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Theorem dvmptfprodlem 37819
Description: Induction step for dvmptfprod 37820. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph  |-  F/ x ph
dvmptfprodlem.iph  |-  F/ i
ph
dvmptfprodlem.jph  |-  F/ j
ph
dvmptfprodlem.if  |-  F/_ i F
dvmptfprodlem.jg  |-  F/_ j G
dvmptfprodlem.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfprodlem.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
dvmptfprodlem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
dvmptfprodlem.db  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  D
)
dvmptfprodlem.ss  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
dvmptfprodlem.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfprodlem.c  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  C  e.  CC )
dvmptfprodlem.dvp  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  D  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A ) ) )
dvmptfprodlem.14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  CC )
dvmptfprodlem.dvf  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  F ) )  =  ( x  e.  X  |->  G ) )
dvmptfprodlem.f  |-  ( i  =  E  ->  A  =  F )
dvmptfprodlem.cg  |-  ( j  =  E  ->  C  =  G )
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    D, i, j, x    i, E, j, x    j, F   
i, I    i, X, j, x
Allowed substitution hints:    ph( x, i, j)    A( x, i)    C( x, i, j)    S( x, i, j)    F( x, i)    G( x, i, j)    I( x, j)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4  |-  F/ x ph
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7  |-  F/ i
ph
3 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
x
4 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ i X
53, 4nfel 2604 . . . . . . 7  |-  F/ i  x  e.  X
62, 5nfan 2011 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  x  e.  X )
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7  |-  F/_ i F
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F/_ i F )
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
10 snfi 7650 . . . . . . . . 9  |-  { E }  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { E }  e.  Fin )
12 unfi 7838 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  { E }  e.  Fin )  ->  ( D  u.  { E } )  e. 
Fin )
139, 11, 12syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  e.  Fin )
1413adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  u.  { E } )  e.  Fin )
15 simpll 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  ph )
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
1716sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  -> 
i  e.  I )
1817adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  -> 
i  e.  I )
19 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  x  e.  X )
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  A  e.  CC )
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
23 snidg 3994 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  _V  ->  E  e.  { E } )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  { E } )
25 elun2 3602 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  { E }  ->  E  e.  ( D  u.  { E }
) )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( D  u.  { E }
) )
2726adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  ( D  u.  { E } ) )
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7  |-  ( i  =  E  ->  A  =  F )
2928adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E )  ->  A  =  F )
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 14044 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A  =  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )
31 difundir 3696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) ) )
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  D
)
34 difsn 4106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  E  e.  D  -> 
( D  \  { E } )  =  D )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  \  { E } )  =  D )
36 difid 3835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { E }  \  { E } )  =  (/)
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { E }  \  { E } )  =  (/) )
3835, 37uneq12d 3589 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) )  =  ( D  u.  (/) ) )
39 un0 3759 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  u.  (/) )  =  D
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  u.  (/) )  =  D )
4132, 38, 403eqtrd 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  D )
4241prodeq1d 13975 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A  = 
prod_ i  e.  D  A )
4342oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
4443adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A ) )
4530, 44eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
461, 45mpteq2da 4488 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) ) )
4746oveq2d 6306 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A ) ) ) )
48 dvmptfprodlem.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4916, 26sseldd 3433 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  I )
5049adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  I )
51 simpl 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ph )
52 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
5351, 50, 523jca 1188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
) )
54 nfcv 2592 . . . . 5  |-  F/_ i E
55 nfv 1761 . . . . . . 7  |-  F/ i  E  e.  I
562, 55, 5nf3an 2013 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
57 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ i CC
587, 57nfel 2604 . . . . . 6  |-  F/ i  F  e.  CC
5956, 58nfim 2003 . . . . 5  |-  F/ i ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
60 ancom 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E )  <->  ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X
) ) )
6160imbi1i 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  A  =  F )
)
62 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  F  <->  F  =  A )
6362imbi2i 314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X )
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
)
6461, 63bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
)
6529, 64mpbi 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
66653adantr2 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
67663adant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  F  =  A )
68 simp3 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)
69 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  E  ->  (
i  e.  I  <->  E  e.  I ) )
70693anbi2d 1344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  E  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
7170imbi1d 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) ) )
7271biimpa 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) )  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC ) )
73723adant3 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC ) )
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  A  e.  CC )
7567, 74eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  F  e.  CC )
76753exp 1207 . . . . . 6  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) ) )
77202a1i 12 . . . . . 6  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) ) )
7876, 77impbid 194 . . . . 5  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) ) )
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3105 . . . 4  |-  ( E  e.  I  ->  (
( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) )
8050, 53, 79sylc 62 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
81 dvmptfprodlem.14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  CC )
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  F ) )  =  ( x  e.  X  |->  G ) )
8351, 9syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  Fin )
8451adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  ph )
8516adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
86 elun1 3601 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  D  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
8786adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
8885, 87sseldd 3433 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  I )
8988adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  I )
9052adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  x  e.  X )
9184, 89, 90, 20syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  A  e.  CC )
926, 83, 91fprodclf 14046 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  D  A  e.  CC )
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5  |-  F/ j
ph
94 nfv 1761 . . . . 5  |-  F/ j  x  e.  X
9593, 94nfan 2011 . . . 4  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  X )
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  C  e.  CC )
97 diffi 7803 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
989, 97syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  \  {
j } )  e. 
Fin )
9998adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
100 eldifi 3555 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( D  \  { j } )  ->  i  e.  D
)
101100adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  \  {
j } ) )  ->  i  e.  D
)
102101, 91syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  \  {
j } ) )  ->  A  e.  CC )
1036, 99, 102fprodclf 14046 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  e.  CC )
104103adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  e.  CC )
10596, 104mulcld 9663 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  e.  CC )
10695, 83, 105fsumclf 37645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  e.  CC )
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  D  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A ) ) )
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 37812 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A )
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) ) )
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6  |-  F/_ j G
110 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ j  x.
111 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ j prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A
112109, 110, 111nfov 6316 . . . . 5  |-  F/_ j
( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )
11351, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  _V )
11451, 33syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -.  E  e.  D )
115 diffi 7803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  u.  { E } )  e.  Fin  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } )  e.  Fin )
11613, 115syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } )  e.  Fin )
117116adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  e. 
Fin )
118 eldifi 3555 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
119118adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
120119, 21syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) )  ->  A  e.  CC )
1216, 117, 120fprodclf 14046 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  e.  CC )
122121adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  e.  CC )
12396, 122mulcld 9663 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  e.  CC )
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6  |-  ( j  =  E  ->  C  =  G )
125 sneq 3978 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  E  ->  { j }  =  { E } )
126125difeq2d 3551 . . . . . . 7  |-  ( j  =  E  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )
127126prodeq1d 13975 . . . . . 6  |-  ( j  =  E  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )
128124, 127oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( j  =  E  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )
12941, 9eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  e. 
Fin )
130129adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  { E } )  e.  Fin )
13151adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  ph )
13216adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I )
133 eldifi 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
134133adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
135132, 134sseldd 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  I
)
136135adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  I
)
13752adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  x  e.  X
)
138131, 136, 137, 20syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  A  e.  CC )
1396, 130, 138fprodclf 14046 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A  e.  CC )
14081, 139mulcld 9663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  e.  CC )
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 37649 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  +  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) ) )
142 difundir 3696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) ) )
144 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x  j  e.  D
1451, 144nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( ph  /\  j  e.  D )
146 elsni 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  { E }  ->  x  =  E )
147146eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  { E }  ->  E  =  x )
148147adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  E  =  x )
149 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  x  =  j )
150 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  j  =  j )
151148, 149, 1503eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  E  =  j )
152151adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  E  =  j )
153 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  -> 
j  e.  D )
154152, 153eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  E  e.  D )
15533ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  -.  E  e.  D
)
156154, 155pm2.65da 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  ->  -.  x  =  j )
157 elsn 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  { j }  <-> 
x  =  j )
158156, 157sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  ->  -.  x  e.  { j } )
159158ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
x  e.  { E }  ->  -.  x  e.  { j } ) )
160145, 159ralrimi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  A. x  e.  { E }  -.  x  e.  { j } )
161 disj 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { E }  i^i  { j } )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  { E }  -.  x  e.  { j } )
162160, 161sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( { E }  i^i  {
j } )  =  (/) )
163 disjdif2 3846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { E }  i^i  { j } )  =  (/)  ->  ( { E }  \  { j } )  =  { E } )
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( { E }  \  {
j } )  =  { E } )
165164uneq2d 3588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  \  {
j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  { E } ) )
166143, 165eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  { E }
) )
167166prodeq1d 13975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  \  {
j } )  u. 
{ E } ) A )
168167adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  \  {
j } )  u. 
{ E } ) A )
169 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  j  e.  D
1706, 169nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D
)
17199adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
17251adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ph )
173172, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  E  e.  _V )
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  E  e.  D
)
175174intnanrd 928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  ( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  ( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
177 eldif 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  e.  ( D  \  { j } )  <-> 
( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
178176, 177sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
17933, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
180172, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
181102adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D
)  /\  i  e.  ( D  \  { j } ) )  ->  A  e.  CC )
18280adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  F  e.  CC )
183170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182fprodsplitsn 14043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D 
\  { j } )  u.  { E } ) A  =  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )
184 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( prod_ i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
)  =  ( prod_
i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
) )
185168, 183, 1843eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  =  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )
186185oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  ( prod_
i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
) ) )
18796, 104, 182mulassd 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  (
( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F
)  =  ( C  x.  ( prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A  x.  F ) ) )
188187eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
189186, 188eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F
) )
190189ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
j  e.  D  -> 
( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) )
19195, 190ralrimi 2788 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
192191sumeq2d 13768 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
19395, 83, 80, 105fsummulc1f 37647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D 
\  { j } ) A )  x.  F ) )
194193eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )
195 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )
196192, 194, 1953eqtrd 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
197106, 80mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  e.  CC )
198196, 197eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  e.  CC )
199198, 140addcomd 9835 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  +  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )  =  ( ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  +  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A ) ) )
20042oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
201200adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  D  A ) )
202201, 196oveq12d 6308 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  +  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A ) )  =  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) )
203141, 199, 2023eqtrrd 2490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )  =  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) )
2041, 203mpteq2da 4488 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A
)  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E }
) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
20547, 108, 2043eqtrd 2489 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   A.wral 2737   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970    |-> cmpt 4461  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538    + caddc 9542    x. cmul 9544   sum_csu 13752   prod_cprod 13959    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-prod 13960  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  dvmptfprod  37820
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