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Theorem dvmptfprodlem 31980
Description: Induction step for dvmptfprod 31981. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph  |-  F/ x ph
dvmptfprodlem.iph  |-  F/ i
ph
dvmptfprodlem.jph  |-  F/ j
ph
dvmptfprodlem.if  |-  F/_ i F
dvmptfprodlem.jg  |-  F/_ j G
dvmptfprodlem.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfprodlem.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
dvmptfprodlem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
dvmptfprodlem.db  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  D
)
dvmptfprodlem.ss  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
dvmptfprodlem.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfprodlem.c  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  C  e.  CC )
dvmptfprodlem.dvp  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  D  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A ) ) )
dvmptfprodlem.14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  CC )
dvmptfprodlem.dvf  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  F ) )  =  ( x  e.  X  |->  G ) )
dvmptfprodlem.f  |-  ( i  =  E  ->  A  =  F )
dvmptfprodlem.cg  |-  ( j  =  E  ->  C  =  G )
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    D, i, j, x    i, E, j, x    j, F   
i, I    i, X, j, x
Allowed substitution hints:    ph( x, i, j)    A( x, i)    C( x, i, j)    S( x, i, j)    F( x, i)    G( x, i, j)    I( x, j)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4  |-  F/ x ph
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7  |-  F/ i
ph
3 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
x
4 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ i X
53, 4nfel 2629 . . . . . . 7  |-  F/ i  x  e.  X
62, 5nfan 1933 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  x  e.  X )
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7  |-  F/_ i F
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F/_ i F )
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
10 snfi 7589 . . . . . . . . 9  |-  { E }  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { E }  e.  Fin )
12 unfi 7779 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  { E }  e.  Fin )  ->  ( D  u.  { E } )  e. 
Fin )
139, 11, 12syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  e.  Fin )
1413adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  u.  { E } )  e.  Fin )
15 simpll 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  ph )
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
1716sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  -> 
i  e.  I )
1817adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  -> 
i  e.  I )
19 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  x  e.  X )
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  A  e.  CC )
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
23 snidg 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  _V  ->  E  e.  { E } )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  { E } )
25 elun2 3658 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  { E }  ->  E  e.  ( D  u.  { E }
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( D  u.  { E }
) )
2726adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  ( D  u.  { E } ) )
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7  |-  ( i  =  E  ->  A  =  F )
2928adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E )  ->  A  =  F )
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 31832 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A  =  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )
31 difundir 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) ) )
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  D
)
34 difsn 4150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  E  e.  D  -> 
( D  \  { E } )  =  D )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  \  { E } )  =  D )
36 difid 3884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { E }  \  { E } )  =  (/)
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { E }  \  { E } )  =  (/) )
3835, 37uneq12d 3645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) )  =  ( D  u.  (/) ) )
39 un0 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  u.  (/) )  =  D
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  u.  (/) )  =  D )
4132, 38, 403eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  D )
4241prodeq1d 13810 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A  = 
prod_ i  e.  D  A )
4342oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
4443adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A ) )
4530, 44eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
461, 45mpteq2da 4524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) ) )
4746oveq2d 6286 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A ) ) ) )
48 dvmptfprodlem.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4916, 26sseldd 3490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  I )
5049adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  I )
51 simpl 455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ph )
52 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
5351, 50, 523jca 1174 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
) )
54 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ i E
55 nfv 1712 . . . . . . 7  |-  F/ i  E  e.  I
562, 55, 5nf3an 1935 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
57 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ i CC
587, 57nfel 2629 . . . . . 6  |-  F/ i  F  e.  CC
5956, 58nfim 1925 . . . . 5  |-  F/ i ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
60 ancom 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E )  <->  ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X
) ) )
6160imbi1i 323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  A  =  F )
)
62 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  F  <->  F  =  A )
6362imbi2i 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X )
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
)
6461, 63bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
)
6529, 64mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
66653adantr2 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
67663adant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  F  =  A )
68 simp3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)
69 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  E  ->  (
i  e.  I  <->  E  e.  I ) )
70693anbi2d 1302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  E  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
7170imbi1d 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) ) )
7271biimpa 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) )  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC ) )
73723adant3 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC ) )
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  A  e.  CC )
7567, 74eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  F  e.  CC )
76753exp 1193 . . . . . 6  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) ) )
7720a1ii 27 . . . . . 6  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) ) )
7876, 77impbid 191 . . . . 5  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) ) )
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3162 . . . 4  |-  ( E  e.  I  ->  (
( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) )
8050, 53, 79sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
81 dvmptfprodlem.14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  CC )
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  F ) )  =  ( x  e.  X  |->  G ) )
8351, 9syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  Fin )
8451adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  ph )
8516adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
86 elun1 3657 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  D  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
8786adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
8885, 87sseldd 3490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  I )
8988adantlr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  I )
9052adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  x  e.  X )
9184, 89, 90, 20syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  A  e.  CC )
926, 83, 91fprodclf 31834 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  D  A  e.  CC )
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5  |-  F/ j
ph
94 nfv 1712 . . . . 5  |-  F/ j  x  e.  X
9593, 94nfan 1933 . . . 4  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  X )
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  C  e.  CC )
97 diffi 7744 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
989, 97syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  \  {
j } )  e. 
Fin )
9998adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
100 eldifi 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( D  \  { j } )  ->  i  e.  D
)
101100adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  \  {
j } ) )  ->  i  e.  D
)
102101, 91syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  \  {
j } ) )  ->  A  e.  CC )
1036, 99, 102fprodclf 31834 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  e.  CC )
104103adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  e.  CC )
10596, 104mulcld 9605 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  e.  CC )
10695, 83, 105fsumclf 31806 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  e.  CC )
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  D  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A ) ) )
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 31973 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A )
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) ) )
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6  |-  F/_ j G
110 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ j  x.
111 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ j prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A
112109, 110, 111nfov 6296 . . . . 5  |-  F/_ j
( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )
11351, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  _V )
11451, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -.  E  e.  D )
115 diffi 7744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  u.  { E } )  e.  Fin  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } )  e.  Fin )
11613, 115syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } )  e.  Fin )
117116adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  e. 
Fin )
118 eldifi 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
119118adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
120119, 21syldan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) )  ->  A  e.  CC )
1216, 117, 120fprodclf 31834 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  e.  CC )
122121adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  e.  CC )
12396, 122mulcld 9605 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  e.  CC )
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6  |-  ( j  =  E  ->  C  =  G )
125 sneq 4026 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  E  ->  { j }  =  { E } )
126125difeq2d 3608 . . . . . . 7  |-  ( j  =  E  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )
127126prodeq1d 13810 . . . . . 6  |-  ( j  =  E  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )
128124, 127oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( j  =  E  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )
12941, 9eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  e. 
Fin )
130129adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  { E } )  e.  Fin )
13151adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  ph )
13216adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I )
133 eldifi 3612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
134133adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
135132, 134sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  I
)
136135adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  I
)
13752adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  x  e.  X
)
138131, 136, 137, 20syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  A  e.  CC )
1396, 130, 138fprodclf 31834 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A  e.  CC )
14081, 139mulcld 9605 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  e.  CC )
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 31810 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  +  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) ) )
142 difundir 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) ) )
144 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x  j  e.  D
1451, 144nfan 1933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( ph  /\  j  e.  D )
146 elsni 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  { E }  ->  x  =  E )
147146eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  { E }  ->  E  =  x )
148147adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  E  =  x )
149 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  x  =  j )
150 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  j  =  j )
151148, 149, 1503eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  E  =  j )
152151adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  E  =  j )
153 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  -> 
j  e.  D )
154152, 153eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  E  e.  D )
15533ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  -.  E  e.  D
)
156154, 155pm2.65da 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  ->  -.  x  =  j )
157 elsn 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  { j }  <-> 
x  =  j )
158156, 157sylnibr 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  ->  -.  x  e.  { j } )
159158ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
x  e.  { E }  ->  -.  x  e.  { j } ) )
160145, 159ralrimi 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  A. x  e.  { E }  -.  x  e.  { j } )
161 disj 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { E }  i^i  { j } )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  { E }  -.  x  e.  { j } )
162160, 161sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( { E }  i^i  {
j } )  =  (/) )
163 difeq2 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { E }  i^i  { j } )  =  (/)  ->  ( { E }  \  ( { E }  i^i  { j } ) )  =  ( { E }  \  (/) ) )
164 difin 3732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { E }  \  ( { E }  i^i  {
j } ) )  =  ( { E }  \  { j } )
165 dif0 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { E }  \  (/) )  =  { E }
166163, 164, 1653eqtr3g 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { E }  i^i  { j } )  =  (/)  ->  ( { E }  \  { j } )  =  { E } )
167162, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( { E }  \  {
j } )  =  { E } )
168167uneq2d 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  \  {
j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  { E } ) )
169143, 168eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  { E }
) )
170169prodeq1d 13810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  \  {
j } )  u. 
{ E } ) A )
171170adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  \  {
j } )  u. 
{ E } ) A )
172 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  j  e.  D
1736, 172nfan 1933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D
)
17499adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
17551adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ph )
176175, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  E  e.  _V )
177 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  E  e.  D
)
178177intnanrd 915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  ( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
179177, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  ( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
180 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  e.  ( D  \  { j } )  <-> 
( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
181179, 180sylnibr 303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
18233, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
183175, 182syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
184102adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D
)  /\  i  e.  ( D  \  { j } ) )  ->  A  e.  CC )
18580adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  F  e.  CC )
186173, 7, 174, 176, 183, 184, 28, 185fprodsplitsn 31831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D 
\  { j } )  u.  { E } ) A  =  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )
187 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( prod_ i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
)  =  ( prod_
i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
) )
188171, 186, 1873eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  =  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )
189188oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  ( prod_
i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
) ) )
19096, 104, 185mulassd 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  (
( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F
)  =  ( C  x.  ( prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A  x.  F ) ) )
191190eqcomd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
192189, 191eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F
) )
193192ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
j  e.  D  -> 
( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) )
19495, 193ralrimi 2854 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
195194sumeq2d 13606 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
19695, 83, 80, 105fsummulc1f 31808 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D 
\  { j } ) A )  x.  F ) )
197196eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )
198 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )
199195, 197, 1983eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
200106, 80mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  e.  CC )
201199, 200eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  e.  CC )
202201, 140addcomd 9771 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  +  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )  =  ( ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  +  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A ) ) )
20342oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
204203adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  D  A ) )
205204, 199oveq12d 6288 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  +  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A ) )  =  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) )
206141, 202, 2053eqtrrd 2500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )  =  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) )
2071, 206mpteq2da 4524 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A
)  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E }
) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
20847, 108, 2073eqtrd 2499 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   F/wnf 1621    e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   A.wral 2804   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018    |-> cmpt 4497  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480    + caddc 9484    x. cmul 9486   sum_csu 13590   prod_cprod 13794    _D cdv 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-prod 13795  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437
This theorem is referenced by:  dvmptfprod  31981
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