Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhfplusr Unicode version

Theorem dvhfplusr 31567
Description: Ring addition operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfplusr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhfplusr.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhfplusr.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhfplusr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhfplusr.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
dvhfplusr.p  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
dvhfplusr.s  |-  .+b  =  ( +g  `  F )
Assertion
Ref Expression
dvhfplusr  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  -> 
.+b  =  .+  )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, H    f, s,
t, K    f, V    f, W, s, t
Allowed substitution hints:    .+ ( t, f, s)    .+b ( t, f, s)    T( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    F( t, f, s)    H( t, s)    V( t, s)

Proof of Theorem dvhfplusr
StepHypRef Expression
1 dvhfplusr.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
3 dvhfplusr.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 dvhfplusr.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  U )
51, 2, 3, 4dvhsca 31565 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
65fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  F
)  =  ( +g  `  ( ( EDRing `  K
) `  W )
) )
7 dvhfplusr.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 dvhfplusr.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
9 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +g  `  ( ( EDRing `  K
) `  W )
)  =  ( +g  `  ( ( EDRing `  K
) `  W )
)
101, 7, 8, 2, 9erngfplus 31284 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  (
( EDRing `  K ) `  W ) )  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) )
116, 10eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  F
)  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) )
12 dvhfplusr.s . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  F )
13 dvhfplusr.p . 2  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
1411, 12, 133eqtr4g 2461 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  -> 
.+b  =  .+  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    e. cmpt 4226    o. ccom 4841   ` cfv 5413    e. cmpt2 6042   +g cplusg 13484  Scalarcsca 13487   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   TEndoctendo 31234   EDRingcedring 31235   DVecHcdvh 31561
This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  31577  dvhvaddcl  31578  dvhvaddcomN  31579  dvh0g  31594  diblss  31653  diblsmopel  31654  dicvaddcl  31673  cdlemn6  31685  dihopelvalcpre  31731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-edring 31239  df-dvech 31562
  Copyright terms: Public domain W3C validator