Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim3N Structured version   Unicode version

Theorem dvh3dim3N 34449
 Description: There is a vector that is outside of 2 spans. TODO: decide to use either this or dvh3dim2 34448 everywhere. If this one is needed, make dvh3dim2 34448 into a lemma. (Contributed by NM, 21-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h
dvh3dim.u
dvh3dim.v
dvh3dim.n
dvh3dim.k
dvh3dim.x
dvh3dim.y
dvh3dim2.z
dvh3dim3.t
Assertion
Ref Expression
dvh3dim3N
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvh3dim3N
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5
2 dvh3dim.n . . . . 5
3 dvh3dim.h . . . . . . 7
4 dvh3dim.u . . . . . . 7
5 dvh3dim.k . . . . . . 7
63, 4, 5dvhlmod 34110 . . . . . 6
76adantr 463 . . . . 5
8 dvh3dim.v . . . . . . 7
9 dvh3dim2.z . . . . . . 7
10 dvh3dim3.t . . . . . . 7
118, 1, 2, 6, 9, 10lspprcl 17942 . . . . . 6
1211adantr 463 . . . . 5
13 simpr 459 . . . . 5
148, 2, 6, 9, 10lspprid2 17962 . . . . . 6
1514adantr 463 . . . . 5
161, 2, 7, 12, 13, 15lspprss 17956 . . . 4
17 sspss 3541 . . . 4
1816, 17sylib 196 . . 3
193, 4, 5dvhlvec 34109 . . . . . . 7
2019adantr 463 . . . . . 6
21 dvh3dim.y . . . . . . . 8
228, 1, 2, 6, 21, 10lspprcl 17942 . . . . . . 7
2322adantr 463 . . . . . 6
249adantr 463 . . . . . 6
2510adantr 463 . . . . . 6
26 simpr 459 . . . . . 6
278, 1, 2, 20, 23, 24, 25, 26lspprat 18117 . . . . 5
2853ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
29 simp2 998 . . . . . . . . 9
30 dvh3dim.x . . . . . . . . . 10
31303ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
3293ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
333, 4, 8, 2, 28, 29, 31, 32dvh3dim2 34448 . . . . . . . 8
3463ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15
351lsssssubg 17922 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
378, 1, 2lspsncl 17941 . . . . . . . . . . . . . . . 16
386, 30, 37syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15
39383ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . 14
4036, 39sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
418, 1, 2lspsncl 17941 . . . . . . . . . . . . . . 15
4234, 29, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14
4336, 42sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
44 prssi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4521, 10, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 snsspr1 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
488, 2lspss 17948 . . . . . . . . . . . . . . . 16
496, 45, 47, 48syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15
50493ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . 14
51 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . 14
5250, 51sseqtrd 3477 . . . . . . . . . . . . 13
53 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14
5453lsmless2 17002 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp
5540, 43, 52, 54syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12
568, 2, 53, 6, 30, 21lsmpr 18053 . . . . . . . . . . . . 13
57563ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12
58 prcom 4049 . . . . . . . . . . . . . 14
5958fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . 13
608, 2, 53, 34, 31, 29lsmpr 18053 . . . . . . . . . . . . 13
6159, 60syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . 12
6255, 57, 613sstr4d 3484 . . . . . . . . . . 11
6362ssneld 3443 . . . . . . . . . 10
648, 1, 2lspsncl 17941 . . . . . . . . . . . . . . . 16
656, 9, 64syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15
66653ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . 14
6736, 66sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
68 snsspr2 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
708, 2lspss 17948 . . . . . . . . . . . . . . . 16
716, 45, 69, 70syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15
72713ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . 14
7372, 51sseqtrd 3477 . . . . . . . . . . . . 13
7453lsmless2 17002 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp
7567, 43, 73, 74syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12
768, 2, 53, 6, 9, 10lsmpr 18053 . . . . . . . . . . . . 13
77763ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12
78 prcom 4049 . . . . . . . . . . . . . 14
7978fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . 13
808, 2, 53, 34, 32, 29lsmpr 18053 . . . . . . . . . . . . 13
8179, 80syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . 12
8275, 77, 813sstr4d 3484 . . . . . . . . . . 11
8382ssneld 3443 . . . . . . . . . 10
8463, 83anim12d 561 . . . . . . . . 9
8584reximdv 2877 . . . . . . . 8
8633, 85mpd 15 . . . . . . 7
8786rexlimdv3a 2897 . . . . . 6
8887adantr 463 . . . . 5
8927, 88mpd 15 . . . 4
903, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 34448 . . . . . 6
9190adantr 463 . . . . 5
92 simpr 459 . . . . . . 7
93 prcom 4049 . . . . . . . . . . . 12
9493fveq2i 5851 . . . . . . . . . . 11
9594eleq2i 2480 . . . . . . . . . 10
9695notbii 294 . . . . . . . . 9
9796a1i 11 . . . . . . . 8
98 eleq2 2475 . . . . . . . . 9
9998notbid 292 . . . . . . . 8
10097, 99anbi12d 709 . . . . . . 7
10192, 100syl 17 . . . . . 6
102101rexbidv 2917 . . . . 5
10391, 102mpbid 210 . . . 4
10489, 103jaodan 786 . . 3
10518, 104syldan 468 . 2
1063, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 34448 . . . 4
108 simpl1l 1048 . . . . . . . 8
109108, 6syl 17 . . . . . . 7
110 simpl2 1001 . . . . . . 7
111108, 21syl 17 . . . . . . 7
112 eqid 2402 . . . . . . . 8
1138, 112lmodvacl 17844 . . . . . . 7
114109, 110, 111, 113syl3anc 1230 . . . . . 6
1158, 1, 2, 6, 30, 21lspprcl 17942 . . . . . . . 8
116108, 115syl 17 . . . . . . 7
1178, 2, 6, 30, 21lspprid2 17962 . . . . . . . 8
118108, 117syl 17 . . . . . . 7
119 simpl3l 1052 . . . . . . . 8
12094eleq2i 2480 . . . . . . . 8
121119, 120sylnib 302 . . . . . . 7
1228, 112, 1, 109, 116, 118, 110, 121lssvancl2 17910 . . . . . 6
123108, 11syl 17 . . . . . . 7
124 simpr 459 . . . . . . 7
125 simpl1r 1049 . . . . . . 7
1268, 112, 1, 109, 123, 124, 111, 125lssvancl1 17909 . . . . . 6
127 eleq1 2474 . . . . . . . . 9
128127notbid 292 . . . . . . . 8
129 eleq1 2474 . . . . . . . . 9
130129notbid 292 . . . . . . . 8
131128, 130anbi12d 709 . . . . . . 7
132131rspcev 3159 . . . . . 6
133114, 122, 126, 132syl12anc 1228 . . . . 5
134 simpl2 1001 . . . . . 6
135 simpl3l 1052 . . . . . . 7
136135, 120sylnib 302 . . . . . 6
137 simpr 459 . . . . . 6
138 eleq1 2474 . . . . . . . . 9
139138notbid 292 . . . . . . . 8
140 eleq1 2474 . . . . . . . . 9
141140notbid 292 . . . . . . . 8
142139, 141anbi12d 709 . . . . . . 7
143142rspcev 3159 . . . . . 6
144134, 136, 137, 143syl12anc 1228 . . . . 5
145133, 144pm2.61dan 792 . . . 4
146145rexlimdv3a 2897 . . 3
147107, 146mpd 15 . 2
148105, 147pm2.61dan 792 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wrex 2754   wss 3413   wpss 3414  csn 3971  cpr 3973  cfv 5568  (class class class)co 6277  cbs 14839   cplusg 14907  SubGrpcsubg 16517  clsm 16976  clmod 17830  clss 17896  clspn 17935  clvec 18066  chlt 32348  clh 32981  cdvh 34078 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067  df-lsatoms 31974  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tgrp 33742  df-tendo 33754  df-edring 33756  df-dveca 34002  df-disoa 34029  df-dvech 34079  df-dib 34139  df-dic 34173  df-dih 34229  df-doch 34348  df-djh 34395 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator