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Theorem dvmptfprod 37917
Description: Function-builder for derivative, finite product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprod.iph  |-  F/ i
ph
dvmptfprod.jph  |-  F/ j
ph
dvmptfprod.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptfprod.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptfprod.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfprod.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptfprod.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
dvmptfprod.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfprod.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
dvmptfprod.d  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptfprod.bc  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
dvmptfprod  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    C, i    i, I, j, x    S, i, j, x   
i, X, j, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( i, j)    A( x, i)    B( x, i, j)    C( x, j)    J( x, i, j)    K( x, i, j)

Proof of Theorem dvmptfprod
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvmptfprod.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
2 ssid 3437 . . 3  |-  I  C_  I
32jctr 551 . 2  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  C_  I ) )
4 sseq1 3439 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
54anbi2d 718 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  I )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  I ) ) )
6 prodeq1 14040 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  prod_ i  e.  a  A  =  prod_ i  e.  (/)  A )
76mpteq2dv 4483 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A ) )
87oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  (/)  A ) ) )
9 sumeq1 13832 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
10 difeq1 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
\  { j } )  =  ( (/)  \  { j } ) )
1110prodeq1d 14052 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A  =  prod_ i  e.  (
(/)  \  { j } ) A )
1211oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) )
1312sumeq2sdv 13847 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a 
\  { j } ) A )  = 
sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A ) )
149, 13eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A ) )
1514mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) )
168, 15eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) ) )
175, 16imbi12d 327 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  (/)  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  (
(/)  \  { j } ) A ) ) ) ) )
18 sseq1 3439 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  I  <->  b  C_  I ) )
1918anbi2d 718 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  /\  a  C_  I )  <->  ( ph  /\  b  C_  I )
) )
20 prodeq1 14040 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  prod_ i  e.  a  A  = 
prod_ i  e.  b  A )
2120mpteq2dv 4483 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A )
)
2221oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) ) )
23 sumeq1 13832 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
24 difeq1 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  \  { j } )  =  ( b  \  { j } ) )
2524prodeq1d 14052 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A  =  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A )
2625oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
2726sumeq2sdv 13847 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
2823, 27eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
2928mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
3022, 29eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) ) )
3119, 30imbi12d 327 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) ) )  <->  ( ( ph  /\  b  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) ) ) )
32 sseq1 3439 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  I 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )
3332anbi2d 718 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  I )  <->  (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I ) ) )
34 prodeq1 14040 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  prod_ i  e.  a  A  =  prod_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )
3534mpteq2dv 4483 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )
3635oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) ) )
37 sumeq1 13832 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
38 difeq1 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  \  { j } )  =  ( ( b  u.  { c } )  \  { j } ) )
3938prodeq1d 14052 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A )
4039oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a 
\  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  { c } )  \  { j } ) A ) )
4140sumeq2sdv 13847 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) )
4237, 41eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  { c } )  \  { j } ) A ) )
4342mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) ) )
4436, 43eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  (
b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  {
c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u. 
{ c } ) 
\  { j } ) A ) ) ) )
4533, 44imbi12d 327 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  {
c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u. 
{ c } ) 
\  { j } ) A ) ) ) ) )
46 sseq1 3439 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
a  C_  I  <->  I  C_  I
) )
4746anbi2d 718 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( ph  /\  a  C_  I )  <->  ( ph  /\  I  C_  I )
) )
48 prodeq1 14040 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  prod_ i  e.  a  A  = 
prod_ i  e.  I  A )
4948mpteq2dv 4483 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  I  A )
)
5049oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  I  A ) ) )
51 sumeq1 13832 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
52 difeq1 3533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  I  ->  (
a  \  { j } )  =  ( I  \  { j } ) )
5352prodeq1d 14052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  I  ->  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A  =  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A )
5453oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  I  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) )
5554a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
j  e.  I  -> 
( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
5655ralrimiv 2808 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  A. j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I 
\  { j } ) A ) )
5756sumeq2d 13845 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) )
5851, 57eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) )
5958mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
6050, 59eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) ) ) )
6147, 60imbi12d 327 . . 3  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) ) )  <->  ( ( ph  /\  I  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) ) ) ) )
62 prod0 14074 . . . . . . . 8  |-  prod_ i  e.  (/)  A  =  1
6362mpteq2i 4479 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A )  =  ( x  e.  X  |->  1 )
6463oveq2i 6319 . . . . . 6  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  1 ) )
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  1 ) ) )
66 dvmptfprod.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
67 dvmptfprod.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
68 dvmptfprod.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  S )
69 dvmptfprod.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
7069oveq1i 6318 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  S )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  S )
7168, 70eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
7267, 71syl6eleq 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
73 1cnd 9677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7466, 72, 73dvmptconst 37882 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
75 sum0 13864 . . . . . . . 8  |-  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A )  =  0
7675eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  0  =  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A )
7776mpteq2i 4479 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A ) )
7877a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  (
(/)  \  { j } ) A ) ) )
7965, 74, 783eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) )
8079adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) )
81 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  -> 
( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
) )
82 simp1r 1055 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  ->  -.  c  e.  b
)
83 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  ->  ph )
84 ssun1 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
85 sstr2 3425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b 
C_  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b 
C_  I ) )
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b  C_  I )
8786adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  -> 
b  C_  I )
8883, 87jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  -> 
( ph  /\  b  C_  I ) )
8988adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )
)  ->  ( ph  /\  b  C_  I )
)
90 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )
)  ->  ( ( ph  /\  b  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) ) )
9189, 90mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )
92913adant1 1048 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
93 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )
94 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x S
95 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  _D
96 nfmpt1 4485 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A )
9794, 95, 96nfov 6334 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )
98 nfmpt1 4485 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
9997, 98nfeq 2623 . . . . . . 7  |-  F/ x
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) )
10093, 99nfan 2031 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
101 dvmptfprod.iph . . . . . . . . 9  |-  F/ i
ph
102 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( b  u.  {
c } )  C_  I
103101, 102nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)
104 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ i  -.  c  e.  b
105103, 104nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )
106 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i S
107 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i  _D
108 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i X
109 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
b
110109nfcprod1 14041 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i prod_ i  e.  b  A
111108, 110nfmpt 4484 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A )
112106, 107, 111nfov 6334 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )
113 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i C
114 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i  x.
115 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( b  \  {
j } )
116115nfcprod1 14041 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i prod_ i  e.  ( b 
\  { j } ) A
117113, 114, 116nfov 6334 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A )
118109, 117nfsum 13834 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A )
119108, 118nfmpt 4484 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
120112, 119nfeq 2623 . . . . . . 7  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) )
121105, 120nfan 2031 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
122 dvmptfprod.jph . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
123 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( b  u.  {
c } )  C_  I
124122, 123nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)
125 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ j  -.  c  e.  b
126124, 125nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )
127 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )
128 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j X
129 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
b
130129nfsum1 13833 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A )
131128, 130nfmpt 4484 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
132127, 131nfeq 2623 . . . . . . 7  |-  F/ j ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) )
133126, 132nfan 2031 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
134 nfcsb1v 3365 . . . . . 6  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ A
135 nfcsb1v 3365 . . . . . 6  |-  F/_ j [_ c  /  j ]_ C
13683ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  ph )
1371363ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  ph )
138 simp2 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  i  e.  I )
139 simp3 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
140 dvmptfprod.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
141137, 138, 139, 140syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
142136, 1syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  I  e.  Fin )
14387ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
b  C_  I )
144 ssfi 7810 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  b  C_  I )  -> 
b  e.  Fin )
145142, 143, 144syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
b  e.  Fin )
146 vex 3034 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
147146a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
c  e.  _V )
148 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  -.  c  e.  b
)
149 simpllr 777 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( b  u.  {
c } )  C_  I )
15066ad3antrrr 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
151136ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  ph )
152143ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  b  C_  I )
153 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  b )
154152, 153sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  I )
155 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  x  e.  X )
156 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  j  e.  I
157 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  x  e.  X
158101, 156, 157nf3an 2033 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )
159 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  C  e.  CC
160158, 159nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
161 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  I  <->  j  e.  I ) )
1621613anbi2d 1370 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
163 dvmptfprod.bc . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
164163eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
165162, 164imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC ) ) )
166 dvmptfprod.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
167160, 165, 166chvar 2119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  C  e.  CC )
168151, 154, 155, 167syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  C  e.  CC )
169 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
17083adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  ph )
171 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  I )
172146snid 3988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
{ c }
173 elun2 3593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  { c }  ->  c  e.  ( b  u.  { c } ) )
174172, 173ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e.  ( b  u.  {
c } )
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  ( b  u.  { c } ) )
176171, 175sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  I )
177176ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  c  e.  I )
178 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
179 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  c  e.  I
180 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  x  e.  X
181122, 179, 180nf3an 2033 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )
182 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j CC
183135, 182nfel 2624 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j
[_ c  /  j ]_ C  e.  CC
184181, 183nfim 2023 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC )
185 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  c  ->  (
j  e.  I  <->  c  e.  I ) )
1861853anbi2d 1370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  (
( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
187 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  c  ->  C  =  [_ c  /  j ]_ C )
188187eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ c  / 
j ]_ C  e.  CC ) )
189186, 188imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  c  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC ) ) )
190184, 189, 167chvar 2119 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  [_ c  / 
j ]_ C  e.  CC )
191170, 177, 178, 190syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC )
192191adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  x  e.  X
)  ->  [_ c  / 
j ]_ C  e.  CC )
193192adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC )
194122, 179nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ph  /\  c  e.  I )
195 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
196128, 135nfmpt 4484 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C )
197195, 196nfeq 2623 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
)
198194, 197nfim 2023 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ( ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
199185anbi2d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  c  ->  (
( ph  /\  j  e.  I )  <->  ( ph  /\  c  e.  I ) ) )
200 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  c  ->  [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  j ]_ [_ j  /  i ]_ A )
201 csbco 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ c  /  j ]_ [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ A
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  c  ->  [_ c  /  j ]_ [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ A )
203200, 202eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  c  ->  [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ A )
204203mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
)  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
205204oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) ) )
206187mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  C )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
207205, 206eqeq12d 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  c  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C ) ) )
208199, 207imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  c  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )  <->  ( ( ph  /\  c  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C ) ) ) )
209101, 156nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  I )
210 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i [_ j  /  i ]_ A
211108, 210nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A )
212106, 107, 211nfov 6334 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )
213 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( x  e.  X  |->  C )
214212, 213nfeq 2623 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C )
215209, 214nfim 2023 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
216161anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  I )  <->  ( ph  /\  j  e.  I ) ) )
217 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  A  =  [_ j  /  i ]_ A )
218217mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )
219218oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A ) ) )
220163idi 2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
221220mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
222219, 221eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) ) )
223216, 222imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) ) ) )
224 dvmptfprod.d . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
225215, 223, 224chvar 2119 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
226198, 208, 225chvar 2119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C ) )
227176, 226sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
228227ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
229 csbeq1a 3358 . . . . . 6  |-  ( i  =  c  ->  A  =  [_ c  /  i ]_ A )
230100, 121, 133, 134, 135, 141, 145, 147, 148, 149, 150, 168, 169, 193, 228, 229, 187dvmptfprodlem 37916 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) ) )
23181, 82, 92, 230syl21anc 1291 . . . 4  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) ) )
2322313exp 1230 . . 3  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( (
( ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  {
c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u. 
{ c } ) 
\  { j } ) A ) ) ) ) )
23317, 31, 45, 61, 80, 232findcard2s 7830 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  I  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) ) ) )
2341, 3, 233sylc 61 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   [_csb 3349    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562   sum_csu 13829   prod_cprod 14036   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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