MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlipcn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvlipcn 22946
Description: A complex function with derivative bounded by  M on an open ball is Lipschitz continuous with Lipschitz constant equal to  M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlipcn.x  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
dvlipcn.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvlipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dvlipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
dvlipcn.b  |-  B  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
dvlipcn.d  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
dvlipcn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
dvlipcn.l  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  <_  M )
Assertion
Ref Expression
dvlipcn  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    R( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem dvlipcn
Dummy variables  t 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1elunit 11751 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
2 0elunit 11750 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
3 0red 9644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
4 1red 9658 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
1  e.  RR )
5 dvlipcn.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
6 ssid 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  C_  CC
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
8 dvlipcn.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
9 dvlipcn.x . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
107, 8, 9dvbss 22856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  F )  C_  X
)
115, 10sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
1211, 9sstrd 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  B  C_  CC )
14 simprl 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
1513, 14sseldd 3433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Y  e.  CC )
1615adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Y  e.  CC )
17 unitssre 11779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
18 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
1917, 18sstri 3441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
20 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1
) )
2119, 20sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  t  e.  CC )
2216, 21mulcomd 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( Y  x.  t )  =  ( t  x.  Y ) )
23 simprr 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Z  e.  B )
2413, 23sseldd 3433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  Z  e.  CC )
2524adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Z  e.  CC )
26 iirev 21957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2726adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2819, 27sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
2925, 28mulcomd 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  Z ) )
3022, 29oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  =  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  Z
) ) )
31 dvlipcn.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3231ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  A  e.  CC )
33 dvlipcn.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
3433ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  R  e.  RR* )
3514adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Y  e.  B )
3623adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  Z  e.  B )
37 dvlipcn.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
3837blcvx 21816 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  t  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Z ) )  e.  B )
3932, 34, 35, 36, 20, 38syl23anc 1275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Z ) )  e.  B )
4030, 39eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  B )
41 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
428, 11fssresd 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
4342feqmptd 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( F  |`  B ) `  z
) ) )
44 fvres 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
4544mpteq2ia 4485 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  B  |->  ( ( F  |`  B ) `  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) )
4643, 45syl6eq 2501 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z ) ) )
4746adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( F `  z ) ) )
48 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
4940, 41, 47, 48fmptco 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( F  |`  B )  o.  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )
50 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )
5140, 50fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
52 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5352addcn 21897 . . . . . . . . . 10  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
5453a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  +  e.  ( (
( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
55 cncfmptc 21943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Y )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
5619, 6, 55mp3an23 1356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  CC  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Y )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
5715, 56syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  Y )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
58 cncfmptid 21944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  t )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
5919, 6, 58mp2an 678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  t )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  t )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
6157, 60mulcncf 22398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( Y  x.  t
) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
62 cncfmptc 21943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Z )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6319, 6, 62mp3an23 1356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  CC  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  Z )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6424, 63syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  Z )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
6552subcn 21898 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  -  e.  ( (
( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
67 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
68 cncfmptc 21943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 0 [,] 1
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  1 )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
6967, 19, 6, 68mp3an 1364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  1 )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> CC )
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  1 )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7152, 66, 70, 60cncfmpt2f 21946 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  t
) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7264, 71mulcncf 22398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
7352, 54, 61, 72cncfmpt2f 21946 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
74 cncffvrn 21930 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  CC  /\  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B )  <-> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
7513, 73, 74syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 ) -cn-> B )  <-> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B ) )
7651, 75mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> B ) )
776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  CC  C_  CC )
7842adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F  |`  B ) : B --> CC )
7952cnfldtop 21804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
8052cnfldtopon 21803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
8180toponunii 19947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
8281restid 15332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
8379, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
8483eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
8552, 84dvres 22866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  F : X --> CC )  /\  ( X  C_  CC  /\  B  C_  CC ) )  ->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC  _D  F )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) ) )
867, 8, 9, 12, 85syl22anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) ) )
87 cnxmet 21793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
8952cnfldtopn 21802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
9089blopn 21515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
9188, 31, 33, 90syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9237, 91syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( TopOpen ` fld )
)
93 isopn3i 20098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  B  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  B )
9479, 92, 93sylancr 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
)  =  B )
9594reseq2d 5105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )  =  ( ( CC  _D  F
)  |`  B ) )
9686, 95eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  B ) )
9796dmeqd 5037 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  dom  (
( CC  _D  F
)  |`  B ) )
98 dmres 5125 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
( CC  _D  F
)  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  ( CC  _D  F
) )
99 df-ss 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  dom  ( CC  _D  F )  <->  ( B  i^i  dom  ( CC  _D  F ) )  =  B )
1005, 99sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  dom  ( CC  _D  F
) )  =  B )
10198, 100syl5eq 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( ( CC 
_D  F )  |`  B )  =  B )
10297, 101eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
103102adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
104 dvcn 22875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( F  |`  B ) : B --> CC  /\  B  C_  CC )  /\  dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
10577, 78, 13, 103, 104syl31anc 1271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
10676, 105cncfco 21939 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( F  |`  B )  o.  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
10749, 106eqeltrrd 2530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] 1
) -cn-> CC ) )
10818a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  RR  C_  CC )
10917a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0 [,] 1
)  C_  RR )
1108ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  F : X --> CC )
11111ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  B  C_  X )
112111, 40sseldd 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  X )
113110, 112ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  e.  CC )
11452tgioo2 21821 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
115 1re 9642 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
116 iccntr 21839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] 1 ) )  =  ( 0 (,) 1
) )
1173, 115, 116sylancl 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] 1 ) )  =  ( 0 (,) 1
) )
118108, 109, 113, 114, 52, 117dvmptntr 22925 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) ) )
119 reelprrecn 9631 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
121 cnelprrecn 9632 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
122121a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
123 ioossicc 11720 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
124123sseli 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1
) )
125124, 40sylan2 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  B )
12615, 24subcld 9986 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  -  Z
)  e.  CC )
127126adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Y  -  Z )  e.  CC )
12811adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  B  C_  X )
129128sselda 3432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  X )
1308adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  F : X --> CC )
131130ffvelrnda 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
132129, 131syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
133 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  _D  F ) `
 z )  e. 
_V
134133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  (
( CC  _D  F
) `  z )  e.  _V )
13515adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Y  e.  CC )
136124, 21sylan2 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  t  e.  CC )
137135, 136mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Y  x.  t )  e.  CC )
138 1red 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  1  e.  RR )
139 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
140139recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
141 1red 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
142120dvmptid 22911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  t ) )  =  ( t  e.  RR  |->  1 ) )
143 ioossre 11696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0 (,) 1
)  C_  RR )
145 iooretop 21786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0 (,) 1
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
147120, 140, 141, 142, 144, 114, 52, 146dvmptres 22917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  t ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  1 ) )
148120, 136, 138, 147, 15dvmptcmul 22918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  x.  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  x.  1 ) ) )
14915mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  x.  1 )  =  Y )
150149mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Y  x.  1 ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  Y ) )
151148, 150eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  x.  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  Y ) )
15224adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Z  e.  CC )
153124, 28sylan2 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
154152, 153mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  e.  CC )
155 negex 9873 . . . . . . . . . . 11  |-  -u Z  e.  _V
156155a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  -u Z  e.  _V )
157 negex 9873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  _V
158157a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  -u 1  e.  _V )
159 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  1  e.  CC )
160 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  e.  RR )
161 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
162 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
163 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
1  e.  CC )
164120, 163dvmptc 22912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  0 ) )
165120, 161, 162, 164, 144, 114, 52, 146dvmptres 22917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  1 ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  0 ) )
166120, 159, 160, 165, 136, 138, 147dvmptsub 22921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 1  -  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 0  -  1 ) ) )
167 df-neg 9863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
168167mpteq2i 4486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u 1
)  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 0  -  1 ) )
169166, 168syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 1  -  t ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u
1 ) )
170120, 153, 158, 169, 24dvmptcmul 22918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Z  x.  -u 1
) ) )
171 neg1cn 10713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  CC
172 mulcom 9625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( Z  x.  -u 1 )  =  (
-u 1  x.  Z
) )
17324, 171, 172sylancl 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  Z ) )
17424mulm1d 10070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( -u 1  x.  Z
)  =  -u Z
)
175173, 174eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  -u 1
)  =  -u Z
)
176175mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Z  x.  -u 1
) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u Z ) )
177170, 176eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  -u Z ) )
178120, 137, 135, 151, 154, 156, 177dvmptadd 22914 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  +  -u Z
) ) )
17915, 24negsubd 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  +  -u Z )  =  ( Y  -  Z ) )
180179mpteq2dv 4490 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Y  +  -u Z ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( Y  -  Z
) ) )
181178, 180eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( Y  -  Z ) ) )
1829adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  X  C_  CC )
18377, 130, 182, 13, 85syl22anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) ) )
18494adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
)  =  B )
185184reseq2d 5105 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )  =  ( ( CC  _D  F
)  |`  B ) )
186183, 185eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  B ) )
18747oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( CC  _D  ( z  e.  B  |->  ( F `  z
) ) ) )
188 dvfcn 22863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
_D  ( F  |`  B ) ) : dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) --> CC
189103feq2d 5715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : dom  ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) --> CC  <->  ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : B --> CC ) )
190188, 189mpbii 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : B --> CC )
191186feq1d 5714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  ( F  |`  B ) ) : B --> CC  <->  ( ( CC  _D  F )  |`  B ) : B --> CC ) )
192190, 191mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  B ) : B --> CC )
193192feqmptd 5918 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( ( CC  _D  F )  |`  B ) `  z
) ) )
194 fvres 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  B  ->  (
( ( CC  _D  F )  |`  B ) `
 z )  =  ( ( CC  _D  F ) `  z
) )
195194mpteq2ia 4485 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  B  |->  ( ( ( CC  _D  F
)  |`  B ) `  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( CC  _D  F ) `  z
) )
196193, 195syl6eq 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( CC 
_D  F ) `  z ) ) )
197186, 187, 1963eqtr3d 2493 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( CC  _D  (
z  e.  B  |->  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( ( CC  _D  F
) `  z )
) )
198 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  z )  =  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
199120, 122, 125, 127, 132, 134, 181, 197, 48, 198dvmptco 22926 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) ) )
200118, 199eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) ) )
201200dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  dom  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) ) )
202 ovex 6318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) )  e. 
_V
203202rgenw 2749 . . . . . 6  |-  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) )  e.  _V
204 dmmptg 5332 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) )  e.  _V  ->  dom  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) )  =  ( 0 (,) 1 ) )
205203, 204mp1i 13 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) )  =  ( 0 (,) 1 ) )
206201, 205eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  dom  ( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )  =  ( 0 (,) 1 ) )
207 dvlipcn.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
208207adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  M  e.  RR )
209126abscld 13498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  ( Y  -  Z )
)  e.  RR )
210208, 209remulcld 9671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  e.  RR )
211200fveq1d 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `  t )  =  ( ( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) ) `  t
) )
212 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 (,) 1
)  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) ) )
213212fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
)  e.  _V )  ->  ( ( t  e.  ( 0 (,) 1
)  |->  ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) ) ) `  t )  =  ( ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )
214202, 213mpan2 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 (,) 1 ) 
|->  ( ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z )
) ) `  t
)  =  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )
215211, 214sylan9eq 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
)  =  ( ( ( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) )
216215fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( abs `  (
( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z ) ) ) )
217 dvfcn 22863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  F ) : dom  ( CC  _D  F ) --> CC
2185ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  B  C_ 
dom  ( CC  _D  F ) )
219218, 125sseldd 3433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  dom  ( CC 
_D  F ) )
220 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  _D  F
) : dom  ( CC  _D  F ) --> CC 
/\  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  e.  dom  ( CC  _D  F
) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  e.  CC )
221217, 219, 220sylancr 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  e.  CC )
222221, 127absmuld 13516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( ( CC  _D  F ) `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) )  x.  ( Y  -  Z
) ) )  =  ( ( abs `  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
223216, 222eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
224221abscld 13498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  e.  RR )
225207ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  M  e.  RR )
226127abscld 13498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( Y  -  Z ) )  e.  RR )
227127absge0d 13506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( Y  -  Z )
) )
228 dvlipcn.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  <_  M )
229228ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 x ) )  <_  M )
230 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( CC  _D  F
) `  x )  =  ( ( CC 
_D  F ) `  y ) )
231230fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  =  ( abs `  (
( CC  _D  F
) `  y )
) )
232231breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( CC  _D  F
) `  x )
)  <_  M  <->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  y
) )  <_  M
) )
233232cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  B  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  x ) )  <_  M 
<-> 
A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 y ) )  <_  M )
234229, 233sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 y ) )  <_  M )
235234ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  y
) )  <_  M
)
236 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  (
( CC  _D  F
) `  y )  =  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
237236fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )
238237breq1d 4412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) )  ->  (
( abs `  (
( CC  _D  F
) `  y )
)  <_  M  <->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  <_  M
) )
239238rspcv 3146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 y ) )  <_  M  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  <_  M ) )
240125, 235, 239sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( CC 
_D  F ) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )  <_  M )
241224, 225, 226, 227, 240lemul1ad 10546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( abs `  (
( CC  _D  F
) `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) )  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )  <_ 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
242223, 241eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
243242ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
244 nfv 1761 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )
245 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t abs
246 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t RR
247 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t  _D
248 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
249246, 247, 248nfov 6316 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) )
250 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
z
251249, 250nffv 5872 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `  z )
252245, 251nffv 5872 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )
253 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  <_
254 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )
255252, 253, 254nfbr 4447 . . . . . . 7  |-  F/ t ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )
256 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
)  =  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) ) `  z ) )
257256fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) ) )
258257breq1d 4412 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  t
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `  z ) )  <_ 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) ) )
259244, 255, 258cbvral 3015 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) ) `  t ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) )  <->  A. z  e.  ( 0 (,) 1
) ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
260243, 259sylib 200 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  ->  A. z  e.  (
0 (,) 1 ) ( abs `  (
( RR  _D  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) ) `  z
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
261260r19.21bi 2757 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  z  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ) `
 z ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
2623, 4, 107, 206, 210, 261dvlip 22945 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  -  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  ( abs `  ( 1  -  0 ) ) ) )
2631, 2, 262mpanr12 691 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  -  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  ( abs `  ( 1  -  0 ) ) ) )
264 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  ( Y  x.  t )  =  ( Y  x.  1 ) )
265 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  1 ) )
266 1m1e0 10678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
267265, 266syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  0 )
268267oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  =  ( Z  x.  0 ) )
269264, 268oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  1  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  =  ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )
270269fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( t  =  1  ->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  =  ( F `  ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) ) )
271 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) )
272 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )  e. 
_V
273270, 271, 272fvmpt 5948 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  1
)  =  ( F `
 ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) ) )
2741, 273ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) `  1 )  =  ( F `  ( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )
27524mul01d 9832 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  0 )  =  0 )
276149, 275oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) )  =  ( Y  +  0 ) )
27715addid1d 9833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  +  0 )  =  Y )
278276, 277eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) )  =  Y )
279278fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F `  (
( Y  x.  1 )  +  ( Z  x.  0 ) ) )  =  ( F `
 Y ) )
280274, 279syl5eq 2497 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( F `  Y ) )
281 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  ( Y  x.  t )  =  ( Y  x.  0 ) )
282 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  0 ) )
283 1m0e1 10720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
284282, 283syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  1 )
285284oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  ( Z  x.  ( 1  -  t ) )  =  ( Z  x.  1 ) )
286281, 285oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  0  ->  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) )  =  ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )
287286fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( t  =  0  ->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) )  =  ( F `  ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) ) )
288 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )  e. 
_V
289287, 271, 288fvmpt 5948 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
)  =  ( F `
 ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) ) )
2902, 289ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t
) ) ) ) ) `  0 )  =  ( F `  ( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )
29115mul01d 9832 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Y  x.  0 )  =  0 )
29224mulid1d 9660 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( Z  x.  1 )  =  Z )
293291, 292oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) )  =  ( 0  +  Z ) )
29424addid2d 9834 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( 0  +  Z
)  =  Z )
295293, 294eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) )  =  Z )
296295fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( F `  (
( Y  x.  0 )  +  ( Z  x.  1 ) ) )  =  ( F `
 Z ) )
297290, 296syl5eq 2497 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( F `  Z ) )
298280, 297oveq12d 6308 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  (
1  -  t ) ) ) ) ) `
 1 )  -  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
0 ) )  =  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )
299298fveq2d 5869 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  ( ( Y  x.  t )  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) ` 
1 )  -  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
( Y  x.  t
)  +  ( Z  x.  ( 1  -  t ) ) ) ) ) `  0
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) ) )
300283fveq2i 5868 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  -  0 ) )  =  ( abs `  1 )
301 abs1 13360 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
302300, 301eqtri 2473 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  -  0 ) )  =  1
303302oveq2i 6301 . . 3  |-  ( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) )  x.  ( abs `  (
1  -  0 ) ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  1 )
304210recnd 9669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  e.  CC )
305304mulid1d 9660 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  1 )  =  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
306303, 305syl5eq 2497 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) )  x.  ( abs `  ( 1  -  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) )
307263, 299, 3063brtr3d 4432 1  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836    o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   abscabs 13297   ↾t crest 15319   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336   *Metcxmt 18955   ballcbl 18957  ℂfldccnfld 18970   Topctop 19917   intcnt 20032    Cn ccn 20240    tX ctx 20575   -cn->ccncf 21908    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  dvlip2  22947  dv11cn  22953
  Copyright terms: Public domain W3C validator