Theorem dvle 21323

Description: If A ( x ) , C ( x ) are differentiable functions and A ` <_ C ` , then for x <_ y, A ( y ) - A ( x ) <_ C ( y ) - C ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvle.m	|- ( ph -> M e. RR )
dvle.n	|- ( ph -> N e. RR )
dvle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvle.c	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvle.d	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) )
dvle.f	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B <_ D )
dvle.x	|- ( ph -> X e. ( M [,] N ) )
dvle.y	|- ( ph -> Y e. ( M [,] N ) )
dvle.l	|- ( ph -> X <_ Y )
dvle.p	|- ( x = X -> A = P )
dvle.q	|- ( x = X -> C = Q )
dvle.r	|- ( x = Y -> A = R )
dvle.s	|- ( x = Y -> C = S )

Assertion

Ref	Expression
dvle	|- ( ph -> ( R - P ) <_ ( S - Q ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, N   x, P   x, Q   x, R   x, S   x, X   ph, x   x, Y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem dvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvle.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( M [,] N ) )
2		dvle.a	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
3		cncff 20313	. . . . 5 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
4	2, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
5		eqid 2435	. . . . 5 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
6	5	fmpt 5854	. . . 4 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
7	4, 6	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
8		dvle.r	. . . . 5 |- ( x = Y -> A = R )
9	8	eleq1d 2501	. . . 4 |- ( x = Y -> ( A e. RR <-> R e. RR ) )
10	9	rspcv 3060	. . 3 |- ( Y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> R e. RR ) )
11	1, 7, 10	sylc 60	. 2 |- ( ph -> R e. RR )
12		dvle.c	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
13		cncff 20313	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) : ( M [,] N ) --> RR )
14	12, 13	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) : ( M [,] N ) --> RR )
15		eqid 2435	. . . . . 6 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> C )
16	15	fmpt 5854	. . . . 5 |- ( A. x e. ( M [,] N ) C e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) : ( M [,] N ) --> RR )
17	14, 16	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) C e. RR )
18		dvle.s	. . . . . 6 |- ( x = Y -> C = S )
19	18	eleq1d 2501	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( C e. RR <-> S e. RR ) )
20	19	rspcv 3060	. . . 4 |- ( Y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) C e. RR -> S e. RR ) )
21	1, 17, 20	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> S e. RR )
22		dvle.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( M [,] N ) )
23		dvle.q	. . . . . 6 |- ( x = X -> C = Q )
24	23	eleq1d 2501	. . . . 5 |- ( x = X -> ( C e. RR <-> Q e. RR ) )
25	24	rspcv 3060	. . . 4 |- ( X e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) C e. RR -> Q e. RR ) )
26	22, 17, 25	sylc 60	. . 3 |- ( ph -> Q e. RR )
27	21, 26	resubcld 9766	. 2 |- ( ph -> ( S - Q ) e. RR )
28		dvle.p	. . . . 5 |- ( x = X -> A = P )
29	28	eleq1d 2501	. . . 4 |- ( x = X -> ( A e. RR <-> P e. RR ) )
30	29	rspcv 3060	. . 3 |- ( X e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> P e. RR ) )
31	22, 7, 30	sylc 60	. 2 |- ( ph -> P e. RR )
32	11	recnd 9402	. . . . 5 |- ( ph -> R e. CC )
33	26	recnd 9402	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. CC )
34	21	recnd 9402	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CC )
35	33, 34	subcld 9709	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q - S ) e. CC )
36	32, 35	addcomd 9561	. . . 4 |- ( ph -> ( R + ( Q - S ) ) = ( ( Q - S ) + R ) )
37	32, 34, 33	subsub2d 9738	. . . 4 |- ( ph -> ( R - ( S - Q ) ) = ( R + ( Q - S ) ) )
38	33, 34, 32	subsubd 9737	. . . 4 |- ( ph -> ( Q - ( S - R ) ) = ( ( Q - S ) + R ) )
39	36, 37, 38	3eqtr4d 2477	. . 3 |- ( ph -> ( R - ( S - Q ) ) = ( Q - ( S - R ) ) )
40	21, 11	resubcld 9766	. . . 4 |- ( ph -> ( S - R ) e. RR )
41		dvle.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
42		dvle.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
43		eqid 2435	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
44	43	subcn 20286	. . . . . . 7 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
45		ax-resscn 9329	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
46		resubcl 9663	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR ) -> ( C - A ) e. RR )
47	43, 44, 12, 2, 45, 46	cncfmpt2ss 20335	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
48		ioossicc 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
49	48	sseli 3342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
50	17	r19.21bi 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> C e. RR )
51	49, 50	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> C e. RR )
52		eqid 2435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> C )
53	51, 52	fmptd 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) : ( M (,) N ) --> RR )
54		ioossre 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M (,) N ) C_ RR
55		dvfre 21269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) --> RR )
56	53, 54, 55	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) --> RR )
57		dvle.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) )
58	57	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) )
59		dvle.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B <_ D )
60		lerel 9431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Rel <_
61	60	brrelex2i 4869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B <_ D -> D e. _V )
62	59, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> D e. _V )
63	62	ralrimiva 2791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. ( M (,) N ) D e. _V )
64		dmmptg 5325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. ( M (,) N ) D e. _V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) = ( M (,) N ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) = ( M (,) N ) )
66	58, 65	eqtrd 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) = ( M (,) N ) )
67	57, 66	feq12d 5538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
68	56, 67	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) : ( M (,) N ) --> RR )
69		eqid 2435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> D )
70	69	fmpt 5854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( M (,) N ) D e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) : ( M (,) N ) --> RR )
71	68, 70	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( M (,) N ) D e. RR )
72	71	r19.21bi 2806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> D e. RR )
73	7	r19.21bi 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
74	49, 73	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
75		eqid 2435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
76	74, 75	fmptd 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
77		dvfre 21269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
78	76, 54, 77	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
79		dvle.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
80	79	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
81	60	brrelexi 4868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B <_ D -> B e. _V )
82	59, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. _V )
83	82	ralrimiva 2791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. ( M (,) N ) B e. _V )
84		dmmptg 5325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. _V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
86	80, 85	eqtrd 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
87	79, 86	feq12d 5538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
88	78, 87	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
89		eqid 2435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
90	89	fmpt 5854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
91	88, 90	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
92	91	r19.21bi 2806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. RR )
93	72, 92	resubcld 9766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( D - B ) e. RR )
94	72, 92	subge0d 9919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( 0 <_ ( D - B ) <-> B <_ D ) )
95	59, 94	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> 0 <_ ( D - B ) )
96		elrege0 11382	. . . . . . . . 9 |- ( ( D - B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( D - B ) e. RR /\ 0 <_ ( D - B ) ) )
97	93, 95, 96	sylanbrc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( D - B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
98		eqid 2435	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) )
99	97, 98	fmptd 5857	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) : ( M (,) N ) --> ( 0 [,) +oo ) )
100	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
101		iccssre 11367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
102	41, 42, 101	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
103	50, 73	resubcld 9766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( C - A ) e. RR )
104	103	recnd 9402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( C - A ) e. CC )
105	43	tgioo2 20224	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
106		iccntr 20242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( M [,] N ) ) = ( M (,) N ) )
107	41, 42, 106	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( M [,] N ) ) = ( M (,) N ) )
108	100, 102, 104, 105, 43, 107	dvmptntr 21289	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( C - A ) ) ) )
109		reelprrecn 9364	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. { RR , CC }
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
111	50	recnd 9402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> C e. CC )
112	49, 111	sylan2 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> C e. CC )
113	73	recnd 9402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
114	49, 113	sylan2 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
115	110, 112, 62, 57, 114, 82, 79	dvmptsub 21285	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( C - A ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) )
116	108, 115	eqtrd 2467	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) )
117	116	feq1d 5536	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ) : ( M (,) N ) --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) : ( M (,) N ) --> ( 0 [,) +oo ) ) )
118	99, 117	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ) : ( M (,) N ) --> ( 0 [,) +oo ) )
119		dvle.l	. . . . . 6 |- ( ph -> X <_ Y )
120	41, 42, 47, 118, 22, 1, 119	dvge0 21322	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` X ) <_ ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` Y ) )
121	23, 28	oveq12d 6100	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( C - A ) = ( Q - P ) )
122		eqid 2435	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) )
123		ovex 6107	. . . . . . 7 |- ( C - A ) e. _V
124	121, 122, 123	fvmpt3i 5768	. . . . . 6 |- ( X e. ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` X ) = ( Q - P ) )
125	22, 124	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` X ) = ( Q - P ) )
126	18, 8	oveq12d 6100	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( C - A ) = ( S - R ) )
127	126, 122, 123	fvmpt3i 5768	. . . . . 6 |- ( Y e. ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` Y ) = ( S - R ) )
128	1, 127	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` Y ) = ( S - R ) )
129	120, 125, 128	3brtr3d 4311	. . . 4 |- ( ph -> ( Q - P ) <_ ( S - R ) )
130	26, 31, 40, 129	subled 9932	. . 3 |- ( ph -> ( Q - ( S - R ) ) <_ P )
131	39, 130	eqbrtrd 4302	. 2 |- ( ph -> ( R - ( S - Q ) ) <_ P )
132	11, 27, 31, 131	subled 9932	1 |- ( ph -> ( R - P ) <_ ( S - Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1757   A.wral 2707   _Vcvv 2964   C_ wss 3318   {cpr 3869   class class class wbr 4282   e. cmpt 4340   dom cdm 4829   ran crn 4830   -->wf 5404   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   CCcc 9270   RRcr 9271   0cc0 9272   + caddc 9275   +oocpnf 9405   <_ cle 9409   - cmin 9585   (,)cioo 11290   [,)cico 11292   [,]cicc 11293   TopOpenctopn 14345   topGenctg 14361  ℂ_fldccnfld 17664   intcnt 18465   -cn->ccncf 20296   _D cdv 21182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350  ax-addf 9351  ax-mulf 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-iin 4164  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6311  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-supp 6682  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-2o 6911  df-oadd 6914  df-er 7091  df-map 7206  df-pm 7207  df-ixp 7254  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-fsupp 7611  df-fi 7651  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-cda 8327  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-4 10372  df-5 10373  df-6 10374  df-7 10375  df-8 10376  df-9 10377  df-10 10378  df-n0 10570  df-z 10637  df-dec 10746  df-uz 10852  df-q 10944  df-rp 10982  df-xneg 11079  df-xadd 11080  df-xmul 11081  df-ioo 11294  df-ico 11296  df-icc 11297  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-seq 11793  df-exp 11852  df-hash 12090  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-struct 14161  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-base 14164  df-sets 14165  df-ress 14166  df-plusg 14236  df-mulr 14237  df-starv 14238  df-sca 14239  df-vsca 14240  df-ip 14241  df-tset 14242  df-ple 14243  df-ds 14245  df-unif 14246  df-hom 14247  df-cco 14248  df-rest 14346  df-topn 14347  df-0g 14365  df-gsum 14366  df-topgen 14367  df-pt 14368  df-prds 14371  df-xrs 14425  df-qtop 14430  df-imas 14431  df-xps 14433  df-mre 14509  df-mrc 14510  df-acs 14512  df-mnd 15400  df-submnd 15450  df-mulg 15530  df-cntz 15817  df-cmn 16261  df-psmet 17655  df-xmet 17656  df-met 17657  df-bl 17658  df-mopn 17659  df-fbas 17660  df-fg 17661  df-cnfld 17665  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-topsp 18351  df-cld 18467  df-ntr 18468  df-cls 18469  df-nei 18546  df-lp 18584  df-perf 18585  df-cn 18675  df-cnp 18676  df-haus 18763  df-cmp 18834  df-tx 18979  df-hmeo 19172  df-fil 19263  df-fm 19355  df-flim 19356  df-flf 19357  df-xms 19739  df-ms 19740  df-tms 19741  df-cncf 20298  df-limc 21185  df-dv 21186

This theorem is referenced by:  dvfsumle  21337  dvfsumlem2  21343  loglesqr  22083