Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvscacl Structured version   Unicode version

Theorem dvhvscacl 37243
Description: Closure of the scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 12-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhfvsca.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhfvsca.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhfvsca.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhfvsca.s  |-  .x.  =  ( .s `  U )
Assertion
Ref Expression
dvhvscacl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  .x.  F
)  e.  ( T  X.  E ) )

Proof of Theorem dvhvscacl
StepHypRef Expression
1 dvhfvsca.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhfvsca.t . . 3  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvhfvsca.e . . 3  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvhfvsca.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dvhfvsca.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  U )
61, 2, 3, 4, 5dvhvsca 37241 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  .x.  F
)  =  <. ( R `  ( 1st `  F ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )
>. )
7 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simprl 754 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  ->  R  e.  E )
9 xp1st 6729 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T  X.  E )  ->  ( 1st `  F )  e.  T )
109ad2antll 726 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( 1st `  F
)  e.  T )
111, 2, 3tendocl 36906 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  R  e.  E  /\  ( 1st `  F
)  e.  T )  ->  ( R `  ( 1st `  F ) )  e.  T )
127, 8, 10, 11syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R `  ( 1st `  F ) )  e.  T )
13 xp2nd 6730 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T  X.  E )  ->  ( 2nd `  F )  e.  E )
1413ad2antll 726 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( 2nd `  F
)  e.  E )
151, 3tendococl 36911 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  R  e.  E  /\  ( 2nd `  F
)  e.  E )  ->  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )  e.  E )
167, 8, 14, 15syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  o.  ( 2nd `  F ) )  e.  E )
17 opelxpi 4945 . . 3  |-  ( ( ( R `  ( 1st `  F ) )  e.  T  /\  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )  e.  E )  ->  <. ( R `  ( 1st `  F ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )
>.  e.  ( T  X.  E ) )
1812, 16, 17syl2anc 659 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  ->  <. ( R `  ( 1st `  F ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  F ) ) >.  e.  ( T  X.  E ) )
196, 18eqeltrd 2470 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  .x.  F
)  e.  ( T  X.  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   <.cop 3950    X. cxp 4911    o. ccom 4917   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   1stc1st 6697   2ndc2nd 6698   .scvsca 14706   HLchlt 35488   LHypclh 36121   LTrncltrn 36238   TEndoctendo 36891   DVecHcdvh 37218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-riotaBAD 35097
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-undef 6920  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-preset 15674  df-poset 15692  df-plt 15705  df-lub 15721  df-glb 15722  df-join 15723  df-meet 15724  df-p0 15786  df-p1 15787  df-lat 15793  df-clat 15855  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35635  df-lplanes 35636  df-lvols 35637  df-lines 35638  df-psubsp 35640  df-pmap 35641  df-padd 35933  df-lhyp 36125  df-laut 36126  df-ldil 36241  df-ltrn 36242  df-trl 36297  df-tendo 36894  df-dvech 37219
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  37248  diclspsn  37334  dih1dimatlem  37469
  Copyright terms: Public domain W3C validator