Theorem dvmptfsum 22502

Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfsum.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfsum.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfsum.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfsum.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfsum.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfsum.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfsum.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfsum.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfsum	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Distinct variable groups:   x, i, I   ph, i, x   S, i, x   i, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   B( x, i)   J( x, i)   K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3518	. 2 |- I C_ I
2		dvmptfsum.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
3		sseq1 3520	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
4		sumeq1 13523	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. (/) A )
5	4	mpteq2dv 4544	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) )
6	5	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) )
7		sumeq1 13523	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. (/) B )
8	7	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
9	6, 8	eqeq12d 2479	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
10	3, 9	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) )
11	10	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) ) )
12		sseq1 3520	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
13		sumeq1 13523	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> sum_ i e. a A = sum_ i e. b A )
14	13	mpteq2dv 4544	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) )
15	14	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) )
16		sumeq1 13523	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> sum_ i e. a B = sum_ i e. b B )
17	16	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) )
18	15, 17	eqeq12d 2479	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
19	12, 18	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) )
20	19	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) ) )
21		sseq1 3520	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
22		sumeq1 13523	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. ( b u. { c } ) A )
23	22	mpteq2dv 4544	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
24	23	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
25		sumeq1 13523	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. ( b u. { c } ) B )
26	25	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
27	24, 26	eqeq12d 2479	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) )
28	21, 27	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
29	28	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
30		sseq1 3520	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
31		sumeq1 13523	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> sum_ i e. a A = sum_ i e. I A )
32	31	mpteq2dv 4544	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) )
33	32	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) )
34		sumeq1 13523	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> sum_ i e. a B = sum_ i e. I B )
35	34	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )
36	33, 35	eqeq12d 2479	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
37	30, 36	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = I -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
38	37	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) ) )
39		dvmptfsum.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
40		0cnd 9606	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> 0 e. CC )
41		0cnd 9606	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. CC )
42	39, 41	dvmptc 22487	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. S |-> 0 ) ) = ( x e. S |-> 0 ) )
43		dvmptfsum.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( K ↾t S )
44		dvmptfsum.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
45	44	cnfldtopon 21416	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
46		recnprss 22434	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
47	39, 46	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ CC )
48		resttopon 19789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
49	45, 47, 48	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
50	43, 49	syl5eqel 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` S ) )
51		dvmptfsum.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. J )
52		toponss 19557	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` S ) /\ X e. J ) -> X C_ S )
53	50, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
54	39, 40, 40, 42, 53, 43, 44, 51	dvmptres 22492	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 0 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
55		sum0 13555	. . . . . . . 8 |- sum_ i e. (/) A = 0
56	55	mpteq2i 4540	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 0 )
57	56	oveq2i 6307	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
58		sum0 13555	. . . . . . 7 |- sum_ i e. (/) B = 0
59	58	mpteq2i 4540	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
60	54, 57, 59	3eqtr4g 2523	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
61	60	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
62		ssun1 3663	. . . . . . . . . 10 |- b C_ ( b u. { c } )
63		sstr 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
64	62, 63	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
65	64	imim1i 58	. . . . . . . 8 |- ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
66		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ph )
67	66, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
68	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> I e. Fin )
69	64	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b C_ I )
70		ssfi 7759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. Fin /\ b C_ I ) -> b e. Fin )
71	68, 69, 70	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b e. Fin )
72		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> ph )
73	69	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> i e. I )
74		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> a e. X )
75		nfv 1708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ph /\ i e. I /\ a e. X )
76		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x [_ a / x ]_ A
77	76	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [_ a / x ]_ A e. CC
78	75, 77	nfim 1921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
79		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( x e. X <-> a e. X ) )
80	79	3anbi3d 1305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) ) )
81		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> A = [_ a / x ]_ A )
82	81	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( A e. CC <-> [_ a / x ]_ A e. CC ) )
83	80, 82	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC ) ) )
84		dvmptfsum.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
85	78, 83, 84	chvar 2014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
86	72, 73, 74, 85	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
87	71, 86	fsumcl 13567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
88	87	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
89		sumex 13522	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. _V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. _V )
91		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a sum_ i e. b A
92		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x b
93	92, 76	nfsum 13525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ A
94	81	sumeq2sdv 13538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> sum_ i e. b A = sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
95	91, 93, 94	cbvmpt 4547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
96	95	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) )
97		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a sum_ i e. b B
98		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ B
99	92, 98	nfsum 13525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ B
100		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> B = [_ a / x ]_ B )
101	100	sumeq2sdv 13538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> sum_ i e. b B = sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
102	97, 99, 101	cbvmpt 4547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
103	96, 102	eqeq12i 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) <-> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
104	103	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
105	104	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
106		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ph )
107		ssun2 3664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { c } C_ ( b u. { c } )
108		sstr 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> { c } C_ I )
109	107, 108	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> { c } C_ I )
110		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- c e. _V
111	110	snss 4156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. I <-> { c } C_ I )
112	109, 111	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
113	112	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. I )
114		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> a e. X )
115	84	3expb 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
116	115	ancom2s 802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> A e. CC )
117	116	ralrimivva 2878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I A e. CC )
118		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
119	118	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC
120		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
121	120	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ A e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
122	77, 119, 82, 121	rspc2 3218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
123	122	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
124	117, 123	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
125	106, 113, 114, 124	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
126	125	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
127		dvmptfsum.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
128	127	3expb 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> B e. CC )
129	128	ancom2s 802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> B e. CC )
130	129	ralrimivva 2878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I B e. CC )
131	98	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [_ a / x ]_ B e. CC
132		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
133	132	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC
134	100	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( B e. CC <-> [_ a / x ]_ B e. CC ) )
135		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
136	135	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ B e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
137	131, 133, 134, 136	rspc2 3218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
138	137	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
139	130, 138	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
140	106, 113, 114, 139	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
141	140	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
142	112	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> c e. I )
143		nfv 1708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ph /\ c e. I )
144		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i S
145		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i _D
146		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i X
147		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
148	146, 147	nfmpt 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A )
149	144, 145, 148	nfov 6322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
150		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ B
151	146, 150	nfmpt 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
152	149, 151	nfeq 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
153	143, 152	nfim 1921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
154		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( i e. I <-> c e. I ) )
155	154	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
156		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
157	156	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
158	157	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
159		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> B = [_ c / i ]_ B )
160	159	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
161	158, 160	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) )
162	155, 161	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = c -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) ) )
163		dvmptfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
164	153, 162, 163	chvar 2014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
165		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a [_ c / i ]_ A
166		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x c
167	166, 76	nfcsb 3448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
168	81	csbeq2dv 3843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
169	165, 167, 168	cbvmpt 4547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
170	169	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
171		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a [_ c / i ]_ B
172	166, 98	nfcsb 3448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
173	100	csbeq2dv 3843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
174	171, 172, 173	cbvmpt 4547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
175	164, 170, 174	3eqtr3g 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
176	66, 142, 175	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
177	67, 88, 90, 105, 126, 141, 176	dvmptadd 22489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
178		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) A
179		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( b u. { c } )
180	179, 76	nfsum 13525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A
181	81	sumeq2sdv 13538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) A = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
182	178, 180, 181	cbvmpt 4547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
183		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
184		disjsn 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b i^i { c } ) = (/) <-> -. c e. b )
185	183, 184	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
186		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) = ( b u. { c } ) )
187		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
188		ssfi 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. Fin /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
189	68, 187, 188	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
190		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> ph )
191	187	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> i e. I )
192		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> a e. X )
193	190, 191, 192, 85	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
194	185, 186, 189, 193	fsumsplit 13574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) )
195		sumsns 13577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
196	110, 125, 195	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
197	196	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
198	194, 197	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
199	198	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
200	182, 199	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
201	200	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
202	201	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) )
203		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) B
204	179, 98	nfsum 13525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B
205	100	sumeq2sdv 13538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) B = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
206	203, 204, 205	cbvmpt 4547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
207	75, 131	nfim 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
208	80, 134	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC ) ) )
209	207, 208, 127	chvar 2014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
210	190, 191, 192, 209	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
211	185, 186, 189, 210	fsumsplit 13574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) )
212		sumsns 13577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
213	110, 140, 212	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
214	213	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
215	211, 214	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
216	215	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
217	206, 216	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
218	217	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
219	177, 202, 218	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
220	219	exp32 605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
221	220	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
222	65, 221	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
223	222	expcom 435	. . . . . 6 |- ( -. c e. b -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
224	223	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
225	224	a2d 26	. . . 4 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
226	11, 20, 29, 38, 61, 225	findcard2s 7779	. . 3 |- ( I e. Fin -> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
227	2, 226	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
228	1, 227	mpi 17	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   [_csb 3430   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   + caddc 9512   sum_csu 13520   ↾_t crest 14838   TopOpenctopn 14839  ℂ_fldccnfld 18547  TopOnctopon 19522   _D cdv 22393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397

This theorem is referenced by:  dvply1  22806  dvtaylp  22891  pserdvlem2  22949  advlogexp  23162  dvnmul  31922  dirkeritg  32066  etransclem2  32201