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Theorem dvmptfprodlem 37916
Description: Induction step for dvmptfprod 37917. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph  |-  F/ x ph
dvmptfprodlem.iph  |-  F/ i
ph
dvmptfprodlem.jph  |-  F/ j
ph
dvmptfprodlem.if  |-  F/_ i F
dvmptfprodlem.jg  |-  F/_ j G
dvmptfprodlem.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfprodlem.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
dvmptfprodlem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
dvmptfprodlem.db  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  D
)
dvmptfprodlem.ss  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
dvmptfprodlem.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfprodlem.c  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  C  e.  CC )
dvmptfprodlem.dvp  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  D  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A ) ) )
dvmptfprodlem.14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  CC )
dvmptfprodlem.dvf  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  F ) )  =  ( x  e.  X  |->  G ) )
dvmptfprodlem.f  |-  ( i  =  E  ->  A  =  F )
dvmptfprodlem.cg  |-  ( j  =  E  ->  C  =  G )
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    D, i, j, x    i, E, j, x    j, F   
i, I    i, X, j, x
Allowed substitution hints:    ph( x, i, j)    A( x, i)    C( x, i, j)    S( x, i, j)    F( x, i)    G( x, i, j)    I( x, j)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4  |-  F/ x ph
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7  |-  F/ i
ph
3 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
x
4 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ i X
53, 4nfel 2624 . . . . . . 7  |-  F/ i  x  e.  X
62, 5nfan 2031 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  x  e.  X )
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7  |-  F/_ i F
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F/_ i F )
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
10 snfi 7668 . . . . . . . . 9  |-  { E }  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { E }  e.  Fin )
12 unfi 7856 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  { E }  e.  Fin )  ->  ( D  u.  { E } )  e. 
Fin )
139, 11, 12syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  e.  Fin )
1413adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  u.  { E } )  e.  Fin )
15 simpll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  ph )
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
1716sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  -> 
i  e.  I )
1817adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  -> 
i  e.  I )
19 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  x  e.  X )
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  u.  { E } ) )  ->  A  e.  CC )
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
23 snidg 3986 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  _V  ->  E  e.  { E } )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  { E } )
25 elun2 3593 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  { E }  ->  E  e.  ( D  u.  { E }
) )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  ( D  u.  { E }
) )
2726adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  ( D  u.  { E } ) )
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7  |-  ( i  =  E  ->  A  =  F )
2928adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E )  ->  A  =  F )
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 14121 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A  =  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )
31 difundir 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) ) )
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  D
)
34 difsn 4097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  E  e.  D  -> 
( D  \  { E } )  =  D )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  \  { E } )  =  D )
36 difid 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { E }  \  { E } )  =  (/)
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { E }  \  { E } )  =  (/) )
3835, 37uneq12d 3580 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  \  { E } )  u.  ( { E }  \  { E } ) )  =  ( D  u.  (/) ) )
39 un0 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  u.  (/) )  =  D
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  u.  (/) )  =  D )
4132, 38, 403eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  =  D )
4241prodeq1d 14052 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A  = 
prod_ i  e.  D  A )
4342oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
4443adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A ) )
4530, 44eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A  =  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
461, 45mpteq2da 4481 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  ( D  u.  { E } ) A )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A
) ) )
4746oveq2d 6324 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A ) ) ) )
48 dvmptfprodlem.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4916, 26sseldd 3419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  I )
5049adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  I )
51 simpl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ph )
52 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
5351, 50, 523jca 1210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
) )
54 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ i E
55 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ i  E  e.  I
562, 55, 5nf3an 2033 . . . . . 6  |-  F/ i ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
57 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ i CC
587, 57nfel 2624 . . . . . 6  |-  F/ i  F  e.  CC
5956, 58nfim 2023 . . . . 5  |-  F/ i ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
60 ancom 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E )  <->  ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X
) ) )
6160imbi1i 332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  A  =  F )
)
62 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  F  <->  F  =  A )
6362imbi2i 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X )
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
)
6461, 63bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  =  E
)  ->  A  =  F )  <->  ( (
i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
)
6529, 64mpbi 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
66653adantr2 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  F  =  A )
67663adant2 1049 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  F  =  A )
68 simp3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)
69 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  E  ->  (
i  e.  I  <->  E  e.  I ) )
70693anbi2d 1370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  E  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
7170imbi1d 324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) ) )
7271biimpa 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) )  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC ) )
73723adant3 1050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC ) )
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  A  e.  CC )
7567, 74eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  E  /\  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  /\  ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )
)  ->  F  e.  CC )
76753exp 1230 . . . . . 6  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  ->  ( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) ) )
77202a1i 12 . . . . . 6  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC ) ) )
7876, 77impbid 195 . . . . 5  |-  ( i  =  E  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) ) )
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3091 . . . 4  |-  ( E  e.  I  ->  (
( ph  /\  E  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC ) )
8050, 53, 79sylc 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
81 dvmptfprodlem.14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  CC )
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  F ) )  =  ( x  e.  X  |->  G ) )
8351, 9syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  Fin )
8451adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  ph )
8516adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I
)
86 elun1 3592 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  D  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
8786adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
8885, 87sseldd 3419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  I )
8988adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  I )
9052adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  x  e.  X )
9184, 89, 90, 20syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  D )  ->  A  e.  CC )
926, 83, 91fprodclf 14123 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  D  A  e.  CC )
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5  |-  F/ j
ph
94 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ j  x  e.  X
9593, 94nfan 2031 . . . 4  |-  F/ j ( ph  /\  x  e.  X )
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  C  e.  CC )
97 diffi 7821 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
989, 97syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  \  {
j } )  e. 
Fin )
9998adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
100 eldifi 3544 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( D  \  { j } )  ->  i  e.  D
)
101100adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  \  {
j } ) )  ->  i  e.  D
)
102101, 91syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( D  \  {
j } ) )  ->  A  e.  CC )
1036, 99, 102fprodclf 14123 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  e.  CC )
104103adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  e.  CC )
10596, 104mulcld 9681 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  e.  CC )
10695, 83, 105fsumclf 37741 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  e.  CC )
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  D  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A ) ) )
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 37909 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( F  x.  prod_ i  e.  D  A )
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) ) )
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6  |-  F/_ j G
110 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ j  x.
111 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ j prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A
112109, 110, 111nfov 6334 . . . . 5  |-  F/_ j
( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )
11351, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  _V )
11451, 33syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -.  E  e.  D )
115 diffi 7821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  u.  { E } )  e.  Fin  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } )  e.  Fin )
11613, 115syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } )  e.  Fin )
117116adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  e. 
Fin )
118 eldifi 3544 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
119118adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
120119, 21syldan 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) )  ->  A  e.  CC )
1216, 117, 120fprodclf 14123 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  e.  CC )
122121adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  e.  CC )
12396, 122mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  e.  CC )
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6  |-  ( j  =  E  ->  C  =  G )
125 sneq 3969 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  E  ->  { j }  =  { E } )
126125difeq2d 3540 . . . . . . 7  |-  ( j  =  E  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )
127126prodeq1d 14052 . . . . . 6  |-  ( j  =  E  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )
128124, 127oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( j  =  E  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )
12941, 9eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } )  e. 
Fin )
130129adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  { E } )  e.  Fin )
13151adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  ph )
13216adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  ( D  u.  { E } )  C_  I )
133 eldifi 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
134133adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  ( D  u.  { E } ) )
135132, 134sseldd 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  I
)
136135adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  i  e.  I
)
13752adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  x  e.  X
)
138131, 136, 137, 20syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) )  ->  A  e.  CC )
1396, 130, 138fprodclf 14123 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A  e.  CC )
14081, 139mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  e.  CC )
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 37745 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  +  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) ) )
142 difundir 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) ) )
144 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x  j  e.  D
1451, 144nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( ph  /\  j  e.  D )
146 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  { E }  ->  x  =  E )
147146eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  { E }  ->  E  =  x )
148147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  E  =  x )
149 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  x  =  j )
150 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  j  =  j )
151148, 149, 1503eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  { E }  /\  x  =  j )  ->  E  =  j )
152151adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  E  =  j )
153 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  -> 
j  e.  D )
154152, 153eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  E  e.  D )
15533ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  /\  x  =  j )  ->  -.  E  e.  D
)
156154, 155pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  ->  -.  x  =  j )
157 elsn 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  { j }  <-> 
x  =  j )
158156, 157sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  D )  /\  x  e.  { E } )  ->  -.  x  e.  { j } )
159158ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
x  e.  { E }  ->  -.  x  e.  { j } ) )
160145, 159ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  A. x  e.  { E }  -.  x  e.  { j } )
161 disj 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { E }  i^i  { j } )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  { E }  -.  x  e.  { j } )
162160, 161sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( { E }  i^i  {
j } )  =  (/) )
163 disjdif2 3837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { E }  i^i  { j } )  =  (/)  ->  ( { E }  \  { j } )  =  { E } )
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( { E }  \  {
j } )  =  { E } )
165164uneq2d 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  \  {
j } )  u.  ( { E }  \  { j } ) )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  { E } ) )
166143, 165eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
( D  u.  { E } )  \  {
j } )  =  ( ( D  \  { j } )  u.  { E }
) )
167166prodeq1d 14052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  \  {
j } )  u. 
{ E } ) A )
168167adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( D  \  {
j } )  u. 
{ E } ) A )
169 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  j  e.  D
1706, 169nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D
)
17199adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( D  \  { j } )  e.  Fin )
17251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ph )
173172, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  E  e.  _V )
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  E  e.  D
)
175174intnanrd 931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  ( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  ( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
177 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  e.  ( D  \  { j } )  <-> 
( E  e.  D  /\  -.  E  e.  {
j } ) )
178176, 177sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  E  e.  D  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
17933, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
180172, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  -.  E  e.  ( D  \  { j } ) )
181102adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D
)  /\  i  e.  ( D  \  { j } ) )  ->  A  e.  CC )
18280adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  F  e.  CC )
183170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182fprodsplitsn 14120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D 
\  { j } )  u.  { E } ) A  =  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )
184 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( prod_ i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
)  =  ( prod_
i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
) )
185168, 183, 1843eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A  =  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )
186185oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  ( prod_
i  e.  ( D 
\  { j } ) A  x.  F
) ) )
18796, 104, 182mulassd 9684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  (
( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F
)  =  ( C  x.  ( prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A  x.  F ) ) )
188187eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  ( prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A  x.  F ) )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
189186, 188eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  j  e.  D )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F
) )
190189ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
j  e.  D  -> 
( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) )
19195, 190ralrimi 2800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
192191sumeq2d 13845 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
19395, 83, 80, 105fsummulc1f 37743 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D 
\  { j } ) A )  x.  F ) )
194193eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )
195 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )
196192, 194, 1953eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  =  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) )
197106, 80mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F )  e.  CC )
198196, 197eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A )  e.  CC )
199198, 140addcomd 9853 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { j } ) A )  +  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A ) )  =  ( ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  +  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A ) ) )
20042oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  D  A
) )
201200adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  { E } ) A )  =  ( G  x.  prod_ i  e.  D  A ) )
202201, 196oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { E } ) A )  +  sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E }
)  \  { j } ) A ) )  =  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) ) )
203141, 199, 2023eqtrrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G  x.  prod_ i  e.  D  A )  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  { j } ) A )  x.  F ) )  =  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) )
2041, 203mpteq2da 4481 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( G  x.  prod_ i  e.  D  A
)  +  ( sum_ j  e.  D  ( C  x.  prod_ i  e.  ( D  \  {
j } ) A )  x.  F ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E }
) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
20547, 108, 2043eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( D  u.  { E }
) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( D  u.  { E } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( D  u.  { E } )  \  {
j } ) A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961    |-> cmpt 4454  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556    + caddc 9560    x. cmul 9562   sum_csu 13829   prod_cprod 14036    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  dvmptfprod  37917
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