Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvscacl Structured version   Unicode version

Theorem dvhvscacl 35056
Description: Closure of the scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 12-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhfvsca.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhfvsca.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhfvsca.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhfvsca.s  |-  .x.  =  ( .s `  U )
Assertion
Ref Expression
dvhvscacl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  .x.  F
)  e.  ( T  X.  E ) )

Proof of Theorem dvhvscacl
StepHypRef Expression
1 dvhfvsca.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhfvsca.t . . 3  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvhfvsca.e . . 3  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvhfvsca.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dvhfvsca.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
61, 2, 3, 4, 5dvhvsca 35054 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  .x.  F
)  =  <. ( R `  ( 1st `  F ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )
>. )
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  ->  R  e.  E )
9 xp1st 6708 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T  X.  E )  ->  ( 1st `  F )  e.  T )
109ad2antll 728 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( 1st `  F
)  e.  T )
111, 2, 3tendocl 34719 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  R  e.  E  /\  ( 1st `  F
)  e.  T )  ->  ( R `  ( 1st `  F ) )  e.  T )
127, 8, 10, 11syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R `  ( 1st `  F ) )  e.  T )
13 xp2nd 6709 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T  X.  E )  ->  ( 2nd `  F )  e.  E )
1413ad2antll 728 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( 2nd `  F
)  e.  E )
151, 3tendococl 34724 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  R  e.  E  /\  ( 2nd `  F
)  e.  E )  ->  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )  e.  E )
167, 8, 14, 15syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  o.  ( 2nd `  F ) )  e.  E )
17 opelxpi 4971 . . 3  |-  ( ( ( R `  ( 1st `  F ) )  e.  T  /\  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )  e.  E )  ->  <. ( R `  ( 1st `  F ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )
>.  e.  ( T  X.  E ) )
1812, 16, 17syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  ->  <. ( R `  ( 1st `  F ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  F ) ) >.  e.  ( T  X.  E ) )
196, 18eqeltrd 2539 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  .x.  F
)  e.  ( T  X.  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3983    X. cxp 4938    o. ccom 4944   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1stc1st 6677   2ndc2nd 6678   .scvsca 14346   HLchlt 33303   LHypclh 33936   LTrncltrn 34053   TEndoctendo 34704   DVecHcdvh 35031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-undef 6894  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tendo 34707  df-dvech 35032
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  35061  diclspsn  35147  dih1dimatlem  35282
  Copyright terms: Public domain W3C validator