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Theorem dvloglem 23155
Description: Lemma for dvlog 23158. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
dvloglem  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 23078 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1ofun 5824 . . . . . 6  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  Fun  log
4 logcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
54logdmss 23149 . . . . . 6  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1odm 5826 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } ) )
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
85, 7sseqtr4i 3532 . . . . 5  |-  D  C_  dom  log
9 funimass4 5924 . . . . 5  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
103, 8, 9mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
114ellogdm 23146 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1211simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
134logdmn0 23147 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
1412, 13logcld 23084 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
1514imcld 13040 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
1612, 13logimcld 23085 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
1716simpld 459 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
184logdmnrp 23148 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
19 lognegb 23100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2012, 13, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2120necon3bbid 2704 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2218, 21mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
2322necomd 2728 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
24 pire 22977 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
2616simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
2715, 25, 26leltned 9753 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
2823, 27mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
2924renegcli 9899 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
3029rexri 9663 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR*
3124rexri 9663 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR*
32 elioo2 11595 . . . . . . 7  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
3330, 31, 32mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
3415, 17, 28, 33syl3anbrc 1180 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
35 imf 12958 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
36 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
37 elpreima 6008 . . . . . 6  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
3914, 34, 38sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4010, 39mprgbir 2821 . . 3  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
41 df-ioo 11558 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
42 df-ioc 11559 . . . . . . . . . 10  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
43 idd 24 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -u pi  <  w  ->  -u pi  <  w
) )
44 xrltle 11380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
4541, 42, 43, 44ixxssixx 11568 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )
46 imass2 5382 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )  ->  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
48 logrn 23072 . . . . . . . 8  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
4947, 48sseqtr4i 3532 . . . . . . 7  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ran  log
5049sseli 3495 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
51 logef 23092 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
5250, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  =  x )
53 elpreima 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
5435, 36, 53mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
55 efcl 13830 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
5655adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
5754, 56sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
5854simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
5958imcld 13040 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
6054simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
61 eliooord 11609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6362simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  <  pi )
6459, 63ltned 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  =/=  pi )
6552adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6665fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  ( Im `  x
) )
67 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )
68 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- -oo  e.  RR*
69 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
70 elioc2 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\ -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) ) )
7168, 69, 70mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  x )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\ -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) )
7267, 71sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( exp `  x
)  /\  ( exp `  x )  <_  0
) )
7372simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  RR )
7473renegcld 10007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR )
75 efne0 13844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7658, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  =/=  0 )
7877necomd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  =/=  ( exp `  x ) )
79 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
8072simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <_  0 )
8173, 79, 80leltned 9753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  =/=  ( exp `  x ) ) )
8278, 81mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <  0 )
8373lt0neg1d 10143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  <  -u ( exp `  x
) ) )
8482, 83mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  -u ( exp `  x ) )
8574, 84elrpd 11279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR+ )
86 lognegb 23100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
8757, 76, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
8985, 88mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  pi )
9066, 89eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  x
)  =  pi )
9190ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
Im `  x )  =  pi ) )
9291necon3ad 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( Im `  x
)  =/=  pi  ->  -.  ( exp `  x
)  e.  ( -oo (,] 0 ) ) )
9364, 92mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  -.  ( exp `  x )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
9457, 93eldifd 3482 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
9594, 4syl6eleqr 2556 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  D )
96 funfvima2 6149 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
973, 8, 96mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
9895, 97syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
9952, 98eqeltrrd 2546 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
10099ssriv 3503 . . 3  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
10140, 100eqssi 3515 . 2  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
102 imcncf 21533 . . . 4  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
103 ssid 3518 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
104 ax-resscn 9566 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
105 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
106105cnfldtop 21417 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
107105cnfldtopon 21416 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
108107toponunii 19560 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
109108restid 14851 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
110106, 109ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
111110eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
112105tgioo2 21434 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
113105, 111, 112cncfcn 21539 . . . . 5  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
114103, 104, 113mp2an 672 . . . 4  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
115102, 114eleqtri 2543 . . 3  |-  Im  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
116 iooretop 21399 . . 3  |-  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
117 cnima 19893 . . 3  |-  ( ( Im  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' Im "
( -u pi (,) pi ) )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
118115, 116, 117mp2an 672 . 2  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
119101, 118eqeltri 2541 1  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   -ucneg 9825   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   (,]cioc 11555   Imcim 12943   expce 13809   picpi 13814   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂfldccnfld 18547   Topctop 19521    Cn ccn 19852   -cn->ccncf 21506   logclog 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070
This theorem is referenced by:  dvlog  23158
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