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Theorem dvmptfsum 23006
Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfsum.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptfsum.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptfsum.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfsum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptfsum.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
dvmptfsum.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfsum.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
dvmptfsum.d  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptfsum  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) )
Distinct variable groups:    x, i, I    ph, i, x    S, i, x    i, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, i)    B( x, i)    J( x, i)    K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3437 . 2  |-  I  C_  I
2 dvmptfsum.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
3 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
4 sumeq1 13832 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  (/)  A )
54mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )
65oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) ) )
7 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  (/)  B )
87mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) )
96, 8eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) )
103, 9imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )
)  <->  ( (/)  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) ) )
1110imbi2d 323 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( a  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) ) ) )
12 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  I  <->  b  C_  I ) )
13 sumeq1 13832 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  b  A )
1413mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)
1514oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) ) )
16 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  b  B )
1716mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)
1815, 17eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )
1912, 18imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) ) )
2019imbi2d 323 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( b 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) ) ) )
21 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  I 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )
22 sumeq1 13832 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )
2322mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )
2423oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) ) )
25 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B )
2625mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) )
2724, 26eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) )
2821, 27imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) ) ) )
2928imbi2d 323 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ph  ->  ( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
30 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
a  C_  I  <->  I  C_  I
) )
31 sumeq1 13832 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  I  A )
3231mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A )
)
3332oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) ) )
34 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  I  B )
3534mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B )
)
3633, 35eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) )
3730, 36imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) )
3837imbi2d 323 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( ph  ->  ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( I 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) ) )
39 dvmptfsum.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
40 0cnd 9654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  CC )
41 0cnd 9654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
4239, 41dvmptc 22991 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  S  |->  0 ) )  =  ( x  e.  S  |->  0 ) )
43 dvmptfsum.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Kt  S )
44 dvmptfsum.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
4544cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
46 recnprss 22938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4739, 46syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
48 resttopon 20254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
4945, 47, 48sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
5043, 49syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
51 dvmptfsum.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
52 toponss 20021 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  S )  /\  X  e.  J )  ->  X  C_  S )
5350, 51, 52syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
5439, 40, 40, 42, 53, 43, 44, 51dvmptres 22996 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
55 sum0 13864 . . . . . . . 8  |-  sum_ i  e.  (/)  A  =  0
5655mpteq2i 4479 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
5756oveq2i 6319 . . . . . 6  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) )
58 sum0 13864 . . . . . . 7  |-  sum_ i  e.  (/)  B  =  0
5958mpteq2i 4479 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
6054, 57, 593eqtr4g 2530 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) )
6160a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  I  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) )
62 ssun1 3588 . . . . . . . . . 10  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
63 sstr 3426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I )  -> 
b  C_  I )
6462, 63mpan 684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b  C_  I )
6564imim1i 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )
66 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ph )
6766, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
682ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  I  e.  Fin )
6964ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  b  C_  I )
70 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  b  C_  I )  -> 
b  e.  Fin )
7168, 69, 70syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  b  e.  Fin )
72 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  ph )
7369sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  i  e.  I )
74 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  a  e.  X )
75 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )
76 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ A
7776nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ A  e.  CC
7875, 77nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
79 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  X  <->  a  e.  X ) )
80793anbi3d 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )
) )
81 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  A  =  [_ a  /  x ]_ A )
8281eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
8380, 82imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) ) )
84 dvmptfsum.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
8578, 83, 84chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X
)  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8672, 73, 74, 85syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8771, 86fsumcl 13876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8887adantlrr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
89 sumex 13831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  e.  _V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  e.  _V )
91 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a sum_ i  e.  b  A
92 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
b
9392, 76nfsum 13834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
9481sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  b  A  =  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
)
9591, 93, 94cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A )
9695oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
) )
97 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ a sum_ i  e.  b  B
98 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ B
9992, 98nfsum 13834 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
100 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  B  =  [_ a  /  x ]_ B )
101100sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  b  B  =  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
)
10297, 99, 101cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B )
10396, 102eqeq12i 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  <->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B ) )
104103biimpi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  ->  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
) )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
) )
105104ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B ) )
106 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ph )
107 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
108 sstr 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { c }  C_  ( b  u.  {
c } )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  { c }  C_  I )
109107, 108mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  { c }  C_  I )
110 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  c  e. 
_V
111110snss 4087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  I  <->  { c }  C_  I )
112109, 111sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  I )
113112ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  c  e.  I )
114 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  X )
115843expb 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  A  e.  CC )
116115ancom2s 819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  i  e.  I ) )  ->  A  e.  CC )
117116ralrimivva 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC )
118 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A
119118nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC
120 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
121120eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( [_ a  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
)
12277, 119, 82, 121rspc2 3146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  X  /\  c  e.  I )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
123122ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
124117, 123mpan9 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  I  /\  a  e.  X ) )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
125106, 113, 114, 124syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
126125adantlrr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
127 dvmptfsum.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
1281273expb 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  B  e.  CC )
129128ancom2s 819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  i  e.  I ) )  ->  B  e.  CC )
130129ralrimivva 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC )
13198nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ B  e.  CC
132 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B
133132nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC
134100eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
135 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
136135eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( [_ a  /  x ]_ B  e.  CC  <->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
)
137131, 133, 134, 136rspc2 3146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  X  /\  c  e.  I )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
138137ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
139130, 138mpan9 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  I  /\  a  e.  X ) )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
140106, 113, 114, 139syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
141140adantlrr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
142112ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  c  e.  I
)
143 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( ph  /\  c  e.  I )
144 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i S
145 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i  _D
146 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ i X
147 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ A
148146, 147nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A )
149144, 145, 148nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
150 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ B
151146, 150nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B )
152149, 151nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
)
153143, 152nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( ( ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
) )
154 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  (
i  e.  I  <->  c  e.  I ) )
155154anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  c  ->  (
( ph  /\  i  e.  I )  <->  ( ph  /\  c  e.  I ) ) )
156 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  c  ->  A  =  [_ c  /  i ]_ A )
157156mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
158157oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) ) )
159 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  B  =  [_ c  /  i ]_ B )
160159mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
) )
161158, 160eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  c  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) ) )
162155, 161imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  c  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <->  ( ( ph  /\  c  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) ) ) )
163 dvmptfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
164153, 162, 163chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) )
165 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ a [_ c  /  i ]_ A
166 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
c
167166, 76nfcsb 3367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A
16881csbeq2dv 3785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  [_ c  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
169165, 167, 168cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
)  =  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
170169oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
171 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a [_ c  /  i ]_ B
172166, 98nfcsb 3367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B
173100csbeq2dv 3785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  [_ c  /  i ]_ B  =  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
174171, 172, 173cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
)  =  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
175164, 170, 1743eqtr3g 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
17666, 142, 175syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
17767, 88, 90, 105, 126, 141, 176dvmptadd 22993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )  =  ( a  e.  X  |->  (
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
178 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A
179 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( b  u.  {
c } )
180179, 76nfsum 13834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A
18181sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A  =  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A )
182178, 180, 181cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) [_ a  /  x ]_ A
)
183 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  -.  c  e.  b )
184 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  i^i  { c } )  =  (/)  <->  -.  c  e.  b )
185183, 184sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  i^i  {
c } )  =  (/) )
186 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  =  ( b  u.  {
c } ) )
187 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  I )
188 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
b  u.  { c } )  e.  Fin )
18968, 187, 188syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  e. 
Fin )
190 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  ph )
191187sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  i  e.  I
)
192 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  a  e.  X
)
193190, 191, 192, 85syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
194185, 186, 189, 193fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ A
) )
195 sumsns 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  _V  /\  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
196110, 125, 195sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
197196oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ A
)  =  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
198194, 197eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
199198mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
200182, 199syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
201200adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
202201oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) ) )
203 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B
204179, 98nfsum 13834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B
205100sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B  =  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B )
206203, 204, 205cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) [_ a  /  x ]_ B
)
20775, 131nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
20880, 134imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) ) )
209207, 208, 127chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X
)  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
210190, 191, 192, 209syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
211185, 186, 189, 210fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ B
) )
212 sumsns 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  _V  /\  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
213110, 140, 212sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
214213oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ B
)  =  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
215211, 214eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
216215mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
217206, 216syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
218217adantrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
219177, 202, 2183eqtr4d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) )
220219exp32 616 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
221220a2d 28 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
22265, 221syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( b  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
223222expcom 442 . . . . . 6  |-  ( -.  c  e.  b  -> 
( ph  ->  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) ) ) ) )
224223adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( ph  ->  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
225224a2d 28 . . . 4  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( ( ph  ->  ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
22611, 20, 29, 38, 61, 225findcard2s 7830 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) )
2272, 226mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) ) )
2281, 227mpi 20 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   sum_csu 13829   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047  TopOnctopon 19995    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  dvply1  23316  dvtaylp  23404  pserdvlem2  23462  advlogexp  23679  dvnmul  37915  dirkeritg  38076  etransclem2  38213
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