Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim Structured version   Unicode version

Theorem dvh3dim 36118
Description: There is a vector that is outside the span of 2 others. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh3dim  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh3dim
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh3dim.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
71, 2, 3, 4, 5, 6dvh2dim 36117 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y } ) )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y } ) )
9 prcom 4098 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
10 preq2 4100 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { Y ,  X }  =  { Y ,  ( 0g `  U ) } )
119, 10syl5eq 2513 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y }  =  { Y ,  ( 0g `  U ) } )
1211fveq2d 5861 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  ( 0g `  U ) } ) )
13 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
141, 2, 5dvhlmod 35782 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
153, 13, 4, 14, 6lsppr0 17514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( 0g `  U ) } )  =  ( N `  { Y } ) )
1612, 15sylan9eqr 2523 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y } ) )
1716eleq2d 2530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  z  e.  ( N `  { Y } ) ) )
1817notbid 294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { Y } ) ) )
1918rexbidv 2966 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y } ) ) )
208, 19mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
21 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
221, 2, 3, 4, 5, 21dvh2dim 36117 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
2322adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
24 preq2 4100 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y }  =  { X ,  ( 0g `  U ) } )
2524fveq2d 5861 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X ,  ( 0g `  U ) } ) )
263, 13, 4, 14, 21lsppr0 17514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  ( 0g `  U ) } )  =  ( N `  { X } ) )
2725, 26sylan9eqr 2523 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X } ) )
2827eleq2d 2530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  z  e.  ( N `  { X } ) ) )
2928notbid 294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) ) )
3029rexbidv 2966 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) ) )
3123, 30mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
325adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3321adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  V )
346adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  V )
35 simprl 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
36 simprr 756 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U
) )
371, 2, 3, 4, 32, 33, 34, 13, 35, 36dvhdimlem 36116 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
3820, 31, 37pm2.61da2ne 2779 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808   {csn 4020   {cpr 4022   ` cfv 5579   Basecbs 14479   0gc0g 14684   LSpanclspn 17393   HLchlt 34022   LHypclh 34655   DVecHcdvh 35750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  36119  dvh3dim2  36120  mapdh6iN  36416  mapdh8e  36456  mapdh9a  36462  mapdh9aOLDN  36463  hdmap1l6i  36491  hdmapval0  36508  hdmapval3N  36513  hdmap10lem  36514  hdmap11lem2  36517  hdmap14lem11  36553
  Copyright terms: Public domain W3C validator