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Theorem dvivthlem1 19845
Description: Lemma for dvivth 19847. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
dvivth.4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
dvivth.5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
dvivth.6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
dvivth.7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
dvivthlem1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y    x, G    x, M, y    x, C, y   
x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem dvivthlem1
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 10928 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2 dvivth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
31, 2sseldi 3306 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 dvivth.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
51, 4sseldi 3306 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
6 dvivth.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
73, 5, 6ltled 9177 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
8 dvivth.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
9 cncff 18876 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
1110ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
12 dvfre 19790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
1310, 1, 12sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
14 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
154, 14eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
1613, 15ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR )
172, 14eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
1813, 17ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )
19 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) )  C_  RR )
2016, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  N ) [,] (
( RR  _D  F
) `  M )
)  C_  RR )
21 dvivth.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
2220, 21sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
2524sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  RR )
2623, 25remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( C  x.  y )  e.  RR )
2711, 26resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y ) )  e.  RR )
28 dvivth.7 . . . . . . 7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
2927, 28fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
30 iccssioo2 10939 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( A (,) B )  /\  N  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
312, 4, 30syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
32 fssres 5569 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( M [,] N )  C_  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR )
3329, 31, 32syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR )
34 ax-resscn 9003 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
36 fss 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : ( A (,) B ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  G : ( A (,) B ) --> CC )
3729, 34, 36sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> CC )
3828oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  G )  =  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  y
)  -  ( C  x.  y ) ) ) )
39 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
4039prid1 3872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4211recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
4314feq2d 5540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
4413, 43mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR )
4544ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  y )  e.  RR )
4610feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 y ) ) )
4746oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( RR 
_D  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  y ) ) ) )
4844feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) ) )
4947, 48eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F
) `  y )
) )
5026recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( C  x.  y )  e.  CC )
51 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y
)  e.  RR )
5222, 51sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y )  e.  RR )
5352recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y )  e.  CC )
5422adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
5535sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
56 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
5841dvmptid 19796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
5922recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6041, 55, 57, 58, 59dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( C  x.  1 ) ) )
6159mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  1 )  =  C )
6261mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( C  x.  1
) )  =  ( y  e.  RR  |->  C ) )
6360, 62eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  C ) )
64 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6564tgioo2 18787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
66 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
6841, 53, 54, 63, 24, 65, 64, 67dvmptres 19802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )
6941, 42, 45, 49, 50, 23, 68dvmptsub 19806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  y
)  -  ( C  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) )
7038, 69syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C ) ) )
7170dmeqd 5031 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  dom  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) )
72 dmmptg 5326 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C )  e.  _V  ->  dom  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  -  C ) )  =  ( A (,) B
) )
73 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C )  e.  _V
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C )  e.  _V )
7572, 74mprg 2735 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) )  =  ( A (,) B )
7671, 75syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
77 dvcn 19760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  G : ( A (,) B ) --> CC 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) )  ->  G  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
7835, 37, 24, 76, 77syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
79 rescncf 18880 . . . . . . 7  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( G  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( G  |`  ( M [,] N
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) ) )
8031, 78, 79sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
81 cncffvrn 18881 . . . . . 6  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR )  <-> 
( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
8234, 80, 81sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  <->  ( G  |`  ( M [,] N
) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
8333, 82mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
843, 5, 7, 83evthicc 19309 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  /\  E. x  e.  ( M [,] N ) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  x
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z ) ) )
8584simpld 446 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  x
) )
86 fvres 5704 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( M [,] N )  ->  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
87 fvres 5704 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  ->  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
8886, 87breqan12rd 4188 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  /\  z  e.  ( M [,] N ) )  -> 
( ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  <->  ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
8988ralbidva 2682 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 z )  <_ 
( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  <->  A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )
9089adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  <->  A. z  e.  ( M [,] N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
91 ioossicc 10952 . . . . . 6  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
92 ssralv 3367 . . . . . 6  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
9391, 92ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
)
9490, 93syl6bi 220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )
9531sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
9644ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
9795, 96syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
9897recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
9998adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  CC )
10059ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
10170fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x
)  =  ( ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) `  x ) )
102101adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x )  =  ( ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) `  x
) )
103 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
104103oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C ) )
105 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) )
106 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C )  e.  _V
107104, 105, 106fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) `  x
)  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C ) )
10895, 107syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C ) )
109102, 108eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
110109adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
11129ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
113 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) N ) )
11491, 31syl5ss 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( A (,) B ) )
115114ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
11695adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
11776ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
118116, 117eleqtrrd 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
119 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
120 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  ( G `  z )  =  ( G `  w ) )
121120breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( G `  z
)  <_  ( G `  x )  <->  ( G `  w )  <_  ( G `  x )
) )
122121cbvralv 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
123119, 122sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
124111, 112, 113, 115, 118, 123dvferm 19825 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  0 )
125110, 124eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C )  =  0 )
12699, 100, 125subeq0d 9375 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
127126exp32 589 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
128 vex 2919 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
129128elpr 3792 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { M ,  N }  <->  ( x  =  M  \/  x  =  N ) )
130109adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
13129ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1321a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
133 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  =  M )
134 eliooord 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  M  /\  M  <  B ) )
1352, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  M  /\  M  <  B ) )
136135simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  <  M )
137 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
138 ndmioo 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
139138necon1ai 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
1402, 137, 1393syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
141140simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1425rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
143 elioo2 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  N  e.  RR* )  ->  ( M  e.  ( A (,) N )  <->  ( M  e.  RR  /\  A  < 
M  /\  M  <  N ) ) )
144141, 142, 143syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( A (,) N )  <-> 
( M  e.  RR  /\  A  <  M  /\  M  <  N ) ) )
1453, 136, 6, 144mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) N ) )
146145ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  M  e.  ( A (,) N ) )
147133, 146eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) N ) )
148140simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
149 eliooord 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  N  /\  N  <  B ) )
1504, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  N  /\  N  <  B ) )
151150simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  <  B )
152 xrltle 10698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( N  <  B  ->  N  <_  B ) )
153142, 148, 152syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  <  B  ->  N  <_  B )
)
154151, 153mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  <_  B )
155 iooss2 10908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  N  <_  B )  ->  ( A (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
156148, 154, 155syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) N
)  C_  ( A (,) B ) )
157156ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
15895adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
15976ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
160158, 159eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
161 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
162161, 122sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
163133oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( x (,) N )  =  ( M (,) N ) )
164163raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( x (,) N
) ( G `  w )  <_  ( G `  x )  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w )  <_  ( G `  x ) ) )
165162, 164mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( x (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
166131, 132, 147, 157, 160, 165dvferm1 19822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  <_  0
)
167130, 166eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C )  <_  0
)
16897adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  RR )
16922ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
170168, 169suble0d 9573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C )  <_  0  <->  ( ( RR  _D  F
) `  x )  <_  C ) )
171167, 170mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  <_  C
)
172 elicc2 10931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( ( ( RR 
_D  F ) `  N ) [,] (
( RR  _D  F
) `  M )
)  <->  ( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `
 N )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  M )
) ) )
17316, 18, 172syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( ( RR  _D  F ) `  N
) [,] ( ( RR  _D  F ) `
 M ) )  <-> 
( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C  /\  C  <_  ( ( RR 
_D  F ) `  M ) ) ) )
17421, 173mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C  /\  C  <_  ( ( RR 
_D  F ) `  M ) ) )
175174simp3d 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  <_  ( ( RR  _D  F ) `  M ) )
176175ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  M )
)
177133fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( RR  _D  F
) `  M )
)
178176, 177breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
)
179168, 169letri3d 9171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  C  <->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) )
180171, 178, 179mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
181180exp32 589 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  =  M  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
182 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  =  N )
183182fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( RR  _D  F
) `  N )
)
184174simp2d 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C )
185184ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  N )  <_  C
)
186183, 185eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  <_  C
)
18729ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1881a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
1893rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
190 elioo2 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( N  e.  ( M (,) B )  <->  ( N  e.  RR  /\  M  < 
N  /\  N  <  B ) ) )
191189, 148, 190syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M (,) B )  <-> 
( N  e.  RR  /\  M  <  N  /\  N  <  B ) ) )
1925, 6, 151, 191mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M (,) B ) )
193192ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  N  e.  ( M (,) B ) )
194182, 193eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) B ) )
195 xrltle 10698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  M  e.  RR* )  ->  ( A  <  M  ->  A  <_  M ) )
196141, 189, 195syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  <  M  ->  A  <_  M )
)
197136, 196mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  M )
198 iooss1 10907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  M )  ->  ( M (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
199141, 197, 198syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
200199ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
20195adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
20276ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
203201, 202eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
204 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
205204, 122sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
206182oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) x )  =  ( M (,) N ) )
207206raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( M (,) x
) ( G `  w )  <_  ( G `  x )  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w )  <_  ( G `  x ) ) )
208205, 207mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) x ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
209187, 188, 194, 200, 203, 208dvferm2 19824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  0  <_  (
( RR  _D  G
) `  x )
)
210109adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
211209, 210breqtrd 4196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  0  <_  (
( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
21297adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  RR )
21322ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
214212, 213subge0d 9572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( ( RR 
_D  F ) `  x )  -  C
)  <->  C  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) )
215211, 214mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
)
216212, 213letri3d 9171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  C  <->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) )
217186, 215, 216mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
218217exp32 589 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  =  N  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
219181, 218jaod 370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
x  =  M  \/  x  =  N )  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) ) )
220129, 219syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  { M ,  N }  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) ) )
221 elun 3448 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( M (,) N )  u. 
{ M ,  N } )  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } ) )
222 prunioo 10981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  (
( M (,) N
)  u.  { M ,  N } )  =  ( M [,] N
) )
223189, 142, 7, 222syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  u.  { M ,  N }
)  =  ( M [,] N ) )
224223eleq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( M (,) N
)  u.  { M ,  N } )  <->  x  e.  ( M [,] N ) ) )
225221, 224syl5bbr 251 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } )  <->  x  e.  ( M [,] N ) ) )
226225biimpar 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } ) )
227127, 220, 226mpjaod 371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) )
22894, 227syld 42 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) )
229228reximdva 2778 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  ->  E. x  e.  ( M [,] N
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C ) )
23085, 229mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658   -cn->ccncf 18859    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvivthlem2  19846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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