MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2 Structured version   Unicode version

Theorem dvlog2 22073
Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at  1, a sometimes easier region to work with than the  CC  \  ( -oo ,  0 ] of dvlog 22071. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
Assertion
Ref Expression
dvlog2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Distinct variable group:    x, S

Proof of Theorem dvlog2
StepHypRef Expression
1 ssid 3370 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2 logf1o 21991 . . . . . . 7  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
3 f1of 5636 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
5 logrncn 21989 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ran  log  ->  x  e.  CC )
65ssriv 3355 . . . . . 6  |-  ran  log  C_  CC
7 fss 5562 . . . . . 6  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  ran  log  C_  CC )  ->  log : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
84, 6, 7mp2an 672 . . . . 5  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> CC
9 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
109logdmss 22062 . . . . 5  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } )
11 fssres 5573 . . . . 5  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC  /\  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) --> CC )
128, 10, 11mp2an 672 . . . 4  |-  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) --> CC
13 difss 3478 . . . 4  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
14 dvlog2.s . . . . 5  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
15 cnxmet 20327 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
16 ax-1cn 9332 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
17 1rp 10987 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
18 rpxr 10990 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
20 blssm 19968 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
2115, 16, 19, 20mp3an 1314 . . . . 5  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
2214, 21eqsstri 3381 . . . 4  |-  S  C_  CC
23 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2423cnfldtop 20338 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2523cnfldtopon 20337 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2625toponunii 18512 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2726restid 14364 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
2824, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
2928eqcomi 2442 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3023, 29dvres 21361 . . . 4  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) --> CC )  /\  ( ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  C_  CC  /\  S  C_  CC ) )  -> 
( CC  _D  (
( log  |`  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) ) )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) ) )
311, 12, 13, 22, 30mp4an 673 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )
3214dvlog2lem 22072 . . . . 5  |-  S  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
33 resabs1 5134 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( ( log  |`  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S )
3534oveq2i 6097 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )
369dvlog 22071 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )
3723cnfldtopn 20336 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
3837blopn 20050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
3915, 16, 19, 38mp3an 1314 . . . . . 6  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld )
4014, 39eqeltri 2508 . . . . 5  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
41 isopn3i 18661 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  =  S )
4224, 40, 41mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  S )  =  S
4336, 42reseq12i 5103 . . 3  |-  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
4431, 35, 433eqtr3i 2466 . 2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( ( x  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
45 resmpt 5151 . . 3  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) ) )
4632, 45ax-mp 5 . 2  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
4744, 46eqtri 2458 1  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3320    C_ wss 3323   {csn 3872    e. cmpt 4345   ran crn 4836    |` cres 4837    o. ccom 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275   -oocmnf 9408   RR*cxr 9409    - cmin 9587    / cdiv 9985   RR+crp 10983   (,]cioc 11293   abscabs 12715   ↾t crest 14351   TopOpenctopn 14352   *Metcxmt 17776   ballcbl 17778  ℂfldccnfld 17793   Topctop 18473   intcnt 18596    _D cdv 21313   logclog 21981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-tan 13349  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983
This theorem is referenced by:  logtayl  22080  efrlim  22338
  Copyright terms: Public domain W3C validator