Theorem dvmptfprod 37917

Description: Function-builder for derivative, finite product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprod.iph	|- F/ i ph
dvmptfprod.jph	|- F/ j ph
dvmptfprod.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfprod.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfprod.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfprod.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfprod.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfprod.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfprod.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfprod.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptfprod.bc	|- ( i = j -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprod	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   C, i   i, I, j, x   S, i, j, x   i, X, j, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( i, j)   A( x, i)   B( x, i, j)   C( x, j)   J( x, i, j)   K( x, i, j)

Proof of Theorem dvmptfprod

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprod.i	. 2 |- ( ph -> I e. Fin )
2		ssid 3437	. . 3 |- I C_ I
3	2	jctr 551	. 2 |- ( ph -> ( ph /\ I C_ I ) )
4		sseq1 3439	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
5	4	anbi2d 718	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ (/) C_ I ) ) )
6		prodeq1 14040	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> prod_ i e. a A = prod_ i e. (/) A )
7	6	mpteq2dv 4483	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) )
8	7	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) )
9		sumeq1 13832	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
10		difeq1 3533	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( a \ { j } ) = ( (/) \ { j } ) )
11	10	prodeq1d 14052	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A )
12	11	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
13	12	sumeq2sdv 13847	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
14	9, 13	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
15	14	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
16	8, 15	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) ) )
17	5, 16	imbi12d 327	. . 3 |- ( a = (/) -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) ) ) )
18		sseq1 3439	. . . . 5 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
19	18	anbi2d 718	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ b C_ I ) ) )
20		prodeq1 14040	. . . . . . 7 |- ( a = b -> prod_ i e. a A = prod_ i e. b A )
21	20	mpteq2dv 4483	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
22	21	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) )
23		sumeq1 13832	. . . . . . 7 |- ( a = b -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
24		difeq1 3533	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( a \ { j } ) = ( b \ { j } ) )
25	24	prodeq1d 14052	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
26	25	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
27	26	sumeq2sdv 13847	. . . . . . 7 |- ( a = b -> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
28	23, 27	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( a = b -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
29	28	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
30	22, 29	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) )
31	19, 30	imbi12d 327	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) ) )
32		sseq1 3439	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
33	32	anbi2d 718	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) )
34		prodeq1 14040	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> prod_ i e. a A = prod_ i e. ( b u. { c } ) A )
35	34	mpteq2dv 4483	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
36	35	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
37		sumeq1 13832	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
38		difeq1 3533	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a \ { j } ) = ( ( b u. { c } ) \ { j } ) )
39	38	prodeq1d 14052	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A )
40	39	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) )
41	40	sumeq2sdv 13847	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) )
42	37, 41	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) )
43	42	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) )
44	36, 43	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) ) )
45	33, 44	imbi12d 327	. . 3 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) ) ) )
46		sseq1 3439	. . . . 5 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
47	46	anbi2d 718	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ I C_ I ) ) )
48		prodeq1 14040	. . . . . . 7 |- ( a = I -> prod_ i e. a A = prod_ i e. I A )
49	48	mpteq2dv 4483	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) )
50	49	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) )
51		sumeq1 13832	. . . . . . 7 |- ( a = I -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
52		difeq1 3533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = I -> ( a \ { j } ) = ( I \ { j } ) )
53	52	prodeq1d 14052	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = I -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( I \ { j } ) A )
54	53	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( a = I -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
55	54	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> ( j e. I -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )
56	55	ralrimiv 2808	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> A. j e. I ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
57	56	sumeq2d 13845	. . . . . . 7 |- ( a = I -> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
58	51, 57	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( a = I -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
59	58	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )
60	50, 59	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) ) )
61	47, 60	imbi12d 327	. . 3 |- ( a = I -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ I C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) ) ) )
62		prod0 14074	. . . . . . . 8 |- prod_ i e. (/) A = 1
63	62	mpteq2i 4479	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 1 )
64	63	oveq2i 6319	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 1 ) )
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 1 ) ) )
66		dvmptfprod.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
67		dvmptfprod.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. J )
68		dvmptfprod.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t S )
69		dvmptfprod.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
70	69	oveq1i 6318	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t S ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
71	68, 70	eqtri 2493	. . . . . . 7 |- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
72	67, 71	syl6eleq 2559	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
73		1cnd 9677	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
74	66, 72, 73	dvmptconst 37882	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 1 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
75		sum0 13864	. . . . . . . 8 |- sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) = 0
76	75	eqcomi 2480	. . . . . . 7 |- 0 = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A )
77	76	mpteq2i 4479	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> 0 ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
78	77	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
79	65, 74, 78	3eqtrd 2509	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
80	79	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ (/) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
81		simp3 1032	. . . . 5 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) )
82		simp1r 1055	. . . . 5 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> -. c e. b )
83		simpl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ph )
84		ssun1 3588	. . . . . . . . . . 11 |- b C_ ( b u. { c } )
85		sstr2 3425	. . . . . . . . . . 11 |- ( b C_ ( b u. { c } ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I ) )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
87	86	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
88	83, 87	jca 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( ph /\ b C_ I ) )
89	88	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( ph /\ b C_ I ) )
90		simpl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) )
91	89, 90	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
92	91	3adant1 1048	. . . . 5 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
93		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b )
94		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ x S
95		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ x _D
96		nfmpt1 4485	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. X |-> prod_ i e. b A )
97	94, 95, 96	nfov 6334	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
98		nfmpt1 4485	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
99	97, 98	nfeq 2623	. . . . . . 7 |- F/ x ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
100	93, 99	nfan 2031	. . . . . 6 |- F/ x ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
101		dvmptfprod.iph	. . . . . . . . 9 |- F/ i ph
102		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( b u. { c } ) C_ I
103	101, 102	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I )
104		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ i -. c e. b
105	103, 104	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b )
106		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ i S
107		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ i _D
108		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i X
109		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i b
110	109	nfcprod1 14041	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i prod_ i e. b A
111	108, 110	nfmpt 4484	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( x e. X |-> prod_ i e. b A )
112	106, 107, 111	nfov 6334	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
113		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i C
114		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i x.
115		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( b \ { j } )
116	115	nfcprod1 14041	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i prod_ i e. ( b \ { j } ) A
117	113, 114, 116	nfov 6334	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
118	109, 117	nfsum 13834	. . . . . . . . 9 |- F/_ i sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
119	108, 118	nfmpt 4484	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
120	112, 119	nfeq 2623	. . . . . . 7 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
121	105, 120	nfan 2031	. . . . . 6 |- F/ i ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
122		dvmptfprod.jph	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
123		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( b u. { c } ) C_ I
124	122, 123	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I )
125		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ j -. c e. b
126	124, 125	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b )
127		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
128		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ j X
129		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j b
130	129	nfsum1 13833	. . . . . . . . 9 |- F/_ j sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
131	128, 130	nfmpt 4484	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
132	127, 131	nfeq 2623	. . . . . . 7 |- F/ j ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
133	126, 132	nfan 2031	. . . . . 6 |- F/ j ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
134		nfcsb1v 3365	. . . . . 6 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
135		nfcsb1v 3365	. . . . . 6 |- F/_ j [_ c / j ]_ C
136	83	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ph )
137	136	3ad2ant1 1051	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> ph )
138		simp2 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> i e. I )
139		simp3 1032	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> x e. X )
140		dvmptfprod.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
141	137, 138, 139, 140	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
142	136, 1	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> I e. Fin )
143	87	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> b C_ I )
144		ssfi 7810	. . . . . . 7 |- ( ( I e. Fin /\ b C_ I ) -> b e. Fin )
145	142, 143, 144	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> b e. Fin )
146		vex 3034	. . . . . . 7 |- c e. _V
147	146	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> c e. _V )
148		simplr 770	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> -. c e. b )
149		simpllr 777	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
150	66	ad3antrrr 744	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
151	136	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> ph )
152	143	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> b C_ I )
153		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> j e. b )
154	152, 153	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> j e. I )
155		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> x e. X )
156		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ i j e. I
157		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ i x e. X
158	101, 156, 157	nf3an 2033	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ j e. I /\ x e. X )
159		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ i C e. CC
160	158, 159	nfim 2023	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC )
161		eleq1 2537	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( i e. I <-> j e. I ) )
162	161	3anbi2d 1370	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) ) )
163		dvmptfprod.bc	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> B = C )
164	163	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
165	162, 164	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC ) ) )
166		dvmptfprod.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
167	160, 165, 166	chvar 2119	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC )
168	151, 154, 155, 167	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> C e. CC )
169		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
170	83	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> ph )
171		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( b u. { c } ) C_ I )
172	146	snid 3988	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. { c }
173		elun2 3593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. { c } -> c e. ( b u. { c } ) )
174	172, 173	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- c e. ( b u. { c } )
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. ( b u. { c } ) )
176	171, 175	sseldd 3419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
177	176	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> c e. I )
178		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> x e. X )
179		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j c e. I
180		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j x e. X
181	122, 179, 180	nf3an 2033	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( ph /\ c e. I /\ x e. X )
182		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j CC
183	135, 182	nfel 2624	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j [_ c / j ]_ C e. CC
184	181, 183	nfim 2023	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
185		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = c -> ( j e. I <-> c e. I ) )
186	185	3anbi2d 1370	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) ) )
187		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = c -> C = [_ c / j ]_ C )
188	187	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( C e. CC <-> [_ c / j ]_ C e. CC ) )
189	186, 188	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( j = c -> ( ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC ) ) )
190	184, 189, 167	chvar 2119	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
191	170, 177, 178, 190	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
192	191	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
193	192	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
194	122, 179	nfan 2031	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ph /\ c e. I )
195		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
196	128, 135	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C )
197	195, 196	nfeq 2623	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C )
198	194, 197	nfim 2023	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
199	185	anbi2d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( j = c -> ( ( ph /\ j e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
200		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> [_ j / i ]_ A = [_ c / j ]_ [_ j / i ]_ A )
201		csbco 3359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ c / j ]_ [_ j / i ]_ A = [_ c / i ]_ A
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> [_ c / j ]_ [_ j / i ]_ A = [_ c / i ]_ A )
203	200, 202	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = c -> [_ j / i ]_ A = [_ c / i ]_ A )
204	203	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = c -> ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
205	204	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
206	187	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
207	205, 206	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( j = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) ) )
208	199, 207	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( j = c -> ( ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) ) ) )
209	101, 156	nfan 2031	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ph /\ j e. I )
210		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i [_ j / i ]_ A
211	108, 210	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A )
212	106, 107, 211	nfov 6334	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) )
213		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( x e. X |-> C )
214	212, 213	nfeq 2623	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C )
215	209, 214	nfim 2023	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
216	161	anbi2d 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ j e. I ) ) )
217		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> A = [_ j / i ]_ A )
218	217	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) )
219	218	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) )
220	163	idi 2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> B = C )
221	220	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> C ) )
222	219, 221	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) ) )
223	216, 222	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) ) ) )
224		dvmptfprod.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
225	215, 223, 224	chvar 2119	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
226	198, 208, 225	chvar 2119	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
227	176, 226	sylan2 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
228	227	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
229		csbeq1a 3358	. . . . . 6 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
230	100, 121, 133, 134, 135, 141, 145, 147, 148, 149, 150, 168, 169, 193, 228, 229, 187	dvmptfprodlem 37916	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) )
231	81, 82, 92, 230	syl21anc 1291	. . . 4 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) )
232	231	3exp 1230	. . 3 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) ) ) )
233	17, 31, 45, 61, 80, 232	findcard2s 7830	. 2 |- ( I e. Fin -> ( ( ph /\ I C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) ) )
234	1, 3, 233	sylc 61	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   [_csb 3349   \ cdif 3387   u. cun 3388   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   sum_csu 13829   prod_cprod 14036   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂ_fldccnfld 19047   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by: (None)