Theorem dvhmulr 34698

Description: Ring multiplication operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhfmul.h	|- H = ( LHyp ` K )
dvhfmul.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dvhfmul.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dvhfmul.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dvhfmul.f	|- F = (Scalar ` U )
dvhfmul.m	|- .x. = ( .r ` F )

Assertion

Ref	Expression
dvhmulr	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ S e. E ) ) -> ( R .x. S ) = ( R o. S ) )

Proof of Theorem dvhmulr

Dummy variables s r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhfmul.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		dvhfmul.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		dvhfmul.e	. . . 4 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4		dvhfmul.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
5		dvhfmul.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` U )
6		dvhfmul.m	. . . 4 |- .x. = ( .r ` F )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvhfmulr 34697	. . 3 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> .x. = ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) )
8	7	oveqd 6331	. 2 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( R .x. S ) = ( R ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) S ) )
9		coexg 6770	. . 3 |- ( ( R e. E /\ S e. E ) -> ( R o. S ) e. _V )
10		coeq1 5010	. . . 4 |- ( r = R -> ( r o. s ) = ( R o. s ) )
11		coeq2 5011	. . . 4 |- ( s = S -> ( R o. s ) = ( R o. S ) )
12		eqid 2461	. . . 4 |- ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) = ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) )
13	10, 11, 12	ovmpt2g 6457	. . 3 |- ( ( R e. E /\ S e. E /\ ( R o. S ) e. _V ) -> ( R ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) S ) = ( R o. S ) )
14	9, 13	mpd3an3 1374	. 2 |- ( ( R e. E /\ S e. E ) -> ( R ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) S ) = ( R o. S ) )
15	8, 14	sylan9eq 2515	1 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ S e. E ) ) -> ( R .x. S ) = ( R o. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   _Vcvv 3056   o. ccom 4856   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   |-> cmpt2 6316   .rcmulr 15239  Scalarcsca 15241   LHypclh 33593   LTrncltrn 33710   TEndoctendo 34363   DVecHcdvh 34690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-edring 34368  df-dvech 34691

This theorem is referenced by:  tendolinv  34717  tendorinv  34718  dvhlveclem  34720