MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptcj Structured version   Unicode version

Theorem dvmptcj 21454
Description: Function-builder for derivative, conjugate rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptcj.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptcj.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptcj.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptcj  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( * `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `  B ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptcj
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvmptcj.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
31, 2fmptd 5879 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
4 dvmptcj.da . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
54dmeqd 5054 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
6 dvmptcj.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
76ralrimiva 2811 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
8 dmmptg 5347 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
105, 9eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
11 dvbsss 21389 . . . 4  |-  dom  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) 
C_  RR
1210, 11syl6eqssr 3419 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
13 dvcj 21436 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  /\  X  C_  RR )  ->  ( RR  _D  ( *  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( *  o.  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) ) )
143, 12, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
*  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( *  o.  ( RR 
_D  ( x  e.  X  |->  A ) ) ) )
15 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
16 cjf 12605 . . . . . 6  |-  * : CC --> CC
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  * : CC --> CC )
1817feqmptd 5756 . . . 4  |-  ( ph  ->  *  =  ( y  e.  CC  |->  ( * `
 y ) ) )
19 fveq2 5703 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
* `  y )  =  ( * `  A ) )
201, 15, 18, 19fmptco 5888 . . 3  |-  ( ph  ->  ( *  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `  A ) ) )
2120oveq2d 6119 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
*  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  ( * `
 A ) ) ) )
22 reelprrecn 9386 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
2423, 1, 6, 4dvmptcl 21445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
25 fveq2 5703 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
* `  y )  =  ( * `  B ) )
2624, 4, 18, 25fmptco 5888 . 2  |-  ( ph  ->  ( *  o.  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `
 B ) ) )
2714, 21, 263eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( * `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727    C_ wss 3340   {cpr 3891    e. cmpt 4362   dom cdm 4852    o. ccom 4856   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   *ccj 12597    _D cdv 21350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fi 7673  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-icc 11319  df-fz 11450  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-rest 14373  df-topn 14374  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354
This theorem is referenced by:  dvmptre  21455  dvmptim  21456
  Copyright terms: Public domain W3C validator