Theorem dvmptfprodlem 37819

Description: Induction step for dvmptfprod 37820. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprodlem.xph	|- F/ x ph
dvmptfprodlem.iph	|- F/ i ph
dvmptfprodlem.jph	|- F/ j ph
dvmptfprodlem.if	|- F/_ i F
dvmptfprodlem.jg	|- F/_ j G
dvmptfprodlem.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfprodlem.d	|- ( ph -> D e. Fin )
dvmptfprodlem.e	|- ( ph -> E e. _V )
dvmptfprodlem.db	|- ( ph -> -. E e. D )
dvmptfprodlem.ss	|- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
dvmptfprodlem.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfprodlem.c	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
dvmptfprodlem.dvp	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
dvmptfprodlem.14	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
dvmptfprodlem.dvf	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
dvmptfprodlem.f	|- ( i = E -> A = F )
dvmptfprodlem.cg	|- ( j = E -> C = G )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprodlem	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   D, i, j, x   i, E, j, x   j, F   i, I   i, X, j, x

Allowed substitution hints:   ph( x, i, j)   A( x, i)   C( x, i, j)   S( x, i, j)   F( x, i)   G( x, i, j)   I( x, j)

Proof of Theorem dvmptfprodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprodlem.xph	. . . 4 |- F/ x ph
2		dvmptfprodlem.iph	. . . . . . 7 |- F/ i ph
3		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ i x
4		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ i X
5	3, 4	nfel 2604	. . . . . . 7 |- F/ i x e. X
6	2, 5	nfan 2011	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ x e. X )
7		dvmptfprodlem.if	. . . . . . 7 |- F/_ i F
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F/_ i F )
9		dvmptfprodlem.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. Fin )
10		snfi 7650	. . . . . . . . 9 |- { E } e. Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { E } e. Fin )
12		unfi 7838	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. Fin /\ { E } e. Fin ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
13	9, 11, 12	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D u. { E } ) e. Fin )
14	13	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
15		simpll 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> ph )
16		dvmptfprodlem.ss	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
17	16	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
18	17	adantlr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
19		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> x e. X )
20		dvmptfprodlem.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> A e. CC )
22		dvmptfprodlem.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. _V )
23		snidg 3994	. . . . . . . . 9 |- ( E e. _V -> E e. { E } )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. { E } )
25		elun2 3602	. . . . . . . 8 |- ( E e. { E } -> E e. ( D u. { E } ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. ( D u. { E } ) )
27	26	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. ( D u. { E } ) )
28		dvmptfprodlem.f	. . . . . . 7 |- ( i = E -> A = F )
29	28	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F )
30	6, 8, 14, 21, 27, 29	fprodsplit1f 14044	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
31		difundir 3696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) )
33		dvmptfprodlem.db	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. E e. D )
34		difsn 4106	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E e. D -> ( D \ { E } ) = D )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D \ { E } ) = D )
36		difid 3835	. . . . . . . . . . 11 |- ( { E } \ { E } ) = (/)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { E } \ { E } ) = (/) )
38	35, 37	uneq12d 3589	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) = ( D u. (/) ) )
39		un0 3759	. . . . . . . . . 10 |- ( D u. (/) ) = D
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. (/) ) = D )
41	32, 38, 40	3eqtrd 2489	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = D )
42	41	prodeq1d 13975	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A = prod_ i e. D A )
43	42	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
44	43	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
45	30, 44	eqtrd 2485	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. D A ) )
46	1, 45	mpteq2da 4488	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) = ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) )
47	46	oveq2d 6306	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) )
48		dvmptfprodlem.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
49	16, 26	sseldd 3433	. . . . 5 |- ( ph -> E e. I )
50	49	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. I )
51		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
52		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
53	51, 50, 52	3jca 1188	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
54		nfcv 2592	. . . . 5 |- F/_ i E
55		nfv 1761	. . . . . . 7 |- F/ i E e. I
56	2, 55, 5	nf3an 2013	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ E e. I /\ x e. X )
57		nfcv 2592	. . . . . . 7 |- F/_ i CC
58	7, 57	nfel 2604	. . . . . 6 |- F/ i F e. CC
59	56, 58	nfim 2003	. . . . 5 |- F/ i ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC )
60		ancom 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) <-> ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) )
61	60	imbi1i 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) )
62		eqcom 2458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = F <-> F = A )
63	62	imbi2i 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
64	61, 63	bitri 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
65	29, 64	mpbi 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A )
66	65	3adantr2 1168	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
67	66	3adant2 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
68		simp3 1010	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
69		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = E -> ( i e. I <-> E e. I ) )
70	69	3anbi2d 1344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = E -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) )
71	70	imbi1d 319	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
72	71	biimpa 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
73	72	3adant3 1028	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
74	68, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
75	67, 74	eqeltrd 2529	. . . . . . 7 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F e. CC )
76	75	3exp 1207	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
77	20	2a1i 12	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
78	76, 77	impbid 194	. . . . 5 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
79	54, 59, 78, 20	vtoclgf 3105	. . . 4 |- ( E e. I -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) )
80	50, 53, 79	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F e. CC )
81		dvmptfprodlem.14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
82		dvmptfprodlem.dvf	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
83	51, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. Fin )
84	51	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> ph )
85	16	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
86		elun1 3601	. . . . . . . 8 |- ( i e. D -> i e. ( D u. { E } ) )
87	86	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. ( D u. { E } ) )
88	85, 87	sseldd 3433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. I )
89	88	adantlr 721	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> i e. I )
90	52	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> x e. X )
91	84, 89, 90, 20	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> A e. CC )
92	6, 83, 91	fprodclf 14046	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. D A e. CC )
93		dvmptfprodlem.jph	. . . . 5 |- F/ j ph
94		nfv 1761	. . . . 5 |- F/ j x e. X
95	93, 94	nfan 2011	. . . 4 |- F/ j ( ph /\ x e. X )
96		dvmptfprodlem.c	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
97		diffi 7803	. . . . . . . . 9 |- ( D e. Fin -> ( D \ { j } ) e. Fin )
98	9, 97	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D \ { j } ) e. Fin )
99	98	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
100		eldifi 3555	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( D \ { j } ) -> i e. D )
101	100	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> i e. D )
102	101, 91	syldan 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
103	6, 99, 102	fprodclf 14046	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
104	103	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
105	96, 104	mulcld 9663	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
106	95, 83, 105	fsumclf 37645	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
107		dvmptfprodlem.dvp	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
108	1, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107	dvmptmulf 37812	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) )
109		dvmptfprodlem.jg	. . . . . 6 |- F/_ j G
110		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ j x.
111		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ j prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A
112	109, 110, 111	nfov 6316	. . . . 5 |- F/_ j ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
113	51, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. _V )
114	51, 33	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. E e. D )
115		diffi 7803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) e. Fin -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
116	13, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
117	116	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
118		eldifi 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
119	118	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
120	119, 21	syldan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> A e. CC )
121	6, 117, 120	fprodclf 14046	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
122	121	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
123	96, 122	mulcld 9663	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
124		dvmptfprodlem.cg	. . . . . 6 |- ( j = E -> C = G )
125		sneq 3978	. . . . . . . 8 |- ( j = E -> { j } = { E } )
126	125	difeq2d 3551	. . . . . . 7 |- ( j = E -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D u. { E } ) \ { E } ) )
127	126	prodeq1d 13975	. . . . . 6 |- ( j = E -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
128	124, 127	oveq12d 6308	. . . . 5 |- ( j = E -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
129	41, 9	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
130	129	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
131	51	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ph )
132	16	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
133		eldifi 3555	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
134	133	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
135	132, 134	sseldd 3433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
136	135	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
137	52	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> x e. X )
138	131, 136, 137, 20	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> A e. CC )
139	6, 130, 138	fprodclf 14046	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A e. CC )
140	81, 139	mulcld 9663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) e. CC )
141	95, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140	fsumsplitsn 37649	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) )
142		difundir 3696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) )
144		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x j e. D
145	1, 144	nfan 2011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( ph /\ j e. D )
146		elsni 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x e. { E } -> x = E )
147	146	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. { E } -> E = x )
148	147	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = x )
149		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> x = j )
150		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> j = j )
151	148, 149, 150	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = j )
152	151	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E = j )
153		simpllr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> j e. D )
154	152, 153	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E e. D )
155	33	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> -. E e. D )
156	154, 155	pm2.65da 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x = j )
157		elsn 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. { j } <-> x = j )
158	156, 157	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x e. { j } )
159	158	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( x e. { E } -> -. x e. { j } ) )
160	145, 159	ralrimi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> A. x e. { E } -. x e. { j } )
161		disj 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) <-> A. x e. { E } -. x e. { j } )
162	160, 161	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } i^i { j } ) = (/) )
163		disjdif2 3846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
165	164	uneq2d 3588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
166	143, 165	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
167	166	prodeq1d 13975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
168	167	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
169		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i j e. D
170	6, 169	nfan 2011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D )
171	99	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
172	51	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ph )
173	172, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> E e. _V )
174		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. E e. D )
175	174	intnanrd 928	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
177		eldif 3414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E e. ( D \ { j } ) <-> ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
178	176, 177	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E e. D -> -. E e. ( D \ { j } ) )
179	33, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. E e. ( D \ { j } ) )
180	172, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> -. E e. ( D \ { j } ) )
181	102	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
182	80	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> F e. CC )
183	170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182	fprodsplitsn 14043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
184		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
185	168, 183, 184	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
186	185	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
187	96, 104, 182	mulassd 9666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
188	187	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
189	186, 188	eqtrd 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
190	189	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( j e. D -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
191	95, 190	ralrimi 2788	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
192	191	sumeq2d 13768	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
193	95, 83, 80, 105	fsummulc1f 37647	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
194	193	eqcomd 2457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
195		eqidd 2452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
196	192, 194, 195	3eqtrd 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
197	106, 80	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) e. CC )
198	196, 197	eqeltrd 2529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
199	198, 140	addcomd 9835	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
200	42	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
201	200	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
202	201, 196	oveq12d 6308	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
203	141, 199, 202	3eqtrrd 2490	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) = sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) )
204	1, 203	mpteq2da 4488	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
205	47, 108, 204	3eqtrd 2489	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   F/wnf 1667   e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   A.wral 2737   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970   |-> cmpt 4461  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   + caddc 9542   x. cmul 9544   sum_csu 13752   prod_cprod 13959   _D cdv 22818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-prod 13960  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  dvmptfprod  37820