MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptco Structured version   Unicode version

Theorem dvmptco 21288
Description: Function-builder for derivative, chain rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptco.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptco.t  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
dvmptco.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
dvmptco.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptco.c  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  CC )
dvmptco.d  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  W )
dvmptco.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptco.dc  |-  ( ph  ->  ( T  _D  (
y  e.  Y  |->  C ) )  =  ( y  e.  Y  |->  D ) )
dvmptco.e  |-  ( y  =  A  ->  C  =  E )
dvmptco.f  |-  ( y  =  A  ->  D  =  F )
Assertion
Ref Expression
dvmptco  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  E ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  B ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, C    x, D    y, E    y, F    y, T    x, V    x, y, ph    y, W    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, y)    C( y)    D( y)    S( x, y)    T( x)    E( x)    F( x)    V( y)    W( x)    X( y)

Proof of Theorem dvmptco
StepHypRef Expression
1 dvmptco.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptco.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
3 dvmptco.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  C  e.  CC )
4 eqid 2433 . . . 4  |-  ( y  e.  Y  |->  C )  =  ( y  e.  Y  |->  C )
53, 4fmptd 5855 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  C ) : Y --> CC )
6 dvmptco.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
7 eqid 2433 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
86, 7fmptd 5855 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
9 dvmptco.dc . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  _D  (
y  e.  Y  |->  C ) )  =  ( y  e.  Y  |->  D ) )
109dmeqd 5029 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  =  dom  ( y  e.  Y  |->  D ) )
11 dvmptco.d . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  W )
1211ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  D  e.  W )
13 dmmptg 5323 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  D  e.  W  ->  dom  (
y  e.  Y  |->  D )  =  Y )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  Y  |->  D )  =  Y )
1510, 14eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  =  Y )
16 dvmptco.da . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
1716dmeqd 5029 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
18 dvmptco.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
1918ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
20 dmmptg 5323 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
2217, 21eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
231, 2, 5, 8, 15, 22dvcof 21264 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( y  e.  Y  |->  C )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  oF  x.  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) ) )
24 eqidd 2434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
25 eqidd 2434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  C )  =  ( y  e.  Y  |->  C ) )
26 dvmptco.e . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  C  =  E )
276, 24, 25, 26fmptco 5863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  C )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  E ) )
2827oveq2d 6096 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( y  e.  Y  |->  C )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  E ) ) )
29 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  e.  _V
3029dmex 6500 . . . 4  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  e.  _V
3122, 30syl6eqelr 2522 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
321, 3, 11, 9dvmptcl 21275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  D  e.  CC )
33 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Y  |->  D )  =  ( y  e.  Y  |->  D )
3432, 33fmptd 5855 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  D ) : Y --> CC )
359feq1d 5534 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) ) : Y --> CC  <->  ( y  e.  Y  |->  D ) : Y --> CC ) )
3634, 35mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T  _D  (
y  e.  Y  |->  C ) ) : Y --> CC )
37 fco 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  _D  (
y  e.  Y  |->  C ) ) : Y --> CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )  -> 
( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC )
3836, 8, 37syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC )
39 dvmptco.f . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  D  =  F )
406, 24, 9, 39fmptco 5863 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  F ) )
4140feq1d 5534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC  <->  ( x  e.  X  |->  F ) : X --> CC ) )
4238, 41mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  F ) : X --> CC )
43 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  F )  =  ( x  e.  X  |->  F )
4443fmpt 5852 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  F  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  F ) : X --> CC )
4542, 44sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  F  e.  CC )
4645r19.21bi 2804 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  CC )
4731, 46, 18, 40, 16offval2 6325 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( T  _D  ( y  e.  Y  |->  C ) )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  oF  x.  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  B ) ) )
4823, 28, 473eqtr3d 2473 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  E ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( F  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   _Vcvv 2962   {cpr 3867    e. cmpt 4338   dom cdm 4827    o. ccom 4831   -->wf 5402  (class class class)co 6080    oFcof 6307   CCcc 9268   RRcr 9269    x. cmul 9275    _D cdv 21180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184
This theorem is referenced by:  dvexp3  21292  dvsincos  21295  dvlipcn  21308  lhop2  21329  itgsubstlem  21362  dvtaylp  21720  taylthlem2  21724  pige3  21864  advlogexp  21985  logtayl  21990  dvcxp1  22065  dvcxp2  22066  loglesqr  22081  dvatan  22215  logdivsum  22667  log2sumbnd  22678  lgamgulmlem2  26864  dvtan  28286  dvcncxp1  28321  dvasin  28324  areacirclem1  28328  expgrowthi  29452  expgrowth  29454  dvsinexp  29633
  Copyright terms: Public domain W3C validator