Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimN Structured version   Unicode version

Theorem dvh4dimN 35400
Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvh3dim2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh4dimN  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh4dimN
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh3dim.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 dvh3dim2.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 35399 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
98adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
10 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
111, 2, 5dvhlmod 35063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 prssi 4129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
136, 7, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
143, 10, 4, 11, 13lspun0 17200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
15 tpeq1 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z } )
16 tprot 4070 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z }  =  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }
17 df-tp 3982 . . . . . . . . . 10  |-  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { Y ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
1816, 17eqtr2i 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { ( 0g
`  U ) ,  Y ,  Z }
1915, 18syl6reqr 2511 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
2019fveq2d 5795 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
2114, 20sylan9req 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { Y ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
2221eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
2322notbid 294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
2423rexbidv 2848 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
259, 24mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
26 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 35399 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
2827adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )
29 prssi 4129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { X ,  Z }  C_  V )
3026, 7, 29syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Z }  C_  V )
313, 10, 4, 11, 30lspun0 17200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Z } ) )
32 tpeq2 4064 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  ( 0g `  U ) ,  Z } )
33 df-tp 3982 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
34 tpcomb 4072 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3533, 34eqtr3i 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3632, 35syl6reqr 2511 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
3736fveq2d 5795 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
3831, 37sylan9req 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
3938eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
4039notbid 294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4140rexbidv 2848 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4228, 41mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
431, 2, 3, 4, 5, 26, 6dvh3dim 35399 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
4443adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
45 prssi 4129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
4626, 6, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
473, 10, 4, 11, 46lspun0 17200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y } ) )
48 tpeq3 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  Y ,  ( 0g `  U ) } )
49 df-tp 3982 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Y }  u.  {
( 0g `  U
) } )
5048, 49syl6req 2509 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
5150fveq2d 5795 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
5247, 51sylan9req 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
5352eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
5453notbid 294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5554rexbidv 2848 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5644, 55mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
575adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5826adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  V )
596adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  V )
607adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  e.  V )
61 simpr1 994 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U ) )
62 simpr2 995 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U ) )
63 simpr3 996 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  U ) )
641, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63dvh4dimlem 35396 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
6525, 42, 56, 64pm2.61da3ne 2768 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796    u. cun 3426    C_ wss 3428   {csn 3977   {cpr 3979   {ctp 3981   ` cfv 5518   Basecbs 14278   0gc0g 14482   LSpanclspn 17160   HLchlt 33303   LHypclh 33936   DVecHcdvh 35031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-undef 6894  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-0g 14484  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-cntz 15939  df-lsm 16241  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-drng 16942  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161  df-lvec 17292  df-lsatoms 32929  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tgrp 34695  df-tendo 34707  df-edring 34709  df-dveca 34955  df-disoa 34982  df-dvech 35032  df-dib 35092  df-dic 35126  df-dih 35182  df-doch 35301  df-djh 35348
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator