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Theorem dvmptfprod 37640
Description: Function-builder for derivative, finite product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprod.iph  |-  F/ i
ph
dvmptfprod.jph  |-  F/ j
ph
dvmptfprod.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptfprod.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptfprod.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfprod.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptfprod.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
dvmptfprod.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfprod.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
dvmptfprod.d  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptfprod.bc  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
dvmptfprod  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    C, i    i, I, j, x    S, i, j, x   
i, X, j, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( i, j)    A( x, i)    B( x, i, j)    C( x, j)    J( x, i, j)    K( x, i, j)

Proof of Theorem dvmptfprod
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvmptfprod.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
2 ssid 3483 . . 3  |-  I  C_  I
32jctr 544 . 2  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  C_  I ) )
4 sseq1 3485 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
54anbi2d 708 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  I )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  I ) ) )
6 prodeq1 13951 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  prod_ i  e.  a  A  =  prod_ i  e.  (/)  A )
76mpteq2dv 4508 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A ) )
87oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  (/)  A ) ) )
9 sumeq1 13743 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
10 difeq1 3576 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
\  { j } )  =  ( (/)  \  { j } ) )
1110prodeq1d 13963 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A  =  prod_ i  e.  (
(/)  \  { j } ) A )
1211oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) )
1312sumeq2sdv 13758 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a 
\  { j } ) A )  = 
sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A ) )
149, 13eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A ) )
1514mpteq2dv 4508 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) )
168, 15eqeq12d 2444 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) ) )
175, 16imbi12d 321 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  (/)  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  (
(/)  \  { j } ) A ) ) ) ) )
18 sseq1 3485 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  I  <->  b  C_  I ) )
1918anbi2d 708 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  /\  a  C_  I )  <->  ( ph  /\  b  C_  I )
) )
20 prodeq1 13951 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  prod_ i  e.  a  A  = 
prod_ i  e.  b  A )
2120mpteq2dv 4508 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A )
)
2221oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) ) )
23 sumeq1 13743 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
24 difeq1 3576 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  \  { j } )  =  ( b  \  { j } ) )
2524prodeq1d 13963 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A  =  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A )
2625oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
2726sumeq2sdv 13758 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
2823, 27eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
2928mpteq2dv 4508 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
3022, 29eqeq12d 2444 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) ) )
3119, 30imbi12d 321 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) ) )  <->  ( ( ph  /\  b  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) ) ) )
32 sseq1 3485 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  I 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )
3332anbi2d 708 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  I )  <->  (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I ) ) )
34 prodeq1 13951 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  prod_ i  e.  a  A  =  prod_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )
3534mpteq2dv 4508 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )
3635oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) ) )
37 sumeq1 13743 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
38 difeq1 3576 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  \  { j } )  =  ( ( b  u.  { c } )  \  { j } ) )
3938prodeq1d 13963 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A )
4039oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a 
\  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  { c } )  \  { j } ) A ) )
4140sumeq2sdv 13758 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) )
4237, 41eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  { c } )  \  { j } ) A ) )
4342mpteq2dv 4508 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) ) )
4436, 43eqeq12d 2444 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  (
b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  {
c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u. 
{ c } ) 
\  { j } ) A ) ) ) )
4533, 44imbi12d 321 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  {
c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u. 
{ c } ) 
\  { j } ) A ) ) ) ) )
46 sseq1 3485 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
a  C_  I  <->  I  C_  I
) )
4746anbi2d 708 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( ph  /\  a  C_  I )  <->  ( ph  /\  I  C_  I )
) )
48 prodeq1 13951 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  prod_ i  e.  a  A  = 
prod_ i  e.  I  A )
4948mpteq2dv 4508 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  I  A )
)
5049oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  I  A ) ) )
51 sumeq1 13743 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
52 difeq1 3576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  I  ->  (
a  \  { j } )  =  ( I  \  { j } ) )
5352prodeq1d 13963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  I  ->  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A  =  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A )
5453oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  I  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) )
5554a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
j  e.  I  -> 
( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
5655ralrimiv 2837 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  A. j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I 
\  { j } ) A ) )
5756sumeq2d 13756 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) )
5851, 57eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) )
5958mpteq2dv 4508 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
6050, 59eqeq12d 2444 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) ) ) )
6147, 60imbi12d 321 . . 3  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) ) )  <->  ( ( ph  /\  I  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) ) ) ) )
62 prod0 13985 . . . . . . . 8  |-  prod_ i  e.  (/)  A  =  1
6362mpteq2i 4504 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A )  =  ( x  e.  X  |->  1 )
6463oveq2i 6313 . . . . . 6  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  1 ) )
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  1 ) ) )
66 dvmptfprod.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
67 dvmptfprod.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
68 dvmptfprod.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  S )
69 dvmptfprod.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
7069oveq1i 6312 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  S )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  S )
7168, 70eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
7267, 71syl6eleq 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
73 1cnd 9660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7466, 72, 73dvmptconst 37605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
75 sum0 13775 . . . . . . . 8  |-  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A )  =  0
7675eqcomi 2435 . . . . . . 7  |-  0  =  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A )
7776mpteq2i 4504 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A ) )
7877a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  (
(/)  \  { j } ) A ) ) )
7965, 74, 783eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) )
8079adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) )
81 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  -> 
( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
) )
82 simp1r 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  ->  -.  c  e.  b
)
83 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  ->  ph )
84 ssun1 3629 . . . . . . . . . . 11  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
85 sstr2 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b 
C_  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b 
C_  I ) )
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b  C_  I )
8786adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  -> 
b  C_  I )
8883, 87jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  -> 
( ph  /\  b  C_  I ) )
8988adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )
)  ->  ( ph  /\  b  C_  I )
)
90 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )
)  ->  ( ( ph  /\  b  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) ) )
9189, 90mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )
92913adant1 1023 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
93 nfv 1751 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )
94 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x S
95 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  _D
96 nfmpt1 4510 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A )
9794, 95, 96nfov 6328 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )
98 nfmpt1 4510 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
9997, 98nfeq 2595 . . . . . . 7  |-  F/ x
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) )
10093, 99nfan 1984 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
101 dvmptfprod.iph . . . . . . . . 9  |-  F/ i
ph
102 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( b  u.  {
c } )  C_  I
103101, 102nfan 1984 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)
104 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ i  -.  c  e.  b
105103, 104nfan 1984 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )
106 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i S
107 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i  _D
108 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i X
109 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
b
110109nfcprod1 13952 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i prod_ i  e.  b  A
111108, 110nfmpt 4509 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A )
112106, 107, 111nfov 6328 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )
113 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i C
114 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i  x.
115 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( b  \  {
j } )
116115nfcprod1 13952 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i prod_ i  e.  ( b 
\  { j } ) A
117113, 114, 116nfov 6328 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A )
118109, 117nfsum 13745 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A )
119108, 118nfmpt 4509 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
120112, 119nfeq 2595 . . . . . . 7  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) )
121105, 120nfan 1984 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
122 dvmptfprod.jph . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
123 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( b  u.  {
c } )  C_  I
124122, 123nfan 1984 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)
125 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ j  -.  c  e.  b
126124, 125nfan 1984 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )
127 nfcv 2584 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )
128 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j X
129 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
b
130129nfsum1 13744 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A )
131128, 130nfmpt 4509 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
132127, 131nfeq 2595 . . . . . . 7  |-  F/ j ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) )
133126, 132nfan 1984 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
134 nfcsb1v 3411 . . . . . 6  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ A
135 nfcsb1v 3411 . . . . . 6  |-  F/_ j [_ c  /  j ]_ C
13683ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  ph )
1371363ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  ph )
138 simp2 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  i  e.  I )
139 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
140 dvmptfprod.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
141137, 138, 139, 140syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
142136, 1syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  I  e.  Fin )
14387ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
b  C_  I )
144 ssfi 7795 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  b  C_  I )  -> 
b  e.  Fin )
145142, 143, 144syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
b  e.  Fin )
146 vex 3084 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
147146a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
c  e.  _V )
148 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  -.  c  e.  b
)
149 simpllr 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( b  u.  {
c } )  C_  I )
15066ad3antrrr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
151136ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  ph )
152143ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  b  C_  I )
153 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  b )
154152, 153sseldd 3465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  I )
155 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  x  e.  X )
156 nfv 1751 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  j  e.  I
157 nfv 1751 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  x  e.  X
158101, 156, 157nf3an 1986 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )
159 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  C  e.  CC
160158, 159nfim 1976 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
161 eleq1 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  I  <->  j  e.  I ) )
1621613anbi2d 1340 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
163 dvmptfprod.bc . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
164163eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
165162, 164imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC ) ) )
166 dvmptfprod.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
167160, 165, 166chvar 2067 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  C  e.  CC )
168151, 154, 155, 167syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  C  e.  CC )
169 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
17083adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  ph )
171 id 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  I )
172146snid 4024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
{ c }
173 elun2 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  { c }  ->  c  e.  ( b  u.  { c } ) )
174172, 173ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e.  ( b  u.  {
c } )
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  ( b  u.  { c } ) )
176171, 175sseldd 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  I )
177176ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  c  e.  I )
178 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
179 nfv 1751 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  c  e.  I
180 nfv 1751 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  x  e.  X
181122, 179, 180nf3an 1986 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )
182 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j CC
183135, 182nfel 2597 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j
[_ c  /  j ]_ C  e.  CC
184181, 183nfim 1976 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC )
185 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  c  ->  (
j  e.  I  <->  c  e.  I ) )
1861853anbi2d 1340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  (
( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
187 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  c  ->  C  =  [_ c  /  j ]_ C )
188187eleq1d 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ c  / 
j ]_ C  e.  CC ) )
189186, 188imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  c  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC ) ) )
190184, 189, 167chvar 2067 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  [_ c  / 
j ]_ C  e.  CC )
191170, 177, 178, 190syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC )
192191adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  x  e.  X
)  ->  [_ c  / 
j ]_ C  e.  CC )
193192adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC )
194122, 179nfan 1984 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ph  /\  c  e.  I )
195 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
196128, 135nfmpt 4509 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C )
197195, 196nfeq 2595 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
)
198194, 197nfim 1976 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ( ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
199185anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  c  ->  (
( ph  /\  j  e.  I )  <->  ( ph  /\  c  e.  I ) ) )
200 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  c  ->  [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  j ]_ [_ j  /  i ]_ A )
201 csbco 3405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ c  /  j ]_ [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ A
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  c  ->  [_ c  /  j ]_ [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ A )
203200, 202eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  c  ->  [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ A )
204203mpteq2dv 4508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
)  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
205204oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) ) )
206187mpteq2dv 4508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  C )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
207205, 206eqeq12d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  c  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C ) ) )
208199, 207imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  c  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )  <->  ( ( ph  /\  c  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C ) ) ) )
209101, 156nfan 1984 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  I )
210 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i [_ j  /  i ]_ A
211108, 210nfmpt 4509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A )
212106, 107, 211nfov 6328 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )
213 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( x  e.  X  |->  C )
214212, 213nfeq 2595 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C )
215209, 214nfim 1976 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
216161anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  I )  <->  ( ph  /\  j  e.  I ) ) )
217 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  A  =  [_ j  /  i ]_ A )
218217mpteq2dv 4508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )
219218oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A ) ) )
220163idi 2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
221220mpteq2dv 4508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
222219, 221eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) ) )
223216, 222imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) ) ) )
224 dvmptfprod.d . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
225215, 223, 224chvar 2067 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
226198, 208, 225chvar 2067 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C ) )
227176, 226sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
228227ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
229 csbeq1a 3404 . . . . . 6  |-  ( i  =  c  ->  A  =  [_ c  /  i ]_ A )
230100, 121, 133, 134, 135, 141, 145, 147, 148, 149, 150, 168, 169, 193, 228, 229, 187dvmptfprodlem 37639 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) ) )
23181, 82, 92, 230syl21anc 1263 . . . 4  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) ) )
2322313exp 1204 . . 3  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( (
( ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  {
c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u. 
{ c } ) 
\  { j } ) A ) ) ) ) )
23317, 31, 45, 61, 80, 232findcard2s 7815 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  I  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) ) ) )
2341, 3, 233sylc 62 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   F/wnf 1663    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   [_csb 3395    \ cdif 3433    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   {cpr 3998    |-> cmpt 4479   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    x. cmul 9545   sum_csu 13740   prod_cprod 13947   ↾t crest 15307   TopOpenctopn 15308  ℂfldccnfld 18958    _D cdv 22805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-sum 13741  df-prod 13948  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809
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