Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhfplusr Structured version   Unicode version

Theorem dvhfplusr 34323
Description: Ring addition operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfplusr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhfplusr.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhfplusr.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhfplusr.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhfplusr.f  |-  F  =  (Scalar `  U )
dvhfplusr.p  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
dvhfplusr.s  |-  .+b  =  ( +g  `  F )
Assertion
Ref Expression
dvhfplusr  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  -> 
.+b  =  .+  )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, H    f, s,
t, K    f, V    f, W, s, t
Allowed substitution hints:    .+ ( t, f, s)    .+b ( t, f, s)    T( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    F( t, f, s)    H( t, s)    V( t, s)

Proof of Theorem dvhfplusr
StepHypRef Expression
1 dvhfplusr.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
3 dvhfplusr.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 dvhfplusr.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  U )
51, 2, 3, 4dvhsca 34321 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( (
EDRing `  K ) `  W ) )
65fveq2d 5683 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  F
)  =  ( +g  `  ( ( EDRing `  K
) `  W )
) )
7 dvhfplusr.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 dvhfplusr.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
9 eqid 2433 . . . 4  |-  ( +g  `  ( ( EDRing `  K
) `  W )
)  =  ( +g  `  ( ( EDRing `  K
) `  W )
)
101, 7, 8, 2, 9erngfplus 34040 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  (
( EDRing `  K ) `  W ) )  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) ) )
116, 10eqtrd 2465 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  F
)  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  ( t `  f ) ) ) ) )
12 dvhfplusr.s . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  F )
13 dvhfplusr.p . 2  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
1411, 12, 133eqtr4g 2490 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  -> 
.+b  =  .+  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    e. cmpt 4338    o. ccom 4831   ` cfv 5406    e. cmpt2 6082   +g cplusg 14221  Scalarcsca 14224   LHypclh 33222   LTrncltrn 33339   TEndoctendo 33990   EDRingcedring 33991   DVecHcdvh 34317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-edring 33995  df-dvech 34318
This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  34333  dvhvaddcl  34334  dvhvaddcomN  34335  dvh0g  34350  diblss  34409  diblsmopel  34410  dicvaddcl  34429  cdlemn6  34441  dihopelvalcpre  34487
  Copyright terms: Public domain W3C validator