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Theorem dvmptfprod 37830
Description: Function-builder for derivative, finite product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprod.iph  |-  F/ i
ph
dvmptfprod.jph  |-  F/ j
ph
dvmptfprod.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptfprod.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptfprod.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfprod.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptfprod.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
dvmptfprod.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfprod.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
dvmptfprod.d  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptfprod.bc  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
dvmptfprod  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    C, i    i, I, j, x    S, i, j, x   
i, X, j, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( i, j)    A( x, i)    B( x, i, j)    C( x, j)    J( x, i, j)    K( x, i, j)

Proof of Theorem dvmptfprod
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvmptfprod.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
2 ssid 3453 . . 3  |-  I  C_  I
32jctr 545 . 2  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  C_  I ) )
4 sseq1 3455 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
54anbi2d 711 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  I )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  I ) ) )
6 prodeq1 13975 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  prod_ i  e.  a  A  =  prod_ i  e.  (/)  A )
76mpteq2dv 4493 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A ) )
87oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  (/)  A ) ) )
9 sumeq1 13767 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
10 difeq1 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
\  { j } )  =  ( (/)  \  { j } ) )
1110prodeq1d 13987 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A  =  prod_ i  e.  (
(/)  \  { j } ) A )
1211oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) )
1312sumeq2sdv 13782 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a 
\  { j } ) A )  = 
sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A ) )
149, 13eqtrd 2487 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A ) )
1514mpteq2dv 4493 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) )
168, 15eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) ) )
175, 16imbi12d 322 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  (/)  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  (
(/)  \  { j } ) A ) ) ) ) )
18 sseq1 3455 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  I  <->  b  C_  I ) )
1918anbi2d 711 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  /\  a  C_  I )  <->  ( ph  /\  b  C_  I )
) )
20 prodeq1 13975 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  prod_ i  e.  a  A  = 
prod_ i  e.  b  A )
2120mpteq2dv 4493 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A )
)
2221oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) ) )
23 sumeq1 13767 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
24 difeq1 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  \  { j } )  =  ( b  \  { j } ) )
2524prodeq1d 13987 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A  =  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A )
2625oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
2726sumeq2sdv 13782 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
2823, 27eqtrd 2487 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
2928mpteq2dv 4493 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
3022, 29eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) ) )
3119, 30imbi12d 322 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) ) )  <->  ( ( ph  /\  b  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) ) ) )
32 sseq1 3455 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  I 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )
3332anbi2d 711 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  I )  <->  (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I ) ) )
34 prodeq1 13975 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  prod_ i  e.  a  A  =  prod_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )
3534mpteq2dv 4493 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )
3635oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) ) )
37 sumeq1 13767 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
38 difeq1 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  \  { j } )  =  ( ( b  u.  { c } )  \  { j } ) )
3938prodeq1d 13987 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A  = 
prod_ i  e.  (
( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A )
4039oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a 
\  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  { c } )  \  { j } ) A ) )
4140sumeq2sdv 13782 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) )
4237, 41eqtrd 2487 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  { c } )  \  { j } ) A ) )
4342mpteq2dv 4493 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) ) )
4436, 43eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  (
b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  {
c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u. 
{ c } ) 
\  { j } ) A ) ) ) )
4533, 44imbi12d 322 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  {
c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u. 
{ c } ) 
\  { j } ) A ) ) ) ) )
46 sseq1 3455 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
a  C_  I  <->  I  C_  I
) )
4746anbi2d 711 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( ph  /\  a  C_  I )  <->  ( ph  /\  I  C_  I )
) )
48 prodeq1 13975 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  prod_ i  e.  a  A  = 
prod_ i  e.  I  A )
4948mpteq2dv 4493 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  I  A )
)
5049oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  I  A ) ) )
51 sumeq1 13767 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A ) )
52 difeq1 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  I  ->  (
a  \  { j } )  =  ( I  \  { j } ) )
5352prodeq1d 13987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  I  ->  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A  =  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A )
5453oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  I  ->  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) )
5554a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
j  e.  I  -> 
( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
5655ralrimiv 2802 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  A. j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I 
\  { j } ) A ) )
5756sumeq2d 13780 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) )
5851, 57eqtrd 2487 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  { j } ) A )  =  sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) )
5958mpteq2dv 4493 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
6050, 59eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) ) ) )
6147, 60imbi12d 322 . . 3  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  a  ( C  x.  prod_ i  e.  ( a  \  {
j } ) A ) ) )  <->  ( ( ph  /\  I  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) ) ) ) )
62 prod0 14009 . . . . . . . 8  |-  prod_ i  e.  (/)  A  =  1
6362mpteq2i 4489 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A )  =  ( x  e.  X  |->  1 )
6463oveq2i 6306 . . . . . 6  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  1 ) )
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  1 ) ) )
66 dvmptfprod.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
67 dvmptfprod.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
68 dvmptfprod.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  S )
69 dvmptfprod.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
7069oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  S )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  S )
7168, 70eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
7267, 71syl6eleq 2541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
73 1cnd 9664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7466, 72, 73dvmptconst 37795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
75 sum0 13799 . . . . . . . 8  |-  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A )  =  0
7675eqcomi 2462 . . . . . . 7  |-  0  =  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A )
7776mpteq2i 4489 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  {
j } ) A ) )
7877a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  (
(/)  \  { j } ) A ) ) )
7965, 74, 783eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) )
8079adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  (/)  ( C  x.  prod_ i  e.  ( (/)  \  { j } ) A ) ) )
81 simp3 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  -> 
( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
) )
82 simp1r 1034 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  ->  -.  c  e.  b
)
83 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  ->  ph )
84 ssun1 3599 . . . . . . . . . . 11  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
85 sstr2 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b 
C_  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b 
C_  I ) )
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b  C_  I )
8786adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  -> 
b  C_  I )
8883, 87jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  -> 
( ph  /\  b  C_  I ) )
8988adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )
)  ->  ( ph  /\  b  C_  I )
)
90 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )
)  ->  ( ( ph  /\  b  C_  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) ) )
9189, 90mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )
92913adant1 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
93 nfv 1763 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )
94 nfcv 2594 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x S
95 nfcv 2594 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  _D
96 nfmpt1 4495 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A )
9794, 95, 96nfov 6321 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )
98 nfmpt1 4495 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
9997, 98nfeq 2605 . . . . . . 7  |-  F/ x
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) )
10093, 99nfan 2013 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
101 dvmptfprod.iph . . . . . . . . 9  |-  F/ i
ph
102 nfv 1763 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( b  u.  {
c } )  C_  I
103101, 102nfan 2013 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)
104 nfv 1763 . . . . . . . 8  |-  F/ i  -.  c  e.  b
105103, 104nfan 2013 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )
106 nfcv 2594 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i S
107 nfcv 2594 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i  _D
108 nfcv 2594 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i X
109 nfcv 2594 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
b
110109nfcprod1 13976 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i prod_ i  e.  b  A
111108, 110nfmpt 4494 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A )
112106, 107, 111nfov 6321 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )
113 nfcv 2594 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i C
114 nfcv 2594 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i  x.
115 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( b  \  {
j } )
116115nfcprod1 13976 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i prod_ i  e.  ( b 
\  { j } ) A
117113, 114, 116nfov 6321 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A )
118109, 117nfsum 13769 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A )
119108, 118nfmpt 4494 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
120112, 119nfeq 2605 . . . . . . 7  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) )
121105, 120nfan 2013 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
122 dvmptfprod.jph . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
123 nfv 1763 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( b  u.  {
c } )  C_  I
124122, 123nfan 2013 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)
125 nfv 1763 . . . . . . . 8  |-  F/ j  -.  c  e.  b
126124, 125nfan 2013 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )
127 nfcv 2594 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )
128 nfcv 2594 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j X
129 nfcv 2594 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
b
130129nfsum1 13768 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A )
131128, 130nfmpt 4494 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) )
132127, 131nfeq 2605 . . . . . . 7  |-  F/ j ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) )
133126, 132nfan 2013 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
134 nfcsb1v 3381 . . . . . 6  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ A
135 nfcsb1v 3381 . . . . . 6  |-  F/_ j [_ c  /  j ]_ C
13683ad2antrr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  ph )
1371363ad2ant1 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  ph )
138 simp2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  i  e.  I )
139 simp3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
140 dvmptfprod.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
141137, 138, 139, 140syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
142136, 1syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  I  e.  Fin )
14387ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
b  C_  I )
144 ssfi 7797 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  b  C_  I )  -> 
b  e.  Fin )
145142, 143, 144syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
b  e.  Fin )
146 vex 3050 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
147146a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
c  e.  _V )
148 simplr 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  -.  c  e.  b
)
149 simpllr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( b  u.  {
c } )  C_  I )
15066ad3antrrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
151136ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  ph )
152143ad2antrr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  b  C_  I )
153 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  b )
154152, 153sseldd 3435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  I )
155 simplr 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  x  e.  X )
156 nfv 1763 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  j  e.  I
157 nfv 1763 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  x  e.  X
158101, 156, 157nf3an 2015 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )
159 nfv 1763 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  C  e.  CC
160158, 159nfim 2005 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
161 eleq1 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  I  <->  j  e.  I ) )
1621613anbi2d 1346 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
163 dvmptfprod.bc . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
164163eleq1d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
165162, 164imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC ) ) )
166 dvmptfprod.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
167160, 165, 166chvar 2108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  C  e.  CC )
168151, 154, 155, 167syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X
)  /\  j  e.  b )  ->  C  e.  CC )
169 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )
17083adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  ph )
171 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  I )
172146snid 3998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
{ c }
173 elun2 3604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  { c }  ->  c  e.  ( b  u.  { c } ) )
174172, 173ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e.  ( b  u.  {
c } )
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  ( b  u.  { c } ) )
176171, 175sseldd 3435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  I )
177176ad2antlr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  c  e.  I )
178 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
179 nfv 1763 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  c  e.  I
180 nfv 1763 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  x  e.  X
181122, 179, 180nf3an 2015 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )
182 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j CC
183135, 182nfel 2606 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j
[_ c  /  j ]_ C  e.  CC
184181, 183nfim 2005 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC )
185 eleq1 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  c  ->  (
j  e.  I  <->  c  e.  I ) )
1861853anbi2d 1346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  (
( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )
) )
187 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  c  ->  C  =  [_ c  /  j ]_ C )
188187eleq1d 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ c  / 
j ]_ C  e.  CC ) )
189186, 188imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  c  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC ) ) )
190184, 189, 167chvar 2108 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  [_ c  / 
j ]_ C  e.  CC )
191170, 177, 178, 190syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  u.  { c } )  C_  I
)  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC )
192191adantlr 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  x  e.  X
)  ->  [_ c  / 
j ]_ C  e.  CC )
193192adantlr 722 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ c  /  j ]_ C  e.  CC )
194122, 179nfan 2013 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ph  /\  c  e.  I )
195 nfcv 2594 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
196128, 135nfmpt 4494 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C )
197195, 196nfeq 2605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
)
198194, 197nfim 2005 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ( ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
199185anbi2d 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  c  ->  (
( ph  /\  j  e.  I )  <->  ( ph  /\  c  e.  I ) ) )
200 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  c  ->  [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  j ]_ [_ j  /  i ]_ A )
201 csbco 3375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ c  /  j ]_ [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ A
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  c  ->  [_ c  /  j ]_ [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ A )
203200, 202eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  c  ->  [_ j  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ A )
204203mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
)  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
205204oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) ) )
206187mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  C )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
207205, 206eqeq12d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  c  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C ) ) )
208199, 207imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  c  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )  <->  ( ( ph  /\  c  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C ) ) ) )
209101, 156nfan 2013 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  I )
210 nfcsb1v 3381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i [_ j  /  i ]_ A
211108, 210nfmpt 4494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A )
212106, 107, 211nfov 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )
213 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( x  e.  X  |->  C )
214212, 213nfeq 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C )
215209, 214nfim 2005 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
216161anbi2d 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  I )  <->  ( ph  /\  j  e.  I ) ) )
217 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  A  =  [_ j  /  i ]_ A )
218217mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A
) )
219218oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A ) ) )
220163idi 2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
221220mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
222219, 221eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) ) )
223216, 222imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) ) ) )
224 dvmptfprod.d . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
225215, 223, 224chvar 2108 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
226198, 208, 225chvar 2108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  j ]_ C ) )
227176, 226sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
228227ad2antrr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  j ]_ C
) )
229 csbeq1a 3374 . . . . . 6  |-  ( i  =  c  ->  A  =  [_ c  /  i ]_ A )
230100, 121, 133, 134, 135, 141, 145, 147, 148, 149, 150, 168, 169, 193, 228, 229, 187dvmptfprodlem 37829 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  {
j } ) A ) ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) ) )
23181, 82, 92, 230syl21anc 1268 . . . 4  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( (
ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  /\  ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  { c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u.  {
c } )  \  { j } ) A ) ) )
2322313exp 1208 . . 3  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( (
( ph  /\  b  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  b  ( C  x.  prod_ i  e.  ( b  \  { j } ) A ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  ( b  u.  {
c } ) ( C  x.  prod_ i  e.  ( ( b  u. 
{ c } ) 
\  { j } ) A ) ) ) ) )
23317, 31, 45, 61, 80, 232findcard2s 7817 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  I  C_  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  prod_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ j  e.  I 
( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  { j } ) A ) ) ) )
2341, 3, 233sylc 62 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  prod_
i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ j  e.  I  ( C  x.  prod_ i  e.  ( I  \  {
j } ) A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446   F/wnf 1669    e. wcel 1889   _Vcvv 3047   [_csb 3365    \ cdif 3403    u. cun 3404    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   {cpr 3972    |-> cmpt 4464   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549   sum_csu 13764   prod_cprod 13971   ↾t crest 15331   TopOpenctopn 15332  ℂfldccnfld 18982    _D cdv 22830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-prod 13972  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834
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