.  Fin )
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  b  e.  Fin )
72 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  ph )
7369sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  i  e.  I )
74 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  a  e.  X )
75 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )
76 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ A
7776nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ A  e.  CC
7875, 77nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
79 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  X  <->  a  e.  X ) )
80793anbi3d 1305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )
) )
81 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  A  =  [_ a  /  x ]_ A )
8281eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
8380, 82imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) ) )
84 dvmptfsum.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
8578, 83, 84chvar 2014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X
)  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8672, 73, 74, 85syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8771, 86fsumcl 13567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8887adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
89 sumex 13522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  e.  _V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  e.  _V )
91 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a sum_ i  e.  b  A
92 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
b
9392, 76nfsum 13525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
9481sumeq2sdv 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  b  A  =  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
)
9591, 93, 94cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A )
9695oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
) )
97 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ a sum_ i  e.  b  B
98 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ B
9992, 98nfsum 13525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
100 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  B  =  [_ a  /  x ]_ B )
101100sumeq2sdv 13538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  b  B  =  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
)
10297, 99, 101cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B )
10396, 102eqeq12i 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  <->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B ) )
104103biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  ->  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
) )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
) )
105104ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B ) )
106 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ph )
107 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
108 sstr 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { c }  C_  ( b  u.  {
c } )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  { c }  C_  I )
109107, 108mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  { c }  C_  I )
110 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  c  e. 
_V
111110snss 4156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  I  <->  { c }  C_  I )
112109, 111sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  I )
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  c  e.  I )
114 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  X )
115843expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  A  e.  CC )
116115ancom2s 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  i  e.  I ) )  ->  A  e.  CC )
117116ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC )
118 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A
119118nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC
120 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
121120eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( [_ a  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
)
12277, 119, 82, 121rspc2 3218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  X  /\  c  e.  I )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
123122ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
124117, 123mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  I  /\  a  e.  X ) )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
125106, 113, 114, 124syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
126125adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
127 dvmptfsum.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
1281273expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  B  e.  CC )
129128ancom2s 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  i  e.  I ) )  ->  B  e.  CC )
130129ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC )
13198nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ B  e.  CC
132 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B
133132nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC
134100eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
135 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
136135eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( [_ a  /  x ]_ B  e.  CC  <->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
)
137131, 133, 134, 136rspc2 3218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  X  /\  c  e.  I )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
138137ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
139130, 138mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  I  /\  a  e.  X ) )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
140106, 113, 114, 139syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
141140adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
142112ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  c  e.  I
)
143 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( ph  /\  c  e.  I )
144 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i S
145 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i  _D
146 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ i X
147 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ A
148146, 147nfmpt 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A )
149144, 145, 148nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
150 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ B
151146, 150nfmpt 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B )
152149, 151nfeq 2630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
)
153143, 152nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( ( ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
) )
154 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  (
i  e.  I  <->  c  e.  I ) )
155154anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  c  ->  (
( ph  /\  i  e.  I )  <->  ( ph  /\  c  e.  I ) ) )
156 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  c  ->  A  =  [_ c  /  i ]_ A )
157156mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
158157oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) ) )
159 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  B  =  [_ c  /  i ]_ B )
160159mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
) )
161158, 160eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  c  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) ) )
162155, 161imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  c  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <->  ( ( ph  /\  c  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) ) ) )
163 dvmptfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
164153, 162, 163chvar 2014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) )
165 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ a [_ c  /  i ]_ A
166 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
c
167166, 76nfcsb 3448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A
16881csbeq2dv 3843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  [_ c  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
169165, 167, 168cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
)  =  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
170169oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
171 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a [_ c  /  i ]_ B
172166, 98nfcsb 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B
173100csbeq2dv 3843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  [_ c  /  i ]_ B  =  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
174171, 172, 173cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
)  =  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
175164, 170, 1743eqtr3g 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
17666, 142, 175syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
17767, 88, 90, 105, 126, 141, 176dvmptadd 22489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )  =  ( a  e.  X  |->  (
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
178 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A
179 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( b  u.  {
c } )
180179, 76nfsum 13525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A
18181sumeq2sdv 13538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A  =  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A )
182178, 180, 181cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) [_ a  /  x ]_ A
)
183 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  -.  c  e.  b )
184 disjsn 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  i^i  { c } )  =  (/)  <->  -.  c  e.  b )
185183, 184sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  i^i  {
c } )  =  (/) )
186 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  =  ( b  u.  {
c } ) )
187 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  I )
188 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
b  u.  { c } )  e.  Fin )
18968, 187, 188syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  e. 
Fin )
190 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  ph )
191187sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  i  e.  I
)
192 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  a  e.  X
)
193190, 191, 192, 85syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
194185, 186, 189, 193fsumsplit 13574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ A
) )
195 sumsns 13577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  _V  /\  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
196110, 125, 195sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
197196oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ A
)  =  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
198194, 197eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
199198mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
200182, 199syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
201200adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
202201oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) ) )
203 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B
204179, 98nfsum 13525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B
205100sumeq2sdv 13538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B  =  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B )
206203, 204, 205cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) [_ a  /  x ]_ B
)
20775, 131nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
20880, 134imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) ) )
209207, 208, 127chvar 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X
)  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
210190, 191, 192, 209syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
211185, 186, 189, 210fsumsplit 13574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ B
) )
212 sumsns 13577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  _V  /\  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
213110, 140, 212sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
214213oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ B
)  =  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
215211, 214eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
216215mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
217206, 216syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
218217adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
219177, 202, 2183eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) )
220219exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
221220a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
22265, 221syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( b  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
223222expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  c  e.  b  -> 
( ph  ->  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) ) ) ) )
224223adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( ph  ->  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
225224a2d 26 . . . 4  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( ( ph  ->  ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
22611, 20, 29, 38, 61, 225findcard2s 7779 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) )
2272, 226mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) ) )
2281, 227mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   [_csb 3430    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512   sum_csu 13520   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839  ℂfldccnfld 18547  TopOnctopon 19522    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  dvply1  22806  dvtaylp  22891  pserdvlem2  22949  advlogexp  23162  dvnmul  31922  dirkeritg  32066  etransclem2  32201
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