Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvadd2 Structured version   Unicode version

Theorem dvhopvadd2 37218
Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. TODO: check if this will shorten proofs that use dvhopvadd 37217 and/or dvhfplusr 37208. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhopvadd2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhopvadd2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhopvadd2.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhopvadd2.p  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
dvhopvadd2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhopvadd2.s  |-  .+b  =  ( +g  `  U )
Assertion
Ref Expression
dvhopvadd2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( <. F ,  Q >.  .+b  <. G ,  R >. )  =  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q  .+  R ) >. )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, H    f, s,
t, K    f, W, s, t
Allowed substitution hints:    .+ ( t, f, s)    .+b ( t, f, s)    Q( t, f, s)    R( t, f, s)    T( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    F( t, f, s)    G( t, f, s)    H( t, s)

Proof of Theorem dvhopvadd2
StepHypRef Expression
1 dvhopvadd2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhopvadd2.t . . 3  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvhopvadd2.e . . 3  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvhopvadd2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2454 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
6 dvhopvadd2.s . . 3  |-  .+b  =  ( +g  `  U )
7 eqid 2454 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvhopvadd 37217 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( <. F ,  Q >.  .+b  <. G ,  R >. )  =  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q ( +g  `  (Scalar `  U ) ) R ) >. )
9 dvhopvadd2.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 9, 7dvhfplusr 37208 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  (Scalar `  U ) )  = 
.+  )
11103ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  .+  )
1211oveqd 6287 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( Q
( +g  `  (Scalar `  U ) ) R )  =  ( Q 
.+  R ) )
1312opeq2d 4210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q ( +g  `  (Scalar `  U )
) R ) >.  =  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q  .+  R )
>. )
148, 13eqtrd 2495 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( <. F ,  Q >.  .+b  <. G ,  R >. )  =  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q  .+  R ) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   <.cop 4022    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   +g cplusg 14784  Scalarcsca 14787   HLchlt 35472   LHypclh 36105   LTrncltrn 36222   TEndoctendo 36875   DVecHcdvh 37202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-edring 36880  df-dvech 37203
This theorem is referenced by:  xihopellsmN  37378  dihopellsm  37379
  Copyright terms: Public domain W3C validator