Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimN Structured version   Unicode version

Theorem dvh4dimN 37571
Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvh3dim2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh4dimN  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh4dimN
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh3dim.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 dvh3dim2.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 37570 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
98adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
10 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
111, 2, 5dvhlmod 37234 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 prssi 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
136, 7, 12syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
143, 10, 4, 11, 13lspun0 17852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
15 tpeq1 4104 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z } )
16 tprot 4111 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z }  =  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }
17 df-tp 4021 . . . . . . . . . 10  |-  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { Y ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
1816, 17eqtr2i 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { ( 0g
`  U ) ,  Y ,  Z }
1915, 18syl6reqr 2514 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
2019fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
2114, 20sylan9req 2516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { Y ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
2221eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
2322notbid 292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
2423rexbidv 2965 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
259, 24mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
26 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 37570 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
2827adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )
29 prssi 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { X ,  Z }  C_  V )
3026, 7, 29syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Z }  C_  V )
313, 10, 4, 11, 30lspun0 17852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Z } ) )
32 tpeq2 4105 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  ( 0g `  U ) ,  Z } )
33 df-tp 4021 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
34 tpcomb 4113 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3533, 34eqtr3i 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3632, 35syl6reqr 2514 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
3736fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
3831, 37sylan9req 2516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
3938eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
4039notbid 292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4140rexbidv 2965 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4228, 41mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
431, 2, 3, 4, 5, 26, 6dvh3dim 37570 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
4443adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
45 prssi 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
4626, 6, 45syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
473, 10, 4, 11, 46lspun0 17852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y } ) )
48 tpeq3 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  Y ,  ( 0g `  U ) } )
49 df-tp 4021 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Y }  u.  {
( 0g `  U
) } )
5048, 49syl6req 2512 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
5150fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
5247, 51sylan9req 2516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
5352eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
5453notbid 292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5554rexbidv 2965 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5644, 55mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
575adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5826adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  V )
596adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  V )
607adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  e.  V )
61 simpr1 1000 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U ) )
62 simpr2 1001 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U ) )
63 simpr3 1002 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  U ) )
641, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63dvh4dimlem 37567 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
6525, 42, 56, 64pm2.61da3ne 2774 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805    u. cun 3459    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   {ctp 4020   ` cfv 5570   Basecbs 14716   0gc0g 14929   LSpanclspn 17812   HLchlt 35472   LHypclh 36105   DVecHcdvh 37202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-lsatoms 35098  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tgrp 36866  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-dveca 37126  df-disoa 37153  df-dvech 37203  df-dib 37263  df-dic 37297  df-dih 37353  df-doch 37472  df-djh 37519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator