Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhgrp Structured version   Unicode version

Theorem dvhgrp 36557
 Description: The full vector space constructed from a Hilbert lattice (given a fiducial hyperplane ) is a group. (Contributed by NM, 19-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhgrp.b
dvhgrp.h
dvhgrp.t
dvhgrp.e
dvhgrp.u
dvhgrp.d Scalar
dvhgrp.p
dvhgrp.a
dvhgrp.o
dvhgrp.i
Assertion
Ref Expression
dvhgrp

Proof of Theorem dvhgrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhgrp.h . . . 4
2 dvhgrp.t . . . 4
3 dvhgrp.e . . . 4
4 dvhgrp.u . . . 4
5 eqid 2441 . . . 4
61, 2, 3, 4, 5dvhvbase 36537 . . 3
76eqcomd 2449 . 2
8 dvhgrp.a . . 3
98a1i 11 . 2
10 dvhgrp.d . . . 4 Scalar
11 dvhgrp.p . . . 4
121, 2, 3, 4, 10, 11, 8dvhvaddcl 36545 . . 3
13123impb 1191 . 2
141, 2, 3, 4, 10, 11, 8dvhvaddass 36547 . 2
15 dvhgrp.b . . . 4
1615, 1, 2idltrn 35597 . . 3
17 eqid 2441 . . . . . . . 8
181, 17, 4, 10dvhsca 36532 . . . . . . 7
191, 17erngdv 36442 . . . . . . 7
2018, 19eqeltrd 2529 . . . . . 6
21 drnggrp 17275 . . . . . 6
2220, 21syl 16 . . . . 5
23 eqid 2441 . . . . . 6
24 dvhgrp.o . . . . . 6
2523, 24grpidcl 15949 . . . . 5
2622, 25syl 16 . . . 4
271, 3, 4, 10, 23dvhbase 36533 . . . 4
2826, 27eleqtrd 2531 . . 3
29 opelxpi 5018 . . 3
3016, 28, 29syl2anc 661 . 2
31 simpl 457 . . . . 5
3216adantr 465 . . . . 5
3328adantr 465 . . . . 5
34 xp1st 6812 . . . . . 6
3534adantl 466 . . . . 5
36 xp2nd 6813 . . . . . 6
3736adantl 466 . . . . 5
381, 2, 3, 4, 10, 8, 11dvhopvadd 36543 . . . . 5
3931, 32, 33, 35, 37, 38syl122anc 1236 . . . 4
4015, 1, 2ltrn1o 35571 . . . . . . 7
4135, 40syldan 470 . . . . . 6
42 f1of 5803 . . . . . 6
43 fcoi2 5747 . . . . . 6
4441, 42, 433syl 20 . . . . 5
4522adantr 465 . . . . . 6
4627adantr 465 . . . . . . 7
4737, 46eleqtrrd 2532 . . . . . 6
4823, 11, 24grplid 15951 . . . . . 6
4945, 47, 48syl2anc 661 . . . . 5
5044, 49opeq12d 4207 . . . 4
5139, 50eqtrd 2482 . . 3
52 1st2nd2 6819 . . . . 5
5352adantl 466 . . . 4
5453oveq2d 6294 . . 3
5551, 54, 533eqtr4d 2492 . 2
561, 2ltrncnv 35593 . . . 4
5735, 56syldan 470 . . 3
58 dvhgrp.i . . . . . 6
5923, 58grpinvcl 15966 . . . . 5
6045, 47, 59syl2anc 661 . . . 4
6160, 46eleqtrd 2531 . . 3
62 opelxpi 5018 . . 3
6357, 61, 62syl2anc 661 . 2
6453oveq2d 6294 . . 3
651, 2, 3, 4, 10, 8, 11dvhopvadd 36543 . . . . 5
6631, 57, 61, 35, 37, 65syl122anc 1236 . . . 4
67 f1ococnv1 5831 . . . . . 6
6841, 67syl 16 . . . . 5
6923, 11, 24, 58grplinv 15967 . . . . . 6
7045, 47, 69syl2anc 661 . . . . 5
7168, 70opeq12d 4207 . . . 4
7266, 71eqtrd 2482 . . 3
7364, 72eqtrd 2482 . 2
747, 9, 13, 14, 30, 55, 63, 73isgrpd 15946 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1381   wcel 1802  cop 4017   cid 4777   cxp 4984  ccnv 4985   cres 4988   ccom 4990  wf 5571  wf1o 5574  cfv 5575  (class class class)co 6278  c1st 6780  c2nd 6781  cbs 14506   cplusg 14571  Scalarcsca 14574  c0g 14711  cgrp 15924  cminusg 15925  cdr 17267  chlt 34798  clh 35431  cltrn 35548  ctendo 36201  cedring 36202  cdvh 36528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 34407 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-tpos 6954  df-undef 7001  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fz 11679  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-0g 14713  df-preset 15428  df-poset 15446  df-plt 15459  df-lub 15475  df-glb 15476  df-join 15477  df-meet 15478  df-p0 15540  df-p1 15541  df-lat 15547  df-clat 15609  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-oppr 17143  df-dvdsr 17161  df-unit 17162  df-invr 17192  df-dvr 17203  df-drng 17269  df-oposet 34624  df-ol 34626  df-oml 34627  df-covers 34714  df-ats 34715  df-atl 34746  df-cvlat 34770  df-hlat 34799  df-llines 34945  df-lplanes 34946  df-lvols 34947  df-lines 34948  df-psubsp 34950  df-pmap 34951  df-padd 35243  df-lhyp 35435  df-laut 35436  df-ldil 35551  df-ltrn 35552  df-trl 35607  df-tendo 36204  df-edring 36206  df-dvech 36529 This theorem is referenced by:  dvhlveclem  36558
 Copyright terms: Public domain W3C validator