Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimlem Structured version   Unicode version

Theorem dvh4dimlem 37045
Description: Lemma for dvh4dimN 37049. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh4dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvhdim.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
dvh4dim.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dvh4dim.x  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
dvh4dimlem.y  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
dvh4dimlem.z  |-  ( ph  ->  Z  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
dvh4dimlem  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Distinct variable groups:    z, N    z,  .0.    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh4dimlem
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
4 eqid 2443 . . 3  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
5 dvh3dim.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh3dim.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 dvh3dim.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 dvh4dim.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
91, 2, 5dvhlmod 36712 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 dvh4dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
12 eldifsn 4140 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  V  /\  X  =/= 
.0.  ) )
1310, 11, 12sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
146, 7, 8, 4, 9, 13lsatlspsn 34593 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U ) )
15 dvh4dim.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
16 dvh4dimlem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
17 eldifsn 4140 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( Y  e.  V  /\  Y  =/= 
.0.  ) )
1815, 16, 17sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
196, 7, 8, 4, 9, 18lsatlspsn 34593 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (LSAtoms `  U ) )
20 dvhdim.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
21 dvh4dimlem.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  =/=  .0.  )
22 eldifsn 4140 . . . . 5  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( Z  e.  V  /\  Z  =/= 
.0.  ) )
2320, 21, 22sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
246, 7, 8, 4, 9, 23lsatlspsn 34593 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (LSAtoms `  U ) )
251, 2, 3, 4, 5, 14, 19, 24dvh4dimat 37040 . 2  |-  ( ph  ->  E. p  e.  (LSAtoms `  U )  -.  p  C_  ( ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  U
) ( N `  { Y } ) ) ( LSSum `  U )
( N `  { Z } ) ) )
2693ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U )  /\  -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) ) )  ->  U  e.  LMod )
27 simp2 998 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U )  /\  -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) ) )  ->  p  e.  (LSAtoms `  U
) )
286, 7, 4islsati 34594 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  p  e.  (LSAtoms `  U )
)  ->  E. z  e.  V  p  =  ( N `  { z } ) )
2926, 27, 28syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U )  /\  -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) ) )  ->  E. z  e.  V  p  =  ( N `  { z } ) )
30 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  p  =  ( N `  { z } ) )
3193ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  U  e.  LMod )
32103ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  X  e.  V )
33153ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  Y  e.  V )
346, 7, 3, 31, 32, 33lsmpr 17714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { Y } ) ) )
3534oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  (
( N `  { X ,  Y }
) ( LSSum `  U
) ( N `  { Z } ) )  =  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) ) )
36 prssi 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
3710, 15, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
38373ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V
)
3920snssd 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { Z }  C_  V )
40393ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  { Z }  C_  V )
416, 7, 3lsmsp2 17712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V  /\  { Z }  C_  V )  -> 
( ( N `  { X ,  Y }
) ( LSSum `  U
) ( N `  { Z } ) )  =  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) ) )
4231, 38, 40, 41syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  (
( N `  { X ,  Y }
) ( LSSum `  U
) ( N `  { Z } ) )  =  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) ) )
4335, 42eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  (
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { Y } ) ) (
LSSum `  U ) ( N `  { Z } ) )  =  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) ) )
4430, 43sseq12d 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  (
p  C_  ( (
( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) )  <->  ( N `  { z } ) 
C_  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) ) ) )
45 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4637, 39unssd 3665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )  C_  V
)
476, 45, 7lspcl 17601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) 
C_  V )  -> 
( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  U ) )
489, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  U ) )
49483ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  U ) )
50 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  z  e.  V )
516, 45, 7, 31, 49, 50lspsnel5 17620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  (
z  e.  ( N `
 ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )  <->  ( N `  { z } ) 
C_  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) ) ) )
5244, 51bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  (
p  C_  ( (
( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) )  <->  z  e.  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) ) ) )
53 df-tp 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
5453fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
)  =  ( N `
 ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
5554eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } )  <->  z  e.  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) ) )
5652, 55syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  (
p  C_  ( (
( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) )  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
5756notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5857biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( N `  { z } )  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
59583exp 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( p  =  ( N `  { z } )  ->  (
z  e.  V  -> 
( -.  p  C_  ( ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  U
) ( N `  { Y } ) ) ( LSSum `  U )
( N `  { Z } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) ) ) )
6059com24 87 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  p  C_  ( ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  U
) ( N `  { Y } ) ) ( LSSum `  U )
( N `  { Z } ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( p  =  ( N `  { z } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) ) ) )
6160a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (LSAtoms `  U )  ->  ( -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) )  ->  (
z  e.  V  -> 
( p  =  ( N `  { z } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) ) ) ) )
62613imp 1191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U )  /\  -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( p  =  ( N `  { z } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) ) )
6362reximdvai 2915 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U )  /\  -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) ) )  -> 
( E. z  e.  V  p  =  ( N `  { z } )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
6429, 63mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U )  /\  -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
6564rexlimdv3a 2937 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. p  e.  (LSAtoms `  U )  -.  p  C_  ( ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Z }
) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
6625, 65mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   {csn 4014   {cpr 4016   {ctp 4018   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   0gc0g 14819   LSSumclsm 16633   LModclmod 17491   LSubSpclss 17557   LSpanclspn 17596  LSAtomsclsa 34574   HLchlt 34950   LHypclh 35583   DVecHcdvh 36680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-0g 14821  df-preset 15536  df-poset 15554  df-plt 15567  df-lub 15583  df-glb 15584  df-join 15585  df-meet 15586  df-p0 15648  df-p1 15649  df-lat 15655  df-clat 15717  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-lsm 16635  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-drng 17377  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-lsp 17597  df-lvec 17728  df-lsatoms 34576  df-oposet 34776  df-ol 34778  df-oml 34779  df-covers 34866  df-ats 34867  df-atl 34898  df-cvlat 34922  df-hlat 34951  df-llines 35097  df-lplanes 35098  df-lvols 35099  df-lines 35100  df-psubsp 35102  df-pmap 35103  df-padd 35395  df-lhyp 35587  df-laut 35588  df-ldil 35703  df-ltrn 35704  df-trl 35759  df-tgrp 36344  df-tendo 36356  df-edring 36358  df-dveca 36604  df-disoa 36631  df-dvech 36681  df-dib 36741  df-dic 36775  df-dih 36831  df-doch 36950  df-djh 36997
This theorem is referenced by:  dvhdimlem  37046  dvh4dimN  37049
  Copyright terms: Public domain W3C validator