Theorem dvmptfprodlem 31980

Description: Induction step for dvmptfprod 31981. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprodlem.xph	|- F/ x ph
dvmptfprodlem.iph	|- F/ i ph
dvmptfprodlem.jph	|- F/ j ph
dvmptfprodlem.if	|- F/_ i F
dvmptfprodlem.jg	|- F/_ j G
dvmptfprodlem.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfprodlem.d	|- ( ph -> D e. Fin )
dvmptfprodlem.e	|- ( ph -> E e. _V )
dvmptfprodlem.db	|- ( ph -> -. E e. D )
dvmptfprodlem.ss	|- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
dvmptfprodlem.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfprodlem.c	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
dvmptfprodlem.dvp	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
dvmptfprodlem.14	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
dvmptfprodlem.dvf	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
dvmptfprodlem.f	|- ( i = E -> A = F )
dvmptfprodlem.cg	|- ( j = E -> C = G )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprodlem	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   D, i, j, x   i, E, j, x   j, F   i, I   i, X, j, x

Allowed substitution hints:   ph( x, i, j)   A( x, i)   C( x, i, j)   S( x, i, j)   F( x, i)   G( x, i, j)   I( x, j)

Proof of Theorem dvmptfprodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprodlem.xph	. . . 4 |- F/ x ph
2		dvmptfprodlem.iph	. . . . . . 7 |- F/ i ph
3		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ i x
4		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ i X
5	3, 4	nfel 2629	. . . . . . 7 |- F/ i x e. X
6	2, 5	nfan 1933	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ x e. X )
7		dvmptfprodlem.if	. . . . . . 7 |- F/_ i F
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F/_ i F )
9		dvmptfprodlem.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. Fin )
10		snfi 7589	. . . . . . . . 9 |- { E } e. Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { E } e. Fin )
12		unfi 7779	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. Fin /\ { E } e. Fin ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
13	9, 11, 12	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D u. { E } ) e. Fin )
14	13	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
15		simpll 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> ph )
16		dvmptfprodlem.ss	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
17	16	sselda 3489	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
18	17	adantlr 712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
19		simplr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> x e. X )
20		dvmptfprodlem.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> A e. CC )
22		dvmptfprodlem.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. _V )
23		snidg 4042	. . . . . . . . 9 |- ( E e. _V -> E e. { E } )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. { E } )
25		elun2 3658	. . . . . . . 8 |- ( E e. { E } -> E e. ( D u. { E } ) )
26	24, 25	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. ( D u. { E } ) )
27	26	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. ( D u. { E } ) )
28		dvmptfprodlem.f	. . . . . . 7 |- ( i = E -> A = F )
29	28	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F )
30	6, 8, 14, 21, 27, 29	fprodsplit1f 31832	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
31		difundir 3748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) )
33		dvmptfprodlem.db	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. E e. D )
34		difsn 4150	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E e. D -> ( D \ { E } ) = D )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D \ { E } ) = D )
36		difid 3884	. . . . . . . . . . 11 |- ( { E } \ { E } ) = (/)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { E } \ { E } ) = (/) )
38	35, 37	uneq12d 3645	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) = ( D u. (/) ) )
39		un0 3809	. . . . . . . . . 10 |- ( D u. (/) ) = D
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. (/) ) = D )
41	32, 38, 40	3eqtrd 2499	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = D )
42	41	prodeq1d 13810	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A = prod_ i e. D A )
43	42	oveq2d 6286	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
44	43	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
45	30, 44	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. D A ) )
46	1, 45	mpteq2da 4524	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) = ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) )
47	46	oveq2d 6286	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) )
48		dvmptfprodlem.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
49	16, 26	sseldd 3490	. . . . 5 |- ( ph -> E e. I )
50	49	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. I )
51		simpl 455	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
52		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
53	51, 50, 52	3jca 1174	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
54		nfcv 2616	. . . . 5 |- F/_ i E
55		nfv 1712	. . . . . . 7 |- F/ i E e. I
56	2, 55, 5	nf3an 1935	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ E e. I /\ x e. X )
57		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ i CC
58	7, 57	nfel 2629	. . . . . 6 |- F/ i F e. CC
59	56, 58	nfim 1925	. . . . 5 |- F/ i ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC )
60		ancom 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) <-> ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) )
61	60	imbi1i 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) )
62		eqcom 2463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = F <-> F = A )
63	62	imbi2i 310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
64	61, 63	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
65	29, 64	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A )
66	65	3adantr2 1154	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
67	66	3adant2 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
68		simp3 996	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
69		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = E -> ( i e. I <-> E e. I ) )
70	69	3anbi2d 1302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = E -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) )
71	70	imbi1d 315	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
72	71	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
73	72	3adant3 1014	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
74	68, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
75	67, 74	eqeltrd 2542	. . . . . . 7 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F e. CC )
76	75	3exp 1193	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
77	20	a1ii 27	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
78	76, 77	impbid 191	. . . . 5 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
79	54, 59, 78, 20	vtoclgf 3162	. . . 4 |- ( E e. I -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) )
80	50, 53, 79	sylc 60	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F e. CC )
81		dvmptfprodlem.14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
82		dvmptfprodlem.dvf	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
83	51, 9	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. Fin )
84	51	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> ph )
85	16	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
86		elun1 3657	. . . . . . . 8 |- ( i e. D -> i e. ( D u. { E } ) )
87	86	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. ( D u. { E } ) )
88	85, 87	sseldd 3490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. I )
89	88	adantlr 712	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> i e. I )
90	52	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> x e. X )
91	84, 89, 90, 20	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> A e. CC )
92	6, 83, 91	fprodclf 31834	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. D A e. CC )
93		dvmptfprodlem.jph	. . . . 5 |- F/ j ph
94		nfv 1712	. . . . 5 |- F/ j x e. X
95	93, 94	nfan 1933	. . . 4 |- F/ j ( ph /\ x e. X )
96		dvmptfprodlem.c	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
97		diffi 7744	. . . . . . . . 9 |- ( D e. Fin -> ( D \ { j } ) e. Fin )
98	9, 97	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D \ { j } ) e. Fin )
99	98	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
100		eldifi 3612	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( D \ { j } ) -> i e. D )
101	100	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> i e. D )
102	101, 91	syldan 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
103	6, 99, 102	fprodclf 31834	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
104	103	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
105	96, 104	mulcld 9605	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
106	95, 83, 105	fsumclf 31806	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
107		dvmptfprodlem.dvp	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
108	1, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107	dvmptmulf 31973	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) )
109		dvmptfprodlem.jg	. . . . . 6 |- F/_ j G
110		nfcv 2616	. . . . . 6 |- F/_ j x.
111		nfcv 2616	. . . . . 6 |- F/_ j prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A
112	109, 110, 111	nfov 6296	. . . . 5 |- F/_ j ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
113	51, 22	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. _V )
114	51, 33	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. E e. D )
115		diffi 7744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) e. Fin -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
116	13, 115	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
117	116	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
118		eldifi 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
119	118	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
120	119, 21	syldan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> A e. CC )
121	6, 117, 120	fprodclf 31834	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
122	121	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
123	96, 122	mulcld 9605	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
124		dvmptfprodlem.cg	. . . . . 6 |- ( j = E -> C = G )
125		sneq 4026	. . . . . . . 8 |- ( j = E -> { j } = { E } )
126	125	difeq2d 3608	. . . . . . 7 |- ( j = E -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D u. { E } ) \ { E } ) )
127	126	prodeq1d 13810	. . . . . 6 |- ( j = E -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
128	124, 127	oveq12d 6288	. . . . 5 |- ( j = E -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
129	41, 9	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
130	129	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
131	51	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ph )
132	16	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
133		eldifi 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
134	133	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
135	132, 134	sseldd 3490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
136	135	adantlr 712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
137	52	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> x e. X )
138	131, 136, 137, 20	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> A e. CC )
139	6, 130, 138	fprodclf 31834	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A e. CC )
140	81, 139	mulcld 9605	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) e. CC )
141	95, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140	fsumsplitsn 31810	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) )
142		difundir 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) )
144		nfv 1712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x j e. D
145	1, 144	nfan 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( ph /\ j e. D )
146		elsni 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x e. { E } -> x = E )
147	146	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. { E } -> E = x )
148	147	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = x )
149		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> x = j )
150		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> j = j )
151	148, 149, 150	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = j )
152	151	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E = j )
153		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> j e. D )
154	152, 153	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E e. D )
155	33	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> -. E e. D )
156	154, 155	pm2.65da 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x = j )
157		elsn 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. { j } <-> x = j )
158	156, 157	sylnibr 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x e. { j } )
159	158	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( x e. { E } -> -. x e. { j } ) )
160	145, 159	ralrimi 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> A. x e. { E } -. x e. { j } )
161		disj 3855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) <-> A. x e. { E } -. x e. { j } )
162	160, 161	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } i^i { j } ) = (/) )
163		difeq2 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) -> ( { E } \ ( { E } i^i { j } ) ) = ( { E } \ (/) ) )
164		difin 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { E } \ ( { E } i^i { j } ) ) = ( { E } \ { j } )
165		dif0 3886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { E } \ (/) ) = { E }
166	163, 164, 165	3eqtr3g 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
167	162, 166	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
168	167	uneq2d 3644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
169	143, 168	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
170	169	prodeq1d 13810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
171	170	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
172		nfv 1712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i j e. D
173	6, 172	nfan 1933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D )
174	99	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
175	51	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ph )
176	175, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> E e. _V )
177		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. E e. D )
178	177	intnanrd 915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
179	177, 178	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
180		eldif 3471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E e. ( D \ { j } ) <-> ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
181	179, 180	sylnibr 303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E e. D -> -. E e. ( D \ { j } ) )
182	33, 181	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. E e. ( D \ { j } ) )
183	175, 182	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> -. E e. ( D \ { j } ) )
184	102	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
185	80	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> F e. CC )
186	173, 7, 174, 176, 183, 184, 28, 185	fprodsplitsn 31831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
187		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
188	171, 186, 187	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
189	188	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
190	96, 104, 185	mulassd 9608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
191	190	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
192	189, 191	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
193	192	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( j e. D -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
194	95, 193	ralrimi 2854	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
195	194	sumeq2d 13606	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
196	95, 83, 80, 105	fsummulc1f 31808	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
197	196	eqcomd 2462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
198		eqidd 2455	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
199	195, 197, 198	3eqtrd 2499	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
200	106, 80	mulcld 9605	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) e. CC )
201	199, 200	eqeltrd 2542	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
202	201, 140	addcomd 9771	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
203	42	oveq2d 6286	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
204	203	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
205	204, 199	oveq12d 6288	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
206	141, 202, 205	3eqtrrd 2500	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) = sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) )
207	1, 206	mpteq2da 4524	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
208	47, 108, 207	3eqtrd 2499	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   F/wnf 1621   e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   A.wral 2804   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   |-> cmpt 4497  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   + caddc 9484   x. cmul 9486   sum_csu 13590   prod_cprod 13794   _D cdv 22433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-prod 13795  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437

This theorem is referenced by:  dvmptfprod  31981