MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvid Structured version   Unicode version

Theorem dvid 21411
Description: Derivative of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvid  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } )

Proof of Theorem dvid
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5695 . . . 4  |-  (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC
2 f1of 5660 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  CC ) : CC -1-1-onto-> CC  ->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
31, 2mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )
4 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x )  ->  z  e.  CC )
5 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x )  ->  x  e.  CC )
64, 5subcld 9738 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x )  ->  (
z  -  x )  e.  CC )
7 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x )  ->  z  =/=  x )
84, 5, 7subne0d 9747 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x )  ->  (
z  -  x )  =/=  0 )
9 fvresi 5923 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  ->  (
(  _I  |`  CC ) `
 z )  =  z )
10 fvresi 5923 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
(  _I  |`  CC ) `
 x )  =  x )
119, 10oveqan12rd 6130 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( (  _I  |`  CC ) `  z
)  -  ( (  _I  |`  CC ) `  x ) )  =  ( z  -  x
) )
12113adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x )  ->  (
( (  _I  |`  CC ) `
 z )  -  ( (  _I  |`  CC ) `
 x ) )  =  ( z  -  x ) )
136, 8, 12diveq1bd 10174 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x )  ->  (
( ( (  _I  |`  CC ) `  z
)  -  ( (  _I  |`  CC ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) )  =  1 )
1413adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  z  =/=  x ) )  -> 
( ( ( (  _I  |`  CC ) `  z )  -  (
(  _I  |`  CC ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  =  1 )
15 ax-1cn 9359 . . 3  |-  1  e.  CC
163, 14, 15dvidlem 21409 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC  X.  { 1 } ) )
1716trud 1378 1  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {csn 3896    _I cid 4650    X. cxp 4857    |` cres 4861   -->wf 5433   -1-1-onto->wf1o 5436   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   CCcc 9299   1c1 9302    - cmin 9614    / cdiv 10012    _D cdv 21357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fi 7680  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-icc 11326  df-fz 11457  df-seq 11826  df-exp 11885  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-rest 14380  df-topn 14381  df-topgen 14401  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-fbas 17833  df-fg 17834  df-cnfld 17838  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-cld 18642  df-ntr 18643  df-cls 18644  df-nei 18721  df-lp 18759  df-perf 18760  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-haus 18938  df-fil 19438  df-fm 19530  df-flim 19531  df-flf 19532  df-xms 19914  df-ms 19915  df-cncf 20473  df-limc 21360  df-dv 21361
This theorem is referenced by:  dvexp  21446  dvmptid  21450  dvsid  29628
  Copyright terms: Public domain W3C validator