Theorem dvmptfprodlem 37916

Description: Induction step for dvmptfprod 37917. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprodlem.xph	|- F/ x ph
dvmptfprodlem.iph	|- F/ i ph
dvmptfprodlem.jph	|- F/ j ph
dvmptfprodlem.if	|- F/_ i F
dvmptfprodlem.jg	|- F/_ j G
dvmptfprodlem.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfprodlem.d	|- ( ph -> D e. Fin )
dvmptfprodlem.e	|- ( ph -> E e. _V )
dvmptfprodlem.db	|- ( ph -> -. E e. D )
dvmptfprodlem.ss	|- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
dvmptfprodlem.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfprodlem.c	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
dvmptfprodlem.dvp	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
dvmptfprodlem.14	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
dvmptfprodlem.dvf	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
dvmptfprodlem.f	|- ( i = E -> A = F )
dvmptfprodlem.cg	|- ( j = E -> C = G )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprodlem	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   D, i, j, x   i, E, j, x   j, F   i, I   i, X, j, x

Allowed substitution hints:   ph( x, i, j)   A( x, i)   C( x, i, j)   S( x, i, j)   F( x, i)   G( x, i, j)   I( x, j)

Proof of Theorem dvmptfprodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprodlem.xph	. . . 4 |- F/ x ph
2		dvmptfprodlem.iph	. . . . . . 7 |- F/ i ph
3		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ i x
4		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ i X
5	3, 4	nfel 2624	. . . . . . 7 |- F/ i x e. X
6	2, 5	nfan 2031	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ x e. X )
7		dvmptfprodlem.if	. . . . . . 7 |- F/_ i F
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F/_ i F )
9		dvmptfprodlem.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. Fin )
10		snfi 7668	. . . . . . . . 9 |- { E } e. Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { E } e. Fin )
12		unfi 7856	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. Fin /\ { E } e. Fin ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
13	9, 11, 12	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D u. { E } ) e. Fin )
14	13	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
15		simpll 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> ph )
16		dvmptfprodlem.ss	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
17	16	sselda 3418	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
18	17	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
19		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> x e. X )
20		dvmptfprodlem.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> A e. CC )
22		dvmptfprodlem.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. _V )
23		snidg 3986	. . . . . . . . 9 |- ( E e. _V -> E e. { E } )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. { E } )
25		elun2 3593	. . . . . . . 8 |- ( E e. { E } -> E e. ( D u. { E } ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. ( D u. { E } ) )
27	26	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. ( D u. { E } ) )
28		dvmptfprodlem.f	. . . . . . 7 |- ( i = E -> A = F )
29	28	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F )
30	6, 8, 14, 21, 27, 29	fprodsplit1f 14121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
31		difundir 3687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) )
33		dvmptfprodlem.db	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. E e. D )
34		difsn 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E e. D -> ( D \ { E } ) = D )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D \ { E } ) = D )
36		difid 3747	. . . . . . . . . . 11 |- ( { E } \ { E } ) = (/)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { E } \ { E } ) = (/) )
38	35, 37	uneq12d 3580	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) = ( D u. (/) ) )
39		un0 3762	. . . . . . . . . 10 |- ( D u. (/) ) = D
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. (/) ) = D )
41	32, 38, 40	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = D )
42	41	prodeq1d 14052	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A = prod_ i e. D A )
43	42	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
44	43	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
45	30, 44	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. D A ) )
46	1, 45	mpteq2da 4481	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) = ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) )
47	46	oveq2d 6324	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) )
48		dvmptfprodlem.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
49	16, 26	sseldd 3419	. . . . 5 |- ( ph -> E e. I )
50	49	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. I )
51		simpl 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
52		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
53	51, 50, 52	3jca 1210	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
54		nfcv 2612	. . . . 5 |- F/_ i E
55		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ i E e. I
56	2, 55, 5	nf3an 2033	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ E e. I /\ x e. X )
57		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ i CC
58	7, 57	nfel 2624	. . . . . 6 |- F/ i F e. CC
59	56, 58	nfim 2023	. . . . 5 |- F/ i ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC )
60		ancom 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) <-> ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) )
61	60	imbi1i 332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) )
62		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = F <-> F = A )
63	62	imbi2i 319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
64	61, 63	bitri 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
65	29, 64	mpbi 213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A )
66	65	3adantr2 1190	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
67	66	3adant2 1049	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
68		simp3 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
69		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = E -> ( i e. I <-> E e. I ) )
70	69	3anbi2d 1370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = E -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) )
71	70	imbi1d 324	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
72	71	biimpa 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
73	72	3adant3 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
74	68, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
75	67, 74	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F e. CC )
76	75	3exp 1230	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
77	20	2a1i 12	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
78	76, 77	impbid 195	. . . . 5 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
79	54, 59, 78, 20	vtoclgf 3091	. . . 4 |- ( E e. I -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) )
80	50, 53, 79	sylc 61	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F e. CC )
81		dvmptfprodlem.14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
82		dvmptfprodlem.dvf	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
83	51, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. Fin )
84	51	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> ph )
85	16	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
86		elun1 3592	. . . . . . . 8 |- ( i e. D -> i e. ( D u. { E } ) )
87	86	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. ( D u. { E } ) )
88	85, 87	sseldd 3419	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. I )
89	88	adantlr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> i e. I )
90	52	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> x e. X )
91	84, 89, 90, 20	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> A e. CC )
92	6, 83, 91	fprodclf 14123	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. D A e. CC )
93		dvmptfprodlem.jph	. . . . 5 |- F/ j ph
94		nfv 1769	. . . . 5 |- F/ j x e. X
95	93, 94	nfan 2031	. . . 4 |- F/ j ( ph /\ x e. X )
96		dvmptfprodlem.c	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
97		diffi 7821	. . . . . . . . 9 |- ( D e. Fin -> ( D \ { j } ) e. Fin )
98	9, 97	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D \ { j } ) e. Fin )
99	98	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
100		eldifi 3544	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( D \ { j } ) -> i e. D )
101	100	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> i e. D )
102	101, 91	syldan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
103	6, 99, 102	fprodclf 14123	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
104	103	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
105	96, 104	mulcld 9681	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
106	95, 83, 105	fsumclf 37741	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
107		dvmptfprodlem.dvp	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
108	1, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107	dvmptmulf 37909	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) )
109		dvmptfprodlem.jg	. . . . . 6 |- F/_ j G
110		nfcv 2612	. . . . . 6 |- F/_ j x.
111		nfcv 2612	. . . . . 6 |- F/_ j prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A
112	109, 110, 111	nfov 6334	. . . . 5 |- F/_ j ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
113	51, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. _V )
114	51, 33	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. E e. D )
115		diffi 7821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) e. Fin -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
116	13, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
117	116	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
118		eldifi 3544	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
119	118	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
120	119, 21	syldan 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> A e. CC )
121	6, 117, 120	fprodclf 14123	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
122	121	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
123	96, 122	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
124		dvmptfprodlem.cg	. . . . . 6 |- ( j = E -> C = G )
125		sneq 3969	. . . . . . . 8 |- ( j = E -> { j } = { E } )
126	125	difeq2d 3540	. . . . . . 7 |- ( j = E -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D u. { E } ) \ { E } ) )
127	126	prodeq1d 14052	. . . . . 6 |- ( j = E -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
128	124, 127	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( j = E -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
129	41, 9	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
130	129	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
131	51	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ph )
132	16	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
133		eldifi 3544	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
134	133	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
135	132, 134	sseldd 3419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
136	135	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
137	52	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> x e. X )
138	131, 136, 137, 20	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> A e. CC )
139	6, 130, 138	fprodclf 14123	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A e. CC )
140	81, 139	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) e. CC )
141	95, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140	fsumsplitsn 37745	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) )
142		difundir 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) )
144		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x j e. D
145	1, 144	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( ph /\ j e. D )
146		elsni 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x e. { E } -> x = E )
147	146	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. { E } -> E = x )
148	147	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = x )
149		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> x = j )
150		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> j = j )
151	148, 149, 150	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = j )
152	151	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E = j )
153		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> j e. D )
154	152, 153	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E e. D )
155	33	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> -. E e. D )
156	154, 155	pm2.65da 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x = j )
157		elsn 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. { j } <-> x = j )
158	156, 157	sylnibr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x e. { j } )
159	158	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( x e. { E } -> -. x e. { j } ) )
160	145, 159	ralrimi 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> A. x e. { E } -. x e. { j } )
161		disj 3809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) <-> A. x e. { E } -. x e. { j } )
162	160, 161	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } i^i { j } ) = (/) )
163		disjdif2 3837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
165	164	uneq2d 3579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
166	143, 165	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
167	166	prodeq1d 14052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
168	167	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
169		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i j e. D
170	6, 169	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D )
171	99	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
172	51	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ph )
173	172, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> E e. _V )
174		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. E e. D )
175	174	intnanrd 931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
177		eldif 3400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E e. ( D \ { j } ) <-> ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
178	176, 177	sylnibr 312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E e. D -> -. E e. ( D \ { j } ) )
179	33, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. E e. ( D \ { j } ) )
180	172, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> -. E e. ( D \ { j } ) )
181	102	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
182	80	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> F e. CC )
183	170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182	fprodsplitsn 14120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
184		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
185	168, 183, 184	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
186	185	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
187	96, 104, 182	mulassd 9684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
188	187	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
189	186, 188	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
190	189	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( j e. D -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
191	95, 190	ralrimi 2800	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
192	191	sumeq2d 13845	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
193	95, 83, 80, 105	fsummulc1f 37743	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
194	193	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
195		eqidd 2472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
196	192, 194, 195	3eqtrd 2509	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
197	106, 80	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) e. CC )
198	196, 197	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
199	198, 140	addcomd 9853	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
200	42	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
201	200	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
202	201, 196	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
203	141, 199, 202	3eqtrrd 2510	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) = sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) )
204	1, 203	mpteq2da 4481	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
205	47, 108, 204	3eqtrd 2509	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   A.wral 2756   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   |-> cmpt 4454  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   + caddc 9560   x. cmul 9562   sum_csu 13829   prod_cprod 14036   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  dvmptfprod  37917