MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptco Structured version   Unicode version

Theorem dvmptco 22241
Description: Function-builder for derivative, chain rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptco.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptco.t  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
dvmptco.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
dvmptco.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptco.c  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  CC )
dvmptco.d  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  W )
dvmptco.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptco.dc  |-  ( ph  ->  ( T  _D  (
y  e.  Y  |->  C ) )  =  ( y  e.  Y  |->  D ) )
dvmptco.e  |-  ( y  =  A  ->  C  =  E )
dvmptco.f  |-  ( y  =  A  ->  D  =  F )
Assertion
Ref Expression
dvmptco  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  E ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  B ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, C    x, D    y, E    y, F    y, T    x, V    x, y, ph    y, W    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, y)    C( y)    D( y)    S( x, y)    T( x)    E( x)    F( x)    V( y)    W( x)    X( y)

Proof of Theorem dvmptco
StepHypRef Expression
1 dvmptco.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptco.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
3 dvmptco.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  CC )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( y  e.  Y  |->  C )  =  ( y  e.  Y  |->  C )
53, 4fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  C ) : Y --> CC )
6 dvmptco.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
7 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
86, 7fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
9 dvmptco.dc . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  _D  (
y  e.  Y  |->  C ) )  =  ( y  e.  Y  |->  D ) )
109dmeqd 5211 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  =  dom  ( y  e.  Y  |->  D ) )
11 dvmptco.d . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  W )
1211ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  D  e.  W )
13 dmmptg 5510 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  D  e.  W  ->  dom  (
y  e.  Y  |->  D )  =  Y )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  Y  |->  D )  =  Y )
1510, 14eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  =  Y )
16 dvmptco.da . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
1716dmeqd 5211 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
18 dvmptco.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
1918ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
20 dmmptg 5510 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
2217, 21eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
231, 2, 5, 8, 15, 22dvcof 22217 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( y  e.  Y  |->  C )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  oF  x.  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) ) )
24 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
25 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  C )  =  ( y  e.  Y  |->  C ) )
26 dvmptco.e . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  C  =  E )
276, 24, 25, 26fmptco 6065 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  C )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  E ) )
2827oveq2d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( y  e.  Y  |->  C )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  E ) ) )
29 ovex 6320 . . . . 5  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  e.  _V
3029dmex 6728 . . . 4  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  e.  _V
3122, 30syl6eqelr 2564 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
321, 3, 11, 9dvmptcl 22228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  CC )
33 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Y  |->  D )  =  ( y  e.  Y  |->  D )
3432, 33fmptd 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  D ) : Y --> CC )
359feq1d 5723 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) ) : Y --> CC  <->  ( y  e.  Y  |->  D ) : Y --> CC ) )
3634, 35mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T  _D  (
y  e.  Y  |->  C ) ) : Y --> CC )
37 fco 5747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  _D  (
y  e.  Y  |->  C ) ) : Y --> CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )  -> 
( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC )
3836, 8, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC )
39 dvmptco.f . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  D  =  F )
406, 24, 9, 39fmptco 6065 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  F ) )
4140feq1d 5723 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC  <->  ( x  e.  X  |->  F ) : X --> CC ) )
4238, 41mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  F ) : X --> CC )
43 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  F )  =  ( x  e.  X  |->  F )
4443fmpt 6053 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  F  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  F ) : X --> CC )
4542, 44sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  F  e.  CC )
4645r19.21bi 2836 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
4731, 46, 18, 40, 16offval2 6551 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  oF  x.  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  B ) ) )
4823, 28, 473eqtr3d 2516 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  E ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   {cpr 4035    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005    o. ccom 5009   -->wf 5590  (class class class)co 6295    oFcof 6533   CCcc 9502   RRcr 9503    x. cmul 9509    _D cdv 22133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137
This theorem is referenced by:  dvexp3  22245  dvsincos  22248  dvlipcn  22261  lhop2  22282  itgsubstlem  22315  dvtaylp  22630  taylthlem2  22634  pige3  22774  advlogexp  22900  logtayl  22905  dvcxp1  22980  dvcxp2  22981  loglesqrt  22996  dvatan  23130  logdivsum  23582  log2sumbnd  23593  lgamgulmlem2  28404  dvtan  29999  dvcncxp1  30034  dvasin  30037  areacirclem1  30041  expgrowthi  31168  expgrowth  31170  dvsinexp  31567  dvrecg  31569  fourierdlem28  31764  fourierdlem39  31775  fourierdlem56  31792  fourierdlem60  31796  fourierdlem61  31797
  Copyright terms: Public domain W3C validator