Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptfprodlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvmptfprodlem 37916
 Description: Induction step for dvmptfprod 37917. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph
dvmptfprodlem.iph
dvmptfprodlem.jph
dvmptfprodlem.if
dvmptfprodlem.jg
dvmptfprodlem.a
dvmptfprodlem.d
dvmptfprodlem.e
dvmptfprodlem.db
dvmptfprodlem.ss
dvmptfprodlem.s
dvmptfprodlem.c
dvmptfprodlem.dvp
dvmptfprodlem.14
dvmptfprodlem.dvf
dvmptfprodlem.f
dvmptfprodlem.cg
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7
3 nfcv 2612 . . . . . . . 8
4 nfcv 2612 . . . . . . . 8
53, 4nfel 2624 . . . . . . 7
62, 5nfan 2031 . . . . . 6
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8
10 snfi 7668 . . . . . . . . 9
1110a1i 11 . . . . . . . 8
12 unfi 7856 . . . . . . . 8
139, 11, 12syl2anc 673 . . . . . . 7
1413adantr 472 . . . . . 6
15 simpll 768 . . . . . . 7
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9
1716sselda 3418 . . . . . . . 8
1817adantlr 729 . . . . . . 7
19 simplr 770 . . . . . . 7
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7
2115, 18, 19, 20syl3anc 1292 . . . . . 6
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9
23 snidg 3986 . . . . . . . . 9
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8
25 elun2 3593 . . . . . . . 8
2624, 25syl 17 . . . . . . 7
2726adantr 472 . . . . . 6
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7
2928adantl 473 . . . . . 6
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 14121 . . . . 5
31 difundir 3687 . . . . . . . . . 10
3231a1i 11 . . . . . . . . 9
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11
34 difsn 4097 . . . . . . . . . . 11
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10
36 difid 3747 . . . . . . . . . . 11
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10
3835, 37uneq12d 3580 . . . . . . . . 9
39 un0 3762 . . . . . . . . . 10
4039a1i 11 . . . . . . . . 9
4132, 38, 403eqtrd 2509 . . . . . . . 8
4241prodeq1d 14052 . . . . . . 7
4342oveq2d 6324 . . . . . 6
4443adantr 472 . . . . 5
4530, 44eqtrd 2505 . . . 4
461, 45mpteq2da 4481 . . 3
4746oveq2d 6324 . 2
48 dvmptfprodlem.s . . 3
4916, 26sseldd 3419 . . . . 5
5049adantr 472 . . . 4
51 simpl 464 . . . . 5
52 simpr 468 . . . . 5
5351, 50, 523jca 1210 . . . 4
54 nfcv 2612 . . . . 5
55 nfv 1769 . . . . . . 7
562, 55, 5nf3an 2033 . . . . . 6
57 nfcv 2612 . . . . . . 7
587, 57nfel 2624 . . . . . 6
5956, 58nfim 2023 . . . . 5
60 ancom 457 . . . . . . . . . . . . 13
6160imbi1i 332 . . . . . . . . . . . 12
62 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . 13
6362imbi2i 319 . . . . . . . . . . . 12
6461, 63bitri 257 . . . . . . . . . . 11
6529, 64mpbi 213 . . . . . . . . . 10
66653adantr2 1190 . . . . . . . . 9
67663adant2 1049 . . . . . . . 8
68 simp3 1032 . . . . . . . . 9
69 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
70693anbi2d 1370 . . . . . . . . . . . 12
7170imbi1d 324 . . . . . . . . . . 11
7271biimpa 492 . . . . . . . . . 10
73723adant3 1050 . . . . . . . . 9
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8
7567, 74eqeltrd 2549 . . . . . . 7
76753exp 1230 . . . . . 6
77202a1i 12 . . . . . 6
7876, 77impbid 195 . . . . 5
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3091 . . . 4
8050, 53, 79sylc 61 . . 3
81 dvmptfprodlem.14 . . 3
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3
8351, 9syl 17 . . . 4
8451adantr 472 . . . . 5
8516adantr 472 . . . . . . 7
86 elun1 3592 . . . . . . . 8
8786adantl 473 . . . . . . 7
8885, 87sseldd 3419 . . . . . 6
8988adantlr 729 . . . . 5
9052adantr 472 . . . . 5
9184, 89, 90, 20syl3anc 1292 . . . 4
926, 83, 91fprodclf 14123 . . 3
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5
94 nfv 1769 . . . . 5
9593, 94nfan 2031 . . . 4
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5
97 diffi 7821 . . . . . . . . 9
989, 97syl 17 . . . . . . . 8
9998adantr 472 . . . . . . 7
100 eldifi 3544 . . . . . . . . 9
101100adantl 473 . . . . . . . 8
102101, 91syldan 478 . . . . . . 7
1036, 99, 102fprodclf 14123 . . . . . 6
104103adantr 472 . . . . 5
10596, 104mulcld 9681 . . . 4
10695, 83, 105fsumclf 37741 . . 3
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 37909 . 2
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6
110 nfcv 2612 . . . . . 6
111 nfcv 2612 . . . . . 6
112109, 110, 111nfov 6334 . . . . 5
11351, 22syl 17 . . . . 5
11451, 33syl 17 . . . . 5
115 diffi 7821 . . . . . . . . . 10
11613, 115syl 17 . . . . . . . . 9
117116adantr 472 . . . . . . . 8
118 eldifi 3544 . . . . . . . . . 10
119118adantl 473 . . . . . . . . 9
120119, 21syldan 478 . . . . . . . 8
1216, 117, 120fprodclf 14123 . . . . . . 7
122121adantr 472 . . . . . 6
12396, 122mulcld 9681 . . . . 5
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6
125 sneq 3969 . . . . . . . 8
126125difeq2d 3540 . . . . . . 7
127126prodeq1d 14052 . . . . . 6
128124, 127oveq12d 6326 . . . . 5
12941, 9eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
130129adantr 472 . . . . . . 7
13151adantr 472 . . . . . . . 8
13216adantr 472 . . . . . . . . . 10
133 eldifi 3544 . . . . . . . . . . 11
134133adantl 473 . . . . . . . . . 10
135132, 134sseldd 3419 . . . . . . . . 9
136135adantlr 729 . . . . . . . 8
13752adantr 472 . . . . . . . 8
138131, 136, 137, 20syl3anc 1292 . . . . . . 7
1396, 130, 138fprodclf 14123 . . . . . 6
14081, 139mulcld 9681 . . . . 5
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 37745 . . . 4
142 difundir 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1451, 144nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
146 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
147146eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
148147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
149 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
150 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
151148, 149, 1503eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
152151adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
153 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
154152, 153eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15533ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
156154, 155pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
157 elsn 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
158156, 157sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
159158ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
160145, 159ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
161 disj 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
162160, 161sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163 disjdif2 3837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165164uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166143, 165eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
167166prodeq1d 14052 . . . . . . . . . . . . . 14
168167adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
169 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15
1706, 169nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . 14
17199adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
17251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
173172, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
175174intnanrd 931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
177 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
178176, 177sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17933, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
180172, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
181102adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14
18280adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
183170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182fprodsplitsn 14120 . . . . . . . . . . . . 13
184 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13
185168, 183, 1843eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12
186185oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
18796, 104, 182mulassd 9684 . . . . . . . . . . . 12
188187eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11
189186, 188eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
190189ex 441 . . . . . . . . 9
19195, 190ralrimi 2800 . . . . . . . 8
192191sumeq2d 13845 . . . . . . 7
19395, 83, 80, 105fsummulc1f 37743 . . . . . . . 8
194193eqcomd 2477 . . . . . . 7
195 eqidd 2472 . . . . . . 7
196192, 194, 1953eqtrd 2509 . . . . . 6
197106, 80mulcld 9681 . . . . . 6
198196, 197eqeltrd 2549 . . . . 5
199198, 140addcomd 9853 . . . 4
20042oveq2d 6324 . . . . . 6
201200adantr 472 . . . . 5
202201, 196oveq12d 6326 . . . 4
203141, 199, 2023eqtrrd 2510 . . 3
2041, 203mpteq2da 4481 . 2
20547, 108, 2043eqtrd 2509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904  wnfc 2599  wral 2756  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cpr 3961   cmpt 4454  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556   caddc 9560   cmul 9562  csu 13829  cprod 14036   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  dvmptfprod  37917
 Copyright terms: Public domain W3C validator