Theorem dvlipcn 19831

Description: A complex function with derivative bounded by M on an open ball is Lipschitz continuous with Lipchitz constant equal to M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlipcn.x	|- ( ph -> X C_ CC )
dvlipcn.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvlipcn.a	|- ( ph -> A e. CC )
dvlipcn.r	|- ( ph -> R e. RR* )
dvlipcn.b	|- B = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R )
dvlipcn.d	|- ( ph -> B C_ dom ( CC _D F ) )
dvlipcn.m	|- ( ph -> M e. RR )
dvlipcn.l	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
dvlipcn	|- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, M   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem dvlipcn

Dummy variables t y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 10972	. . 3 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
2		0elunit 10971	. . 3 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
3		0re 9047	. . . . 5 |- 0 e. RR
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 0 e. RR )
5		1re 9046	. . . . 5 |- 1 e. RR
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 1 e. RR )
7		dvlipcn.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B C_ dom ( CC _D F ) )
8		ssid 3327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC C_ CC
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC C_ CC )
10		dvlipcn.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : X --> CC )
11		dvlipcn.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X C_ CC )
12	9, 10, 11	dvbss 19741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( CC _D F ) C_ X )
13	7, 12	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ X )
14	13, 11	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ CC )
15	14	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> B C_ CC )
16		simprl 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
17	15, 16	sseldd 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. CC )
18	17	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Y e. CC )
19		unitssre 10998	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
20		ax-resscn 9003	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
21	19, 20	sstri 3317	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
22		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
23	21, 22	sseldi 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. CC )
24	18, 23	mulcomd 9065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Y x. t ) = ( t x. Y ) )
25		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
26	15, 25	sseldd 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. CC )
27	26	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Z e. CC )
28		iirev 18907	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - t ) e. ( 0 [,] 1 ) )
29	28	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. ( 0 [,] 1 ) )
30	21, 29	sseldi 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. CC )
31	27, 30	mulcomd 9065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( ( 1 - t ) x. Z ) )
32	24, 31	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) )
33		dvlipcn.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
34	33	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A e. CC )
35		dvlipcn.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. RR* )
36	35	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> R e. RR* )
37	16	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Y e. B )
38	25	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Z e. B )
39		dvlipcn.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R )
40	39	blcvx 18782	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ R e. RR* ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) e. B )
41	34, 36, 37, 38, 22, 40	syl23anc 1191	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) e. B )
42	32, 41	eqeltrd 2478	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B )
43		eqidd 2405	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
44		fssres 5569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X --> CC /\ B C_ X ) -> ( F |` B ) : B --> CC )
45	10, 13, 44	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> CC )
46	45	feqmptd 5738	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( ( F |` B ) ` z ) ) )
47		fvres 5704	. . . . . . . . 9 |- ( z e. B -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) )
48	47	mpteq2ia 4251	. . . . . . . 8 |- ( z e. B |-> ( ( F |` B ) ` z ) ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) )
49	46, 48	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
50	49	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
51		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( z = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
52	42, 43, 50, 51	fmptco 5860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( F |` B ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
53		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) )
54	42, 53	fmptd 5852	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
55		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
56	55	addcn 18848	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
58	55	mulcn 18850	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
60		cncfmptc 18894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
61	21, 8, 60	mp3an23 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. CC -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
62	17, 61	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
63		cncfmptid 18895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
64	21, 8, 63	mp2an 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
66	55, 59, 62, 65	cncfmpt2f 18897	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( Y x. t ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
67		cncfmptc 18894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
68	21, 8, 67	mp3an23 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. CC -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
69	26, 68	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
70	55	subcn 18849	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
72		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
73		cncfmptc 18894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
74	72, 21, 8, 73	mp3an 1279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
76	55, 71, 75, 65	cncfmpt2f 18897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
77	55, 59, 69, 76	cncfmpt2f 18897	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
78	55, 57, 66, 77	cncfmpt2f 18897	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
79		cncffvrn 18881	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ CC /\ ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
80	15, 78, 79	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
81	54, 80	mpbird 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) )
82	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> CC C_ CC )
83	45	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) : B --> CC )
84	55	cnfldtop 18771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
85	55	cnfldtopon 18770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
86	85	toponunii 16952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
87	86	restid 13616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
88	84, 87	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
89	88	eqcomi 2408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
90	55, 89	dvres 19751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC C_ CC /\ F : X --> CC ) /\ ( X C_ CC /\ B C_ CC ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
91	9, 10, 11, 14, 90	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
92		cnxmet 18760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC )
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC ) )
94	55	cnfldtopn 18769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
95	94	blopn 18483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC ) /\ A e. CC /\ R e. RR* ) -> ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
96	93, 33, 35, 95	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
97	39, 96	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
98		isopn3i 17101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ B e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
99	84, 97, 98	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
100	99	reseq2d 5105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
101	91, 100	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
102	101	dmeqd 5031	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = dom ( ( CC _D F ) |` B ) )
103		dmres 5126	. . . . . . . . . 10 |- dom ( ( CC _D F ) |` B ) = ( B i^i dom ( CC _D F ) )
104		df-ss 3294	. . . . . . . . . . 11 |- ( B C_ dom ( CC _D F ) <-> ( B i^i dom ( CC _D F ) ) = B )
105	7, 104	sylib 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i dom ( CC _D F ) ) = B )
106	103, 105	syl5eq 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( ( CC _D F ) |` B ) = B )
107	102, 106	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B )
108	107	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B )
109		dvcn 19760	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC C_ CC /\ ( F |` B ) : B --> CC /\ B C_ CC ) /\ dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
110	82, 83, 15, 108, 109	syl31anc 1187	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
111	81, 110	cncfco 18890	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( F |` B ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
112	52, 111	eqeltrrd 2479	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
113	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> RR C_ CC )
114	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 [,] 1 ) C_ RR )
115	10	ad2antrr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> F : X --> CC )
116	13	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> B C_ X )
117	116, 42	sseldd 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. X )
118	115, 117	ffvelrnd 5830	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
119	55	tgioo2 18787	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
120		iccntr 18805	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
121	4, 5, 120	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
122	113, 114, 118, 119, 55, 121	dvmptntr 19810	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) )
123		reex 9037	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
124	123	prid1 3872	. . . . . . . . 9 |- RR e. { RR , CC }
125	124	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> RR e. { RR , CC } )
126		cnex 9027	. . . . . . . . . 10 |- CC e. _V
127	126	prid2 3873	. . . . . . . . 9 |- CC e. { RR , CC }
128	127	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> CC e. { RR , CC } )
129		ioossicc 10952	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) 1 ) C_ ( 0 [,] 1 )
130	129	sseli 3304	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
131	130, 42	sylan2 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B )
132	17, 26	subcld 9367	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y - Z ) e. CC )
133	132	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Y - Z ) e. CC )
134	13	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> B C_ X )
135	134	sselda 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> z e. X )
136	10	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> F : X --> CC )
137	136	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
138	135, 137	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
139		fvex 5701	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC _D F ) ` z ) e. _V
140	139	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( CC _D F ) ` z ) e. _V )
141	17	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> Y e. CC )
142	130, 23	sylan2 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> t e. CC )
143	141, 142	mulcld 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Y x. t ) e. CC )
144	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. RR )
145		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> t e. RR )
146	145	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> t e. CC )
147	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 1 e. RR )
148	125	dvmptid 19796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. RR |-> t ) ) = ( t e. RR |-> 1 ) )
149		ioossre 10928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 (,) 1 ) C_ RR )
151		iooretop 18753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) )
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
153	125, 146, 147, 148, 150, 119, 55, 152	dvmptres 19802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> t ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 1 ) )
154	125, 142, 144, 153, 17	dvmptcmul 19803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. 1 ) ) )
155	17	mulid1d 9061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y x. 1 ) = Y )
156	155	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> Y ) )
157	154, 156	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> Y ) )
158	26	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> Z e. CC )
159	130, 30	sylan2 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. CC )
160	158, 159	mulcld 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Z x. ( 1 - t ) ) e. CC )
161		negex 9260	. . . . . . . . . . 11 |- -u Z e. _V
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u Z e. _V )
163		negex 9260	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. _V
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u 1 e. _V )
165	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
166	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 e. RR )
167	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
168	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 0 e. RR )
169	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 1 e. CC )
170	125, 169	dvmptc 19797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. RR |-> 1 ) ) = ( t e. RR |-> 0 ) )
171	125, 167, 168, 170, 150, 119, 55, 152	dvmptres 19802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 0 ) )
172	125, 165, 166, 171, 142, 144, 153	dvmptsub 19806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 1 - t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 0 - 1 ) ) )
173		df-neg 9250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
174	173	mpteq2i 4252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u 1 ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 0 - 1 ) )
175	172, 174	syl6eqr 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 1 - t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u 1 ) )
176	125, 159, 164, 175, 26	dvmptcmul 19803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. -u 1 ) ) )
177		neg1cn 10023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
178		mulcom 9032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( Z x. -u 1 ) = ( -u 1 x. Z ) )
179	26, 177, 178	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. -u 1 ) = ( -u 1 x. Z ) )
180	26	mulm1d 9441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -u 1 x. Z ) = -u Z )
181	179, 180	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. -u 1 ) = -u Z )
182	181	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. -u 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u Z ) )
183	176, 182	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u Z ) )
184	125, 143, 141, 157, 160, 162, 183	dvmptadd 19799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y + -u Z ) ) )
185	17, 26	negsubd 9373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y + -u Z ) = ( Y - Z ) )
186	185	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y + -u Z ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y - Z ) ) )
187	184, 186	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y - Z ) ) )
188	11	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X C_ CC )
189	82, 136, 188, 15, 90	syl22anc 1185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
190	99	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
191	190	reseq2d 5105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
192	189, 191	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
193	50	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( CC _D ( z e. B |-> ( F ` z ) ) ) )
194		dvfcn 19748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC _D ( F |` B ) ) : dom ( CC _D ( F |` B ) ) --> CC
195	108	feq2d 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D ( F |` B ) ) : dom ( CC _D ( F |` B ) ) --> CC <-> ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC ) )
196	194, 195	mpbii 203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC )
197	192	feq1d 5539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC <-> ( ( CC _D F ) |` B ) : B --> CC ) )
198	196, 197	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) : B --> CC )
199	198	feqmptd 5738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) = ( z e. B |-> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) ) )
200		fvres 5704	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. B -> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) = ( ( CC _D F ) ` z ) )
201	200	mpteq2ia 4251	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. B |-> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) )
202	199, 201	syl6eq 2452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) ) )
203	192, 193, 202	3eqtr3d 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( z e. B |-> ( F ` z ) ) ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) ) )
204		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( CC _D F ) ` z ) = ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
205	125, 128, 131, 133, 138, 140, 187, 203, 51, 204	dvmptco 19811	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
206	122, 205	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
207	206	dmeqd 5031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
208		ovex 6065	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V
209	208	rgenw 2733	. . . . . 6 |- A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V
210		dmmptg 5326	. . . . . 6 |- ( A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V -> dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
211	209, 210	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
212	207, 211	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
213		dvlipcn.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
214	213	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> M e. RR )
215	132	abscld 12193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( Y - Z ) ) e. RR )
216	214, 215	remulcld 9072	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) e. RR )
217	206	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) )
218		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
219	218	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) /\ ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
220	208, 219	mpan2 653	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
221	217, 220	sylan9eq 2456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
222	221	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
223		dvfcn 19748	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC _D F ) : dom ( CC _D F ) --> CC
224	7	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> B C_ dom ( CC _D F ) )
225	224, 131	sseldd 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. dom ( CC _D F ) )
226		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC _D F ) : dom ( CC _D F ) --> CC /\ ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. dom ( CC _D F ) ) -> ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
227	223, 225, 226	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
228	227, 133	absmuld 12211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
229	222, 228	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
230	227	abscld 12193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. RR )
231	213	ad2antrr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> M e. RR )
232	133	abscld 12193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( Y - Z ) ) e. RR )
233	133	absge0d 12201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( Y - Z ) ) )
234		dvlipcn.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )
235	234	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )
236		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( CC _D F ) ` x ) = ( ( CC _D F ) ` y ) )
237	236	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) )
238	237	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M ) )
239	238	cbvralv 2892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M <-> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
240	235, 239	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
241	240	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
242		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( CC _D F ) ` y ) = ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
243	242	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
244	243	breq1d 4182	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M ) )
245	244	rspcv 3008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B -> ( A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M ) )
246	131, 241, 245	sylc 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M )
247	230, 231, 232, 233, 246	lemul1ad 9906	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
248	229, 247	eqbrtrd 4192	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
249	248	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
250		nfv 1626	. . . . . . 7 |- F/ z ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
251		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ t abs
252		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t RR
253		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t _D
254		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
255	252, 253, 254	nfov 6063	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
256		nfcv 2540	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t z
257	255, 256	nffv 5694	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z )
258	251, 257	nffv 5694	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) )
259		nfcv 2540	. . . . . . . 8 |- F/_ t <_
260		nfcv 2540	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
261	258, 259, 260	nfbr 4216	. . . . . . 7 |- F/ t ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
262		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( t = z -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) )
263	262	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( t = z -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) )
264	263	breq1d 4182	. . . . . . 7 |- ( t = z -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <-> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) )
265	250, 261, 264	cbvral 2888	. . . . . 6 |- ( A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <-> A. z e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
266	249, 265	sylib 189	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> A. z e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
267	266	r19.21bi 2764	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
268	4, 6, 112, 212, 216, 267	dvlip 19830	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
269	1, 2, 268	mpanr12 667	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
270		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( Y x. t ) = ( Y x. 1 ) )
271		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 1 ) )
272		1m1e0 10024	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
273	271, 272	syl6eq 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = 0 )
274	273	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( Z x. 0 ) )
275	270, 274	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( t = 1 -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) )
276	275	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( t = 1 -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) )
277		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
278		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) e. _V
279	276, 277, 278	fvmpt 5765	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) )
280	1, 279	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) )
281	26	mul01d 9221	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. 0 ) = 0 )
282	155, 281	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) = ( Y + 0 ) )
283	17	addid1d 9222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y + 0 ) = Y )
284	282, 283	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) = Y )
285	284	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) = ( F ` Y ) )
286	280, 285	syl5eq 2448	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` Y ) )
287		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( Y x. t ) = ( Y x. 0 ) )
288		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
289	72	subid1i 9328	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
290	288, 289	syl6eq 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = 1 )
291	290	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( Z x. 1 ) )
292	287, 291	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( t = 0 -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) )
293	292	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( t = 0 -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) )
294		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) e. _V
295	293, 277, 294	fvmpt 5765	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) )
296	2, 295	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) )
297	17	mul01d 9221	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y x. 0 ) = 0 )
298	26	mulid1d 9061	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. 1 ) = Z )
299	297, 298	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) = ( 0 + Z ) )
300	26	addid2d 9223	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 + Z ) = Z )
301	299, 300	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) = Z )
302	301	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) = ( F ` Z ) )
303	296, 302	syl5eq 2448	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` Z ) )
304	286, 303	oveq12d 6058	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) )
305	304	fveq2d 5691	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) )
306	289	fveq2i 5690	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = ( abs ` 1 )
307		abs1 12057	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) = 1
308	306, 307	eqtri 2424	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = 1
309	308	oveq2i 6051	. . 3 |- ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) = ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. 1 )
310	216	recnd 9070	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) e. CC )
311	310	mulid1d 9061	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. 1 ) = ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
312	309, 311	syl5eq 2448	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) = ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
313	269, 305, 312	3brtr3d 4201	1 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   abscabs 11994   ↾_t crest 13603   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643  ℂ_fldccnfld 16658   Topctop 16913   intcnt 17036   Cn ccn 17242   tX ctx 17545   -cn->ccncf 18859   _D cdv 19703

This theorem is referenced by:  dvlip2  19832  dv11cn  19838

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707