Theorem dvlipcn 22222

Description: A complex function with derivative bounded by M on an open ball is Lipschitz continuous with Lipschitz constant equal to M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlipcn.x	|- ( ph -> X C_ CC )
dvlipcn.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
dvlipcn.a	|- ( ph -> A e. CC )
dvlipcn.r	|- ( ph -> R e. RR* )
dvlipcn.b	|- B = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R )
dvlipcn.d	|- ( ph -> B C_ dom ( CC _D F ) )
dvlipcn.m	|- ( ph -> M e. RR )
dvlipcn.l	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
dvlipcn	|- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, M   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem dvlipcn

Dummy variables t y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 11640	. . 3 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
2		0elunit 11639	. . 3 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
3		0red 9598	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 0 e. RR )
4		1red 9612	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 1 e. RR )
5		dvlipcn.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B C_ dom ( CC _D F ) )
6		ssid 3523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC C_ CC
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC C_ CC )
8		dvlipcn.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : X --> CC )
9		dvlipcn.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X C_ CC )
10	7, 8, 9	dvbss 22132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( CC _D F ) C_ X )
11	5, 10	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ X )
12	11, 9	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ CC )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> B C_ CC )
14		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
15	13, 14	sseldd 3505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. CC )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Y e. CC )
17		unitssre 11668	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
18		ax-resscn 9550	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
19	17, 18	sstri 3513	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
20		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
21	19, 20	sseldi 3502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. CC )
22	16, 21	mulcomd 9618	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Y x. t ) = ( t x. Y ) )
23		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
24	13, 23	sseldd 3505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. CC )
25	24	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Z e. CC )
26		iirev 21256	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - t ) e. ( 0 [,] 1 ) )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. ( 0 [,] 1 ) )
28	19, 27	sseldi 3502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. CC )
29	25, 28	mulcomd 9618	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( ( 1 - t ) x. Z ) )
30	22, 29	oveq12d 6303	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) )
31		dvlipcn.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A e. CC )
33		dvlipcn.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. RR* )
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> R e. RR* )
35	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Y e. B )
36	23	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> Z e. B )
37		dvlipcn.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R )
38	37	blcvx 21130	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ R e. RR* ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) e. B )
39	32, 34, 35, 36, 20, 38	syl23anc 1235	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. Y ) + ( ( 1 - t ) x. Z ) ) e. B )
40	30, 39	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B )
41		eqidd 2468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
42		fssres 5751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X --> CC /\ B C_ X ) -> ( F |` B ) : B --> CC )
43	8, 11, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> CC )
44	43	feqmptd 5921	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( ( F |` B ) ` z ) ) )
45		fvres 5880	. . . . . . . . 9 |- ( z e. B -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) )
46	45	mpteq2ia 4529	. . . . . . . 8 |- ( z e. B |-> ( ( F |` B ) ` z ) ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) )
47	44, 46	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
48	47	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) = ( z e. B |-> ( F ` z ) ) )
49		fveq2 5866	. . . . . 6 |- ( z = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
50	40, 41, 48, 49	fmptco 6055	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( F |` B ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
51		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) )
52	40, 51	fmptd 6046	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
53		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
54	53	addcn 21196	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
55	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
56	53	mulcn 21198	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
58		cncfmptc 21242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
59	19, 6, 58	mp3an23 1316	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. CC -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
60	15, 59	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Y ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
61		cncfmptid 21243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
62	19, 6, 61	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
64	53, 57, 60, 63	cncfmpt2f 21245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( Y x. t ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
65		cncfmptc 21242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
66	19, 6, 65	mp3an23 1316	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. CC -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
67	24, 66	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> Z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
68	53	subcn 21197	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
70		ax-1cn 9551	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
71		cncfmptc 21242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
72	70, 19, 6, 71	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> 1 ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
74	53, 69, 73, 63	cncfmpt2f 21245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
75	53, 57, 67, 74	cncfmpt2f 21245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
76	53, 55, 64, 75	cncfmpt2f 21245	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
77		cncffvrn 21229	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ CC /\ ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
78	13, 76, 77	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
79	52, 78	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B ) )
80	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> CC C_ CC )
81	43	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) : B --> CC )
82	53	cnfldtop 21118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
83	53	cnfldtopon 21117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
84	83	toponunii 19240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
85	84	restid 14692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
86	82, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
87	86	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
88	53, 87	dvres 22142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC C_ CC /\ F : X --> CC ) /\ ( X C_ CC /\ B C_ CC ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
89	7, 8, 9, 12, 88	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
90		cnxmet 21107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
92	53	cnfldtopn 21116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
93	92	blopn 20830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A e. CC /\ R e. RR* ) -> ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
94	91, 31, 33, 93	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
95	37, 94	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
96		isopn3i 19389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ B e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
97	82, 95, 96	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
98	97	reseq2d 5273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
99	89, 98	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
100	99	dmeqd 5205	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = dom ( ( CC _D F ) |` B ) )
101		dmres 5294	. . . . . . . . . 10 |- dom ( ( CC _D F ) |` B ) = ( B i^i dom ( CC _D F ) )
102		df-ss 3490	. . . . . . . . . . 11 |- ( B C_ dom ( CC _D F ) <-> ( B i^i dom ( CC _D F ) ) = B )
103	5, 102	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i dom ( CC _D F ) ) = B )
104	101, 103	syl5eq 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( ( CC _D F ) |` B ) = B )
105	100, 104	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B )
106	105	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B )
107		dvcn 22151	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC C_ CC /\ ( F |` B ) : B --> CC /\ B C_ CC ) /\ dom ( CC _D ( F |` B ) ) = B ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
108	80, 81, 13, 106, 107	syl31anc 1231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F |` B ) e. ( B -cn-> CC ) )
109	79, 108	cncfco 21238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( F |` B ) o. ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
110	50, 109	eqeltrrd 2556	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC ) )
111	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> RR C_ CC )
112	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 [,] 1 ) C_ RR )
113	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> F : X --> CC )
114	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> B C_ X )
115	114, 40	sseldd 3505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. X )
116	113, 115	ffvelrnd 6023	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
117	53	tgioo2 21135	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
118		1re 9596	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
119		iccntr 21153	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
120	3, 118, 119	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] 1 ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
121	111, 112, 116, 117, 53, 120	dvmptntr 22201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) )
122		reelprrecn 9585	. . . . . . . . 9 |- RR e. { RR , CC }
123	122	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> RR e. { RR , CC } )
124		cnelprrecn 9586	. . . . . . . . 9 |- CC e. { RR , CC }
125	124	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> CC e. { RR , CC } )
126		ioossicc 11611	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) 1 ) C_ ( 0 [,] 1 )
127	126	sseli 3500	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
128	127, 40	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B )
129	15, 24	subcld 9931	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y - Z ) e. CC )
130	129	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Y - Z ) e. CC )
131	11	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> B C_ X )
132	131	sselda 3504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> z e. X )
133	8	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> F : X --> CC )
134	133	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
135	132, 134	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
136		fvex 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC _D F ) ` z ) e. _V
137	136	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( CC _D F ) ` z ) e. _V )
138	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> Y e. CC )
139	127, 21	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> t e. CC )
140	138, 139	mulcld 9617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Y x. t ) e. CC )
141		1red 9612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. RR )
142		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> t e. RR )
143	142	recnd 9623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> t e. CC )
144		1red 9612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 1 e. RR )
145	123	dvmptid 22187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. RR |-> t ) ) = ( t e. RR |-> 1 ) )
146		ioossre 11587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 (,) 1 ) C_ RR )
148		iooretop 21100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) )
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
150	123, 143, 144, 145, 147, 117, 53, 149	dvmptres 22193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> t ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 1 ) )
151	123, 139, 141, 150, 15	dvmptcmul 22194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. 1 ) ) )
152	15	mulid1d 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y x. 1 ) = Y )
153	152	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> Y ) )
154	151, 153	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y x. t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> Y ) )
155	24	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> Z e. CC )
156	127, 28	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. CC )
157	155, 156	mulcld 9617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( Z x. ( 1 - t ) ) e. CC )
158		negex 9819	. . . . . . . . . . 11 |- -u Z e. _V
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u Z e. _V )
160		negex 9819	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. _V
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> -u 1 e. _V )
162		1cnd 9613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
163		0red 9598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 e. RR )
164		1cnd 9613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
165		0red 9598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. RR ) -> 0 e. RR )
166		1cnd 9613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> 1 e. CC )
167	123, 166	dvmptc 22188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. RR |-> 1 ) ) = ( t e. RR |-> 0 ) )
168	123, 164, 165, 167, 147, 117, 53, 149	dvmptres 22193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> 0 ) )
169	123, 162, 163, 168, 139, 141, 150	dvmptsub 22197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 1 - t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 0 - 1 ) ) )
170		df-neg 9809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
171	170	mpteq2i 4530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u 1 ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 0 - 1 ) )
172	169, 171	syl6eqr 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( 1 - t ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u 1 ) )
173	123, 156, 161, 172, 24	dvmptcmul 22194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. -u 1 ) ) )
174		neg1cn 10640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
175		mulcom 9579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( Z x. -u 1 ) = ( -u 1 x. Z ) )
176	24, 174, 175	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. -u 1 ) = ( -u 1 x. Z ) )
177	24	mulm1d 10009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -u 1 x. Z ) = -u Z )
178	176, 177	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. -u 1 ) = -u Z )
179	178	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. -u 1 ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u Z ) )
180	173, 179	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> -u Z ) )
181	123, 140, 138, 154, 157, 159, 180	dvmptadd 22190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y + -u Z ) ) )
182	15, 24	negsubd 9937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y + -u Z ) = ( Y - Z ) )
183	182	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y + -u Z ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y - Z ) ) )
184	181, 183	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( Y - Z ) ) )
185	9	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X C_ CC )
186	80, 133, 185, 13, 88	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) )
187	97	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) = B )
188	187	reseq2d 5273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` ( ( int ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
189	186, 188	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( ( CC _D F ) |` B ) )
190	48	oveq2d 6301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( CC _D ( z e. B |-> ( F ` z ) ) ) )
191		dvfcn 22139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC _D ( F |` B ) ) : dom ( CC _D ( F |` B ) ) --> CC
192	106	feq2d 5718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D ( F |` B ) ) : dom ( CC _D ( F |` B ) ) --> CC <-> ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC ) )
193	191, 192	mpbii 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC )
194	189	feq1d 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D ( F |` B ) ) : B --> CC <-> ( ( CC _D F ) |` B ) : B --> CC ) )
195	193, 194	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) : B --> CC )
196	195	feqmptd 5921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) = ( z e. B |-> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) ) )
197		fvres 5880	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. B -> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) = ( ( CC _D F ) ` z ) )
198	197	mpteq2ia 4529	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. B |-> ( ( ( CC _D F ) |` B ) ` z ) ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) )
199	196, 198	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( CC _D F ) |` B ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) ) )
200	189, 190, 199	3eqtr3d 2516	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( CC _D ( z e. B |-> ( F ` z ) ) ) = ( z e. B |-> ( ( CC _D F ) ` z ) ) )
201		fveq2 5866	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( CC _D F ) ` z ) = ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
202	123, 125, 128, 130, 135, 137, 184, 200, 49, 201	dvmptco 22202	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
203	121, 202	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
204	203	dmeqd 5205	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
205		ovex 6310	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V
206	205	rgenw 2825	. . . . . 6 |- A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V
207		dmmptg 5504	. . . . . 6 |- ( A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V -> dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
208	206, 207	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
209	204, 208	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> dom ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) = ( 0 (,) 1 ) )
210		dvlipcn.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
211	210	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> M e. RR )
212	129	abscld 13233	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( Y - Z ) ) e. RR )
213	211, 212	remulcld 9625	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) e. RR )
214	203	fveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) )
215		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
216	215	fvmpt2 5958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) /\ ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) e. _V ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
217	205, 216	mpan2 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 (,) 1 ) -> ( ( t e. ( 0 (,) 1 ) |-> ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
218	214, 217	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) )
219	218	fveq2d 5870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) )
220		dvfcn 22139	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC _D F ) : dom ( CC _D F ) --> CC
221	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> B C_ dom ( CC _D F ) )
222	221, 128	sseldd 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. dom ( CC _D F ) )
223		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC _D F ) : dom ( CC _D F ) --> CC /\ ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. dom ( CC _D F ) ) -> ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
224	220, 222, 223	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) e. CC )
225	224, 130	absmuld 13251	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) x. ( Y - Z ) ) ) = ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
226	219, 225	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
227	224	abscld 13233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) e. RR )
228	210	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> M e. RR )
229	130	abscld 13233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( Y - Z ) ) e. RR )
230	130	absge0d 13241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( Y - Z ) ) )
231		dvlipcn.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )
232	231	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M )
233		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( CC _D F ) ` x ) = ( ( CC _D F ) ` y ) )
234	233	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) )
235	234	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M ) )
236	235	cbvralv 3088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` x ) ) <_ M <-> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
237	232, 236	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
238	237	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M )
239		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( CC _D F ) ` y ) = ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
240	239	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
241	240	breq1d 4457	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M ) )
242	241	rspcv 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) e. B -> ( A. y e. B ( abs ` ( ( CC _D F ) ` y ) ) <_ M -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M ) )
243	128, 238, 242	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) <_ M )
244	227, 228, 229, 230, 243	lemul1ad 10486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( abs ` ( ( CC _D F ) ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
245	226, 244	eqbrtrd 4467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ t e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
246	245	ralrimiva 2878	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
247		nfv 1683	. . . . . . 7 |- F/ z ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
248		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ t abs
249		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t RR
250		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t _D
251		nfmpt1 4536	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
252	249, 250, 251	nfov 6308	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) )
253		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t z
254	252, 253	nffv 5873	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z )
255	248, 254	nffv 5873	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) )
256		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ t <_
257		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
258	255, 256, 257	nfbr 4491	. . . . . . 7 |- F/ t ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) )
259		fveq2 5866	. . . . . . . . 9 |- ( t = z -> ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) )
260	259	fveq2d 5870	. . . . . . . 8 |- ( t = z -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) )
261	260	breq1d 4457	. . . . . . 7 |- ( t = z -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <-> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) ) )
262	247, 258, 261	cbvral 3084	. . . . . 6 |- ( A. t e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) <-> A. z e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
263	246, 262	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> A. z e. ( 0 (,) 1 ) ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
264	263	r19.21bi 2833	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ z e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
265	3, 4, 110, 209, 213, 264	dvlip 22221	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
266	1, 2, 265	mpanr12 685	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) <_ ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) )
267		oveq2 6293	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( Y x. t ) = ( Y x. 1 ) )
268		oveq2 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 1 ) )
269		1m1e0 10605	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
270	268, 269	syl6eq 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = 0 )
271	270	oveq2d 6301	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( Z x. 0 ) )
272	267, 271	oveq12d 6303	. . . . . . . 8 |- ( t = 1 -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) )
273	272	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( t = 1 -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) )
274		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) )
275		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) e. _V
276	273, 274, 275	fvmpt 5951	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) )
277	1, 276	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) )
278	24	mul01d 9779	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. 0 ) = 0 )
279	152, 278	oveq12d 6303	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) = ( Y + 0 ) )
280	15	addid1d 9780	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y + 0 ) = Y )
281	279, 280	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) = Y )
282	281	fveq2d 5870	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` ( ( Y x. 1 ) + ( Z x. 0 ) ) ) = ( F ` Y ) )
283	277, 282	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( F ` Y ) )
284		oveq2 6293	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( Y x. t ) = ( Y x. 0 ) )
285		oveq2 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
286		1m0e1 10647	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
287	285, 286	syl6eq 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = 1 )
288	287	oveq2d 6301	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( Z x. ( 1 - t ) ) = ( Z x. 1 ) )
289	284, 288	oveq12d 6303	. . . . . . . 8 |- ( t = 0 -> ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) = ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) )
290	289	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( t = 0 -> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) )
291		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) e. _V
292	290, 274, 291	fvmpt 5951	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) )
293	2, 292	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) )
294	15	mul01d 9779	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y x. 0 ) = 0 )
295	24	mulid1d 9614	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z x. 1 ) = Z )
296	294, 295	oveq12d 6303	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) = ( 0 + Z ) )
297	24	addid2d 9781	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( 0 + Z ) = Z )
298	296, 297	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) = Z )
299	298	fveq2d 5870	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` ( ( Y x. 0 ) + ( Z x. 1 ) ) ) = ( F ` Z ) )
300	293, 299	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) = ( F ` Z ) )
301	283, 300	oveq12d 6303	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) )
302	301	fveq2d 5870	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 1 ) - ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( ( Y x. t ) + ( Z x. ( 1 - t ) ) ) ) ) ` 0 ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) )
303	286	fveq2i 5869	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = ( abs ` 1 )
304		abs1 13096	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) = 1
305	303, 304	eqtri 2496	. . . 4 |- ( abs ` ( 1 - 0 ) ) = 1
306	305	oveq2i 6296	. . 3 |- ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) = ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. 1 )
307	213	recnd 9623	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) e. CC )
308	307	mulid1d 9614	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. 1 ) = ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
309	306, 308	syl5eq 2520	. 2 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) x. ( abs ` ( 1 - 0 ) ) ) = ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )
310	266, 302, 309	3brtr3d 4476	1 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` Y ) - ( F ` Z ) ) ) <_ ( M x. ( abs ` ( Y - Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   {cpr 4029   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   |` cres 5001   o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494   + caddc 9496   x. cmul 9498   RR*cxr 9628   <_ cle 9630   - cmin 9806   -ucneg 9807   (,)cioo 11530   [,]cicc 11533   abscabs 13033   ↾_t crest 14679   TopOpenctopn 14680   topGenctg 14696   *Metcxmt 18214   ballcbl 18216  ℂ_fldccnfld 18231   Topctop 19201   intcnt 19324   Cn ccn 19531   tX ctx 19888   -cn->ccncf 21207   _D cdv 22094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-limc 22097  df-dv 22098

This theorem is referenced by:  dvlip2  22223  dv11cn  22229