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Theorem dvlipcn 21600
Description: A complex function with derivative bounded by  M on an open ball is Lipschitz continuous with Lipschitz constant equal to  M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlipcn.x  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
dvlipcn.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvlipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dvlipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
dvlipcn.b  |-  B  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
dvlipcn.d  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
dvlipcn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
dvlipcn.l  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  <_  M )
Assertion
Ref Expression
dvlipcn  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    R( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem dvlipcn
Dummy variables  t 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1elunit 11522 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
2 0elunit 11521 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
3 0red 9499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
4 1red 9513 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
1  e.  RR )
5 dvlipcn.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
6 ssid 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  C_  CC
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
8 dvlipcn.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
9 dvlipcn.x . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
107, 8, 9dvbss 21510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  F )  C_  X
)
115, 10sstrd 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
1211, 9sstrd 3475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  B  C_  CC )
14 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
1513, 14sseldd 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Y  e.  CC )
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Y  e.  CC )
17 unitssre 11550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
18 ax-resscn 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
1917, 18sstri 3474 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1
) )
2119, 20sseldi 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  t  e.  CC )
2216, 21mulcomd 9519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( Y  x.  t )  =  ( t  x.  Y ) )
23 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Z  e.  B )
2413, 23sseldd 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Z  e.  CC )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Z  e.  CC )
26 iirev 20634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2819, 27sseldi 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
2925, 28mulcomd 9519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  Z ) )
3022, 29oveq12d 6219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  =  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  Z
) ) )
31 dvlipcn.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3231ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  A  e.  CC )
33 dvlipcn.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  R  e.  RR* )
3514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Y  e.  B )
3623adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Z  e.  B )
37 dvlipcn.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
3837blcvx 20508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  t  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Z ) )  e.  B )
3932, 34, 35, 36, 20, 38syl23anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Z ) )  e.  B )
4030, 39eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  B )
41 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
42 fssres 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> CC  /\  B  C_  X )  -> 
( F  |`  B ) : B --> CC )
438, 11, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
4443feqmptd 5854 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( F  |`  B ) `  z
) ) )
45 fvres 5814 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
4645mpteq2ia 4483 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  B  |->  ( ( F  |`  B ) `  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) )
4744, 46syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z ) ) )
4847adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z ) ) )
49 fveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
5040, 41, 48, 49fmptco 5986 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( F  |`  B )  o.  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )
51 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )
5240, 51fmptd 5977 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
53 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5453addcn 20574 . . . . . . . . . 10  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
5554a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  +  e.  ( (
( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
5653mulcn 20576 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  x.  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
58 cncfmptc 20620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Y )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
5919, 6, 58mp3an23 1307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  CC  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Y )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6015, 59syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  Y )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
61 cncfmptid 20621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  t )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6219, 6, 61mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  t )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  t )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
6453, 57, 60, 63cncfmpt2f 20623 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( Y  x.  t
) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
65 cncfmptc 20620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Z )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6619, 6, 65mp3an23 1307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  CC  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Z )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6724, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  Z )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
6853subcn 20575 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  -  e.  ( (
( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
70 ax-1cn 9452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
71 cncfmptc 20620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  1 )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
7270, 19, 6, 71mp3an 1315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  1 )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  1 )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7453, 69, 73, 63cncfmpt2f 20623 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  t
) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7553, 57, 67, 74cncfmpt2f 20623 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7653, 55, 64, 75cncfmpt2f 20623 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
77 cncffvrn 20607 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  CC  /\  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B )  <-> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
7813, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B )  <-> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
7952, 78mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> B ) )
806a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  CC  C_  CC )
8143adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F  |`  B ) : B --> CC )
8253cnfldtop 20496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
8353cnfldtopon 20495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
8483toponunii 18670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
8584restid 14492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
8682, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
8786eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
8853, 87dvres 21520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  F : X --> CC )  /\  ( X  C_  CC  /\  B  C_  CC ) )  ->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC  _D  F )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) ) )
897, 8, 9, 12, 88syl22anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) ) )
90 cnxmet 20485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
9253cnfldtopn 20494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
9392blopn 20208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
9491, 31, 33, 93syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9537, 94syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( TopOpen ` fld )
)
96 isopn3i 18819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  B  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  B )
9782, 95, 96sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
)  =  B )
9897reseq2d 5219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )  =  ( ( CC  _D  F
)  |`  B ) )
9989, 98eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  B ) )
10099dmeqd 5151 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  dom  (
( CC  _D  F
)  |`  B ) )
101 dmres 5240 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
( CC  _D  F
)  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  ( CC  _D  F
) )
102 df-ss 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  dom  ( CC  _D  F )  <->  ( B  i^i  dom  ( CC  _D  F ) )  =  B )
1035, 102sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  dom  ( CC  _D  F
) )  =  B )
104101, 103syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( ( CC 
_D  F )  |`  B )  =  B )
105100, 104eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
106105adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
107 dvcn 21529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( F  |`  B ) : B --> CC  /\  B  C_  CC )  /\  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
10880, 81, 13, 106, 107syl31anc 1222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
10979, 108cncfco 20616 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( F  |`  B )  o.  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
11050, 109eqeltrrd 2543 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
11118a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  RR  C_  CC )
11217a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0 [,] 1
)  C_  RR )
1138ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F : X --> CC )
11411ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  B  C_  X )
115114, 40sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  X )
116113, 115ffvelrnd 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  e.  CC )
11753tgioo2 20513 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
118 1re 9497 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
119 iccntr 20531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] 1 ) )  =  ( 0 (,) 1
) )
1203, 118, 119sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] 1 ) )  =  ( 0 (,) 1
) )
121111, 112, 116, 117, 53, 120dvmptntr 21579 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) ) )
122 reelprrecn 9486 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
123122a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
124 cnelprrecn 9487 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
126 ioossicc 11493 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
127126sseli 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1
) )
128127, 40sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  B )
12915, 24subcld 9831 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  -  Z
)  e.  CC )
130129adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Y  -  Z )  e.  CC )
13111adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  B  C_  X )
132131sselda 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  X )
1338adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  F : X --> CC )
134133ffvelrnda 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
135132, 134syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
136 fvex 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  _D  F ) `
 z )  e. 
_V
137136a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  (
( CC  _D  F
) `  z )  e.  _V )
13815adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Y  e.  CC )
139127, 21sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  t  e.  CC )
140138, 139mulcld 9518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Y  x.  t )  e.  CC )
141 1red 9513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  1  e.  RR )
142 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
143142recnd 9524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
144 1red 9513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
145123dvmptid 21565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  t ) )  =  ( t  e.  RR  |->  1 ) )
146 ioossre 11469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0 (,) 1
)  C_  RR )
148 iooretop 20478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0 (,) 1
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
150123, 143, 144, 145, 147, 117, 53, 149dvmptres 21571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  t ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  1 ) )
151123, 139, 141, 150, 15dvmptcmul 21572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  x.  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  x.  1 ) ) )
15215mulid1d 9515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  x.  1 )  =  Y )
153152mpteq2dv 4488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Y  x.  1 ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  Y ) )
154151, 153eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  x.  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  Y ) )
15524adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Z  e.  CC )
156127, 28sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
157155, 156mulcld 9518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  e.  CC )
158 negex 9720 . . . . . . . . . . 11  |-  -u Z  e.  _V
159158a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  -u Z  e.  _V )
160 negex 9720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  _V
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  -u 1  e.  _V )
162 1cnd 9514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  1  e.  CC )
163 0red 9499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  e.  RR )
164 1cnd 9514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
165 0red 9499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
166 1cnd 9514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
1  e.  CC )
167123, 166dvmptc 21566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  0 ) )
168123, 164, 165, 167, 147, 117, 53, 149dvmptres 21571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  1 ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  0 ) )
169123, 162, 163, 168, 139, 141, 150dvmptsub 21575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 1  -  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 0  -  1 ) ) )
170 df-neg 9710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
171170mpteq2i 4484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u 1
)  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 0  -  1 ) )
172169, 171syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 1  -  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u
1 ) )
173123, 156, 161, 172, 24dvmptcmul 21572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Z  x.  -u 1
) ) )
174 neg1cn 10537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  CC
175 mulcom 9480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( Z  x.  -u 1 )  =  (
-u 1  x.  Z
) )
17624, 174, 175sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  Z ) )
17724mulm1d 9908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( -u 1  x.  Z
)  =  -u Z
)
178176, 177eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  -u 1
)  =  -u Z
)
179178mpteq2dv 4488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Z  x.  -u 1
) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u Z ) )
180173, 179eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u Z ) )
181123, 140, 138, 154, 157, 159, 180dvmptadd 21568 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  +  -u Z
) ) )
18215, 24negsubd 9837 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  +  -u Z )  =  ( Y  -  Z ) )
183182mpteq2dv 4488 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Y  +  -u Z ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Y  -  Z
) ) )
184181, 183eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  -  Z ) ) )
1859adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  X  C_  CC )
18680, 133, 185, 13, 88syl22anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) ) )
18797adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
)  =  B )
188187reseq2d 5219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )  =  ( ( CC  _D  F
)  |`  B ) )
189186, 188eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  B ) )
19048oveq2d 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( CC  _D  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) ) ) )
191 dvfcn 21517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
_D  ( F  |`  B ) ) : dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) --> CC
192106feq2d 5656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) --> CC  <->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : B --> CC ) )
193191, 192mpbii 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : B --> CC )
194189feq1d 5655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : B --> CC  <->  ( ( CC  _D  F )  |`  B ) : B --> CC ) )
195193, 194mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  B ) : B --> CC )
196195feqmptd 5854 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( ( CC  _D  F )  |`  B ) `  z
) ) )
197 fvres 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  B  ->  (
( ( CC  _D  F )  |`  B ) `
 z )  =  ( ( CC  _D  F ) `  z
) )
198197mpteq2ia 4483 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  B  |->  ( ( ( CC  _D  F
)  |`  B ) `  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( CC  _D  F ) `  z
) )
199196, 198syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( CC 
_D  F ) `  z ) ) )
200189, 190, 1993eqtr3d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  (
z  e.  B  |->  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( CC  _D  F
) `  z )
) )
201 fveq2 5800 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  z )  =  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
202123, 125, 128, 130, 135, 137, 184, 200, 49, 201dvmptco 21580 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) ) )
203121, 202eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) ) )
204203dmeqd 5151 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  dom  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) ) )
205 ovex 6226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) )  e. 
_V
206205rgenw 2901 . . . . . 6  |-  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) )  e.  _V
207 dmmptg 5444 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) )  e.  _V  ->  dom  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) )  =  ( 0 (,) 1 ) )
208206, 207mp1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) )  =  ( 0 (,) 1 ) )
209204, 208eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( 0 (,) 1 ) )
210 dvlipcn.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
211210adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  M  e.  RR )
212129abscld 13041 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  ( Y  -  Z )
)  e.  RR )
213211, 212remulcld 9526 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  e.  RR )
214203fveq1d 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `  t )  =  ( ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) ) `  t
) )
215 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1
)  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) ) )
216215fvmpt2 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
)  e.  _V )  ->  ( ( t  e.  ( 0 (,) 1
)  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) ) ) `  t )  =  ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )
217205, 216mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) ) `  t
)  =  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )
218214, 217sylan9eq 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
)  =  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )
219218fveq2d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( abs `  (
( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) ) )
220 dvfcn 21517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  F ) : dom  ( CC  _D  F ) --> CC
2215ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  B  C_ 
dom  ( CC  _D  F ) )
222221, 128sseldd 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  dom  ( CC 
_D  F ) )
223 ffvelrn 5951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  _D  F
) : dom  ( CC  _D  F ) --> CC 
/\  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  e.  dom  ( CC  _D  F
) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  e.  CC )
224220, 222, 223sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  e.  CC )
225224, 130absmuld 13059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) ) )  =  ( ( abs `  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
226219, 225eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
227224abscld 13041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  e.  RR )
228210ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  M  e.  RR )
229130abscld 13041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( Y  -  Z ) )  e.  RR )
230130absge0d 13049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( Y  -  Z )
) )
231 dvlipcn.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  <_  M )
232231ralrimiva 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 x ) )  <_  M )
233 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( CC  _D  F
) `  x )  =  ( ( CC 
_D  F ) `  y ) )
234233fveq2d 5804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  =  ( abs `  (
( CC  _D  F
) `  y )
) )
235234breq1d 4411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( CC  _D  F
) `  x )
)  <_  M  <->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  y
) )  <_  M
) )
236235cbvralv 3053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  B  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  <_  M 
<-> 
A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 y ) )  <_  M )
237232, 236sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 y ) )  <_  M )
238237ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  y
) )  <_  M
)
239 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  y )  =  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
240239fveq2d 5804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )
241240breq1d 4411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  (
( abs `  (
( CC  _D  F
) `  y )
)  <_  M  <->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  <_  M
) )
242241rspcv 3175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 y ) )  <_  M  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  <_  M ) )
243128, 238, 242sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  <_  M )
244227, 228, 229, 230, 243lemul1ad 10384 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( abs `  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )  <_ 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
245226, 244eqbrtrd 4421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
246245ralrimiva 2830 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
247 nfv 1674 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )
248 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t abs
249 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t RR
250 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t  _D
251 nfmpt1 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
252249, 250, 251nfov 6224 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )
253 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
z
254252, 253nffv 5807 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `  z )
255248, 254nffv 5807 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )
256 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  <_
257 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )
258255, 256, 257nfbr 4445 . . . . . . 7  |-  F/ t ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )
259 fveq2 5800 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
)  =  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) ) `  z ) )
260259fveq2d 5804 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) ) )
261260breq1d 4411 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `  z ) )  <_ 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) ) )
262247, 258, 261cbvral 3049 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) ) `  t ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) )  <->  A. z  e.  ( 0 (,) 1
) ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
263246, 262sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  A. z  e.  (
0 (,) 1 ) ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
264263r19.21bi 2920 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 z ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
2653, 4, 110, 209, 213, 264dvlip 21599 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  -  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  ( abs `  ( 1  -  0 ) ) ) )
2661, 2, 265mpanr12 685 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  -  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  ( abs `  ( 1  -  0 ) ) ) )
267 oveq2 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  ( Y  x.  t )  =  ( Y  x.  1 ) )
268 oveq2 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  1 ) )
269 1m1e0 10502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
270268, 269syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  0 )
271270oveq2d 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  =  ( Z  x.  0 ) )
272267, 271oveq12d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  1  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  =  ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )
273272fveq2d 5804 . . . . . . 7  |-  ( t  =  1  ->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  =  ( F `  ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) ) )
274 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
275 fvex 5810 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )  e. 
_V
276273, 274, 275fvmpt 5884 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  1
)  =  ( F `
 ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) ) )
2771, 276ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) `  1 )  =  ( F `  ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )
27824mul01d 9680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  0 )  =  0 )
279152, 278oveq12d 6219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) )  =  ( Y  +  0 ) )
28015addid1d 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  +  0 )  =  Y )
281279, 280eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) )  =  Y )
282281fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F `  (
( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )  =  ( F `
 Y ) )
283277, 282syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( F `  Y ) )
284 oveq2 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  ( Y  x.  t )  =  ( Y  x.  0 ) )
285 oveq2 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  0 ) )
286 1m0e1 10544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
287285, 286syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  1 )
288287oveq2d 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  =  ( Z  x.  1 ) )
289284, 288oveq12d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  0  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  =  ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )
290289fveq2d 5804 . . . . . . 7  |-  ( t  =  0  ->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  =  ( F `  ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) ) )
291 fvex 5810 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )  e. 
_V
292290, 274, 291fvmpt 5884 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
)  =  ( F `
 ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) ) )
2932, 292ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) `  0 )  =  ( F `  ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )
29415mul01d 9680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  x.  0 )  =  0 )
29524mulid1d 9515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  1 )  =  Z )
296294, 295oveq12d 6219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) )  =  ( 0  +  Z ) )
29724addid2d 9682 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0  +  Z
)  =  Z )
298296, 297eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) )  =  Z )
299298fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F `  (
( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )  =  ( F `
 Z ) )
300293, 299syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( F `  Z ) )
301283, 300oveq12d 6219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) `
 1 )  -  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
0 ) )  =  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )
302301fveq2d 5804 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  -  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) ) )
303286fveq2i 5803 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  -  0 ) )  =  ( abs `  1 )
304 abs1 12905 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
305303, 304eqtri 2483 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  -  0 ) )  =  1
306305oveq2i 6212 . . 3  |-  ( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )  x.  ( abs `  (
1  -  0 ) ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  1 )
307213recnd 9524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  e.  CC )
308307mulid1d 9515 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  1 )  =  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
309306, 308syl5eq 2507 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  ( abs `  ( 1  -  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
310266, 302, 3093brtr3d 4430 1  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    i^i cin 3436    C_ wss 3437   {cpr 3988   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   dom cdm 4949   ran crn 4950    |` cres 4951    o. ccom 4953   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399   RR*cxr 9529    <_ cle 9531    - cmin 9707   -ucneg 9708   (,)cioo 11412   [,]cicc 11415   abscabs 12842   ↾t crest 14479   TopOpenctopn 14480   topGenctg 14496   *Metcxmt 17927   ballcbl 17929  ℂfldccnfld 17944   Topctop 18631   intcnt 18754    Cn ccn 18961    tX ctx 19266   -cn->ccncf 20585    _D cdv 21472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-cmp 19123  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476
This theorem is referenced by:  dvlip2  21601  dv11cn  21607
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