Theorem dvlipcn 22521

Description: A complex function with derivative bounded by M on an open ball is Lipschitz continuous with Lipschitz constant equal to M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlipcn.x	|- ( ph -> X C_ CC )
dvlipcn.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvlipcn.a	|- ( ph -> A e. CC )
dvlipcn.r	|- ( ph -> R e. RR* )
dvlipcn.b	|- B = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R )
dvlipcn.d	|- ( ph -> B C_ dom ( CC _D F ) )
dvlipcn.m	|- ( ph -> M e. RR )
dvlipcn.l	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
dvlipcn	|- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, M   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem dvlipcn

Dummy variables t y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 11664	. . 3 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
2		0elunit 11663	. . 3 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
3		0red 9614	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 0 e. RR )
4		1red 9628	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 1 e. RR )
5		dvlipcn.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B C_ dom ( CC _D F ) )
6		ssid 3518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC C_ CC
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC C_ CC )
8		dvlipcn.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : X --> CC )
9		dvlipcn.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X C_ CC )
10	7, 8, 9	dvbss 22431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( CC _D F ) C_ X )
11	5, 10	sstrd 3509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ X )
12	11, 9	sstrd 3509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ CC )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> B C_ CC )
14		simprl 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
15	13, 14	sseldd 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. CC )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Y e. CC )
17		unitssre 11692	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
18		ax-resscn 9566	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
19	17, 18	sstri 3508	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
20		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
21	19, 20	sseldi 3497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. CC )
22	16, 21	mulcomd 9634	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Y x. t ) = ( t x. Y ) )
23		simprr 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
24	13, 23	sseldd 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. CC )
25	24	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Z e. CC )
26		iirev 21555	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - t ) e. ( 0 [,] 1 ) )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. ( 0 [,] 1 ) )
28	19, 27	sseldi 3497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. CC )
29	25, 28	mulcomd 9634	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( ( 1 - t ) x. Z ) )
30	22, 29	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) )
31		dvlipcn.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A e. CC )
33		dvlipcn.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. RR* )
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> R e. RR* )
35	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Y e. B )
36	23	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Z e. B )
37		dvlipcn.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R )
38	37	blcvx 21429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ R e. RR* ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) e. B )
39	32, 34, 35, 36, 20, 38	syl23anc 1235	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) e. B )
40	30, 39	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B )
41		eqidd 2458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
42	8, 11	fssresd 5758	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> CC )
43	42	feqmptd 5926	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( ( F |` B ) ` z ) ) )
44		fvres 5886	. . . . . . . . 9 |- ( z e. B -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) )
45	44	mpteq2ia 4539	. . . . . . . 8 |- ( z e. B |-> ( ( F |` B ) ` z ) ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) )
46	43, 45	syl6eq 2514	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
47	46	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
48		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( z = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
49	40, 41, 47, 48	fmptco 6065	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( F |` B ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
50		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) )
51	40, 50	fmptd 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
52		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
53	52	addcn 21495	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
55		cncfmptc 21541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
56	19, 6, 55	mp3an23 1316	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. CC -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
57	15, 56	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
58		cncfmptid 21542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
59	19, 6, 58	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
61	57, 60	mulcncf 21985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( Y x. t ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
62		cncfmptc 21541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
63	19, 6, 62	mp3an23 1316	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. CC -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
64	24, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
65	52	subcn 21496	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
67		ax-1cn 9567	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
68		cncfmptc 21541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
69	67, 19, 6, 68	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
71	52, 66, 70, 60	cncfmpt2f 21544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
72	64, 71	mulcncf 21985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
73	52, 54, 61, 72	cncfmpt2f 21544	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
74		cncffvrn 21528	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ CC /\ ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
75	13, 73, 74	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
76	51, 75	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) )
77	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> CC C_ CC )
78	42	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) : B --> CC )
79	52	cnfldtop 21417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
80	52	cnfldtopon 21416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
81	80	toponunii 19560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
82	81	restid 14851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
83	79, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
84	83	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
85	52, 84	dvres 22441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC C_ CC /\ F : X --> CC ) /\ ( X C_ CC /\ B C_ CC ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
86	7, 8, 9, 12, 85	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
87		cnxmet 21406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
89	52	cnfldtopn 21415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
90	89	blopn 21129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A e. CC /\ R e. RR* ) -> ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
91	88, 31, 33, 90	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
92	37, 91	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
93		isopn3i 19710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ B e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
94	79, 92, 93	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
95	94	reseq2d 5283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
96	86, 95	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
97	96	dmeqd 5215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = dom ( ( CC _D F ) |` B ) )
98		dmres 5304	. . . . . . . . . 10 |- dom ( ( CC _D F ) |` B ) = ( B i^i dom ( CC _D F ) )
99		df-ss 3485	. . . . . . . . . . 11 |- ( B C_ dom ( CC _D F ) <-> ( B i^i dom ( CC _D F ) ) = B )
100	5, 99	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i dom ( CC _D F ) ) = B )
101	98, 100	syl5eq 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( ( CC _D F ) |` B ) = B )
102	97, 101	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B )
103	102	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B )
104		dvcn 22450	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC C_ CC /\ ( F |` B ) : B --> CC /\ B C_ CC ) /\ dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
105	77, 78, 13, 103, 104	syl31anc 1231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
106	76, 105	cncfco 21537	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( F |` B ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
107	49, 106	eqeltrrd 2546	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
108	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> RR C_ CC )
109	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 [,] 1 ) C_ RR )
110	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> F : X --> CC )
111	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> B C_ X )
112	111, 40	sseldd 3500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. X )
113	110, 112	ffvelrnd 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
114	52	tgioo2 21434	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
115		1re 9612	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
116		iccntr 21452	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
117	3, 115, 116	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
118	108, 109, 113, 114, 52, 117	dvmptntr 22500	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) )
119		reelprrecn 9601	. . . . . . . . 9 |- RR e. { RR , CC }
120	119	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> RR e. { RR , CC } )
121		cnelprrecn 9602	. . . . . . . . 9 |- CC e. { RR , CC }
122	121	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> CC e. { RR , CC } )
123		ioossicc 11635	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) 1 ) C_ ( 0 [,] 1 )
124	123	sseli 3495	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
125	124, 40	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B )
126	15, 24	subcld 9950	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y - Z ) e. CC )
127	126	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Y - Z ) e. CC )
128	11	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> B C_ X )
129	128	sselda 3499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> z e. X )
130	8	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> F : X --> CC )
131	130	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
132	129, 131	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
133		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC _D F ) ` z ) e. _V
134	133	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( CC _D F ) ` z ) e. _V )
135	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> Y e. CC )
136	124, 21	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> t e. CC )
137	135, 136	mulcld 9633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Y x. t ) e. CC )
138		1red 9628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. RR )
139		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> t e. RR )
140	139	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> t e. CC )
141		1red 9628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 1 e. RR )
142	120	dvmptid 22486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. RR |-> t ) ) = ( t e. RR |-> 1 ) )
143		ioossre 11611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 (,) 1 ) C_ RR )
145		iooretop 21399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) )
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
147	120, 140, 141, 142, 144, 114, 52, 146	dvmptres 22492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> t ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 1 ) )
148	120, 136, 138, 147, 15	dvmptcmul 22493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. 1 ) ) )
149	15	mulid1d 9630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y x. 1 ) = Y )
150	149	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> Y ) )
151	148, 150	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> Y ) )
152	24	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> Z e. CC )
153	124, 28	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. CC )
154	152, 153	mulcld 9633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Z x. ( 1 - t ) ) e. CC )
155		negex 9837	. . . . . . . . . . 11 |- -u Z e. _V
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u Z e. _V )
157		negex 9837	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. _V
158	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u 1 e. _V )
159		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
160		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 e. RR )
161		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
162		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 0 e. RR )
163		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 1 e. CC )
164	120, 163	dvmptc 22487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. RR |-> 1 ) ) = ( t e. RR |-> 0 ) )
165	120, 161, 162, 164, 144, 114, 52, 146	dvmptres 22492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 0 ) )
166	120, 159, 160, 165, 136, 138, 147	dvmptsub 22496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 1 - t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 0 - 1 ) ) )
167		df-neg 9827	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
168	167	mpteq2i 4540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u 1 ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 0 - 1 ) )
169	166, 168	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 1 - t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u 1 ) )
170	120, 153, 158, 169, 24	dvmptcmul 22493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. -u 1 ) ) )
171		neg1cn 10660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
172		mulcom 9595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( Z x. -u 1 ) = ( -u 1 x. Z ) )
173	24, 171, 172	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. -u 1 ) = ( -u 1 x. Z ) )
174	24	mulm1d 10029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -u 1 x. Z ) = -u Z )
175	173, 174	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. -u 1 ) = -u Z )
176	175	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. -u 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u Z ) )
177	170, 176	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u Z ) )
178	120, 137, 135, 151, 154, 156, 177	dvmptadd 22489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y + -u Z ) ) )
179	15, 24	negsubd 9956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y + -u Z ) = ( Y - Z ) )
180	179	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y + -u Z ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y - Z ) ) )
181	178, 180	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y - Z ) ) )
182	9	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X C_ CC )
183	77, 130, 182, 13, 85	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
184	94	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
185	184	reseq2d 5283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
186	183, 185	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
187	47	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( CC _D ( z e. B |-> ( F ` z ) ) ) )
188		dvfcn 22438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC _D ( F |` B ) ) : dom ( CC _D ( F |` B ) ) --> CC
189	103	feq2d 5724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D ( F |` B ) ) : dom ( CC _D ( F |` B ) ) --> CC <-> ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC ) )
190	188, 189	mpbii 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC )
191	186	feq1d 5723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC <-> ( ( CC _D F ) |` B ) : B --> CC ) )
192	190, 191	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) : B --> CC )
193	192	feqmptd 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) = ( z e. B |-> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) ) )
194		fvres 5886	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. B -> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) = ( ( CC _D F ) ` z ) )
195	194	mpteq2ia 4539	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. B |-> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) )
196	193, 195	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) ) )
197	186, 187, 196	3eqtr3d 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( z e. B |-> ( F ` z ) ) ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) ) )
198		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( CC _D F ) ` z ) = ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
199	120, 122, 125, 127, 132, 134, 181, 197, 48, 198	dvmptco 22501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
200	118, 199	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
201	200	dmeqd 5215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
202		ovex 6324	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V
203	202	rgenw 2818	. . . . . 6 |- A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V
204		dmmptg 5510	. . . . . 6 |- ( A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V -> dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
205	203, 204	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
206	201, 205	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
207		dvlipcn.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
208	207	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> M e. RR )
209	126	abscld 13279	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( Y - Z ) ) e. RR )
210	208, 209	remulcld 9641	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) e. RR )
211	200	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) )
212		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
213	212	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) /\ ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
214	202, 213	mpan2 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
215	211, 214	sylan9eq 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
216	215	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
217		dvfcn 22438	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC _D F ) : dom ( CC _D F ) --> CC
218	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> B C_ dom ( CC _D F ) )
219	218, 125	sseldd 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. dom ( CC _D F ) )
220		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC _D F ) : dom ( CC _D F ) --> CC /\ ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. dom ( CC _D F ) ) -> ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
221	217, 219, 220	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
222	221, 127	absmuld 13297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
223	216, 222	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
224	221	abscld 13279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. RR )
225	207	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> M e. RR )
226	127	abscld 13279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( Y - Z ) ) e. RR )
227	127	absge0d 13287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( Y - Z ) ) )
228		dvlipcn.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )
229	228	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )
230		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( CC _D F ) ` x ) = ( ( CC _D F ) ` y ) )
231	230	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) )
232	231	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M ) )
233	232	cbvralv 3084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M <-> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
234	229, 233	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
235	234	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
236		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( CC _D F ) ` y ) = ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
237	236	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
238	237	breq1d 4466	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M ) )
239	238	rspcv 3206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B -> ( A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M ) )
240	125, 235, 239	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M )
241	224, 225, 226, 227, 240	lemul1ad 10505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
242	223, 241	eqbrtrd 4476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
243	242	ralrimiva 2871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
244		nfv 1708	. . . . . . 7 |- F/ z ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
245		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ t abs
246		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t RR
247		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t _D
248		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
249	246, 247, 248	nfov 6322	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
250		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t z
251	249, 250	nffv 5879	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z )
252	245, 251	nffv 5879	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) )
253		nfcv 2619	. . . . . . . 8 |- F/_ t <_
254		nfcv 2619	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
255	252, 253, 254	nfbr 4500	. . . . . . 7 |- F/ t ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
256		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( t = z -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) )
257	256	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( t = z -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) )
258	257	breq1d 4466	. . . . . . 7 |- ( t = z -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <-> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) )
259	244, 255, 258	cbvral 3080	. . . . . 6 |- ( A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <-> A. z e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
260	243, 259	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> A. z e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
261	260	r19.21bi 2826	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
262	3, 4, 107, 206, 210, 261	dvlip 22520	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
263	1, 2, 262	mpanr12 685	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
264		oveq2 6304	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( Y x. t ) = ( Y x. 1 ) )
265		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 1 ) )
266		1m1e0 10625	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
267	265, 266	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = 0 )
268	267	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( Z x. 0 ) )
269	264, 268	oveq12d 6314	. . . . . . . 8 |- ( t = 1 -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) )
270	269	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( t = 1 -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) )
271		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
272		fvex 5882	. . . . . . 7 |- ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) e. _V
273	270, 271, 272	fvmpt 5956	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) )
274	1, 273	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) )
275	24	mul01d 9796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. 0 ) = 0 )
276	149, 275	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) = ( Y + 0 ) )
277	15	addid1d 9797	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y + 0 ) = Y )
278	276, 277	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) = Y )
279	278	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) = ( F ` Y ) )
280	274, 279	syl5eq 2510	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` Y ) )
281		oveq2 6304	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( Y x. t ) = ( Y x. 0 ) )
282		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
283		1m0e1 10667	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
284	282, 283	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = 1 )
285	284	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( Z x. 1 ) )
286	281, 285	oveq12d 6314	. . . . . . . 8 |- ( t = 0 -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) )
287	286	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( t = 0 -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) )
288		fvex 5882	. . . . . . 7 |- ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) e. _V
289	287, 271, 288	fvmpt 5956	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) )
290	2, 289	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) )
291	15	mul01d 9796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y x. 0 ) = 0 )
292	24	mulid1d 9630	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. 1 ) = Z )
293	291, 292	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) = ( 0 + Z ) )
294	24	addid2d 9798	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 + Z ) = Z )
295	293, 294	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) = Z )
296	295	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) = ( F ` Z ) )
297	290, 296	syl5eq 2510	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` Z ) )
298	280, 297	oveq12d 6314	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) )
299	298	fveq2d 5876	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) )
300	283	fveq2i 5875	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = ( abs ` 1 )
301		abs1 13142	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) = 1
302	300, 301	eqtri 2486	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = 1
303	302	oveq2i 6307	. . 3 |- ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) = ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. 1 )
304	210	recnd 9639	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) e. CC )
305	304	mulid1d 9630	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. 1 ) = ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
306	303, 305	syl5eq 2510	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) = ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
307	263, 299, 306	3brtr3d 4485	1 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   {cpr 4034   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   |` cres 5010   o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   abscabs 13079   ↾_t crest 14838   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532  ℂ_fldccnfld 18547   Topctop 19521   intcnt 19645   Cn ccn 19852   tX ctx 20187   -cn->ccncf 21506   _D cdv 22393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397

This theorem is referenced by:  dvlip2  22522  dv11cn  22528