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Theorem dvmptfprodlem 37645
Description: Induction step for dvmptfprod 37646. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph  |-  F/ x ph
dvmptfprodlem.iph  |-  F/ i
ph
dvmptfprodlem.jph  |-  F/ j
ph
dvmptfprodlem.if  |-  F/_ i F
dvmptfprodlem.jg  |-  F/_ j G
dvmptfprodlem.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfprodlem.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
dvmptfprodlem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
dvmptfprodlem.db  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  D
)
dvmptfprodlem.ss  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
dvmptfprodlem.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfprodlem.c  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  C  e.  CC )
dvmptfprodlem.dvp  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  D  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A ) ) )
dvmptfprodlem.14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  CC )
dvmptfprodlem.dvf  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  F ) )  =  ( x  e.  X  |->  G ) )
dvmptfprodlem.f  |-  ( i  =  E  ->  A  =  F )
dvmptfprodlem.cg  |-  ( j  =  E  ->  C  =  G )
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    D, i, j, x    i, E, j, x    j, F   
i, I    i, X, j, x
Allowed substitution hints:    ph( x, i, j)    A( x, i)    C( x, i, j)    S( x, i, j)    F( x, i)    G( x, i, j)    I( x, j)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4  |-  F/ x ph
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7  |-  F/ i
ph
3 nfcv 2585 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
x
4 nfcv 2585 . . . . . . . 8  |-  F/_ i X
53, 4nfel 2598 . . . . . . 7  |-  F/ i  x  e.  X
62, 5nfan 1985 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  x  e.  X )
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7  |-  F/_ i F
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F/_ i F )
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
10 snfi 7655 . . . . . . . . 9  |-  { E }  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { E }  e.  Fin )
12 unfi 7842 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  { E }  e.  Fin )  ->  ( D  u.  { E } )  e. 
Fin )
139, 11, 12syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  e.  Fin )
1413adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  u.  { E } )  e.  Fin )
15 simpll 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  ph )
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
1716sselda 3465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  -> 
i  e.  I )
1817adantlr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  -> 
i  e.  I )
19 simplr 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  x  e.  X )
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  A  e.  CC )
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
23 snidg 4023 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  _V  ->  E  e.  { E } )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  { E } )
25 elun2 3635 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  { E }  ->  E  e.  ( D  u.  { E }
) )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( D  u.  { E }
) )
2726adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  ( D  u.  { E } ) )
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7  |-  ( i  =  E  ->  A  =  F )
2928adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E )  ->  A  =  F )
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 14037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A  =  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )
31 difundir 3727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) ) )
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  D
)
34 difsn 4132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  E  e.  D  -> 
( D  \  { E } )  =  D )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  \  { E } )  =  D )
36 difid 3864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { E }  \  { E } )  =  (/)
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { E }  \  { E } )  =  (/) )
3835, 37uneq12d 3622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) )  =  ( D  u.  (/) ) )
39 un0 3788 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  u.  (/) )  =  D
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  u.  (/) )  =  D )
4132, 38, 403eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  D )
4241prodeq1d 13968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A  = 
prod_ i  e.  D  A )
4342oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
4443adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A ) )
4530, 44eqtrd 2464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
461, 45mpteq2da 4507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) ) )
4746oveq2d 6319 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A ) ) ) )
48 dvmptfprodlem.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4916, 26sseldd 3466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  I )
5049adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  I )
51 simpl 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ph )
52 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
5351, 50, 523jca 1186 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
) )
54 nfcv 2585 . . . . 5  |-  F/_ i E
55 nfv 1752 . . . . . . 7  |-  F/ i  E  e.  I
562, 55, 5nf3an 1987 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
57 nfcv 2585 . . . . . . 7  |-  F/_ i CC
587, 57nfel 2598 . . . . . 6  |-  F/ i  F  e.  CC
5956, 58nfim 1977 . . . . 5  |-  F/ i ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
60 ancom 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E )  <->  ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X
) ) )
6160imbi1i 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  A  =  F )
)
62 eqcom 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  F  <->  F  =  A )
6362imbi2i 314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X )
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
)
6461, 63bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
)
6529, 64mpbi 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
66653adantr2 1166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
67663adant2 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  F  =  A )
68 simp3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)
69 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  E  ->  (
i  e.  I  <->  E  e.  I ) )
70693anbi2d 1341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  E  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
7170imbi1d 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) ) )
7271biimpa 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) )  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC ) )
73723adant3 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC ) )
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  A  e.  CC )
7567, 74eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  F  e.  CC )
76753exp 1205 . . . . . 6  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) ) )
77202a1i 12 . . . . . 6  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) ) )
7876, 77impbid 194 . . . . 5  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) ) )
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3138 . . . 4  |-  ( E  e.  I  ->  (
( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) )
8050, 53, 79sylc 63 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
81 dvmptfprodlem.14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  CC )
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  F ) )  =  ( x  e.  X  |->  G ) )
8351, 9syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  Fin )
8451adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  ph )
8516adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
86 elun1 3634 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  D  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
8786adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
8885, 87sseldd 3466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  I )
8988adantlr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  I )
9052adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  x  e.  X )
9184, 89, 90, 20syl3anc 1265 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  A  e.  CC )
926, 83, 91fprodclf 14039 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  D  A  e.  CC )
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5  |-  F/ j
ph
94 nfv 1752 . . . . 5  |-  F/ j  x  e.  X
9593, 94nfan 1985 . . . 4  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  X )
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  C  e.  CC )
97 diffi 7807 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
989, 97syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  \  {
j } )  e. 
Fin )
9998adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
100 eldifi 3588 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( D  \  { j } )  ->  i  e.  D
)
101100adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  \  {
j } ) )  ->  i  e.  D
)
102101, 91syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  \  {
j } ) )  ->  A  e.  CC )
1036, 99, 102fprodclf 14039 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  e.  CC )
104103adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  e.  CC )
10596, 104mulcld 9665 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  e.  CC )
10695, 83, 105fsumclf 37474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  e.  CC )
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  D  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A ) ) )
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 37638 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A )
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) ) )
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6  |-  F/_ j G
110 nfcv 2585 . . . . . 6  |-  F/_ j  x.
111 nfcv 2585 . . . . . 6  |-  F/_ j prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A
112109, 110, 111nfov 6329 . . . . 5  |-  F/_ j
( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )
11351, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  _V )
11451, 33syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -.  E  e.  D )
115 diffi 7807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  u.  { E } )  e.  Fin  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } )  e.  Fin )
11613, 115syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } )  e.  Fin )
117116adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  e. 
Fin )
118 eldifi 3588 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
119118adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
120119, 21syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) )  ->  A  e.  CC )
1216, 117, 120fprodclf 14039 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  e.  CC )
122121adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  e.  CC )
12396, 122mulcld 9665 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  e.  CC )
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6  |-  ( j  =  E  ->  C  =  G )
125 sneq 4007 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  E  ->  { j }  =  { E } )
126125difeq2d 3584 . . . . . . 7  |-  ( j  =  E  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )
127126prodeq1d 13968 . . . . . 6  |-  ( j  =  E  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )
128124, 127oveq12d 6321 . . . . 5  |-  ( j  =  E  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )
12941, 9eqeltrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  e. 
Fin )
130129adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  { E } )  e.  Fin )
13151adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  ph )
13216adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I )
133 eldifi 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
134133adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
135132, 134sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  I
)
136135adantlr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  I
)
13752adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  x  e.  X
)
138131, 136, 137, 20syl3anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  A  e.  CC )
1396, 130, 138fprodclf 14039 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A  e.  CC )
14081, 139mulcld 9665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  e.  CC )
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 37478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  +  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) ) )
142 difundir 3727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) ) )
144 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x  j  e.  D
1451, 144nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( ph  /\  j  e.  D )
146 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  { E }  ->  x  =  E )
147146eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  { E }  ->  E  =  x )
148147adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  E  =  x )
149 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  x  =  j )
150 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  j  =  j )
151148, 149, 1503eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  E  =  j )
152151adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  E  =  j )
153 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  -> 
j  e.  D )
154152, 153eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  E  e.  D )
15533ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  -.  E  e.  D
)
156154, 155pm2.65da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  ->  -.  x  =  j )
157 elsn 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  { j }  <-> 
x  =  j )
158156, 157sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  ->  -.  x  e.  { j } )
159158ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
x  e.  { E }  ->  -.  x  e.  { j } ) )
160145, 159ralrimi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  A. x  e.  { E }  -.  x  e.  { j } )
161 disj 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { E }  i^i  { j } )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  { E }  -.  x  e.  { j } )
162160, 161sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( { E }  i^i  {
j } )  =  (/) )
163 disjdif2 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { E }  i^i  { j } )  =  (/)  ->  ( { E }  \  { j } )  =  { E } )
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( { E }  \  {
j } )  =  { E } )
165164uneq2d 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  \  {
j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  { E } ) )
166143, 165eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  { E }
) )
167166prodeq1d 13968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  \  {
j } )  u. 
{ E } ) A )
168167adantlr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  \  {
j } )  u. 
{ E } ) A )
169 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  j  e.  D
1706, 169nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D
)
17199adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
17251adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ph )
173172, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  E  e.  _V )
174 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  E  e.  D
)
175174intnanrd 926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  ( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  ( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
177 eldif 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  e.  ( D  \  { j } )  <-> 
( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
178176, 177sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
17933, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
180172, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
181102adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D
)  /\  i  e.  ( D  \  { j } ) )  ->  A  e.  CC )
18280adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  F  e.  CC )
183170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182fprodsplitsn 14036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D 
\  { j } )  u.  { E } ) A  =  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )
184 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( prod_ i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
)  =  ( prod_
i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
) )
185168, 183, 1843eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  =  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )
186185oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  ( prod_
i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
) ) )
18796, 104, 182mulassd 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  (
( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F
)  =  ( C  x.  ( prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A  x.  F ) ) )
188187eqcomd 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
189186, 188eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F
) )
190189ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
j  e.  D  -> 
( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) )
19195, 190ralrimi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
192191sumeq2d 13761 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
19395, 83, 80, 105fsummulc1f 37476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D 
\  { j } ) A )  x.  F ) )
194193eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )
195 eqidd 2424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )
196192, 194, 1953eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
197106, 80mulcld 9665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  e.  CC )
198196, 197eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  e.  CC )
199198, 140addcomd 9837 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  +  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )  =  ( ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  +  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A ) ) )
20042oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
201200adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  D  A ) )
202201, 196oveq12d 6321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  +  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A ) )  =  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) )
203141, 199, 2023eqtrrd 2469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )  =  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) )
2041, 203mpteq2da 4507 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A
)  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E }
) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
20547, 108, 2043eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   F/wnf 1664    e. wcel 1869   F/_wnfc 2571   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   {cpr 3999    |-> cmpt 4480  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   CCcc 9539   RRcr 9540    + caddc 9544    x. cmul 9546   sum_csu 13745   prod_cprod 13952    _D cdv 22810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-prod 13953  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814
This theorem is referenced by:  dvmptfprod  37646
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