Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Structured version   Unicode version

Theorem dvhlmod 35063
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlmod  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvhlvec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 35062 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
5 lveclmod 17295 . 2  |-  ( U  e.  LVec  ->  U  e. 
LMod )
64, 5syl 16 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5518   LModclmod 17056   LVecclvec 17291   HLchlt 33303   LHypclh 33936   DVecHcdvh 35031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-undef 6894  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-0g 14484  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-drng 16942  df-lmod 17058  df-lvec 17292  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tendo 34707  df-edring 34709  df-dvech 35032
This theorem is referenced by:  dvh0g  35064  dvhopellsm  35070  dib1dim2  35121  diclspsn  35147  cdlemn4a  35152  cdlemn5pre  35153  cdlemn11c  35162  dihjustlem  35169  dihord1  35171  dihord2a  35172  dihord2b  35173  dihord11c  35177  dihlsscpre  35187  dihvalcqat  35192  dihord6apre  35209  dihord5b  35212  dihord5apre  35215  dih0vbN  35235  dihglblem5  35251  dihjatc3  35266  dihmeetlem9N  35268  dihmeetlem13N  35272  dihmeetlem16N  35275  dihmeetlem19N  35278  dih1dimatlem  35282  dihlsprn  35284  dihlspsnat  35286  dihatlat  35287  dihatexv  35291  dihglblem6  35293  dochspss  35331  dochocsp  35332  dochspocN  35333  dochsncom  35335  dochsat  35336  dochshpncl  35337  dochlkr  35338  dochkrshp  35339  dochnoncon  35344  dochnel  35346  djhsumss  35360  djhunssN  35362  djhlsmcl  35367  dihjatcclem1  35371  dihjatcclem2  35372  dihjat  35376  dihprrnlem1N  35377  dihprrnlem2  35378  dihprrn  35379  djhlsmat  35380  dihjat1lem  35381  dihjat1  35382  dihsmsprn  35383  dihjat2  35384  dihsmatrn  35389  dvh3dimatN  35392  dvh2dimatN  35393  dvh1dim  35395  dvh4dimlem  35396  dvhdimlem  35397  dvh2dim  35398  dvh3dim  35399  dvh4dimN  35400  dvh3dim2  35401  dvh3dim3N  35402  dochsatshp  35404  dochsatshpb  35405  dochsnshp  35406  dochshpsat  35407  dochkrsat  35408  dochkrsat2  35409  dochkrsm  35411  dochexmidlem1  35413  dochexmidlem2  35414  dochexmidlem4  35416  dochexmidlem5  35417  dochexmidlem6  35418  dochexmidlem7  35419  dochexmidlem8  35420  dochexmid  35421  dochsnkrlem1  35422  dochsnkr  35425  dochsnkr2cl  35427  dochfl1  35429  dochfln0  35430  dochkr1  35431  dochkr1OLDN  35432  lcfl4N  35448  lcfl5  35449  lcfl6lem  35451  lcfl7lem  35452  lcfl6  35453  lcfl8  35455  lcfl8b  35457  lcfl9a  35458  lclkrlem1  35459  lclkrlem2a  35460  lclkrlem2b  35461  lclkrlem2c  35462  lclkrlem2e  35464  lclkrlem2f  35465  lclkrlem2h  35467  lclkrlem2j  35469  lclkrlem2k  35470  lclkrlem2o  35474  lclkrlem2p  35475  lclkrlem2r  35477  lclkrlem2s  35478  lclkrlem2u  35480  lclkrlem2v  35481  lclkrlem2  35485  lclkr  35486  lclkrslem1  35490  lclkrslem2  35491  lclkrs  35492  lcfrvalsnN  35494  lcfrlem4  35498  lcfrlem5  35499  lcfrlem6  35500  lcfrlem7  35501  lcfrlem9  35503  lcfrlem12N  35507  lcfrlem15  35510  lcfrlem16  35511  lcfrlem17  35512  lcfrlem19  35514  lcfrlem20  35515  lcfrlem21  35516  lcfrlem23  35518  lcfrlem25  35520  lcfrlem26  35521  lcfrlem28  35523  lcfrlem29  35524  lcfrlem30  35525  lcfrlem31  35526  lcfrlem33  35528  lcfrlem35  35530  lcfrlem36  35531  lcfrlem37  35532  lcfrlem40  35535  lcfrlem42  35537  lcfr  35538  lcdvbase  35546  lcdvbasecl  35549  lcdvaddval  35551  lcdsca  35552  lcdvsval  35557  lcd0v  35564  lcd0v2  35565  lcdvsubval  35571  lcdlss  35572  lcdlsp  35574  mapdval2N  35583  mapdordlem2  35590  mapdsn  35594  mapd1dim2lem1N  35597  mapdrvallem2  35598  mapdunirnN  35603  mapdcv  35613  mapdin  35615  mapdlsm  35617  mapd0  35618  mapdcnvatN  35619  mapdat  35620  mapdspex  35621  mapdn0  35622  mapdncol  35623  mapdindp  35624  mapdpglem1  35625  mapdpglem2  35626  mapdpglem2a  35627  mapdpglem3  35628  mapdpglem4N  35629  mapdpglem5N  35630  mapdpglem6  35631  mapdpglem8  35632  mapdpglem9  35633  mapdpglem12  35636  mapdpglem13  35637  mapdpglem14  35638  mapdpglem17N  35641  mapdpglem18  35642  mapdpglem19  35643  mapdpglem20  35644  mapdpglem21  35645  mapdpglem23  35647  mapdpglem30a  35648  mapdpglem30b  35649  mapdpglem29  35653  mapdpglem30  35655  mapdheq2  35682  mapdheq4lem  35684  mapdh6lem1N  35686  mapdh6lem2N  35687  mapdh6aN  35688  mapdh6b0N  35689  mapdh6bN  35690  mapdh6cN  35691  mapdh6dN  35692  mapdh6eN  35693  mapdh6gN  35695  mapdh6hN  35696  mapdh6iN  35697  mapdh8ab  35730  mapdh8ad  35732  mapdh8e  35737  mapdh9a  35743  mapdh9aOLDN  35744  hdmap1val0  35753  hdmap1l6lem1  35761  hdmap1l6lem2  35762  hdmap1l6a  35763  hdmap1l6b0N  35764  hdmap1l6b  35765  hdmap1l6c  35766  hdmap1l6d  35767  hdmap1l6e  35768  hdmap1l6g  35770  hdmap1l6h  35771  hdmap1l6i  35772  hdmap1eulem  35777  hdmap1eulemOLDN  35778  hdmap1neglem1N  35781  hdmapval0  35789  hdmapeveclem  35790  hdmapval3lemN  35793  hdmap10lem  35795  hdmap10  35796  hdmap11lem1  35797  hdmap11lem2  35798  hdmapeq0  35800  hdmapneg  35802  hdmapsub  35803  hdmap11  35804  hdmaprnlem1N  35805  hdmaprnlem3N  35806  hdmaprnlem3uN  35807  hdmaprnlem4tN  35808  hdmaprnlem4N  35809  hdmaprnlem6N  35810  hdmaprnlem8N  35812  hdmaprnlem9N  35813  hdmaprnlem3eN  35814  hdmaprnlem16N  35818  hdmaprnlem17N  35819  hdmap14lem1a  35822  hdmap14lem2a  35823  hdmap14lem2N  35825  hdmap14lem3  35826  hdmap14lem4a  35827  hdmap14lem6  35829  hdmap14lem8  35831  hdmap14lem9  35832  hdmap14lem10  35833  hdmap14lem11  35834  hdmap14lem13  35836  hgmapval0  35848  hgmapval1  35849  hgmapadd  35850  hgmapmul  35851  hgmaprnlem2N  35853  hgmaprnlem3N  35854  hgmap11  35858  hgmapeq0  35860  hdmapln1  35862  hdmaplna1  35863  hdmaplns1  35864  hdmaplnm1  35865  hdmapgln2  35868  hdmaplkr  35869  hdmapellkr  35870  hdmapip0  35871  hdmapinvlem1  35874  hdmapinvlem3  35876  hdmapinvlem4  35877  hdmapglem5  35878  hgmapvvlem1  35879  hgmapvvlem3  35881  hdmapglem7a  35883  hdmapglem7b  35884  hdmapglem7  35885  hdmapoc  35887  hlhilphllem  35915
  Copyright terms: Public domain W3C validator