Theorem dvmptfsum 22913

Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfsum.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfsum.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfsum.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfsum.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfsum.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfsum.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfsum.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfsum.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfsum	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Distinct variable groups:   x, i, I   ph, i, x   S, i, x   i, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   B( x, i)   J( x, i)   K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3483	. 2 |- I C_ I
2		dvmptfsum.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
3		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
4		sumeq1 13742	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. (/) A )
5	4	mpteq2dv 4508	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) )
6	5	oveq2d 6317	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) )
7		sumeq1 13742	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. (/) B )
8	7	mpteq2dv 4508	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
9	6, 8	eqeq12d 2444	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
10	3, 9	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) )
11	10	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) ) )
12		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
13		sumeq1 13742	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> sum_ i e. a A = sum_ i e. b A )
14	13	mpteq2dv 4508	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) )
15	14	oveq2d 6317	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) )
16		sumeq1 13742	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> sum_ i e. a B = sum_ i e. b B )
17	16	mpteq2dv 4508	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) )
18	15, 17	eqeq12d 2444	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
19	12, 18	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) )
20	19	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) ) )
21		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
22		sumeq1 13742	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. ( b u. { c } ) A )
23	22	mpteq2dv 4508	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
24	23	oveq2d 6317	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
25		sumeq1 13742	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. ( b u. { c } ) B )
26	25	mpteq2dv 4508	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
27	24, 26	eqeq12d 2444	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) )
28	21, 27	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
29	28	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
30		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
31		sumeq1 13742	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> sum_ i e. a A = sum_ i e. I A )
32	31	mpteq2dv 4508	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) )
33	32	oveq2d 6317	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) )
34		sumeq1 13742	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> sum_ i e. a B = sum_ i e. I B )
35	34	mpteq2dv 4508	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )
36	33, 35	eqeq12d 2444	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
37	30, 36	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = I -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
38	37	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) ) )
39		dvmptfsum.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
40		0cnd 9636	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> 0 e. CC )
41		0cnd 9636	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. CC )
42	39, 41	dvmptc 22898	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. S |-> 0 ) ) = ( x e. S |-> 0 ) )
43		dvmptfsum.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( K ↾t S )
44		dvmptfsum.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
45	44	cnfldtopon 21789	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
46		recnprss 22845	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
47	39, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ CC )
48		resttopon 20163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
49	45, 47, 48	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
50	43, 49	syl5eqel 2514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` S ) )
51		dvmptfsum.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. J )
52		toponss 19930	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` S ) /\ X e. J ) -> X C_ S )
53	50, 51, 52	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
54	39, 40, 40, 42, 53, 43, 44, 51	dvmptres 22903	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 0 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
55		sum0 13774	. . . . . . . 8 |- sum_ i e. (/) A = 0
56	55	mpteq2i 4504	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 0 )
57	56	oveq2i 6312	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
58		sum0 13774	. . . . . . 7 |- sum_ i e. (/) B = 0
59	58	mpteq2i 4504	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
60	54, 57, 59	3eqtr4g 2488	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
61	60	a1d 26	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
62		ssun1 3629	. . . . . . . . . 10 |- b C_ ( b u. { c } )
63		sstr 3472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
64	62, 63	mpan 674	. . . . . . . . 9 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
65	64	imim1i 60	. . . . . . . 8 |- ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
66		simpll 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ph )
67	66, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
68	2	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> I e. Fin )
69	64	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b C_ I )
70		ssfi 7794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. Fin /\ b C_ I ) -> b e. Fin )
71	68, 69, 70	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b e. Fin )
72		simp-4l 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> ph )
73	69	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> i e. I )
74		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> a e. X )
75		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ph /\ i e. I /\ a e. X )
76		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x [_ a / x ]_ A
77	76	nfel1 2600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [_ a / x ]_ A e. CC
78	75, 77	nfim 1976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
79		eleq1 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( x e. X <-> a e. X ) )
80	79	3anbi3d 1341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) ) )
81		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> A = [_ a / x ]_ A )
82	81	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( A e. CC <-> [_ a / x ]_ A e. CC ) )
83	80, 82	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC ) ) )
84		dvmptfsum.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
85	78, 83, 84	chvar 2067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
86	72, 73, 74, 85	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
87	71, 86	fsumcl 13786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
88	87	adantlrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
89		sumex 13741	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. _V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. _V )
91		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a sum_ i e. b A
92		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x b
93	92, 76	nfsum 13744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ A
94	81	sumeq2sdv 13757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> sum_ i e. b A = sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
95	91, 93, 94	cbvmpt 4512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
96	95	oveq2i 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) )
97		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a sum_ i e. b B
98		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ B
99	92, 98	nfsum 13744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ B
100		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> B = [_ a / x ]_ B )
101	100	sumeq2sdv 13757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> sum_ i e. b B = sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
102	97, 99, 101	cbvmpt 4512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
103	96, 102	eqeq12i 2442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) <-> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
104	103	biimpi 197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
105	104	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
106		simplll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ph )
107		ssun2 3630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { c } C_ ( b u. { c } )
108		sstr 3472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> { c } C_ I )
109	107, 108	mpan 674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> { c } C_ I )
110		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- c e. _V
111	110	snss 4121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. I <-> { c } C_ I )
112	109, 111	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
113	112	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. I )
114		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> a e. X )
115	84	3expb 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
116	115	ancom2s 809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> A e. CC )
117	116	ralrimivva 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I A e. CC )
118		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
119	118	nfel1 2600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC
120		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
121	120	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ A e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
122	77, 119, 82, 121	rspc2 3190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
123	122	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
124	117, 123	mpan9 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
125	106, 113, 114, 124	syl12anc 1262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
126	125	adantlrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
127		dvmptfsum.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
128	127	3expb 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> B e. CC )
129	128	ancom2s 809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> B e. CC )
130	129	ralrimivva 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I B e. CC )
131	98	nfel1 2600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [_ a / x ]_ B e. CC
132		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
133	132	nfel1 2600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC
134	100	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( B e. CC <-> [_ a / x ]_ B e. CC ) )
135		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
136	135	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ B e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
137	131, 133, 134, 136	rspc2 3190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
138	137	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
139	130, 138	mpan9 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
140	106, 113, 114, 139	syl12anc 1262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
141	140	adantlrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
142	112	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> c e. I )
143		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ph /\ c e. I )
144		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i S
145		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i _D
146		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i X
147		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
148	146, 147	nfmpt 4509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A )
149	144, 145, 148	nfov 6327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
150		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ B
151	146, 150	nfmpt 4509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
152	149, 151	nfeq 2595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
153	143, 152	nfim 1976	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
154		eleq1 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( i e. I <-> c e. I ) )
155	154	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
156		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
157	156	mpteq2dv 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
158	157	oveq2d 6317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
159		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> B = [_ c / i ]_ B )
160	159	mpteq2dv 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
161	158, 160	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) )
162	155, 161	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = c -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) ) )
163		dvmptfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
164	153, 162, 163	chvar 2067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
165		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a [_ c / i ]_ A
166		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x c
167	166, 76	nfcsb 3413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
168	81	csbeq2dv 3809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
169	165, 167, 168	cbvmpt 4512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
170	169	oveq2i 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
171		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a [_ c / i ]_ B
172	166, 98	nfcsb 3413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
173	100	csbeq2dv 3809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
174	171, 172, 173	cbvmpt 4512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
175	164, 170, 174	3eqtr3g 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
176	66, 142, 175	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
177	67, 88, 90, 105, 126, 141, 176	dvmptadd 22900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
178		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) A
179		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( b u. { c } )
180	179, 76	nfsum 13744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A
181	81	sumeq2sdv 13757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) A = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
182	178, 180, 181	cbvmpt 4512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
183		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
184		disjsn 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b i^i { c } ) = (/) <-> -. c e. b )
185	183, 184	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
186		eqidd 2423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) = ( b u. { c } ) )
187		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
188		ssfi 7794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. Fin /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
189	68, 187, 188	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
190		simp-4l 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> ph )
191	187	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> i e. I )
192		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> a e. X )
193	190, 191, 192, 85	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
194	185, 186, 189, 193	fsumsplit 13793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) )
195		sumsns 13798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
196	110, 125, 195	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
197	196	oveq2d 6317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
198	194, 197	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
199	198	mpteq2dva 4507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
200	182, 199	syl5eq 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
201	200	adantrr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
202	201	oveq2d 6317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) )
203		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) B
204	179, 98	nfsum 13744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B
205	100	sumeq2sdv 13757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) B = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
206	203, 204, 205	cbvmpt 4512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
207	75, 131	nfim 1976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
208	80, 134	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC ) ) )
209	207, 208, 127	chvar 2067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
210	190, 191, 192, 209	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
211	185, 186, 189, 210	fsumsplit 13793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) )
212		sumsns 13798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
213	110, 140, 212	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
214	213	oveq2d 6317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
215	211, 214	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
216	215	mpteq2dva 4507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
217	206, 216	syl5eq 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
218	217	adantrr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
219	177, 202, 218	3eqtr4d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
220	219	exp32 608	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
221	220	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
222	65, 221	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. c e. b ) -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
223	222	expcom 436	. . . . . 6 |- ( -. c e. b -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
224	223	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
225	224	a2d 29	. . . 4 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
226	11, 20, 29, 38, 61, 225	findcard2s 7814	. . 3 |- ( I e. Fin -> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
227	2, 226	mpcom 37	. 2 |- ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
228	1, 227	mpi 21	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081   [_csb 3395   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   {cpr 3998   |-> cmpt 4479   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   sum_csu 13739   ↾_t crest 15306   TopOpenctopn 15307  ℂ_fldccnfld 18957  TopOnctopon 19904   _D cdv 22804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-clim 13539  df-sum 13740  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808

This theorem is referenced by:  dvply1  23223  dvtaylp  23311  pserdvlem2  23369  advlogexp  23586  dvnmul  37637  dirkeritg  37783  etransclem2  37920