MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptcmul Structured version   Unicode version

Theorem dvmptcmul 21413
Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptcmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
dvmptcmul  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptcmul
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptcmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
32adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
4 0cnd 9371 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  CC )
52adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  C  e.  CC )
6 0cnd 9371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  CC )
71, 2dvmptc 21407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  S  |->  C ) )  =  ( x  e.  S  |->  0 ) )
8 dvmptadd.da . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
98dmeqd 5037 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
10 dvmptadd.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
1110ralrimiva 2794 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
12 dmmptg 5330 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
149, 13eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
15 dvbsss 21352 . . . . . 6  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) 
C_  S
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  C_  S )
1714, 16eqsstr3d 3386 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
19 eqid 2438 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019cnfldtopon 20337 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
21 recnprss 21354 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
221, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
23 resttopon 18740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2420, 22, 23sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
25 topontop 18506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
2624, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
27 toponuni 18507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
2824, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
2917, 28sseqtrd 3387 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
30 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
3130ntrss2 18636 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  C_  X
)
3226, 29, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  C_  X
)
33 dvmptadd.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
34 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
3533, 34fmptd 5862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
3622, 35, 17, 18, 19dvbssntr 21350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X ) )
3714, 36eqsstr3d 3386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  X
) )
3832, 37eqssd 3368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  =  X )
391, 5, 6, 7, 17, 18, 19, 38dvmptres2 21411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
401, 3, 4, 39, 33, 10, 8dvmptmul 21410 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) ) ) )
4133mul02d 9559 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
4241oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) )  =  ( 0  +  ( B  x.  C
) ) )
431, 33, 10, 8dvmptcl 21408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
4443, 3mulcld 9398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
4544addid2d 9562 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
0  +  ( B  x.  C ) )  =  ( B  x.  C ) )
4643, 3mulcomd 9399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
4742, 45, 463eqtrd 2474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) )  =  ( C  x.  B ) )
4847mpteq2dva 4373 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  A )  +  ( B  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
4940, 48eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323   {cpr 3874   U.cuni 4086    e. cmpt 4345   dom cdm 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274    + caddc 9277    x. cmul 9279   ↾t crest 14351   TopOpenctopn 14352  ℂfldccnfld 17793   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   intcnt 18596    _D cdv 21313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317
This theorem is referenced by:  dvmptdivc  21414  dvmptneg  21415  dvmptre  21418  dvmptim  21419  dvsincos  21428  cmvth  21438  dvlipcn  21441  dvivthlem1  21455  dvfsumle  21468  dvfsumabs  21470  dvfsumlem2  21474  dvply1  21725  dvtaylp  21810  pserdvlem2  21868  pige3  21954  dvcxp1  22155  dvcxp2  22156  dvatan  22305  divsqrsumlem  22348  logexprlim  22539  log2sumbnd  22768  lgamgulmlem2  26968  dvcncxp1  28430  dvasin  28433  areacirclem1  28437  lhe4.4ex1a  29556  expgrowthi  29560  expgrowth  29562
  Copyright terms: Public domain W3C validator