Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim Structured version   Unicode version

Theorem dvh3dim 37589
Description: There is a vector that is outside the span of 2 others. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh3dim  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh3dim
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh3dim.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
71, 2, 3, 4, 5, 6dvh2dim 37588 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y } ) )
87adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y } ) )
9 prcom 4094 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
10 preq2 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { Y ,  X }  =  { Y ,  ( 0g `  U ) } )
119, 10syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y }  =  { Y ,  ( 0g `  U ) } )
1211fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  ( 0g `  U ) } ) )
13 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
141, 2, 5dvhlmod 37253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
153, 13, 4, 14, 6lsppr0 17936 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( 0g `  U ) } )  =  ( N `  { Y } ) )
1612, 15sylan9eqr 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y } ) )
1716eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  z  e.  ( N `  { Y } ) ) )
1817notbid 292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { Y } ) ) )
1918rexbidv 2965 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y } ) ) )
208, 19mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
21 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
221, 2, 3, 4, 5, 21dvh2dim 37588 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
2322adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
24 preq2 4096 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y }  =  { X ,  ( 0g `  U ) } )
2524fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X ,  ( 0g `  U ) } ) )
263, 13, 4, 14, 21lsppr0 17936 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  ( 0g `  U ) } )  =  ( N `  { X } ) )
2725, 26sylan9eqr 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X } ) )
2827eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  z  e.  ( N `  { X } ) ) )
2928notbid 292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) ) )
3029rexbidv 2965 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) ) )
3123, 30mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
325adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3321adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  V )
346adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  V )
35 simprl 754 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
36 simprr 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U
) )
371, 2, 3, 4, 32, 33, 34, 13, 35, 36dvhdimlem 37587 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
3820, 31, 37pm2.61da2ne 2773 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   {csn 4016   {cpr 4018   ` cfv 5570   Basecbs 14719   0gc0g 14932   LSpanclspn 17815   HLchlt 35491   LHypclh 36124   DVecHcdvh 37221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35100
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-0g 14934  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-lub 15806  df-glb 15807  df-join 15808  df-meet 15809  df-p0 15871  df-p1 15872  df-lat 15878  df-clat 15940  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-cntz 16557  df-lsm 16858  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-lvec 17947  df-lsatoms 35117  df-oposet 35317  df-ol 35319  df-oml 35320  df-covers 35407  df-ats 35408  df-atl 35439  df-cvlat 35463  df-hlat 35492  df-llines 35638  df-lplanes 35639  df-lvols 35640  df-lines 35641  df-psubsp 35643  df-pmap 35644  df-padd 35936  df-lhyp 36128  df-laut 36129  df-ldil 36244  df-ltrn 36245  df-trl 36300  df-tgrp 36885  df-tendo 36897  df-edring 36899  df-dveca 37145  df-disoa 37172  df-dvech 37222  df-dib 37282  df-dic 37316  df-dih 37372  df-doch 37491  df-djh 37538
This theorem is referenced by:  dvh4dimN  37590  dvh3dim2  37591  mapdh6iN  37887  mapdh8e  37927  mapdh9a  37933  mapdh9aOLDN  37934  hdmap1l6i  37962  hdmapval0  37979  hdmapval3N  37984  hdmap10lem  37985  hdmap11lem2  37988  hdmap14lem11  38024
  Copyright terms: Public domain W3C validator