Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh2dim Structured version   Unicode version

Theorem dvh2dim 36119
Description: There is a vector that is outside the span of another. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh2dim  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh2dim
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 36116 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  z  =/=  ( 0g `  U ) )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  z  =/=  ( 0g `  U ) )
8 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  X  =  ( 0g `  U ) )
98sneqd 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  { X }  =  { ( 0g `  U ) } )
109fveq2d 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( 0g `  U ) } ) )
111, 2, 5dvhlmod 35784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 dvh3dim.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  U )
134, 12lspsn0 17432 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( N `
 { ( 0g
`  U ) } )  =  { ( 0g `  U ) } )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( 0g `  U
) } )  =  { ( 0g `  U ) } )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { ( 0g `  U ) } )  =  { ( 0g
`  U ) } )
1610, 15eqtrd 2503 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X } )  =  { ( 0g
`  U ) } )
1716eleq2d 2532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X } )  <->  z  e.  { ( 0g `  U
) } ) )
18 elsn 4036 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { ( 0g
`  U ) }  <-> 
z  =  ( 0g
`  U ) )
1917, 18syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X } )  <->  z  =  ( 0g `  U ) ) )
2019necon3bbid 2709 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  <-> 
z  =/=  ( 0g
`  U ) ) )
2120rexbidv 2968 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } )  <->  E. z  e.  V  z  =/=  ( 0g `  U ) ) )
227, 21mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
235adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
24 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  X  e.  V )
26 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U ) )
271, 2, 3, 12, 23, 25, 25, 4, 26, 26dvhdimlem 36118 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  X }
) )
28 dfsn2 4035 . . . . . . 7  |-  { X }  =  { X ,  X }
2928fveq2i 5862 . . . . . 6  |-  ( N `
 { X }
)  =  ( N `
 { X ,  X } )
3029eleq2i 2540 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( N `  { X } )  <->  z  e.  ( N `  { X ,  X } ) )
3130notbii 296 . . . 4  |-  ( -.  z  e.  ( N `
 { X }
)  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  X } ) )
3231rexbii 2960 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  X } ) )
3327, 32sylibr 212 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
3422, 33pm2.61dane 2780 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   E.wrex 2810   {csn 4022   {cpr 4024   ` cfv 5581   Basecbs 14481   0gc0g 14686   LModclmod 17290   LSpanclspn 17395   HLchlt 34024   LHypclh 34657   DVecHcdvh 35752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-riotaBAD 33633
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-0g 14688  df-poset 15424  df-plt 15436  df-lub 15452  df-glb 15453  df-join 15454  df-meet 15455  df-p0 15517  df-p1 15518  df-lat 15524  df-clat 15586  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-lsm 16447  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-drng 17176  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-lvec 17527  df-lsatoms 33650  df-oposet 33850  df-ol 33852  df-oml 33853  df-covers 33940  df-ats 33941  df-atl 33972  df-cvlat 33996  df-hlat 34025  df-llines 34171  df-lplanes 34172  df-lvols 34173  df-lines 34174  df-psubsp 34176  df-pmap 34177  df-padd 34469  df-lhyp 34661  df-laut 34662  df-ldil 34777  df-ltrn 34778  df-trl 34832  df-tgrp 35416  df-tendo 35428  df-edring 35430  df-dveca 35676  df-disoa 35703  df-dvech 35753  df-dib 35813  df-dic 35847  df-dih 35903  df-doch 36022  df-djh 36069
This theorem is referenced by:  dvh3dim  36120  dochsnnz  36124  hdmapevec  36512  hdmaprnlem15N  36538
  Copyright terms: Public domain W3C validator