MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptcl Structured version   Unicode version

Theorem dvmptcl 21569
Description: Closure lemma for dvmptcmul 21574 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptcl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptcl
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 21517 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) --> CC )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) ) : dom  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) ) --> CC )
4 dvmptadd.da . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
54dmeqd 5153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
6 dvmptadd.b . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
76ralrimiva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
8 dmmptg 5446 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
105, 9eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
1110feq2d 5658 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) --> CC  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC ) )
123, 11mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC )
134feq1d 5657 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC ) )
1412, 13mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
15 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1615fmpt 5976 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
1714, 16sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
1817r19.21bi 2920 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {cpr 3990    |-> cmpt 4461   dom cdm 4951   -->wf 5525  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395    _D cdv 21474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7775  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-icc 11421  df-fz 11558  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-rest 14483  df-topn 14484  df-topgen 14504  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-limc 21477  df-dv 21478
This theorem is referenced by:  dvmptcmul  21574  dvmptdivc  21575  dvmptneg  21576  dvmptsub  21577  dvmptcj  21578  dvmptre  21579  dvmptim  21580  dvmptco  21582  dvivth  21618  ulmdvlem1  22001  pserdvlem2  22029
  Copyright terms: Public domain W3C validator