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Theorem dvloglem 23591
Description: Lemma for dvlog 23594. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
dvloglem  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 23512 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1ofun 5833 . . . . . 6  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  Fun  log
4 logcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
54logdmss 23585 . . . . . 6  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1odm 5835 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } ) )
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
85, 7sseqtr4i 3497 . . . . 5  |-  D  C_  dom  log
9 funimass4 5932 . . . . 5  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
103, 8, 9mp2an 676 . . . 4  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
114ellogdm 23582 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1211simplbi 461 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
134logdmn0 23583 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
1412, 13logcld 23518 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
1514imcld 13258 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
1612, 13logimcld 23519 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
1716simpld 460 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
184logdmnrp 23584 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
19 lognegb 23537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2012, 13, 19syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2120necon3bbid 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2218, 21mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
2322necomd 2691 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
24 pire 23411 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
2616simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
2715, 25, 26leltned 9795 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
2823, 27mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
2924renegcli 9942 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
3029rexri 9700 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR*
3124rexri 9700 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR*
32 elioo2 11684 . . . . . . 7  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
3330, 31, 32mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
3415, 17, 28, 33syl3anbrc 1189 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
35 imf 13176 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
36 ffn 5746 . . . . . 6  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
37 elpreima 6017 . . . . . 6  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
3914, 34, 38sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4010, 39mprgbir 2786 . . 3  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
41 df-ioo 11646 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
42 df-ioc 11647 . . . . . . . . . 10  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
43 idd 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -u pi  <  w  ->  -u pi  <  w
) )
44 xrltle 11455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
4541, 42, 43, 44ixxssixx 11656 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )
46 imass2 5223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )  ->  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
48 logrn 23506 . . . . . . . 8  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
4947, 48sseqtr4i 3497 . . . . . . 7  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ran  log
5049sseli 3460 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
51 logef 23529 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
5250, 51syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  =  x )
53 elpreima 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
5435, 36, 53mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
55 efcl 14136 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
5655adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
5754, 56sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
5854simplbi 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
5958imcld 13258 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
6054simprbi 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
61 eliooord 11701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6362simprd 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  <  pi )
6459, 63ltned 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  =/=  pi )
6552adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6665fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  ( Im `  x
) )
67 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )
68 mnfxr 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- -oo  e.  RR*
69 0re 9650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
70 elioc2 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\ -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) ) )
7168, 69, 70mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  x )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\ -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) )
7267, 71sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( exp `  x
)  /\  ( exp `  x )  <_  0
) )
7372simp1d 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  RR )
7473renegcld 10053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR )
75 efne0 14150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7658, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7776adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  =/=  0 )
7877necomd 2691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  =/=  ( exp `  x ) )
79 0red 9651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
8072simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <_  0 )
8173, 79, 80leltned 9795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  =/=  ( exp `  x ) ) )
8278, 81mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <  0 )
8373lt0neg1d 10190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  <  -u ( exp `  x
) ) )
8482, 83mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  -u ( exp `  x ) )
8574, 84elrpd 11345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR+ )
86 lognegb 23537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
8757, 76, 86syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
8887adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
8985, 88mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  pi )
9066, 89eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  x
)  =  pi )
9190ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
Im `  x )  =  pi ) )
9291necon3ad 2630 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( Im `  x
)  =/=  pi  ->  -.  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) ) )
9364, 92mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  -.  ( exp `  x )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
9457, 93eldifd 3447 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
9594, 4syl6eleqr 2518 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  D )
96 funfvima2 6156 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
973, 8, 96mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
9895, 97syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
9952, 98eqeltrrd 2508 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
10099ssriv 3468 . . 3  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
10140, 100eqssi 3480 . 2  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
102 imcncf 21933 . . . 4  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
103 ssid 3483 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
104 ax-resscn 9603 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
105 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
106105cnfldtop 21802 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
107105cnfldtopon 21801 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
108107toponunii 19945 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
109108restid 15331 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
110106, 109ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
111110eqcomi 2435 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
112105tgioo2 21819 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
113105, 111, 112cncfcn 21939 . . . . 5  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
114103, 104, 113mp2an 676 . . . 4  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
115102, 114eleqtri 2505 . . 3  |-  Im  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
116 iooretop 21784 . . 3  |-  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
117 cnima 20279 . . 3  |-  ( ( Im  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' Im "
( -u pi (,) pi ) )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
118115, 116, 117mp2an 676 . 2  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
119101, 118eqeltri 2503 1  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771    \ cdif 3433    C_ wss 3436   {csn 3998   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854   "cima 4856   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   -ucneg 9868   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   (,]cioc 11643   Imcim 13161   expce 14113   picpi 14118   ↾t crest 15318   TopOpenctopn 15319   topGenctg 15335  ℂfldccnfld 18969   Topctop 19915    Cn ccn 20238   -cn->ccncf 21906   logclog 23502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504
This theorem is referenced by:  dvlog  23594
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