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Theorem dvlipcn 19831
Description: A complex function with derivative bounded by  M on an open ball is Lipschitz continuous with Lipchitz constant equal to  M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlipcn.x  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
dvlipcn.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvlipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dvlipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
dvlipcn.b  |-  B  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
dvlipcn.d  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
dvlipcn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
dvlipcn.l  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  <_  M )
Assertion
Ref Expression
dvlipcn  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    R( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem dvlipcn
Dummy variables  t 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1elunit 10972 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
2 0elunit 10971 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
3 0re 9047 . . . . 5  |-  0  e.  RR
43a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
5 1re 9046 . . . . 5  |-  1  e.  RR
65a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
1  e.  RR )
7 dvlipcn.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
8 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  C_  CC
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
10 dvlipcn.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
11 dvlipcn.x . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
129, 10, 11dvbss 19741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  F )  C_  X
)
137, 12sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
1413, 11sstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  B  C_  CC )
16 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
1715, 16sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Y  e.  CC )
1817adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Y  e.  CC )
19 unitssre 10998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
20 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
2119, 20sstri 3317 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
22 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1
) )
2321, 22sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  t  e.  CC )
2418, 23mulcomd 9065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( Y  x.  t )  =  ( t  x.  Y ) )
25 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Z  e.  B )
2615, 25sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Z  e.  CC )
2726adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Z  e.  CC )
28 iirev 18907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2928adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3021, 29sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
3127, 30mulcomd 9065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  Z ) )
3224, 31oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  =  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  Z
) ) )
33 dvlipcn.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3433ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  A  e.  CC )
35 dvlipcn.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
3635ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  R  e.  RR* )
3716adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Y  e.  B )
3825adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Z  e.  B )
39 dvlipcn.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
4039blcvx 18782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  t  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Z ) )  e.  B )
4134, 36, 37, 38, 22, 40syl23anc 1191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Z ) )  e.  B )
4232, 41eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  B )
43 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
44 fssres 5569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> CC  /\  B  C_  X )  -> 
( F  |`  B ) : B --> CC )
4510, 13, 44syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
4645feqmptd 5738 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( F  |`  B ) `  z
) ) )
47 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
4847mpteq2ia 4251 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  B  |->  ( ( F  |`  B ) `  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) )
4946, 48syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z ) ) )
5049adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z ) ) )
51 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
5242, 43, 50, 51fmptco 5860 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( F  |`  B )  o.  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )
53 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )
5442, 53fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
55 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5655addcn 18848 . . . . . . . . . 10  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
5756a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  +  e.  ( (
( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
5855mulcn 18850 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  x.  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
60 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Y )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6121, 8, 60mp3an23 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  CC  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Y )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6217, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  Y )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
63 cncfmptid 18895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  t )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6421, 8, 63mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  t )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  t )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
6655, 59, 62, 65cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( Y  x.  t
) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
67 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Z )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6821, 8, 67mp3an23 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  CC  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Z )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6926, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  Z )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7055subcn 18849 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  -  e.  ( (
( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
72 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
73 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  1 )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
7472, 21, 8, 73mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  1 )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  1 )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7655, 71, 75, 65cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  t
) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7755, 59, 69, 76cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7855, 57, 66, 77cncfmpt2f 18897 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
79 cncffvrn 18881 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  CC  /\  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B )  <-> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
8015, 78, 79syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B )  <-> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
8154, 80mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> B ) )
828a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  CC  C_  CC )
8345adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F  |`  B ) : B --> CC )
8455cnfldtop 18771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
8555cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
8685toponunii 16952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
8786restid 13616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
8884, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
8988eqcomi 2408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
9055, 89dvres 19751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  F : X --> CC )  /\  ( X  C_  CC  /\  B  C_  CC ) )  ->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC  _D  F )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) ) )
919, 10, 11, 14, 90syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) ) )
92 cnxmet 18760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9455cnfldtopn 18769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
9594blopn 18483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  A  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
9693, 33, 35, 95syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9739, 96syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( TopOpen ` fld )
)
98 isopn3i 17101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  B  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  B )
9984, 97, 98sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
)  =  B )
10099reseq2d 5105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )  =  ( ( CC  _D  F
)  |`  B ) )
10191, 100eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  B ) )
102101dmeqd 5031 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  dom  (
( CC  _D  F
)  |`  B ) )
103 dmres 5126 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
( CC  _D  F
)  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  ( CC  _D  F
) )
104 df-ss 3294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  dom  ( CC  _D  F )  <->  ( B  i^i  dom  ( CC  _D  F ) )  =  B )
1057, 104sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  dom  ( CC  _D  F
) )  =  B )
106103, 105syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( ( CC 
_D  F )  |`  B )  =  B )
107102, 106eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
108107adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
109 dvcn 19760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( F  |`  B ) : B --> CC  /\  B  C_  CC )  /\  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
11082, 83, 15, 108, 109syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
11181, 110cncfco 18890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( F  |`  B )  o.  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
11252, 111eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
11320a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  RR  C_  CC )
11419a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0 [,] 1
)  C_  RR )
11510ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F : X --> CC )
11613ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  B  C_  X )
117116, 42sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  X )
118115, 117ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  e.  CC )
11955tgioo2 18787 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
120 iccntr 18805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] 1 ) )  =  ( 0 (,) 1
) )
1214, 5, 120sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] 1 ) )  =  ( 0 (,) 1
) )
122113, 114, 118, 119, 55, 121dvmptntr 19810 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) ) )
123 reex 9037 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
124123prid1 3872 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
126 cnex 9027 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
127126prid2 3873 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
129 ioossicc 10952 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
130129sseli 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1
) )
131130, 42sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  B )
13217, 26subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  -  Z
)  e.  CC )
133132adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Y  -  Z )  e.  CC )
13413adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  B  C_  X )
135134sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  X )
13610adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  F : X --> CC )
137136ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
138135, 137syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
139 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  _D  F ) `
 z )  e. 
_V
140139a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  (
( CC  _D  F
) `  z )  e.  _V )
14117adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Y  e.  CC )
142130, 23sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  t  e.  CC )
143141, 142mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Y  x.  t )  e.  CC )
1445a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  1  e.  RR )
145 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
146145recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
1475a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
148125dvmptid 19796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  t ) )  =  ( t  e.  RR  |->  1 ) )
149 ioossre 10928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0 (,) 1
)  C_  RR )
151 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0 (,) 1
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
153125, 146, 147, 148, 150, 119, 55, 152dvmptres 19802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  t ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  1 ) )
154125, 142, 144, 153, 17dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  x.  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  x.  1 ) ) )
15517mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  x.  1 )  =  Y )
156155mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Y  x.  1 ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  Y ) )
157154, 156eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  x.  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  Y ) )
15826adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Z  e.  CC )
159130, 30sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
160158, 159mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  e.  CC )
161 negex 9260 . . . . . . . . . . 11  |-  -u Z  e.  _V
162161a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  -u Z  e.  _V )
163 negex 9260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  _V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  -u 1  e.  _V )
16572a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  1  e.  CC )
1663a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  e.  RR )
16772a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
1683a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
16972a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
1  e.  CC )
170125, 169dvmptc 19797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  0 ) )
171125, 167, 168, 170, 150, 119, 55, 152dvmptres 19802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  1 ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  0 ) )
172125, 165, 166, 171, 142, 144, 153dvmptsub 19806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 1  -  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 0  -  1 ) ) )
173 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
174173mpteq2i 4252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u 1
)  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 0  -  1 ) )
175172, 174syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 1  -  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u
1 ) )
176125, 159, 164, 175, 26dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Z  x.  -u 1
) ) )
177 neg1cn 10023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  CC
178 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( Z  x.  -u 1 )  =  (
-u 1  x.  Z
) )
17926, 177, 178sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  Z ) )
18026mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( -u 1  x.  Z
)  =  -u Z
)
181179, 180eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  -u 1
)  =  -u Z
)
182181mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Z  x.  -u 1
) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u Z ) )
183176, 182eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u Z ) )
184125, 143, 141, 157, 160, 162, 183dvmptadd 19799 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  +  -u Z
) ) )
18517, 26negsubd 9373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  +  -u Z )  =  ( Y  -  Z ) )
186185mpteq2dv 4256 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Y  +  -u Z ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Y  -  Z
) ) )
187184, 186eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  -  Z ) ) )
18811adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  X  C_  CC )
18982, 136, 188, 15, 90syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) ) )
19099adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
)  =  B )
191190reseq2d 5105 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )  =  ( ( CC  _D  F
)  |`  B ) )
192189, 191eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  B ) )
19350oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( CC  _D  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) ) ) )
194 dvfcn 19748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
_D  ( F  |`  B ) ) : dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) --> CC
195108feq2d 5540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) --> CC  <->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : B --> CC ) )
196194, 195mpbii 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : B --> CC )
197192feq1d 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : B --> CC  <->  ( ( CC  _D  F )  |`  B ) : B --> CC ) )
198196, 197mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  B ) : B --> CC )
199198feqmptd 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( ( CC  _D  F )  |`  B ) `  z
) ) )
200 fvres 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  B  ->  (
( ( CC  _D  F )  |`  B ) `
 z )  =  ( ( CC  _D  F ) `  z
) )
201200mpteq2ia 4251 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  B  |->  ( ( ( CC  _D  F
)  |`  B ) `  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( CC  _D  F ) `  z
) )
202199, 201syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( CC 
_D  F ) `  z ) ) )
203192, 193, 2023eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  (
z  e.  B  |->  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( CC  _D  F
) `  z )
) )
204 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  z )  =  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
205125, 128, 131, 133, 138, 140, 187, 203, 51, 204dvmptco 19811 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) ) )
206122, 205eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) ) )
207206dmeqd 5031 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  dom  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) ) )
208 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) )  e. 
_V
209208rgenw 2733 . . . . . 6  |-  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) )  e.  _V
210 dmmptg 5326 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) )  e.  _V  ->  dom  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) )  =  ( 0 (,) 1 ) )
211209, 210mp1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) )  =  ( 0 (,) 1 ) )
212207, 211eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( 0 (,) 1 ) )
213 dvlipcn.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
214213adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  M  e.  RR )
215132abscld 12193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  ( Y  -  Z )
)  e.  RR )
216214, 215remulcld 9072 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  e.  RR )
217206fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `  t )  =  ( ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) ) `  t
) )
218 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1
)  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) ) )
219218fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
)  e.  _V )  ->  ( ( t  e.  ( 0 (,) 1
)  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) ) ) `  t )  =  ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )
220208, 219mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) ) `  t
)  =  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )
221217, 220sylan9eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
)  =  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )
222221fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( abs `  (
( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) ) )
223 dvfcn 19748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  F ) : dom  ( CC  _D  F ) --> CC
2247ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  B  C_ 
dom  ( CC  _D  F ) )
225224, 131sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  dom  ( CC 
_D  F ) )
226 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  _D  F
) : dom  ( CC  _D  F ) --> CC 
/\  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  e.  dom  ( CC  _D  F
) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  e.  CC )
227223, 225, 226sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  e.  CC )
228227, 133absmuld 12211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) ) )  =  ( ( abs `  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
229222, 228eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
230227abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  e.  RR )
231213ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  M  e.  RR )
232133abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( Y  -  Z ) )  e.  RR )
233133absge0d 12201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( Y  -  Z )
) )
234 dvlipcn.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  <_  M )
235234ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 x ) )  <_  M )
236 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( CC  _D  F
) `  x )  =  ( ( CC 
_D  F ) `  y ) )
237236fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  =  ( abs `  (
( CC  _D  F
) `  y )
) )
238237breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( CC  _D  F
) `  x )
)  <_  M  <->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  y
) )  <_  M
) )
239238cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  B  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  <_  M 
<-> 
A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 y ) )  <_  M )
240235, 239sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 y ) )  <_  M )
241240ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  y
) )  <_  M
)
242 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  y )  =  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
243242fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )
244243breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  (
( abs `  (
( CC  _D  F
) `  y )
)  <_  M  <->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  <_  M
) )
245244rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 y ) )  <_  M  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  <_  M ) )
246131, 241, 245sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  <_  M )
247230, 231, 232, 233, 246lemul1ad 9906 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( abs `  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )  <_ 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
248229, 247eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
249248ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
250 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )
251 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t abs
252 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t RR
253 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t  _D
254 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
255252, 253, 254nfov 6063 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )
256 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
z
257255, 256nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `  z )
258251, 257nffv 5694 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )
259 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  <_
260 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )
261258, 259, 260nfbr 4216 . . . . . . 7  |-  F/ t ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )
262 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
)  =  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) ) `  z ) )
263262fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) ) )
264263breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `  z ) )  <_ 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) ) )
265250, 261, 264cbvral 2888 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) ) `  t ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) )  <->  A. z  e.  ( 0 (,) 1
) ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
266249, 265sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  A. z  e.  (
0 (,) 1 ) ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
267266r19.21bi 2764 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 z ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
2684, 6, 112, 212, 216, 267dvlip 19830 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  -  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  ( abs `  ( 1  -  0 ) ) ) )
2691, 2, 268mpanr12 667 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  -  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  ( abs `  ( 1  -  0 ) ) ) )
270 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  ( Y  x.  t )  =  ( Y  x.  1 ) )
271 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  1 ) )
272 1m1e0 10024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
273271, 272syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  0 )
274273oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  =  ( Z  x.  0 ) )
275270, 274oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  1  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  =  ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )
276275fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( t  =  1  ->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  =  ( F `  ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) ) )
277 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
278 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )  e. 
_V
279276, 277, 278fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  1
)  =  ( F `
 ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) ) )
2801, 279ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) `  1 )  =  ( F `  ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )
28126mul01d 9221 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  0 )  =  0 )
282155, 281oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) )  =  ( Y  +  0 ) )
28317addid1d 9222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  +  0 )  =  Y )
284282, 283eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) )  =  Y )
285284fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F `  (
( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )  =  ( F `
 Y ) )
286280, 285syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( F `  Y ) )
287 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  ( Y  x.  t )  =  ( Y  x.  0 ) )
288 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  0 ) )
28972subid1i 9328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
290288, 289syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  1 )
291290oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  =  ( Z  x.  1 ) )
292287, 291oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  0  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  =  ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )
293292fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( t  =  0  ->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  =  ( F `  ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) ) )
294 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )  e. 
_V
295293, 277, 294fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
)  =  ( F `
 ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) ) )
2962, 295ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) `  0 )  =  ( F `  ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )
29717mul01d 9221 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  x.  0 )  =  0 )
29826mulid1d 9061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  1 )  =  Z )
299297, 298oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) )  =  ( 0  +  Z ) )
30026addid2d 9223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0  +  Z
)  =  Z )
301299, 300eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) )  =  Z )
302301fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F `  (
( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )  =  ( F `
 Z ) )
303296, 302syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( F `  Z ) )
304286, 303oveq12d 6058 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) `
 1 )  -  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
0 ) )  =  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )
305304fveq2d 5691 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  -  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) ) )
306289fveq2i 5690 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  -  0 ) )  =  ( abs `  1 )
307 abs1 12057 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
308306, 307eqtri 2424 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  -  0 ) )  =  1
309308oveq2i 6051 . . 3  |-  ( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )  x.  ( abs `  (
1  -  0 ) ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  1 )
310216recnd 9070 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  e.  CC )
311310mulid1d 9061 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  1 )  =  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
312309, 311syl5eq 2448 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  ( abs `  ( 1  -  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
313269, 305, 3123brtr3d 4201 1  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   abscabs 11994   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913   intcnt 17036    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   -cn->ccncf 18859    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvlip2  19832  dv11cn  19838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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