Theorem dvmptfprod 37830

Description: Function-builder for derivative, finite product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprod.iph	|- F/ i ph
dvmptfprod.jph	|- F/ j ph
dvmptfprod.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfprod.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfprod.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfprod.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfprod.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfprod.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfprod.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfprod.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptfprod.bc	|- ( i = j -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprod	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   C, i   i, I, j, x   S, i, j, x   i, X, j, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( i, j)   A( x, i)   B( x, i, j)   C( x, j)   J( x, i, j)   K( x, i, j)

Proof of Theorem dvmptfprod

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprod.i	. 2 |- ( ph -> I e. Fin )
2		ssid 3453	. . 3 |- I C_ I
3	2	jctr 545	. 2 |- ( ph -> ( ph /\ I C_ I ) )
4		sseq1 3455	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
5	4	anbi2d 711	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ (/) C_ I ) ) )
6		prodeq1 13975	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> prod_ i e. a A = prod_ i e. (/) A )
7	6	mpteq2dv 4493	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) )
8	7	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) )
9		sumeq1 13767	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
10		difeq1 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( a \ { j } ) = ( (/) \ { j } ) )
11	10	prodeq1d 13987	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A )
12	11	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
13	12	sumeq2sdv 13782	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
14	9, 13	eqtrd 2487	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
15	14	mpteq2dv 4493	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
16	8, 15	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) ) )
17	5, 16	imbi12d 322	. . 3 |- ( a = (/) -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) ) ) )
18		sseq1 3455	. . . . 5 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
19	18	anbi2d 711	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ b C_ I ) ) )
20		prodeq1 13975	. . . . . . 7 |- ( a = b -> prod_ i e. a A = prod_ i e. b A )
21	20	mpteq2dv 4493	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
22	21	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) )
23		sumeq1 13767	. . . . . . 7 |- ( a = b -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
24		difeq1 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( a \ { j } ) = ( b \ { j } ) )
25	24	prodeq1d 13987	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
26	25	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
27	26	sumeq2sdv 13782	. . . . . . 7 |- ( a = b -> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
28	23, 27	eqtrd 2487	. . . . . 6 |- ( a = b -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
29	28	mpteq2dv 4493	. . . . 5 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
30	22, 29	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) )
31	19, 30	imbi12d 322	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) ) )
32		sseq1 3455	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
33	32	anbi2d 711	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) )
34		prodeq1 13975	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> prod_ i e. a A = prod_ i e. ( b u. { c } ) A )
35	34	mpteq2dv 4493	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
36	35	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
37		sumeq1 13767	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
38		difeq1 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a \ { j } ) = ( ( b u. { c } ) \ { j } ) )
39	38	prodeq1d 13987	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A )
40	39	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) )
41	40	sumeq2sdv 13782	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) )
42	37, 41	eqtrd 2487	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) )
43	42	mpteq2dv 4493	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) )
44	36, 43	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) ) )
45	33, 44	imbi12d 322	. . 3 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) ) ) )
46		sseq1 3455	. . . . 5 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
47	46	anbi2d 711	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ I C_ I ) ) )
48		prodeq1 13975	. . . . . . 7 |- ( a = I -> prod_ i e. a A = prod_ i e. I A )
49	48	mpteq2dv 4493	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) )
50	49	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) )
51		sumeq1 13767	. . . . . . 7 |- ( a = I -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
52		difeq1 3546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = I -> ( a \ { j } ) = ( I \ { j } ) )
53	52	prodeq1d 13987	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = I -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( I \ { j } ) A )
54	53	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( a = I -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
55	54	a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> ( j e. I -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )
56	55	ralrimiv 2802	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> A. j e. I ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
57	56	sumeq2d 13780	. . . . . . 7 |- ( a = I -> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
58	51, 57	eqtrd 2487	. . . . . 6 |- ( a = I -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
59	58	mpteq2dv 4493	. . . . 5 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )
60	50, 59	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) ) )
61	47, 60	imbi12d 322	. . 3 |- ( a = I -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ I C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) ) ) )
62		prod0 14009	. . . . . . . 8 |- prod_ i e. (/) A = 1
63	62	mpteq2i 4489	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 1 )
64	63	oveq2i 6306	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 1 ) )
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 1 ) ) )
66		dvmptfprod.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
67		dvmptfprod.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. J )
68		dvmptfprod.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t S )
69		dvmptfprod.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
70	69	oveq1i 6305	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t S ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
71	68, 70	eqtri 2475	. . . . . . 7 |- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
72	67, 71	syl6eleq 2541	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
73		1cnd 9664	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
74	66, 72, 73	dvmptconst 37795	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 1 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
75		sum0 13799	. . . . . . . 8 |- sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) = 0
76	75	eqcomi 2462	. . . . . . 7 |- 0 = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A )
77	76	mpteq2i 4489	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> 0 ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
78	77	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
79	65, 74, 78	3eqtrd 2491	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
80	79	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ (/) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
81		simp3 1011	. . . . 5 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) )
82		simp1r 1034	. . . . 5 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> -. c e. b )
83		simpl 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ph )
84		ssun1 3599	. . . . . . . . . . 11 |- b C_ ( b u. { c } )
85		sstr2 3441	. . . . . . . . . . 11 |- ( b C_ ( b u. { c } ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I ) )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
87	86	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
88	83, 87	jca 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( ph /\ b C_ I ) )
89	88	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( ph /\ b C_ I ) )
90		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) )
91	89, 90	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
92	91	3adant1 1027	. . . . 5 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
93		nfv 1763	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b )
94		nfcv 2594	. . . . . . . . 9 |- F/_ x S
95		nfcv 2594	. . . . . . . . 9 |- F/_ x _D
96		nfmpt1 4495	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. X |-> prod_ i e. b A )
97	94, 95, 96	nfov 6321	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
98		nfmpt1 4495	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
99	97, 98	nfeq 2605	. . . . . . 7 |- F/ x ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
100	93, 99	nfan 2013	. . . . . 6 |- F/ x ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
101		dvmptfprod.iph	. . . . . . . . 9 |- F/ i ph
102		nfv 1763	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( b u. { c } ) C_ I
103	101, 102	nfan 2013	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I )
104		nfv 1763	. . . . . . . 8 |- F/ i -. c e. b
105	103, 104	nfan 2013	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b )
106		nfcv 2594	. . . . . . . . 9 |- F/_ i S
107		nfcv 2594	. . . . . . . . 9 |- F/_ i _D
108		nfcv 2594	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i X
109		nfcv 2594	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i b
110	109	nfcprod1 13976	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i prod_ i e. b A
111	108, 110	nfmpt 4494	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( x e. X |-> prod_ i e. b A )
112	106, 107, 111	nfov 6321	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
113		nfcv 2594	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i C
114		nfcv 2594	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i x.
115		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( b \ { j } )
116	115	nfcprod1 13976	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i prod_ i e. ( b \ { j } ) A
117	113, 114, 116	nfov 6321	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
118	109, 117	nfsum 13769	. . . . . . . . 9 |- F/_ i sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
119	108, 118	nfmpt 4494	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
120	112, 119	nfeq 2605	. . . . . . 7 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
121	105, 120	nfan 2013	. . . . . 6 |- F/ i ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
122		dvmptfprod.jph	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
123		nfv 1763	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( b u. { c } ) C_ I
124	122, 123	nfan 2013	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I )
125		nfv 1763	. . . . . . . 8 |- F/ j -. c e. b
126	124, 125	nfan 2013	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b )
127		nfcv 2594	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
128		nfcv 2594	. . . . . . . . 9 |- F/_ j X
129		nfcv 2594	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j b
130	129	nfsum1 13768	. . . . . . . . 9 |- F/_ j sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
131	128, 130	nfmpt 4494	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
132	127, 131	nfeq 2605	. . . . . . 7 |- F/ j ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
133	126, 132	nfan 2013	. . . . . 6 |- F/ j ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
134		nfcsb1v 3381	. . . . . 6 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
135		nfcsb1v 3381	. . . . . 6 |- F/_ j [_ c / j ]_ C
136	83	ad2antrr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ph )
137	136	3ad2ant1 1030	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> ph )
138		simp2 1010	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> i e. I )
139		simp3 1011	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> x e. X )
140		dvmptfprod.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
141	137, 138, 139, 140	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
142	136, 1	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> I e. Fin )
143	87	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> b C_ I )
144		ssfi 7797	. . . . . . 7 |- ( ( I e. Fin /\ b C_ I ) -> b e. Fin )
145	142, 143, 144	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> b e. Fin )
146		vex 3050	. . . . . . 7 |- c e. _V
147	146	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> c e. _V )
148		simplr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> -. c e. b )
149		simpllr 770	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
150	66	ad3antrrr 737	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
151	136	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> ph )
152	143	ad2antrr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> b C_ I )
153		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> j e. b )
154	152, 153	sseldd 3435	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> j e. I )
155		simplr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> x e. X )
156		nfv 1763	. . . . . . . . . 10 |- F/ i j e. I
157		nfv 1763	. . . . . . . . . 10 |- F/ i x e. X
158	101, 156, 157	nf3an 2015	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ j e. I /\ x e. X )
159		nfv 1763	. . . . . . . . 9 |- F/ i C e. CC
160	158, 159	nfim 2005	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC )
161		eleq1 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( i e. I <-> j e. I ) )
162	161	3anbi2d 1346	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) ) )
163		dvmptfprod.bc	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> B = C )
164	163	eleq1d 2515	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
165	162, 164	imbi12d 322	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC ) ) )
166		dvmptfprod.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
167	160, 165, 166	chvar 2108	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC )
168	151, 154, 155, 167	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> C e. CC )
169		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
170	83	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> ph )
171		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( b u. { c } ) C_ I )
172	146	snid 3998	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. { c }
173		elun2 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. { c } -> c e. ( b u. { c } ) )
174	172, 173	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- c e. ( b u. { c } )
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. ( b u. { c } ) )
176	171, 175	sseldd 3435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
177	176	ad2antlr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> c e. I )
178		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> x e. X )
179		nfv 1763	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j c e. I
180		nfv 1763	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j x e. X
181	122, 179, 180	nf3an 2015	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( ph /\ c e. I /\ x e. X )
182		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j CC
183	135, 182	nfel 2606	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j [_ c / j ]_ C e. CC
184	181, 183	nfim 2005	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
185		eleq1 2519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = c -> ( j e. I <-> c e. I ) )
186	185	3anbi2d 1346	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) ) )
187		csbeq1a 3374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = c -> C = [_ c / j ]_ C )
188	187	eleq1d 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( C e. CC <-> [_ c / j ]_ C e. CC ) )
189	186, 188	imbi12d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( j = c -> ( ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC ) ) )
190	184, 189, 167	chvar 2108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
191	170, 177, 178, 190	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
192	191	adantlr 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
193	192	adantlr 722	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
194	122, 179	nfan 2013	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ph /\ c e. I )
195		nfcv 2594	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
196	128, 135	nfmpt 4494	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C )
197	195, 196	nfeq 2605	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C )
198	194, 197	nfim 2005	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
199	185	anbi2d 711	. . . . . . . . . 10 |- ( j = c -> ( ( ph /\ j e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
200		csbeq1a 3374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> [_ j / i ]_ A = [_ c / j ]_ [_ j / i ]_ A )
201		csbco 3375	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ c / j ]_ [_ j / i ]_ A = [_ c / i ]_ A
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> [_ c / j ]_ [_ j / i ]_ A = [_ c / i ]_ A )
203	200, 202	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = c -> [_ j / i ]_ A = [_ c / i ]_ A )
204	203	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = c -> ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
205	204	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
206	187	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
207	205, 206	eqeq12d 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( j = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) ) )
208	199, 207	imbi12d 322	. . . . . . . . 9 |- ( j = c -> ( ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) ) ) )
209	101, 156	nfan 2013	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ph /\ j e. I )
210		nfcsb1v 3381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i [_ j / i ]_ A
211	108, 210	nfmpt 4494	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A )
212	106, 107, 211	nfov 6321	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) )
213		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( x e. X |-> C )
214	212, 213	nfeq 2605	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C )
215	209, 214	nfim 2005	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
216	161	anbi2d 711	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ j e. I ) ) )
217		csbeq1a 3374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> A = [_ j / i ]_ A )
218	217	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) )
219	218	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) )
220	163	idi 2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> B = C )
221	220	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> C ) )
222	219, 221	eqeq12d 2468	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) ) )
223	216, 222	imbi12d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) ) ) )
224		dvmptfprod.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
225	215, 223, 224	chvar 2108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
226	198, 208, 225	chvar 2108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
227	176, 226	sylan2 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
228	227	ad2antrr 733	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
229		csbeq1a 3374	. . . . . 6 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
230	100, 121, 133, 134, 135, 141, 145, 147, 148, 149, 150, 168, 169, 193, 228, 229, 187	dvmptfprodlem 37829	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) )
231	81, 82, 92, 230	syl21anc 1268	. . . 4 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) )
232	231	3exp 1208	. . 3 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) ) ) )
233	17, 31, 45, 61, 80, 232	findcard2s 7817	. 2 |- ( I e. Fin -> ( ( ph /\ I C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) ) )
234	1, 3, 233	sylc 62	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   F/wnf 1669   e. wcel 1889   _Vcvv 3047   [_csb 3365   \ cdif 3403   u. cun 3404   C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   {cpr 3972   |-> cmpt 4464   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   x. cmul 9549   sum_csu 13764   prod_cprod 13971   ↾_t crest 15331   TopOpenctopn 15332  ℂ_fldccnfld 18982   _D cdv 22830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-prod 13972  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834

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