Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimN Structured version   Unicode version

Theorem dvh4dimN 34978
Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvh3dim2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh4dimN  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh4dimN
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh3dim.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 dvh3dim2.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 34977 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
98adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
10 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
111, 2, 5dvhlmod 34641 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 prssi 4154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
136, 7, 12syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
143, 10, 4, 11, 13lspun0 18227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
15 tpeq1 4086 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z } )
16 tprot 4093 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z }  =  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }
17 df-tp 4002 . . . . . . . . . 10  |-  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { Y ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
1816, 17eqtr2i 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { ( 0g
`  U ) ,  Y ,  Z }
1915, 18syl6reqr 2483 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
2019fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
2114, 20sylan9req 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { Y ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
2221eleq2d 2493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
2322notbid 296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
2423rexbidv 2940 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
259, 24mpbid 214 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
26 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 34977 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
2827adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )
29 prssi 4154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { X ,  Z }  C_  V )
3026, 7, 29syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Z }  C_  V )
313, 10, 4, 11, 30lspun0 18227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Z } ) )
32 tpeq2 4087 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  ( 0g `  U ) ,  Z } )
33 df-tp 4002 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
34 tpcomb 4095 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3533, 34eqtr3i 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3632, 35syl6reqr 2483 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
3736fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
3831, 37sylan9req 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
3938eleq2d 2493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
4039notbid 296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4140rexbidv 2940 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4228, 41mpbid 214 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
431, 2, 3, 4, 5, 26, 6dvh3dim 34977 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
4443adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
45 prssi 4154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
4626, 6, 45syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
473, 10, 4, 11, 46lspun0 18227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y } ) )
48 tpeq3 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  Y ,  ( 0g `  U ) } )
49 df-tp 4002 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Y }  u.  {
( 0g `  U
) } )
5048, 49syl6req 2481 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
5150fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
5247, 51sylan9req 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
5352eleq2d 2493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
5453notbid 296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5554rexbidv 2940 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5644, 55mpbid 214 . 2  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
575adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5826adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  V )
596adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  V )
607adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  e.  V )
61 simpr1 1012 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U ) )
62 simpr2 1013 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U ) )
63 simpr3 1014 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  U ) )
641, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63dvh4dimlem 34974 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
6525, 42, 56, 64pm2.61da3ne 2745 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   E.wrex 2777    u. cun 3435    C_ wss 3437   {csn 3997   {cpr 3999   {ctp 4001   ` cfv 5599   Basecbs 15114   0gc0g 15331   LSpanclspn 18187   HLchlt 32879   LHypclh 33512   DVecHcdvh 34609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-riotaBAD 32488
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-tpos 6979  df-undef 7026  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-0g 15333  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-p1 16279  df-lat 16285  df-clat 16347  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-lsm 17281  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-drng 17970  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lvec 18319  df-lsatoms 32505  df-oposet 32705  df-ol 32707  df-oml 32708  df-covers 32795  df-ats 32796  df-atl 32827  df-cvlat 32851  df-hlat 32880  df-llines 33026  df-lplanes 33027  df-lvols 33028  df-lines 33029  df-psubsp 33031  df-pmap 33032  df-padd 33324  df-lhyp 33516  df-laut 33517  df-ldil 33632  df-ltrn 33633  df-trl 33688  df-tgrp 34273  df-tendo 34285  df-edring 34287  df-dveca 34533  df-disoa 34560  df-dvech 34610  df-dib 34670  df-dic 34704  df-dih 34760  df-doch 34879  df-djh 34926
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator