Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Structured version   Unicode version

Theorem dvhlmod 34596
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlmod  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvhlvec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 34595 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
5 lveclmod 18316 . 2  |-  ( U  e.  LVec  ->  U  e. 
LMod )
64, 5syl 17 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   ` cfv 5597   LModclmod 18078   LVecclvec 18312   HLchlt 32834   LHypclh 33467   DVecHcdvh 34564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32443
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-undef 7024  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-0g 15327  df-preset 16160  df-poset 16178  df-plt 16191  df-lub 16207  df-glb 16208  df-join 16209  df-meet 16210  df-p0 16272  df-p1 16273  df-lat 16279  df-clat 16341  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-oppr 17838  df-dvdsr 17856  df-unit 17857  df-invr 17887  df-dvr 17898  df-drng 17964  df-lmod 18080  df-lvec 18313  df-oposet 32660  df-ol 32662  df-oml 32663  df-covers 32750  df-ats 32751  df-atl 32782  df-cvlat 32806  df-hlat 32835  df-llines 32981  df-lplanes 32982  df-lvols 32983  df-lines 32984  df-psubsp 32986  df-pmap 32987  df-padd 33279  df-lhyp 33471  df-laut 33472  df-ldil 33587  df-ltrn 33588  df-trl 33643  df-tendo 34240  df-edring 34242  df-dvech 34565
This theorem is referenced by:  dvh0g  34597  dvhopellsm  34603  dib1dim2  34654  diclspsn  34680  cdlemn4a  34685  cdlemn5pre  34686  cdlemn11c  34695  dihjustlem  34702  dihord1  34704  dihord2a  34705  dihord2b  34706  dihord11c  34710  dihlsscpre  34720  dihvalcqat  34725  dihord6apre  34742  dihord5b  34745  dihord5apre  34748  dih0vbN  34768  dihglblem5  34784  dihjatc3  34799  dihmeetlem9N  34801  dihmeetlem13N  34805  dihmeetlem16N  34808  dihmeetlem19N  34811  dih1dimatlem  34815  dihlsprn  34817  dihlspsnat  34819  dihatlat  34820  dihatexv  34824  dihglblem6  34826  dochspss  34864  dochocsp  34865  dochspocN  34866  dochsncom  34868  dochsat  34869  dochshpncl  34870  dochlkr  34871  dochkrshp  34872  dochnoncon  34877  dochnel  34879  djhsumss  34893  djhunssN  34895  djhlsmcl  34900  dihjatcclem1  34904  dihjatcclem2  34905  dihjat  34909  dihprrnlem1N  34910  dihprrnlem2  34911  dihprrn  34912  djhlsmat  34913  dihjat1lem  34914  dihjat1  34915  dihsmsprn  34916  dihjat2  34917  dihsmatrn  34922  dvh3dimatN  34925  dvh2dimatN  34926  dvh1dim  34928  dvh4dimlem  34929  dvhdimlem  34930  dvh2dim  34931  dvh3dim  34932  dvh4dimN  34933  dvh3dim2  34934  dvh3dim3N  34935  dochsatshp  34937  dochsatshpb  34938  dochsnshp  34939  dochshpsat  34940  dochkrsat  34941  dochkrsat2  34942  dochkrsm  34944  dochexmidlem1  34946  dochexmidlem2  34947  dochexmidlem4  34949  dochexmidlem5  34950  dochexmidlem6  34951  dochexmidlem7  34952  dochexmidlem8  34953  dochexmid  34954  dochsnkrlem1  34955  dochsnkr  34958  dochsnkr2cl  34960  dochfl1  34962  dochfln0  34963  dochkr1  34964  dochkr1OLDN  34965  lcfl4N  34981  lcfl5  34982  lcfl6lem  34984  lcfl7lem  34985  lcfl6  34986  lcfl8  34988  lcfl8b  34990  lcfl9a  34991  lclkrlem1  34992  lclkrlem2a  34993  lclkrlem2b  34994  lclkrlem2c  34995  lclkrlem2e  34997  lclkrlem2f  34998  lclkrlem2h  35000  lclkrlem2j  35002  lclkrlem2k  35003  lclkrlem2o  35007  lclkrlem2p  35008  lclkrlem2r  35010  lclkrlem2s  35011  lclkrlem2u  35013  lclkrlem2v  35014  lclkrlem2  35018  lclkr  35019  lclkrslem1  35023  lclkrslem2  35024  lclkrs  35025  lcfrvalsnN  35027  lcfrlem4  35031  lcfrlem5  35032  lcfrlem6  35033  lcfrlem7  35034  lcfrlem9  35036  lcfrlem12N  35040  lcfrlem15  35043  lcfrlem16  35044  lcfrlem17  35045  lcfrlem19  35047  lcfrlem20  35048  lcfrlem21  35049  lcfrlem23  35051  lcfrlem25  35053  lcfrlem26  35054  lcfrlem28  35056  lcfrlem29  35057  lcfrlem30  35058  lcfrlem31  35059  lcfrlem33  35061  lcfrlem35  35063  lcfrlem36  35064  lcfrlem37  35065  lcfrlem40  35068  lcfrlem42  35070  lcfr  35071  lcdvbase  35079  lcdvbasecl  35082  lcdvaddval  35084  lcdsca  35085  lcdvsval  35090  lcd0v  35097  lcd0v2  35098  lcdvsubval  35104  lcdlss  35105  lcdlsp  35107  mapdval2N  35116  mapdordlem2  35123  mapdsn  35127  mapd1dim2lem1N  35130  mapdrvallem2  35131  mapdunirnN  35136  mapdcv  35146  mapdin  35148  mapdlsm  35150  mapd0  35151  mapdcnvatN  35152  mapdat  35153  mapdspex  35154  mapdn0  35155  mapdncol  35156  mapdindp  35157  mapdpglem1  35158  mapdpglem2  35159  mapdpglem2a  35160  mapdpglem3  35161  mapdpglem4N  35162  mapdpglem5N  35163  mapdpglem6  35164  mapdpglem8  35165  mapdpglem9  35166  mapdpglem12  35169  mapdpglem13  35170  mapdpglem14  35171  mapdpglem17N  35174  mapdpglem18  35175  mapdpglem19  35176  mapdpglem20  35177  mapdpglem21  35178  mapdpglem23  35180  mapdpglem30a  35181  mapdpglem30b  35182  mapdpglem29  35186  mapdpglem30  35188  mapdheq2  35215  mapdheq4lem  35217  mapdh6lem1N  35219  mapdh6lem2N  35220  mapdh6aN  35221  mapdh6b0N  35222  mapdh6bN  35223  mapdh6cN  35224  mapdh6dN  35225  mapdh6eN  35226  mapdh6gN  35228  mapdh6hN  35229  mapdh6iN  35230  mapdh8ab  35263  mapdh8ad  35265  mapdh8e  35270  mapdh9a  35276  mapdh9aOLDN  35277  hdmap1val0  35286  hdmap1l6lem1  35294  hdmap1l6lem2  35295  hdmap1l6a  35296  hdmap1l6b0N  35297  hdmap1l6b  35298  hdmap1l6c  35299  hdmap1l6d  35300  hdmap1l6e  35301  hdmap1l6g  35303  hdmap1l6h  35304  hdmap1l6i  35305  hdmap1eulem  35310  hdmap1eulemOLDN  35311  hdmap1neglem1N  35314  hdmapval0  35322  hdmapeveclem  35323  hdmapval3lemN  35326  hdmap10lem  35328  hdmap10  35329  hdmap11lem1  35330  hdmap11lem2  35331  hdmapeq0  35333  hdmapneg  35335  hdmapsub  35336  hdmap11  35337  hdmaprnlem1N  35338  hdmaprnlem3N  35339  hdmaprnlem3uN  35340  hdmaprnlem4tN  35341  hdmaprnlem4N  35342  hdmaprnlem6N  35343  hdmaprnlem8N  35345  hdmaprnlem9N  35346  hdmaprnlem3eN  35347  hdmaprnlem16N  35351  hdmaprnlem17N  35352  hdmap14lem1a  35355  hdmap14lem2a  35356  hdmap14lem2N  35358  hdmap14lem3  35359  hdmap14lem4a  35360  hdmap14lem6  35362  hdmap14lem8  35364  hdmap14lem9  35365  hdmap14lem10  35366  hdmap14lem11  35367  hdmap14lem13  35369  hgmapval0  35381  hgmapval1  35382  hgmapadd  35383  hgmapmul  35384  hgmaprnlem2N  35386  hgmaprnlem3N  35387  hgmap11  35391  hgmapeq0  35393  hdmapln1  35395  hdmaplna1  35396  hdmaplns1  35397  hdmaplnm1  35398  hdmapgln2  35401  hdmaplkr  35402  hdmapellkr  35403  hdmapip0  35404  hdmapinvlem1  35407  hdmapinvlem3  35409  hdmapinvlem4  35410  hdmapglem5  35411  hgmapvvlem1  35412  hgmapvvlem3  35414  hdmapglem7a  35416  hdmapglem7b  35417  hdmapglem7  35418  hdmapoc  35420  hlhilphllem  35448
  Copyright terms: Public domain W3C validator