Theorem dvh1dim 36239

Description: There exists a nonzero vector. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	|- H = ( LHyp ` K )
dvh3dim.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dvh3dim.v	|- V = ( Base ` U )
dvh1dim.o	|- .0. = ( 0g ` U )
dvh1dim.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
dvh1dim	|- ( ph -> E. z e. V z =/= .0. )

Distinct variable groups:   z, .0.   z, U   z, V   ph, z

Allowed substitution hints:   H( z)   K( z)   W( z)

Proof of Theorem dvh1dim

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		dvh3dim.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		eqid 2467	. . 3 |- (LSAtoms ` U ) = (LSAtoms ` U )
4		dvh1dim.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5	1, 2, 3, 4	dvh1dimat 36238	. 2 |- ( ph -> E. p p e. (LSAtoms ` U ) )
6		dvh1dim.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` U )
7	1, 2, 4	dvhlmod 35907	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
8	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> U e. LMod )
9		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> p e. (LSAtoms ` U ) )
10	6, 3, 8, 9	lsateln0 33792	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> E. z e. p z =/= .0. )
11		dvh3dim.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` U )
12	11, 3, 8, 9	lsatssv 33795	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> p C_ V )
13	12	sseld 3503	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> ( z e. p -> z e. V ) )
14	13	anim1d 564	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> ( ( z e. p /\ z =/= .0. ) -> ( z e. V /\ z =/= .0. ) ) )
15	14	reximdv2 2934	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> ( E. z e. p z =/= .0. -> E. z e. V z =/= .0. ) )
16	10, 15	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> E. z e. V z =/= .0. )
17	5, 16	exlimddv 1702	1 |- ( ph -> E. z e. V z =/= .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2815   ` cfv 5586   Basecbs 14486   0gc0g 14691   LModclmod 17295  LSAtomsclsa 33771   HLchlt 34147   LHypclh 34780   DVecHcdvh 35875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-0g 14693  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-lsm 16452  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-drng 17181  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-lvec 17532  df-lsatoms 33773  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026

This theorem is referenced by:  dvh2dim  36242  hdmap14lem14  36681  hgmapval0  36692  hgmapval1  36693  hgmapadd  36694  hgmapmul  36695  hgmaprnlem5N  36700  hgmap11  36702