Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhfplusr Structured version   Unicode version

Theorem dvhfplusr 34569
Description: Ring addition operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfplusr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhfplusr.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhfplusr.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhfplusr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhfplusr.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
dvhfplusr.p  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
dvhfplusr.s  |-  .+b  =  ( +g  `  F )
Assertion
Ref Expression
dvhfplusr  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  -> 
.+b  =  .+  )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, H    f, s,
t, K    f, V    f, W, s, t
Allowed substitution hints:    .+ ( t, f, s)    .+b ( t, f, s)    T( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    F( t, f, s)    H( t, s)    V( t, s)

Proof of Theorem dvhfplusr
StepHypRef Expression
1 dvhfplusr.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
3 dvhfplusr.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 dvhfplusr.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  U )
51, 2, 3, 4dvhsca 34567 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
65fveq2d 5690 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  F
)  =  ( +g  `  ( ( EDRing `  K
) `  W )
) )
7 dvhfplusr.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 dvhfplusr.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
9 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +g  `  ( ( EDRing `  K
) `  W )
)  =  ( +g  `  ( ( EDRing `  K
) `  W )
)
101, 7, 8, 2, 9erngfplus 34286 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  (
( EDRing `  K ) `  W ) )  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) )
116, 10eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  F
)  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) )
12 dvhfplusr.s . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  F )
13 dvhfplusr.p . 2  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
1411, 12, 133eqtr4g 2495 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  -> 
.+b  =  .+  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    e. cmpt 4345    o. ccom 4839   ` cfv 5413    e. cmpt2 6088   +g cplusg 14230  Scalarcsca 14233   LHypclh 33468   LTrncltrn 33585   TEndoctendo 34236   EDRingcedring 34237   DVecHcdvh 34563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-edring 34241  df-dvech 34564
This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  34579  dvhvaddcl  34580  dvhvaddcomN  34581  dvh0g  34596  diblss  34655  diblsmopel  34656  dicvaddcl  34675  cdlemn6  34687  dihopelvalcpre  34733
  Copyright terms: Public domain W3C validator