Theorem dvmptfprodlem 37645

Description: Induction step for dvmptfprod 37646. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprodlem.xph	|- F/ x ph
dvmptfprodlem.iph	|- F/ i ph
dvmptfprodlem.jph	|- F/ j ph
dvmptfprodlem.if	|- F/_ i F
dvmptfprodlem.jg	|- F/_ j G
dvmptfprodlem.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfprodlem.d	|- ( ph -> D e. Fin )
dvmptfprodlem.e	|- ( ph -> E e. _V )
dvmptfprodlem.db	|- ( ph -> -. E e. D )
dvmptfprodlem.ss	|- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
dvmptfprodlem.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfprodlem.c	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
dvmptfprodlem.dvp	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
dvmptfprodlem.14	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
dvmptfprodlem.dvf	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
dvmptfprodlem.f	|- ( i = E -> A = F )
dvmptfprodlem.cg	|- ( j = E -> C = G )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprodlem	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   D, i, j, x   i, E, j, x   j, F   i, I   i, X, j, x

Allowed substitution hints:   ph( x, i, j)   A( x, i)   C( x, i, j)   S( x, i, j)   F( x, i)   G( x, i, j)   I( x, j)

Proof of Theorem dvmptfprodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprodlem.xph	. . . 4 |- F/ x ph
2		dvmptfprodlem.iph	. . . . . . 7 |- F/ i ph
3		nfcv 2585	. . . . . . . 8 |- F/_ i x
4		nfcv 2585	. . . . . . . 8 |- F/_ i X
5	3, 4	nfel 2598	. . . . . . 7 |- F/ i x e. X
6	2, 5	nfan 1985	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ x e. X )
7		dvmptfprodlem.if	. . . . . . 7 |- F/_ i F
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F/_ i F )
9		dvmptfprodlem.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. Fin )
10		snfi 7655	. . . . . . . . 9 |- { E } e. Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { E } e. Fin )
12		unfi 7842	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. Fin /\ { E } e. Fin ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
13	9, 11, 12	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D u. { E } ) e. Fin )
14	13	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
15		simpll 759	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> ph )
16		dvmptfprodlem.ss	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
17	16	sselda 3465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
18	17	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
19		simplr 761	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> x e. X )
20		dvmptfprodlem.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> A e. CC )
22		dvmptfprodlem.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. _V )
23		snidg 4023	. . . . . . . . 9 |- ( E e. _V -> E e. { E } )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. { E } )
25		elun2 3635	. . . . . . . 8 |- ( E e. { E } -> E e. ( D u. { E } ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. ( D u. { E } ) )
27	26	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. ( D u. { E } ) )
28		dvmptfprodlem.f	. . . . . . 7 |- ( i = E -> A = F )
29	28	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F )
30	6, 8, 14, 21, 27, 29	fprodsplit1f 14037	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
31		difundir 3727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) )
33		dvmptfprodlem.db	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. E e. D )
34		difsn 4132	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E e. D -> ( D \ { E } ) = D )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D \ { E } ) = D )
36		difid 3864	. . . . . . . . . . 11 |- ( { E } \ { E } ) = (/)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { E } \ { E } ) = (/) )
38	35, 37	uneq12d 3622	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) = ( D u. (/) ) )
39		un0 3788	. . . . . . . . . 10 |- ( D u. (/) ) = D
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. (/) ) = D )
41	32, 38, 40	3eqtrd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = D )
42	41	prodeq1d 13968	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A = prod_ i e. D A )
43	42	oveq2d 6319	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
44	43	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
45	30, 44	eqtrd 2464	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. D A ) )
46	1, 45	mpteq2da 4507	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) = ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) )
47	46	oveq2d 6319	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) )
48		dvmptfprodlem.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
49	16, 26	sseldd 3466	. . . . 5 |- ( ph -> E e. I )
50	49	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. I )
51		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
52		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
53	51, 50, 52	3jca 1186	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
54		nfcv 2585	. . . . 5 |- F/_ i E
55		nfv 1752	. . . . . . 7 |- F/ i E e. I
56	2, 55, 5	nf3an 1987	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ E e. I /\ x e. X )
57		nfcv 2585	. . . . . . 7 |- F/_ i CC
58	7, 57	nfel 2598	. . . . . 6 |- F/ i F e. CC
59	56, 58	nfim 1977	. . . . 5 |- F/ i ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC )
60		ancom 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) <-> ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) )
61	60	imbi1i 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) )
62		eqcom 2432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = F <-> F = A )
63	62	imbi2i 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
64	61, 63	bitri 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
65	29, 64	mpbi 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A )
66	65	3adantr2 1166	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
67	66	3adant2 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
68		simp3 1008	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
69		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = E -> ( i e. I <-> E e. I ) )
70	69	3anbi2d 1341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = E -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) )
71	70	imbi1d 319	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
72	71	biimpa 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
73	72	3adant3 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
74	68, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
75	67, 74	eqeltrd 2511	. . . . . . 7 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F e. CC )
76	75	3exp 1205	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
77	20	2a1i 12	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
78	76, 77	impbid 194	. . . . 5 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
79	54, 59, 78, 20	vtoclgf 3138	. . . 4 |- ( E e. I -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) )
80	50, 53, 79	sylc 63	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F e. CC )
81		dvmptfprodlem.14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
82		dvmptfprodlem.dvf	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
83	51, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. Fin )
84	51	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> ph )
85	16	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
86		elun1 3634	. . . . . . . 8 |- ( i e. D -> i e. ( D u. { E } ) )
87	86	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. ( D u. { E } ) )
88	85, 87	sseldd 3466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. I )
89	88	adantlr 720	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> i e. I )
90	52	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> x e. X )
91	84, 89, 90, 20	syl3anc 1265	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> A e. CC )
92	6, 83, 91	fprodclf 14039	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. D A e. CC )
93		dvmptfprodlem.jph	. . . . 5 |- F/ j ph
94		nfv 1752	. . . . 5 |- F/ j x e. X
95	93, 94	nfan 1985	. . . 4 |- F/ j ( ph /\ x e. X )
96		dvmptfprodlem.c	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
97		diffi 7807	. . . . . . . . 9 |- ( D e. Fin -> ( D \ { j } ) e. Fin )
98	9, 97	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D \ { j } ) e. Fin )
99	98	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
100		eldifi 3588	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( D \ { j } ) -> i e. D )
101	100	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> i e. D )
102	101, 91	syldan 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
103	6, 99, 102	fprodclf 14039	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
104	103	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
105	96, 104	mulcld 9665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
106	95, 83, 105	fsumclf 37474	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
107		dvmptfprodlem.dvp	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
108	1, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107	dvmptmulf 37638	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) )
109		dvmptfprodlem.jg	. . . . . 6 |- F/_ j G
110		nfcv 2585	. . . . . 6 |- F/_ j x.
111		nfcv 2585	. . . . . 6 |- F/_ j prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A
112	109, 110, 111	nfov 6329	. . . . 5 |- F/_ j ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
113	51, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. _V )
114	51, 33	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. E e. D )
115		diffi 7807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) e. Fin -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
116	13, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
117	116	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
118		eldifi 3588	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
119	118	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
120	119, 21	syldan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> A e. CC )
121	6, 117, 120	fprodclf 14039	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
122	121	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
123	96, 122	mulcld 9665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
124		dvmptfprodlem.cg	. . . . . 6 |- ( j = E -> C = G )
125		sneq 4007	. . . . . . . 8 |- ( j = E -> { j } = { E } )
126	125	difeq2d 3584	. . . . . . 7 |- ( j = E -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D u. { E } ) \ { E } ) )
127	126	prodeq1d 13968	. . . . . 6 |- ( j = E -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
128	124, 127	oveq12d 6321	. . . . 5 |- ( j = E -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
129	41, 9	eqeltrd 2511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
130	129	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
131	51	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ph )
132	16	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
133		eldifi 3588	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
134	133	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
135	132, 134	sseldd 3466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
136	135	adantlr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
137	52	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> x e. X )
138	131, 136, 137, 20	syl3anc 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> A e. CC )
139	6, 130, 138	fprodclf 14039	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A e. CC )
140	81, 139	mulcld 9665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) e. CC )
141	95, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140	fsumsplitsn 37478	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) )
142		difundir 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) )
144		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x j e. D
145	1, 144	nfan 1985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( ph /\ j e. D )
146		elsni 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x e. { E } -> x = E )
147	146	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. { E } -> E = x )
148	147	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = x )
149		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> x = j )
150		eqidd 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> j = j )
151	148, 149, 150	3eqtrd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = j )
152	151	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E = j )
153		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> j e. D )
154	152, 153	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E e. D )
155	33	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> -. E e. D )
156	154, 155	pm2.65da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x = j )
157		elsn 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. { j } <-> x = j )
158	156, 157	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x e. { j } )
159	158	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( x e. { E } -> -. x e. { j } ) )
160	145, 159	ralrimi 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> A. x e. { E } -. x e. { j } )
161		disj 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) <-> A. x e. { E } -. x e. { j } )
162	160, 161	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } i^i { j } ) = (/) )
163		disjdif2 3875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
165	164	uneq2d 3621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
166	143, 165	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
167	166	prodeq1d 13968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
168	167	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
169		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i j e. D
170	6, 169	nfan 1985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D )
171	99	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
172	51	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ph )
173	172, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> E e. _V )
174		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. E e. D )
175	174	intnanrd 926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
177		eldif 3447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E e. ( D \ { j } ) <-> ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
178	176, 177	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E e. D -> -. E e. ( D \ { j } ) )
179	33, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. E e. ( D \ { j } ) )
180	172, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> -. E e. ( D \ { j } ) )
181	102	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
182	80	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> F e. CC )
183	170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182	fprodsplitsn 14036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
184		eqidd 2424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
185	168, 183, 184	3eqtrd 2468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
186	185	oveq2d 6319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
187	96, 104, 182	mulassd 9668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
188	187	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
189	186, 188	eqtrd 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
190	189	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( j e. D -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
191	95, 190	ralrimi 2826	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
192	191	sumeq2d 13761	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
193	95, 83, 80, 105	fsummulc1f 37476	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
194	193	eqcomd 2431	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
195		eqidd 2424	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
196	192, 194, 195	3eqtrd 2468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
197	106, 80	mulcld 9665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) e. CC )
198	196, 197	eqeltrd 2511	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
199	198, 140	addcomd 9837	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
200	42	oveq2d 6319	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
201	200	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
202	201, 196	oveq12d 6321	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
203	141, 199, 202	3eqtrrd 2469	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) = sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) )
204	1, 203	mpteq2da 4507	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
205	47, 108, 204	3eqtrd 2468	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   F/wnf 1664   e. wcel 1869   F/_wnfc 2571   A.wral 2776   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   {cpr 3999   |-> cmpt 4480  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   CCcc 9539   RRcr 9540   + caddc 9544   x. cmul 9546   sum_csu 13745   prod_cprod 13952   _D cdv 22810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-prod 13953  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814

This theorem is referenced by:  dvmptfprod  37646