Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivth Unicode version

Theorem dvivth 19847
 Description: Darboux' theorem, or the intermediate value theorem for derivatives. A differentiable function's derivative satisfies the intermediate value property, even though it may not be continuous (so that ivthicc 19308 does not directly apply). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1
dvivth.2
dvivth.3
dvivth.4
Assertion
Ref Expression
dvivth

Proof of Theorem dvivth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 10928 . . . 4
2 dvivth.1 . . . 4
31, 2sseldi 3306 . . 3
4 dvivth.2 . . . 4
51, 4sseldi 3306 . . 3
63, 5lttri4d 9170 . 2
72adantr 452 . . . . . . . . . 10
84adantr 452 . . . . . . . . . 10
9 dvivth.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 cncff 18876 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14
1312renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . 13
14 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13
1513, 14fmptd 5852 . . . . . . . . . . . 12
16 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . . 13
17 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 cncfss 18882 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1916, 17, 18mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019, 9sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14
2114negfcncf 18902 . . . . . . . . . . . . . 14
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
23 cncffvrn 18881 . . . . . . . . . . . . 13
2416, 22, 23sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
2515, 24mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
2625adantr 452 . . . . . . . . . 10
27 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827prid1 3872 . . . . . . . . . . . . . 14
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3011adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14
3231recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13
33 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3530feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14
37 dvfre 19790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3811, 1, 37sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039feq2d 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4138, 40mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . 14
4436, 43eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13
4529, 32, 34, 44dvmptneg 19805 . . . . . . . . . . . 12
4645dmeqd 5031 . . . . . . . . . . 11
47 dmmptg 5326 . . . . . . . . . . . 12
48 negex 9260 . . . . . . . . . . . . 13
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
5047, 49mprg 2735 . . . . . . . . . . 11
5146, 50syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10
52 simprl 733 . . . . . . . . . 10
53 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12
5441, 2ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14
5554adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
564, 39eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15
5738, 56ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14
5857adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
59 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6054, 57, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6261, 53sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13
63 iccneg 10974 . . . . . . . . . . . . 13
6455, 58, 62, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
6553, 64mpbid 202 . . . . . . . . . . 11
6645fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13
67 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . . 15
7168, 69, 70fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14
728, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7366, 72eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12
7445fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13
75 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . . 15
7876, 69, 77fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14
797, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8074, 79eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12
8173, 80oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11
8265, 81eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . 10
83 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
847, 8, 26, 51, 52, 82, 83dvivthlem2 19846 . . . . . . . . 9
8545rneqd 5056 . . . . . . . . 9
8684, 85eleqtrd 2480 . . . . . . . 8
87 negex 9260 . . . . . . . . 9
8869elrnmpt 5076 . . . . . . . . 9
8987, 88ax-mp 8 . . . . . . . 8
9086, 89sylib 189 . . . . . . 7
9162recnd 9070 . . . . . . . . . . 11
9291adantr 452 . . . . . . . . . 10
9329, 32, 34, 44dvmptcl 19798 . . . . . . . . . 10
9492, 93neg11ad 9363 . . . . . . . . 9
95 eqcom 2406 . . . . . . . . 9
9694, 95syl6bb 253 . . . . . . . 8
9796rexbidva 2683 . . . . . . 7
9890, 97mpbid 202 . . . . . 6
99 ffn 5550 . . . . . . . 8
10042, 99syl 16 . . . . . . 7
101 fvelrnb 5733 . . . . . . 7
102100, 101syl 16 . . . . . 6
10398, 102mpbird 224 . . . . 5
104103expr 599 . . . 4
105104ssrdv 3314 . . 3
106 fveq2 5687 . . . . . 6
107106oveq1d 6055 . . . . 5
10857rexrd 9090 . . . . . 6
109 iccid 10917 . . . . . 6
110108, 109syl 16 . . . . 5
111107, 110sylan9eqr 2458 . . . 4
112 ffn 5550 . . . . . . . 8
11338, 112syl 16 . . . . . . 7
114 fnfvelrn 5826 . . . . . . 7
115113, 56, 114syl2anc 643 . . . . . 6
116115snssd 3903 . . . . 5
117116adantr 452 . . . 4
118111, 117eqsstrd 3342 . . 3
1194adantr 452 . . . . . 6
1202adantr 452 . . . . . 6
1219adantr 452 . . . . . 6
12239adantr 452 . . . . . 6
123 simprl 733 . . . . . 6
124 simprr 734 . . . . . 6
125 eqid 2404 . . . . . 6
126119, 120, 121, 122, 123, 124, 125dvivthlem2 19846 . . . . 5
127126expr 599 . . . 4
128127ssrdv 3314 . . 3
129105, 118, 1283jaodan 1250 . 2
1306, 129mpdan 650 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3o 935   wceq 1649   wcel 1721  wrex 2667  cvv 2916   wss 3280  csn 3774  cpr 3775   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837   crn 4838   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945   cmul 8951  cxr 9075   clt 9076   cmin 9247  cneg 9248  cioo 10872  cicc 10875  ccncf 18859   cdv 19703 This theorem is referenced by:  dvne0  19848 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
 Copyright terms: Public domain W3C validator