MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptcmul Structured version   Unicode version

Theorem dvmptcmul 22902
Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptcmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
dvmptcmul  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptcmul
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptcmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
32adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
4 0cnd 9636 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  CC )
52adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  C  e.  CC )
6 0cnd 9636 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  CC )
71, 2dvmptc 22896 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  S  |->  C ) )  =  ( x  e.  S  |->  0 ) )
8 dvmptadd.da . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
98dmeqd 5052 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
10 dvmptadd.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
1110ralrimiva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
12 dmmptg 5347 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
149, 13eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
15 dvbsss 22841 . . . . 5  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) 
C_  S
1614, 15syl6eqssr 3515 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
17 eqid 2422 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
18 eqid 2422 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1918cnfldtopon 21787 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
20 recnprss 22843 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
211, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
22 resttopon 20161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2319, 21, 22sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
24 topontop 19925 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
2523, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
26 toponuni 19926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
2723, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
2816, 27sseqtrd 3500 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
29 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
3029ntrss2 20056 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  C_  X
)
3125, 28, 30syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  C_  X
)
32 dvmptadd.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
33 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
3432, 33fmptd 6057 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
3521, 34, 16, 17, 18dvbssntr 22839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X ) )
3614, 35eqsstr3d 3499 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  X
) )
3731, 36eqssd 3481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  =  X )
381, 5, 6, 7, 16, 17, 18, 37dvmptres2 22900 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
391, 3, 4, 38, 32, 10, 8dvmptmul 22899 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) ) ) )
4032mul02d 9831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
4140oveq1d 6316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) )  =  ( 0  +  ( B  x.  C
) ) )
421, 32, 10, 8dvmptcl 22897 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
4342, 3mulcld 9663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
4443addid2d 9834 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
0  +  ( B  x.  C ) )  =  ( B  x.  C ) )
4542, 3mulcomd 9664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
4641, 44, 453eqtrd 2467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) )  =  ( C  x.  B ) )
4746mpteq2dva 4507 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  A )  +  ( B  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
4839, 47eqtrd 2463 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    C_ wss 3436   {cpr 3998   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479   dom cdm 4849   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544   ↾t crest 15304   TopOpenctopn 15305  ℂfldccnfld 18955   Topctop 19901  TopOnctopon 19902   intcnt 20016    _D cdv 22802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-lp 20136  df-perf 20137  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-haus 20315  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-cncf 21894  df-limc 22805  df-dv 22806
This theorem is referenced by:  dvmptdivc  22903  dvmptneg  22904  dvmptre  22907  dvmptim  22908  dvsincos  22917  cmvth  22927  dvlipcn  22930  dvivthlem1  22944  dvfsumle  22957  dvfsumabs  22959  dvfsumlem2  22963  dvply1  23221  dvtaylp  23309  pserdvlem2  23367  pige3  23456  dvcxp1  23664  dvcxp2  23665  dvcncxp1  23667  dvatan  23845  divsqrtsumlem  23889  lgamgulmlem2  23939  logexprlim  24137  log2sumbnd  24366  dvasin  31939  areacirclem1  31943  lhe4.4ex1a  36533  expgrowthi  36537  expgrowth  36539  fourierdlem39  37826
  Copyright terms: Public domain W3C validator