Theorem dvle 19844

Description: If A ( x ) , C ( x ) are differentiable functions and A ` <_ C ` , then for x <_ y, A ( y ) - A ( x ) <_ C ( y ) - C ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvle.m	|- ( ph -> M e. RR )
dvle.n	|- ( ph -> N e. RR )
dvle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvle.c	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvle.d	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) )
dvle.f	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B <_ D )
dvle.x	|- ( ph -> X e. ( M [,] N ) )
dvle.y	|- ( ph -> Y e. ( M [,] N ) )
dvle.l	|- ( ph -> X <_ Y )
dvle.p	|- ( x = X -> A = P )
dvle.q	|- ( x = X -> C = Q )
dvle.r	|- ( x = Y -> A = R )
dvle.s	|- ( x = Y -> C = S )

Assertion

Ref	Expression
dvle	|- ( ph -> ( R - P ) <_ ( S - Q ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, N   x, P   x, Q   x, R   x, S   x, X   ph, x   x, Y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem dvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvle.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( M [,] N ) )
2		dvle.a	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
3		cncff 18876	. . . . 5 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
4	2, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
5		eqid 2404	. . . . 5 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
6	5	fmpt 5849	. . . 4 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
7	4, 6	sylibr 204	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
8		dvle.r	. . . . 5 |- ( x = Y -> A = R )
9	8	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( x = Y -> ( A e. RR <-> R e. RR ) )
10	9	rspcv 3008	. . 3 |- ( Y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> R e. RR ) )
11	1, 7, 10	sylc 58	. 2 |- ( ph -> R e. RR )
12		dvle.c	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
13		cncff 18876	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) : ( M [,] N ) --> RR )
14	12, 13	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) : ( M [,] N ) --> RR )
15		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> C )
16	15	fmpt 5849	. . . . 5 |- ( A. x e. ( M [,] N ) C e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> C ) : ( M [,] N ) --> RR )
17	14, 16	sylibr 204	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) C e. RR )
18		dvle.s	. . . . . 6 |- ( x = Y -> C = S )
19	18	eleq1d 2470	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( C e. RR <-> S e. RR ) )
20	19	rspcv 3008	. . . 4 |- ( Y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) C e. RR -> S e. RR ) )
21	1, 17, 20	sylc 58	. . 3 |- ( ph -> S e. RR )
22		dvle.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( M [,] N ) )
23		dvle.q	. . . . . 6 |- ( x = X -> C = Q )
24	23	eleq1d 2470	. . . . 5 |- ( x = X -> ( C e. RR <-> Q e. RR ) )
25	24	rspcv 3008	. . . 4 |- ( X e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) C e. RR -> Q e. RR ) )
26	22, 17, 25	sylc 58	. . 3 |- ( ph -> Q e. RR )
27	21, 26	resubcld 9421	. 2 |- ( ph -> ( S - Q ) e. RR )
28		dvle.p	. . . . 5 |- ( x = X -> A = P )
29	28	eleq1d 2470	. . . 4 |- ( x = X -> ( A e. RR <-> P e. RR ) )
30	29	rspcv 3008	. . 3 |- ( X e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> P e. RR ) )
31	22, 7, 30	sylc 58	. 2 |- ( ph -> P e. RR )
32	11	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ph -> R e. CC )
33	26	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. CC )
34	21	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CC )
35	33, 34	subcld 9367	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q - S ) e. CC )
36	32, 35	addcomd 9224	. . . 4 |- ( ph -> ( R + ( Q - S ) ) = ( ( Q - S ) + R ) )
37	32, 34, 33	subsub2d 9396	. . . 4 |- ( ph -> ( R - ( S - Q ) ) = ( R + ( Q - S ) ) )
38	33, 34, 32	subsubd 9395	. . . 4 |- ( ph -> ( Q - ( S - R ) ) = ( ( Q - S ) + R ) )
39	36, 37, 38	3eqtr4d 2446	. . 3 |- ( ph -> ( R - ( S - Q ) ) = ( Q - ( S - R ) ) )
40	21, 11	resubcld 9421	. . . 4 |- ( ph -> ( S - R ) e. RR )
41		dvle.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
42		dvle.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
43		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
44	43	subcn 18849	. . . . . . 7 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
45		ax-resscn 9003	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
46		resubcl 9321	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR ) -> ( C - A ) e. RR )
47	43, 44, 12, 2, 45, 46	cncfmpt2ss 18898	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
48		ioossicc 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
49	48	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
50	17	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> C e. RR )
51	49, 50	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> C e. RR )
52		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> C )
53	51, 52	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) : ( M (,) N ) --> RR )
54		ioossre 10928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M (,) N ) C_ RR
55		dvfre 19790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) --> RR )
56	53, 54, 55	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) --> RR )
57		dvle.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) )
58	57	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) )
59		dvle.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B <_ D )
60		lerel 9098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Rel <_
61	60	brrelex2i 4878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B <_ D -> D e. _V )
62	59, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> D e. _V )
63	62	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. ( M (,) N ) D e. _V )
64		dmmptg 5326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. ( M (,) N ) D e. _V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) = ( M (,) N ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) = ( M (,) N ) )
66	58, 65	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) = ( M (,) N ) )
67	57, 66	feq12d 5541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> C ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
68	56, 67	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) : ( M (,) N ) --> RR )
69		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> D )
70	69	fmpt 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( M (,) N ) D e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> D ) : ( M (,) N ) --> RR )
71	68, 70	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( M (,) N ) D e. RR )
72	71	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> D e. RR )
73	7	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
74	49, 73	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
75		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
76	74, 75	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
77		dvfre 19790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
78	76, 54, 77	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
79		dvle.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
80	79	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
81	60	brrelexi 4877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B <_ D -> B e. _V )
82	59, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. _V )
83	82	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. ( M (,) N ) B e. _V )
84		dmmptg 5326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. _V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
86	80, 85	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
87	79, 86	feq12d 5541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
88	78, 87	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
89		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
90	89	fmpt 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
91	88, 90	sylibr 204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
92	91	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. RR )
93	72, 92	resubcld 9421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( D - B ) e. RR )
94	72, 92	subge0d 9572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( 0 <_ ( D - B ) <-> B <_ D ) )
95	59, 94	mpbird 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> 0 <_ ( D - B ) )
96		elrege0 10963	. . . . . . . . 9 |- ( ( D - B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( D - B ) e. RR /\ 0 <_ ( D - B ) ) )
97	93, 95, 96	sylanbrc 646	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( D - B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
98		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) )
99	97, 98	fmptd 5852	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) : ( M (,) N ) --> ( 0 [,) +oo ) )
100	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
101		iccssre 10948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
102	41, 42, 101	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
103	50, 73	resubcld 9421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( C - A ) e. RR )
104	103	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( C - A ) e. CC )
105	43	tgioo2 18787	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
106		iccntr 18805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( M [,] N ) ) = ( M (,) N ) )
107	41, 42, 106	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( M [,] N ) ) = ( M (,) N ) )
108	100, 102, 104, 105, 43, 107	dvmptntr 19810	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( C - A ) ) ) )
109		reex 9037	. . . . . . . . . . . 12 |- RR e. _V
110	109	prid1 3872	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. { RR , CC }
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
112	50	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> C e. CC )
113	49, 112	sylan2 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> C e. CC )
114	73	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
115	49, 114	sylan2 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
116	111, 113, 62, 57, 115, 82, 79	dvmptsub 19806	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( C - A ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) )
117	108, 116	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) )
118	117	feq1d 5539	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ) : ( M (,) N ) --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> ( D - B ) ) : ( M (,) N ) --> ( 0 [,) +oo ) ) )
119	99, 118	mpbird 224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ) : ( M (,) N ) --> ( 0 [,) +oo ) )
120		dvle.l	. . . . . 6 |- ( ph -> X <_ Y )
121	41, 42, 47, 119, 22, 1, 120	dvge0 19843	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` X ) <_ ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` Y ) )
122	23, 28	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( C - A ) = ( Q - P ) )
123		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) )
124		ovex 6065	. . . . . . 7 |- ( C - A ) e. _V
125	122, 123, 124	fvmpt3i 5768	. . . . . 6 |- ( X e. ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` X ) = ( Q - P ) )
126	22, 125	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` X ) = ( Q - P ) )
127	18, 8	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( C - A ) = ( S - R ) )
128	127, 123, 124	fvmpt3i 5768	. . . . . 6 |- ( Y e. ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` Y ) = ( S - R ) )
129	1, 128	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( C - A ) ) ` Y ) = ( S - R ) )
130	121, 126, 129	3brtr3d 4201	. . . 4 |- ( ph -> ( Q - P ) <_ ( S - R ) )
131	26, 31, 40, 130	subled 9585	. . 3 |- ( ph -> ( Q - ( S - R ) ) <_ P )
132	39, 131	eqbrtrd 4192	. 2 |- ( ph -> ( R - ( S - Q ) ) <_ P )
133	11, 27, 31, 132	subled 9585	1 |- ( ph -> ( R - P ) <_ ( S - Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   + caddc 8949   +oocpnf 9073   <_ cle 9077   - cmin 9247   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂ_fldccnfld 16658   intcnt 17036   -cn->ccncf 18859   _D cdv 19703

This theorem is referenced by:  dvfsumle  19858  dvfsumlem2  19864  loglesqr  20595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707