Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvhlmod 34722
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlmod  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvhlvec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 34721 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
5 lveclmod 18377 . 2  |-  ( U  e.  LVec  ->  U  e. 
LMod )
64, 5syl 17 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   ` cfv 5600   LModclmod 18139   LVecclvec 18373   HLchlt 32960   LHypclh 33593   DVecHcdvh 34690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-riotaBAD 32569
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-tpos 6998  df-undef 7045  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-0g 15388  df-preset 16221  df-poset 16239  df-plt 16252  df-lub 16268  df-glb 16269  df-join 16270  df-meet 16271  df-p0 16333  df-p1 16334  df-lat 16340  df-clat 16402  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-dvr 17959  df-drng 18025  df-lmod 18141  df-lvec 18374  df-oposet 32786  df-ol 32788  df-oml 32789  df-covers 32876  df-ats 32877  df-atl 32908  df-cvlat 32932  df-hlat 32961  df-llines 33107  df-lplanes 33108  df-lvols 33109  df-lines 33110  df-psubsp 33112  df-pmap 33113  df-padd 33405  df-lhyp 33597  df-laut 33598  df-ldil 33713  df-ltrn 33714  df-trl 33769  df-tendo 34366  df-edring 34368  df-dvech 34691
This theorem is referenced by:  dvh0g  34723  dvhopellsm  34729  dib1dim2  34780  diclspsn  34806  cdlemn4a  34811  cdlemn5pre  34812  cdlemn11c  34821  dihjustlem  34828  dihord1  34830  dihord2a  34831  dihord2b  34832  dihord11c  34836  dihlsscpre  34846  dihvalcqat  34851  dihord6apre  34868  dihord5b  34871  dihord5apre  34874  dih0vbN  34894  dihglblem5  34910  dihjatc3  34925  dihmeetlem9N  34927  dihmeetlem13N  34931  dihmeetlem16N  34934  dihmeetlem19N  34937  dih1dimatlem  34941  dihlsprn  34943  dihlspsnat  34945  dihatlat  34946  dihatexv  34950  dihglblem6  34952  dochspss  34990  dochocsp  34991  dochspocN  34992  dochsncom  34994  dochsat  34995  dochshpncl  34996  dochlkr  34997  dochkrshp  34998  dochnoncon  35003  dochnel  35005  djhsumss  35019  djhunssN  35021  djhlsmcl  35026  dihjatcclem1  35030  dihjatcclem2  35031  dihjat  35035  dihprrnlem1N  35036  dihprrnlem2  35037  dihprrn  35038  djhlsmat  35039  dihjat1lem  35040  dihjat1  35041  dihsmsprn  35042  dihjat2  35043  dihsmatrn  35048  dvh3dimatN  35051  dvh2dimatN  35052  dvh1dim  35054  dvh4dimlem  35055  dvhdimlem  35056  dvh2dim  35057  dvh3dim  35058  dvh4dimN  35059  dvh3dim2  35060  dvh3dim3N  35061  dochsatshp  35063  dochsatshpb  35064  dochsnshp  35065  dochshpsat  35066  dochkrsat  35067  dochkrsat2  35068  dochkrsm  35070  dochexmidlem1  35072  dochexmidlem2  35073  dochexmidlem4  35075  dochexmidlem5  35076  dochexmidlem6  35077  dochexmidlem7  35078  dochexmidlem8  35079  dochexmid  35080  dochsnkrlem1  35081  dochsnkr  35084  dochsnkr2cl  35086  dochfl1  35088  dochfln0  35089  dochkr1  35090  dochkr1OLDN  35091  lcfl4N  35107  lcfl5  35108  lcfl6lem  35110  lcfl7lem  35111  lcfl6  35112  lcfl8  35114  lcfl8b  35116  lcfl9a  35117  lclkrlem1  35118  lclkrlem2a  35119  lclkrlem2b  35120  lclkrlem2c  35121  lclkrlem2e  35123  lclkrlem2f  35124  lclkrlem2h  35126  lclkrlem2j  35128  lclkrlem2k  35129  lclkrlem2o  35133  lclkrlem2p  35134  lclkrlem2r  35136  lclkrlem2s  35137  lclkrlem2u  35139  lclkrlem2v  35140  lclkrlem2  35144  lclkr  35145  lclkrslem1  35149  lclkrslem2  35150  lclkrs  35151  lcfrvalsnN  35153  lcfrlem4  35157  lcfrlem5  35158  lcfrlem6  35159  lcfrlem7  35160  lcfrlem9  35162  lcfrlem12N  35166  lcfrlem15  35169  lcfrlem16  35170  lcfrlem17  35171  lcfrlem19  35173  lcfrlem20  35174  lcfrlem21  35175  lcfrlem23  35177  lcfrlem25  35179  lcfrlem26  35180  lcfrlem28  35182  lcfrlem29  35183  lcfrlem30  35184  lcfrlem31  35185  lcfrlem33  35187  lcfrlem35  35189  lcfrlem36  35190  lcfrlem37  35191  lcfrlem40  35194  lcfrlem42  35196  lcfr  35197  lcdvbase  35205  lcdvbasecl  35208  lcdvaddval  35210  lcdsca  35211  lcdvsval  35216  lcd0v  35223  lcd0v2  35224  lcdvsubval  35230  lcdlss  35231  lcdlsp  35233  mapdval2N  35242  mapdordlem2  35249  mapdsn  35253  mapd1dim2lem1N  35256  mapdrvallem2  35257  mapdunirnN  35262  mapdcv  35272  mapdin  35274  mapdlsm  35276  mapd0  35277  mapdcnvatN  35278  mapdat  35279  mapdspex  35280  mapdn0  35281  mapdncol  35282  mapdindp  35283  mapdpglem1  35284  mapdpglem2  35285  mapdpglem2a  35286  mapdpglem3  35287  mapdpglem4N  35288  mapdpglem5N  35289  mapdpglem6  35290  mapdpglem8  35291  mapdpglem9  35292  mapdpglem12  35295  mapdpglem13  35296  mapdpglem14  35297  mapdpglem17N  35300  mapdpglem18  35301  mapdpglem19  35302  mapdpglem20  35303  mapdpglem21  35304  mapdpglem23  35306  mapdpglem30a  35307  mapdpglem30b  35308  mapdpglem29  35312  mapdpglem30  35314  mapdheq2  35341  mapdheq4lem  35343  mapdh6lem1N  35345  mapdh6lem2N  35346  mapdh6aN  35347  mapdh6b0N  35348  mapdh6bN  35349  mapdh6cN  35350  mapdh6dN  35351  mapdh6eN  35352  mapdh6gN  35354  mapdh6hN  35355  mapdh6iN  35356  mapdh8ab  35389  mapdh8ad  35391  mapdh8e  35396  mapdh9a  35402  mapdh9aOLDN  35403  hdmap1val0  35412  hdmap1l6lem1  35420  hdmap1l6lem2  35421  hdmap1l6a  35422  hdmap1l6b0N  35423  hdmap1l6b  35424  hdmap1l6c  35425  hdmap1l6d  35426  hdmap1l6e  35427  hdmap1l6g  35429  hdmap1l6h  35430  hdmap1l6i  35431  hdmap1eulem  35436  hdmap1eulemOLDN  35437  hdmap1neglem1N  35440  hdmapval0  35448  hdmapeveclem  35449  hdmapval3lemN  35452  hdmap10lem  35454  hdmap10  35455  hdmap11lem1  35456  hdmap11lem2  35457  hdmapeq0  35459  hdmapneg  35461  hdmapsub  35462  hdmap11  35463  hdmaprnlem1N  35464  hdmaprnlem3N  35465  hdmaprnlem3uN  35466  hdmaprnlem4tN  35467  hdmaprnlem4N  35468  hdmaprnlem6N  35469  hdmaprnlem8N  35471  hdmaprnlem9N  35472  hdmaprnlem3eN  35473  hdmaprnlem16N  35477  hdmaprnlem17N  35478  hdmap14lem1a  35481  hdmap14lem2a  35482  hdmap14lem2N  35484  hdmap14lem3  35485  hdmap14lem4a  35486  hdmap14lem6  35488  hdmap14lem8  35490  hdmap14lem9  35491  hdmap14lem10  35492  hdmap14lem11  35493  hdmap14lem13  35495  hgmapval0  35507  hgmapval1  35508  hgmapadd  35509  hgmapmul  35510  hgmaprnlem2N  35512  hgmaprnlem3N  35513  hgmap11  35517  hgmapeq0  35519  hdmapln1  35521  hdmaplna1  35522  hdmaplns1  35523  hdmaplnm1  35524  hdmapgln2  35527  hdmaplkr  35528  hdmapellkr  35529  hdmapip0  35530  hdmapinvlem1  35533  hdmapinvlem3  35535  hdmapinvlem4  35536  hdmapglem5  35537  hgmapvvlem1  35538  hgmapvvlem3  35540  hdmapglem7a  35542  hdmapglem7b  35543  hdmapglem7  35544  hdmapoc  35546  hlhilphllem  35574
  Copyright terms: Public domain W3C validator