Theorem dvlipcn 21600

Description: A complex function with derivative bounded by M on an open ball is Lipschitz continuous with Lipschitz constant equal to M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlipcn.x	|- ( ph -> X C_ CC )
dvlipcn.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvlipcn.a	|- ( ph -> A e. CC )
dvlipcn.r	|- ( ph -> R e. RR* )
dvlipcn.b	|- B = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R )
dvlipcn.d	|- ( ph -> B C_ dom ( CC _D F ) )
dvlipcn.m	|- ( ph -> M e. RR )
dvlipcn.l	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
dvlipcn	|- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, M   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem dvlipcn

Dummy variables t y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 11522	. . 3 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
2		0elunit 11521	. . 3 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
3		0red 9499	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 0 e. RR )
4		1red 9513	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 1 e. RR )
5		dvlipcn.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B C_ dom ( CC _D F ) )
6		ssid 3484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC C_ CC
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC C_ CC )
8		dvlipcn.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : X --> CC )
9		dvlipcn.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X C_ CC )
10	7, 8, 9	dvbss 21510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( CC _D F ) C_ X )
11	5, 10	sstrd 3475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ X )
12	11, 9	sstrd 3475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ CC )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> B C_ CC )
14		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
15	13, 14	sseldd 3466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. CC )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Y e. CC )
17		unitssre 11550	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
18		ax-resscn 9451	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
19	17, 18	sstri 3474	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
20		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
21	19, 20	sseldi 3463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. CC )
22	16, 21	mulcomd 9519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Y x. t ) = ( t x. Y ) )
23		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
24	13, 23	sseldd 3466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. CC )
25	24	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Z e. CC )
26		iirev 20634	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - t ) e. ( 0 [,] 1 ) )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. ( 0 [,] 1 ) )
28	19, 27	sseldi 3463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. CC )
29	25, 28	mulcomd 9519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( ( 1 - t ) x. Z ) )
30	22, 29	oveq12d 6219	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) )
31		dvlipcn.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A e. CC )
33		dvlipcn.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. RR* )
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> R e. RR* )
35	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Y e. B )
36	23	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Z e. B )
37		dvlipcn.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R )
38	37	blcvx 20508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ R e. RR* ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) e. B )
39	32, 34, 35, 36, 20, 38	syl23anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) e. B )
40	30, 39	eqeltrd 2542	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B )
41		eqidd 2455	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
42		fssres 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X --> CC /\ B C_ X ) -> ( F |` B ) : B --> CC )
43	8, 11, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> CC )
44	43	feqmptd 5854	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( ( F |` B ) ` z ) ) )
45		fvres 5814	. . . . . . . . 9 |- ( z e. B -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) )
46	45	mpteq2ia 4483	. . . . . . . 8 |- ( z e. B |-> ( ( F |` B ) ` z ) ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) )
47	44, 46	syl6eq 2511	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
48	47	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
49		fveq2 5800	. . . . . 6 |- ( z = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
50	40, 41, 48, 49	fmptco 5986	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( F |` B ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
51		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) )
52	40, 51	fmptd 5977	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
53		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
54	53	addcn 20574	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
55	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
56	53	mulcn 20576	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
58		cncfmptc 20620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
59	19, 6, 58	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. CC -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
60	15, 59	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
61		cncfmptid 20621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
62	19, 6, 61	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
64	53, 57, 60, 63	cncfmpt2f 20623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( Y x. t ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
65		cncfmptc 20620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
66	19, 6, 65	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. CC -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
67	24, 66	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
68	53	subcn 20575	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
70		ax-1cn 9452	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
71		cncfmptc 20620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
72	70, 19, 6, 71	mp3an 1315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
74	53, 69, 73, 63	cncfmpt2f 20623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
75	53, 57, 67, 74	cncfmpt2f 20623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
76	53, 55, 64, 75	cncfmpt2f 20623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
77		cncffvrn 20607	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ CC /\ ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
78	13, 76, 77	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
79	52, 78	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) )
80	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> CC C_ CC )
81	43	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) : B --> CC )
82	53	cnfldtop 20496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
83	53	cnfldtopon 20495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
84	83	toponunii 18670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
85	84	restid 14492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
86	82, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
87	86	eqcomi 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
88	53, 87	dvres 21520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC C_ CC /\ F : X --> CC ) /\ ( X C_ CC /\ B C_ CC ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
89	7, 8, 9, 12, 88	syl22anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
90		cnxmet 20485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
92	53	cnfldtopn 20494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
93	92	blopn 20208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A e. CC /\ R e. RR* ) -> ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
94	91, 31, 33, 93	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
95	37, 94	syl5eqel 2546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
96		isopn3i 18819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ B e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
97	82, 95, 96	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
98	97	reseq2d 5219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
99	89, 98	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
100	99	dmeqd 5151	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = dom ( ( CC _D F ) |` B ) )
101		dmres 5240	. . . . . . . . . 10 |- dom ( ( CC _D F ) |` B ) = ( B i^i dom ( CC _D F ) )
102		df-ss 3451	. . . . . . . . . . 11 |- ( B C_ dom ( CC _D F ) <-> ( B i^i dom ( CC _D F ) ) = B )
103	5, 102	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i dom ( CC _D F ) ) = B )
104	101, 103	syl5eq 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( ( CC _D F ) |` B ) = B )
105	100, 104	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B )
106	105	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B )
107		dvcn 21529	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC C_ CC /\ ( F |` B ) : B --> CC /\ B C_ CC ) /\ dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
108	80, 81, 13, 106, 107	syl31anc 1222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
109	79, 108	cncfco 20616	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( F |` B ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
110	50, 109	eqeltrrd 2543	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
111	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> RR C_ CC )
112	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 [,] 1 ) C_ RR )
113	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> F : X --> CC )
114	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> B C_ X )
115	114, 40	sseldd 3466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. X )
116	113, 115	ffvelrnd 5954	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
117	53	tgioo2 20513	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
118		1re 9497	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
119		iccntr 20531	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
120	3, 118, 119	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
121	111, 112, 116, 117, 53, 120	dvmptntr 21579	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) )
122		reelprrecn 9486	. . . . . . . . 9 |- RR e. { RR , CC }
123	122	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> RR e. { RR , CC } )
124		cnelprrecn 9487	. . . . . . . . 9 |- CC e. { RR , CC }
125	124	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> CC e. { RR , CC } )
126		ioossicc 11493	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) 1 ) C_ ( 0 [,] 1 )
127	126	sseli 3461	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
128	127, 40	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B )
129	15, 24	subcld 9831	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y - Z ) e. CC )
130	129	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Y - Z ) e. CC )
131	11	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> B C_ X )
132	131	sselda 3465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> z e. X )
133	8	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> F : X --> CC )
134	133	ffvelrnda 5953	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
135	132, 134	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
136		fvex 5810	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC _D F ) ` z ) e. _V
137	136	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( CC _D F ) ` z ) e. _V )
138	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> Y e. CC )
139	127, 21	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> t e. CC )
140	138, 139	mulcld 9518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Y x. t ) e. CC )
141		1red 9513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. RR )
142		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> t e. RR )
143	142	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> t e. CC )
144		1red 9513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 1 e. RR )
145	123	dvmptid 21565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. RR |-> t ) ) = ( t e. RR |-> 1 ) )
146		ioossre 11469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 (,) 1 ) C_ RR )
148		iooretop 20478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) )
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
150	123, 143, 144, 145, 147, 117, 53, 149	dvmptres 21571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> t ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 1 ) )
151	123, 139, 141, 150, 15	dvmptcmul 21572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. 1 ) ) )
152	15	mulid1d 9515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y x. 1 ) = Y )
153	152	mpteq2dv 4488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> Y ) )
154	151, 153	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> Y ) )
155	24	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> Z e. CC )
156	127, 28	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. CC )
157	155, 156	mulcld 9518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Z x. ( 1 - t ) ) e. CC )
158		negex 9720	. . . . . . . . . . 11 |- -u Z e. _V
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u Z e. _V )
160		negex 9720	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. _V
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u 1 e. _V )
162		1cnd 9514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
163		0red 9499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 e. RR )
164		1cnd 9514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
165		0red 9499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 0 e. RR )
166		1cnd 9514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 1 e. CC )
167	123, 166	dvmptc 21566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. RR |-> 1 ) ) = ( t e. RR |-> 0 ) )
168	123, 164, 165, 167, 147, 117, 53, 149	dvmptres 21571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 0 ) )
169	123, 162, 163, 168, 139, 141, 150	dvmptsub 21575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 1 - t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 0 - 1 ) ) )
170		df-neg 9710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
171	170	mpteq2i 4484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u 1 ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 0 - 1 ) )
172	169, 171	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 1 - t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u 1 ) )
173	123, 156, 161, 172, 24	dvmptcmul 21572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. -u 1 ) ) )
174		neg1cn 10537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
175		mulcom 9480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( Z x. -u 1 ) = ( -u 1 x. Z ) )
176	24, 174, 175	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. -u 1 ) = ( -u 1 x. Z ) )
177	24	mulm1d 9908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -u 1 x. Z ) = -u Z )
178	176, 177	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. -u 1 ) = -u Z )
179	178	mpteq2dv 4488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. -u 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u Z ) )
180	173, 179	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u Z ) )
181	123, 140, 138, 154, 157, 159, 180	dvmptadd 21568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y + -u Z ) ) )
182	15, 24	negsubd 9837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y + -u Z ) = ( Y - Z ) )
183	182	mpteq2dv 4488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y + -u Z ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y - Z ) ) )
184	181, 183	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y - Z ) ) )
185	9	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X C_ CC )
186	80, 133, 185, 13, 88	syl22anc 1220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
187	97	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
188	187	reseq2d 5219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
189	186, 188	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
190	48	oveq2d 6217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( CC _D ( z e. B |-> ( F ` z ) ) ) )
191		dvfcn 21517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC _D ( F |` B ) ) : dom ( CC _D ( F |` B ) ) --> CC
192	106	feq2d 5656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D ( F |` B ) ) : dom ( CC _D ( F |` B ) ) --> CC <-> ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC ) )
193	191, 192	mpbii 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC )
194	189	feq1d 5655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC <-> ( ( CC _D F ) |` B ) : B --> CC ) )
195	193, 194	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) : B --> CC )
196	195	feqmptd 5854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) = ( z e. B |-> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) ) )
197		fvres 5814	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. B -> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) = ( ( CC _D F ) ` z ) )
198	197	mpteq2ia 4483	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. B |-> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) )
199	196, 198	syl6eq 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) ) )
200	189, 190, 199	3eqtr3d 2503	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( z e. B |-> ( F ` z ) ) ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) ) )
201		fveq2 5800	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( CC _D F ) ` z ) = ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
202	123, 125, 128, 130, 135, 137, 184, 200, 49, 201	dvmptco 21580	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
203	121, 202	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
204	203	dmeqd 5151	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
205		ovex 6226	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V
206	205	rgenw 2901	. . . . . 6 |- A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V
207		dmmptg 5444	. . . . . 6 |- ( A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V -> dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
208	206, 207	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
209	204, 208	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
210		dvlipcn.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
211	210	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> M e. RR )
212	129	abscld 13041	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( Y - Z ) ) e. RR )
213	211, 212	remulcld 9526	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) e. RR )
214	203	fveq1d 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) )
215		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
216	215	fvmpt2 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) /\ ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
217	205, 216	mpan2 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
218	214, 217	sylan9eq 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
219	218	fveq2d 5804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
220		dvfcn 21517	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC _D F ) : dom ( CC _D F ) --> CC
221	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> B C_ dom ( CC _D F ) )
222	221, 128	sseldd 3466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. dom ( CC _D F ) )
223		ffvelrn 5951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC _D F ) : dom ( CC _D F ) --> CC /\ ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. dom ( CC _D F ) ) -> ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
224	220, 222, 223	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
225	224, 130	absmuld 13059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
226	219, 225	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
227	224	abscld 13041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. RR )
228	210	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> M e. RR )
229	130	abscld 13041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( Y - Z ) ) e. RR )
230	130	absge0d 13049	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( Y - Z ) ) )
231		dvlipcn.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )
232	231	ralrimiva 2830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )
233		fveq2 5800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( CC _D F ) ` x ) = ( ( CC _D F ) ` y ) )
234	233	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) )
235	234	breq1d 4411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M ) )
236	235	cbvralv 3053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M <-> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
237	232, 236	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
238	237	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
239		fveq2 5800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( CC _D F ) ` y ) = ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
240	239	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
241	240	breq1d 4411	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M ) )
242	241	rspcv 3175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B -> ( A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M ) )
243	128, 238, 242	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M )
244	227, 228, 229, 230, 243	lemul1ad 10384	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
245	226, 244	eqbrtrd 4421	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
246	245	ralrimiva 2830	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
247		nfv 1674	. . . . . . 7 |- F/ z ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
248		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ t abs
249		nfcv 2616	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t RR
250		nfcv 2616	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t _D
251		nfmpt1 4490	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
252	249, 250, 251	nfov 6224	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
253		nfcv 2616	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t z
254	252, 253	nffv 5807	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z )
255	248, 254	nffv 5807	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) )
256		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ t <_
257		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
258	255, 256, 257	nfbr 4445	. . . . . . 7 |- F/ t ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
259		fveq2 5800	. . . . . . . . 9 |- ( t = z -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) )
260	259	fveq2d 5804	. . . . . . . 8 |- ( t = z -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) )
261	260	breq1d 4411	. . . . . . 7 |- ( t = z -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <-> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) )
262	247, 258, 261	cbvral 3049	. . . . . 6 |- ( A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <-> A. z e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
263	246, 262	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> A. z e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
264	263	r19.21bi 2920	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
265	3, 4, 110, 209, 213, 264	dvlip 21599	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
266	1, 2, 265	mpanr12 685	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
267		oveq2 6209	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( Y x. t ) = ( Y x. 1 ) )
268		oveq2 6209	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 1 ) )
269		1m1e0 10502	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
270	268, 269	syl6eq 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = 0 )
271	270	oveq2d 6217	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( Z x. 0 ) )
272	267, 271	oveq12d 6219	. . . . . . . 8 |- ( t = 1 -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) )
273	272	fveq2d 5804	. . . . . . 7 |- ( t = 1 -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) )
274		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
275		fvex 5810	. . . . . . 7 |- ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) e. _V
276	273, 274, 275	fvmpt 5884	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) )
277	1, 276	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) )
278	24	mul01d 9680	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. 0 ) = 0 )
279	152, 278	oveq12d 6219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) = ( Y + 0 ) )
280	15	addid1d 9681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y + 0 ) = Y )
281	279, 280	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) = Y )
282	281	fveq2d 5804	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) = ( F ` Y ) )
283	277, 282	syl5eq 2507	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` Y ) )
284		oveq2 6209	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( Y x. t ) = ( Y x. 0 ) )
285		oveq2 6209	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
286		1m0e1 10544	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
287	285, 286	syl6eq 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = 1 )
288	287	oveq2d 6217	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( Z x. 1 ) )
289	284, 288	oveq12d 6219	. . . . . . . 8 |- ( t = 0 -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) )
290	289	fveq2d 5804	. . . . . . 7 |- ( t = 0 -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) )
291		fvex 5810	. . . . . . 7 |- ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) e. _V
292	290, 274, 291	fvmpt 5884	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) )
293	2, 292	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) )
294	15	mul01d 9680	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y x. 0 ) = 0 )
295	24	mulid1d 9515	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. 1 ) = Z )
296	294, 295	oveq12d 6219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) = ( 0 + Z ) )
297	24	addid2d 9682	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 + Z ) = Z )
298	296, 297	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) = Z )
299	298	fveq2d 5804	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) = ( F ` Z ) )
300	293, 299	syl5eq 2507	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` Z ) )
301	283, 300	oveq12d 6219	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) )
302	301	fveq2d 5804	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) )
303	286	fveq2i 5803	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = ( abs ` 1 )
304		abs1 12905	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) = 1
305	303, 304	eqtri 2483	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = 1
306	305	oveq2i 6212	. . 3 |- ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) = ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. 1 )
307	213	recnd 9524	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) e. CC )
308	307	mulid1d 9515	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. 1 ) = ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
309	306, 308	syl5eq 2507	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) = ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
310	266, 302, 309	3brtr3d 4430	1 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   i^i cin 3436   C_ wss 3437   {cpr 3988   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4459   dom cdm 4949   ran crn 4950   |` cres 4951   o. ccom 4953   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395   + caddc 9397   x. cmul 9399   RR*cxr 9529   <_ cle 9531   - cmin 9707   -ucneg 9708   (,)cioo 11412   [,]cicc 11415   abscabs 12842   ↾_t crest 14479   TopOpenctopn 14480   topGenctg 14496   *Metcxmt 17927   ballcbl 17929  ℂ_fldccnfld 17944   Topctop 18631   intcnt 18754   Cn ccn 18961   tX ctx 19266   -cn->ccncf 20585   _D cdv 21472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-cmp 19123  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476

This theorem is referenced by:  dvlip2  21601  dv11cn  21607