Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhmulr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvhmulr 34698
Description: Ring multiplication operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfmul.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhfmul.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhfmul.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhfmul.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhfmul.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
dvhfmul.m  |-  .x.  =  ( .r `  F )
Assertion
Ref Expression
dvhmulr  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E ) )  -> 
( R  .x.  S
)  =  ( R  o.  S ) )

Proof of Theorem dvhmulr
Dummy variables  s 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhfmul.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhfmul.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvhfmul.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvhfmul.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dvhfmul.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  U )
6 dvhfmul.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  F )
71, 2, 3, 4, 5, 6dvhfmulr 34697 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) ) )
87oveqd 6331 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( R  .x.  S
)  =  ( R ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s
) ) S ) )
9 coexg 6770 . . 3  |-  ( ( R  e.  E  /\  S  e.  E )  ->  ( R  o.  S
)  e.  _V )
10 coeq1 5010 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
r  o.  s )  =  ( R  o.  s ) )
11 coeq2 5011 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( R  o.  s )  =  ( R  o.  S ) )
12 eqid 2461 . . . 4  |-  ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) )  =  ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) )
1310, 11, 12ovmpt2g 6457 . . 3  |-  ( ( R  e.  E  /\  S  e.  E  /\  ( R  o.  S
)  e.  _V )  ->  ( R ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) ) S )  =  ( R  o.  S ) )
149, 13mpd3an3 1374 . 2  |-  ( ( R  e.  E  /\  S  e.  E )  ->  ( R ( r  e.  E ,  s  e.  E  |->  ( r  o.  s ) ) S )  =  ( R  o.  S ) )
158, 14sylan9eq 2515 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  S  e.  E ) )  -> 
( R  .x.  S
)  =  ( R  o.  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   _Vcvv 3056    o. ccom 4856   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316   .rcmulr 15239  Scalarcsca 15241   LHypclh 33593   LTrncltrn 33710   TEndoctendo 34363   DVecHcdvh 34690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-edring 34368  df-dvech 34691
This theorem is referenced by:  tendolinv  34717  tendorinv  34718  dvhlveclem  34720
  Copyright terms: Public domain W3C validator