MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivthlem2 Structured version   Unicode version

Theorem dvivthlem2 22829
Description: Lemma for dvivth 22830. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
dvivth.4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
dvivth.5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
dvivth.6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
dvivth.7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
dvivthlem2  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( RR  _D  F ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, F    y, M    y, C    y, N    ph, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem dvivthlem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvivth.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
2 dvivth.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
3 dvivth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
4 dvivth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
5 dvivth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  <  N )
6 dvivth.6 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
7 dvivth.7 . . 3  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvivthlem1 22828 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
9 dvf 22730 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
104feq2d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> CC  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
119, 10mpbii 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
12 ffn 5746 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC  ->  ( RR  _D  F )  Fn  ( A (,) B ) )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  Fn  ( A (,) B ) )
1413adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( RR  _D  F )  Fn  ( A (,) B ) )
15 iccssioo2 11707 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( A (,) B )  /\  N  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
161, 2, 15syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
1716sselda 3470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
18 fnfvelrn 6034 . . . . 5  |-  ( ( ( RR  _D  F
)  Fn  ( A (,) B )  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  e.  ran  ( RR  _D  F ) )
1914, 17, 18syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  ran  ( RR  _D  F
) )
20 eleq1 2501 . . . 4  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  C  ->  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  e.  ran  ( RR  _D  F )  <->  C  e.  ran  ( RR  _D  F
) ) )
2119, 20syl5ibcom 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
( RR  _D  F
) `  x )  =  C  ->  C  e. 
ran  ( RR  _D  F ) ) )
2221rexlimdva 2924 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C  ->  C  e.  ran  ( RR  _D  F
) ) )
238, 22mpd 15 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( RR  _D  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ran crn 4855    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537    x. cmul 9543    < clt 9674    - cmin 9859   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   -cn->ccncf 21795    _D cdv 22686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-sca 15159  df-vsca 15160  df-ip 15161  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-hom 15167  df-cco 15168  df-rest 15271  df-topn 15272  df-0g 15290  df-gsum 15291  df-topgen 15292  df-pt 15293  df-prds 15296  df-xrs 15350  df-qtop 15355  df-imas 15356  df-xps 15358  df-mre 15434  df-mrc 15435  df-acs 15437  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-submnd 16525  df-mulg 16618  df-cntz 16913  df-cmn 17358  df-psmet 18888  df-xmet 18889  df-met 18890  df-bl 18891  df-mopn 18892  df-fbas 18893  df-fg 18894  df-cnfld 18897  df-top 19843  df-bases 19844  df-topon 19845  df-topsp 19846  df-cld 19956  df-ntr 19957  df-cls 19958  df-nei 20036  df-lp 20074  df-perf 20075  df-cn 20165  df-cnp 20166  df-haus 20253  df-cmp 20324  df-tx 20499  df-hmeo 20692  df-fil 20783  df-fm 20875  df-flim 20876  df-flf 20877  df-xms 21257  df-ms 21258  df-tms 21259  df-cncf 21797  df-limc 22689  df-dv 22690
This theorem is referenced by:  dvivth  22830
  Copyright terms: Public domain W3C validator