MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2 Structured version   Unicode version

Theorem dvlog2 22790
Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at  1, a sometimes easier region to work with than the  CC  \  ( -oo ,  0 ] of dvlog 22788. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
Assertion
Ref Expression
dvlog2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Distinct variable group:    x, S

Proof of Theorem dvlog2
StepHypRef Expression
1 ssid 3523 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2 logf1o 22708 . . . . . . 7  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
3 f1of 5816 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
5 logrncn 22706 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ran  log  ->  x  e.  CC )
65ssriv 3508 . . . . . 6  |-  ran  log  C_  CC
7 fss 5739 . . . . . 6  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  ran  log  C_  CC )  ->  log : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
84, 6, 7mp2an 672 . . . . 5  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> CC
9 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
109logdmss 22779 . . . . 5  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } )
11 fssres 5751 . . . . 5  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC  /\  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) --> CC )
128, 10, 11mp2an 672 . . . 4  |-  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) --> CC
13 difss 3631 . . . 4  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
14 dvlog2.s . . . . 5  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
15 cnxmet 21043 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
16 ax-1cn 9550 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
17 1rp 11224 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
18 rpxr 11227 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
20 blssm 20684 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
2115, 16, 19, 20mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
2214, 21eqsstri 3534 . . . 4  |-  S  C_  CC
23 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2423cnfldtop 21054 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2523cnfldtopon 21053 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2625toponunii 19228 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2726restid 14689 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
2824, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
2928eqcomi 2480 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3023, 29dvres 22078 . . . 4  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) --> CC )  /\  ( ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  C_  CC  /\  S  C_  CC ) )  -> 
( CC  _D  (
( log  |`  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) ) )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) ) )
311, 12, 13, 22, 30mp4an 673 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )
3214dvlog2lem 22789 . . . . 5  |-  S  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
33 resabs1 5302 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( ( log  |`  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S )
3534oveq2i 6295 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )
369dvlog 22788 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )
3723cnfldtopn 21052 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
3837blopn 20766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
3915, 16, 19, 38mp3an 1324 . . . . . 6  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld )
4014, 39eqeltri 2551 . . . . 5  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
41 isopn3i 19377 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  =  S )
4224, 40, 41mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  S )  =  S
4336, 42reseq12i 5271 . . 3  |-  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
4431, 35, 433eqtr3i 2504 . 2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( ( x  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
45 resmpt 5323 . . 3  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) ) )
4632, 45ax-mp 5 . 2  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
4744, 46eqtri 2496 1  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027    |-> cmpt 4505   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493   -oocmnf 9626   RR*cxr 9627    - cmin 9805    / cdiv 10206   RR+crp 11220   (,]cioc 11530   abscabs 13030   ↾t crest 14676   TopOpenctopn 14677   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204  ℂfldccnfld 18219   Topctop 19189   intcnt 19312    _D cdv 22030   logclog 22698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-tan 13669  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700
This theorem is referenced by:  logtayl  22797  efrlim  23055
  Copyright terms: Public domain W3C validator