MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2 Structured version   Unicode version

Theorem dvlog2 23121
Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at  1, a sometimes easier region to work with than the  CC  \  ( -oo ,  0 ] of dvlog 23119. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
Assertion
Ref Expression
dvlog2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Distinct variable group:    x, S

Proof of Theorem dvlog2
StepHypRef Expression
1 ssid 3436 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2 logf1o 23037 . . . . . . 7  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
3 f1of 5724 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
5 logrncn 23035 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ran  log  ->  x  e.  CC )
65ssriv 3421 . . . . . 6  |-  ran  log  C_  CC
7 fss 5647 . . . . . 6  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  ran  log  C_  CC )  ->  log : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
84, 6, 7mp2an 670 . . . . 5  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> CC
9 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
109logdmss 23110 . . . . 5  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } )
11 fssres 5659 . . . . 5  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC  /\  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) --> CC )
128, 10, 11mp2an 670 . . . 4  |-  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) --> CC
13 difss 3545 . . . 4  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
14 dvlog2.s . . . . 5  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
15 cnxmet 21365 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
16 ax-1cn 9461 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
17 1rp 11143 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
18 rpxr 11146 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
20 blssm 21006 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
2115, 16, 19, 20mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
2214, 21eqsstri 3447 . . . 4  |-  S  C_  CC
23 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2423cnfldtop 21376 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2523cnfldtopon 21375 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2625toponunii 19518 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2726restid 14841 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
2824, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
2928eqcomi 2395 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3023, 29dvres 22400 . . . 4  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) --> CC )  /\  ( ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  C_  CC  /\  S  C_  CC ) )  -> 
( CC  _D  (
( log  |`  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) ) )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) ) )
311, 12, 13, 22, 30mp4an 671 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )
3214dvlog2lem 23120 . . . . 5  |-  S  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
33 resabs1 5214 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( ( log  |`  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S )
3534oveq2i 6207 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )
369dvlog 23119 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )
3723cnfldtopn 21374 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
3837blopn 21088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
3915, 16, 19, 38mp3an 1322 . . . . . 6  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld )
4014, 39eqeltri 2466 . . . . 5  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
41 isopn3i 19669 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  =  S )
4224, 40, 41mp2an 670 . . . 4  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  S )  =  S
4336, 42reseq12i 5184 . . 3  |-  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
4431, 35, 433eqtr3i 2419 . 2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( ( x  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
45 resmpt 5235 . . 3  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) ) )
4632, 45ax-mp 5 . 2  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
4744, 46eqtri 2411 1  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399    e. wcel 1826    \ cdif 3386    C_ wss 3389   {csn 3944    |-> cmpt 4425   ran crn 4914    |` cres 4915    o. ccom 4917   -->wf 5492   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404   -oocmnf 9537   RR*cxr 9538    - cmin 9718    / cdiv 10123   RR+crp 11139   (,]cioc 11451   abscabs 13069   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829   *Metcxmt 18516   ballcbl 18518  ℂfldccnfld 18533   Topctop 19479   intcnt 19603    _D cdv 22352   logclog 23027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-tan 13809  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029
This theorem is referenced by:  logtayl  23128  efrlim  23416
  Copyright terms: Public domain W3C validator