Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh1dim Structured version   Unicode version

Theorem dvh1dim 34660
Description: There exists a nonzero vector. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh1dim.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dvh1dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvh1dim  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  z  =/=  .0.  )
Distinct variable groups:    z,  .0.    z, U    z, V    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh1dim
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 eqid 2433 . . 3  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
4 dvh1dim.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
51, 2, 3, 4dvh1dimat 34659 . 2  |-  ( ph  ->  E. p  p  e.  (LSAtoms `  U )
)
6 dvh1dim.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
71, 2, 4dvhlmod 34328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
87adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U ) )  ->  U  e.  LMod )
9 simpr 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U ) )  ->  p  e.  (LSAtoms `  U ) )
106, 3, 8, 9lsateln0 32213 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U ) )  ->  E. z  e.  p  z  =/=  .0.  )
11 dvh3dim.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
1211, 3, 8, 9lsatssv 32216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U ) )  ->  p  C_  V
)
1312sseld 3343 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U ) )  ->  ( z  e.  p  ->  z  e.  V ) )
1413anim1d 559 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U ) )  ->  ( ( z  e.  p  /\  z  =/=  .0.  )  ->  (
z  e.  V  /\  z  =/=  .0.  ) ) )
1514reximdv2 2815 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U ) )  ->  ( E. z  e.  p  z  =/=  .0.  ->  E. z  e.  V  z  =/=  .0.  ) )
1610, 15mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  p  e.  (LSAtoms `  U ) )  ->  E. z  e.  V  z  =/=  .0.  )
175, 16exlimddv 1691 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  z  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   E.wrex 2706   ` cfv 5406   Basecbs 14157   0gc0g 14361   LModclmod 16872  LSAtomsclsa 32192   HLchlt 32568   LHypclh 33201   DVecHcdvh 34296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-riotaBAD 32177
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-undef 6778  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-0g 14363  df-poset 15099  df-plt 15111  df-lub 15127  df-glb 15128  df-join 15129  df-meet 15130  df-p0 15192  df-p1 15193  df-lat 15199  df-clat 15261  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-subg 15658  df-cntz 15815  df-lsm 16115  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-dvr 16709  df-drng 16758  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-lsp 16975  df-lvec 17106  df-lsatoms 32194  df-oposet 32394  df-ol 32396  df-oml 32397  df-covers 32484  df-ats 32485  df-atl 32516  df-cvlat 32540  df-hlat 32569  df-llines 32715  df-lplanes 32716  df-lvols 32717  df-lines 32718  df-psubsp 32720  df-pmap 32721  df-padd 33013  df-lhyp 33205  df-laut 33206  df-ldil 33321  df-ltrn 33322  df-trl 33376  df-tendo 33972  df-edring 33974  df-disoa 34247  df-dvech 34297  df-dib 34357  df-dic 34391  df-dih 34447
This theorem is referenced by:  dvh2dim  34663  hdmap14lem14  35102  hgmapval0  35113  hgmapval1  35114  hgmapadd  35115  hgmapmul  35116  hgmaprnlem5N  35121  hgmap11  35123
  Copyright terms: Public domain W3C validator