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Theorem dvmptfsum 21445
Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfsum.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptfsum.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptfsum.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfsum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptfsum.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
dvmptfsum.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfsum.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
dvmptfsum.d  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptfsum  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) )
Distinct variable groups:    x, i, I    ph, i, x    S, i, x    i, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, i)    B( x, i)    J( x, i)    K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3373 . 2  |-  I  C_  I
2 dvmptfsum.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
3 sseq1 3375 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
4 sumeq1 13164 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  (/)  A )
54mpteq2dv 4377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )
65oveq2d 6105 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) ) )
7 sumeq1 13164 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  (/)  B )
87mpteq2dv 4377 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) )
96, 8eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) )
103, 9imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )
)  <->  ( (/)  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) ) )
1110imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( a  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) ) ) )
12 sseq1 3375 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  I  <->  b  C_  I ) )
13 sumeq1 13164 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  b  A )
1413mpteq2dv 4377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)
1514oveq2d 6105 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) ) )
16 sumeq1 13164 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  b  B )
1716mpteq2dv 4377 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)
1815, 17eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )
1912, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( b 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) ) ) )
21 sseq1 3375 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  I 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )
22 sumeq1 13164 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )
2322mpteq2dv 4377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )
2423oveq2d 6105 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) ) )
25 sumeq1 13164 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B )
2625mpteq2dv 4377 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) )
2724, 26eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) )
2821, 27imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) ) ) )
2928imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ph  ->  ( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
30 sseq1 3375 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
a  C_  I  <->  I  C_  I
) )
31 sumeq1 13164 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  I  A )
3231mpteq2dv 4377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A )
)
3332oveq2d 6105 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) ) )
34 sumeq1 13164 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  I  B )
3534mpteq2dv 4377 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B )
)
3633, 35eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) )
3730, 36imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) )
3837imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( ph  ->  ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( I 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) ) )
39 dvmptfsum.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
40 0cnd 9377 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  CC )
41 0cnd 9377 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
4239, 41dvmptc 21430 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  S  |->  0 ) )  =  ( x  e.  S  |->  0 ) )
43 dvmptfsum.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Kt  S )
44 dvmptfsum.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
4544cnfldtopon 20360 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
46 recnprss 21377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4739, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
48 resttopon 18763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
4945, 47, 48sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
5043, 49syl5eqel 2525 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
51 dvmptfsum.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
52 toponss 18532 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  S )  /\  X  e.  J )  ->  X  C_  S )
5350, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
5439, 40, 40, 42, 53, 43, 44, 51dvmptres 21435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
55 sum0 13196 . . . . . . . 8  |-  sum_ i  e.  (/)  A  =  0
5655mpteq2i 4373 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
5756oveq2i 6100 . . . . . 6  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) )
58 sum0 13196 . . . . . . 7  |-  sum_ i  e.  (/)  B  =  0
5958mpteq2i 4373 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
6054, 57, 593eqtr4g 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) )
6160a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  I  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) )
62 ssun1 3517 . . . . . . . . . 10  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
63 sstr 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I )  -> 
b  C_  I )
6462, 63mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b  C_  I )
6564imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )
66 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ph )
6766, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
682ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  I  e.  Fin )
6964ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  b  C_  I )
70 ssfi 7531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  b  C_  I )  -> 
b  e.  Fin )
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  b  e.  Fin )
72 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  ph )
7369sselda 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  i  e.  I )
74 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  a  e.  X )
75 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )
76 nfcsb1v 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ A
7776nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ A  e.  CC
7875, 77nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
79 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  X  <->  a  e.  X ) )
80793anbi3d 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )
) )
81 csbeq1a 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  A  =  [_ a  /  x ]_ A )
8281eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
8380, 82imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) ) )
84 dvmptfsum.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
8578, 83, 84chvar 1957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X
)  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8672, 73, 74, 85syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8771, 86fsumcl 13208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8887adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
89 sumex 13163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  e.  _V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  e.  _V )
91 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a sum_ i  e.  b  A
92 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
b
9392, 76nfsum 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
9481sumeq2sdv 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  b  A  =  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
)
9591, 93, 94cbvmpt 4380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A )
9695oveq2i 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
) )
97 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ a sum_ i  e.  b  B
98 nfcsb1v 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ B
9992, 98nfsum 13166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
100 csbeq1a 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  B  =  [_ a  /  x ]_ B )
101100sumeq2sdv 13179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  b  B  =  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
)
10297, 99, 101cbvmpt 4380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B )
10396, 102eqeq12i 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  <->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B ) )
104103biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  ->  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
) )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
) )
105104ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B ) )
106 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ph )
107 ssun2 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
108 sstr 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { c }  C_  ( b  u.  {
c } )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  { c }  C_  I )
109107, 108mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  { c }  C_  I )
110 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  c  e. 
_V
111110snss 3997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  I  <->  { c }  C_  I )
112109, 111sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  I )
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  c  e.  I )
114 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  X )
115843expb 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  A  e.  CC )
116115ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  i  e.  I ) )  ->  A  e.  CC )
117116ralrimivva 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC )
118 nfcsb1v 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A
119118nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC
120 csbeq1a 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
121120eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( [_ a  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
)
12277, 119, 82, 121rspc2 3076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  X  /\  c  e.  I )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
123122ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
124117, 123mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  I  /\  a  e.  X ) )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
125106, 113, 114, 124syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
126125adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
127 dvmptfsum.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
1281273expb 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  B  e.  CC )
129128ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  i  e.  I ) )  ->  B  e.  CC )
130129ralrimivva 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC )
13198nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ B  e.  CC
132 nfcsb1v 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B
133132nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC
134100eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
135 csbeq1a 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
136135eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( [_ a  /  x ]_ B  e.  CC  <->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
)
137131, 133, 134, 136rspc2 3076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  X  /\  c  e.  I )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
138137ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
139130, 138mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  I  /\  a  e.  X ) )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
140106, 113, 114, 139syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
141140adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
142112ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  c  e.  I
)
143 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( ph  /\  c  e.  I )
144 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i S
145 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i  _D
146 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ i X
147 nfcsb1v 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ A
148146, 147nfmpt 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A )
149144, 145, 148nfov 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
150 nfcsb1v 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ B
151146, 150nfmpt 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B )
152149, 151nfeq 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
)
153143, 152nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( ( ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
) )
154 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  (
i  e.  I  <->  c  e.  I ) )
155154anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  c  ->  (
( ph  /\  i  e.  I )  <->  ( ph  /\  c  e.  I ) ) )
156 csbeq1a 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  c  ->  A  =  [_ c  /  i ]_ A )
157156mpteq2dv 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
158157oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) ) )
159 csbeq1a 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  B  =  [_ c  /  i ]_ B )
160159mpteq2dv 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
) )
161158, 160eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  c  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) ) )
162155, 161imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  c  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <->  ( ( ph  /\  c  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) ) ) )
163 dvmptfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
164153, 162, 163chvar 1957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) )
165 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ a [_ c  /  i ]_ A
166 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
c
167166, 76nfcsb 3304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A
16881csbeq2dv 3685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  [_ c  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
169165, 167, 168cbvmpt 4380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
)  =  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
170169oveq2i 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
171 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a [_ c  /  i ]_ B
172166, 98nfcsb 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B
173100csbeq2dv 3685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  [_ c  /  i ]_ B  =  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
174171, 172, 173cbvmpt 4380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
)  =  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
175164, 170, 1743eqtr3g 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
17666, 142, 175syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
17767, 88, 90, 105, 126, 141, 176dvmptadd 21432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )  =  ( a  e.  X  |->  (
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
178 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A
179 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( b  u.  {
c } )
180179, 76nfsum 13166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A
18181sumeq2sdv 13179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A  =  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A )
182178, 180, 181cbvmpt 4380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) [_ a  /  x ]_ A
)
183 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  -.  c  e.  b )
184 disjsn 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  i^i  { c } )  =  (/)  <->  -.  c  e.  b )
185183, 184sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  i^i  {
c } )  =  (/) )
186 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  =  ( b  u.  {
c } ) )
187 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  I )
188 ssfi 7531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
b  u.  { c } )  e.  Fin )
18968, 187, 188syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  e. 
Fin )
190 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  ph )
191187sselda 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  i  e.  I
)
192 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  a  e.  X
)
193190, 191, 192, 85syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
194185, 186, 189, 193fsumsplit 13214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ A
) )
195 sumsns 13217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  _V  /\  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
196110, 125, 195sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
197196oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ A
)  =  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
198194, 197eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
199198mpteq2dva 4376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
200182, 199syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
201200adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
202201oveq2d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) ) )
203 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B
204179, 98nfsum 13166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B
205100sumeq2sdv 13179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B  =  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B )
206203, 204, 205cbvmpt 4380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) [_ a  /  x ]_ B
)
20775, 131nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
20880, 134imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) ) )
209207, 208, 127chvar 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X
)  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
210190, 191, 192, 209syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
211185, 186, 189, 210fsumsplit 13214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ B
) )
212 sumsns 13217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  _V  /\  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
213110, 140, 212sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
214213oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ B
)  =  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
215211, 214eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
216215mpteq2dva 4376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
217206, 216syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
218217adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
219177, 202, 2183eqtr4d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) )
220219exp32 605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
221220a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
22265, 221syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( b  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
223222expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  c  e.  b  -> 
( ph  ->  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) ) ) ) )
224223adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( ph  ->  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
225224a2d 26 . . . 4  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( ( ph  ->  ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
22611, 20, 29, 38, 61, 225findcard2s 7551 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) )
2272, 226mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) ) )
2281, 227mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   _Vcvv 2970   [_csb 3286    u. cun 3324    i^i cin 3325    C_ wss 3326   (/)c0 3635   {csn 3875   {cpr 3877    e. cmpt 4348   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Fincfn 7308   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280    + caddc 9283   sum_csu 13161   ↾t crest 14357   TopOpenctopn 14358  ℂfldccnfld 17816  TopOnctopon 18497    _D cdv 21336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-rest 14359  df-topn 14360  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-topgen 14380  df-pt 14381  df-prds 14384  df-xrs 14438  df-qtop 14443  df-imas 14444  df-xps 14446  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-mulg 15546  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-cnfld 17817  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-nei 18700  df-lp 18738  df-perf 18739  df-cn 18829  df-cnp 18830  df-haus 18917  df-tx 19133  df-hmeo 19326  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-xms 19893  df-ms 19894  df-tms 19895  df-cncf 20452  df-limc 21339  df-dv 21340
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