Theorem dvh1dim 34660

Description: There exists a nonzero vector. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	|- H = ( LHyp ` K )
dvh3dim.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dvh3dim.v	|- V = ( Base ` U )
dvh1dim.o	|- .0. = ( 0g ` U )
dvh1dim.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
dvh1dim	|- ( ph -> E. z e. V z =/= .0. )

Distinct variable groups:   z, .0.   z, U   z, V   ph, z

Allowed substitution hints:   H( z)   K( z)   W( z)

Proof of Theorem dvh1dim

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		dvh3dim.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		eqid 2433	. . 3 |- (LSAtoms ` U ) = (LSAtoms ` U )
4		dvh1dim.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5	1, 2, 3, 4	dvh1dimat 34659	. 2 |- ( ph -> E. p p e. (LSAtoms ` U ) )
6		dvh1dim.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` U )
7	1, 2, 4	dvhlmod 34328	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
8	7	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> U e. LMod )
9		simpr 458	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> p e. (LSAtoms ` U ) )
10	6, 3, 8, 9	lsateln0 32213	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> E. z e. p z =/= .0. )
11		dvh3dim.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` U )
12	11, 3, 8, 9	lsatssv 32216	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> p C_ V )
13	12	sseld 3343	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> ( z e. p -> z e. V ) )
14	13	anim1d 559	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> ( ( z e. p /\ z =/= .0. ) -> ( z e. V /\ z =/= .0. ) ) )
15	14	reximdv2 2815	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> ( E. z e. p z =/= .0. -> E. z e. V z =/= .0. ) )
16	10, 15	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ p e. (LSAtoms ` U ) ) -> E. z e. V z =/= .0. )
17	5, 16	exlimddv 1691	1 |- ( ph -> E. z e. V z =/= .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   =/= wne 2596   E.wrex 2706   ` cfv 5406   Basecbs 14157   0gc0g 14361   LModclmod 16872  LSAtomsclsa 32192   HLchlt 32568   LHypclh 33201   DVecHcdvh 34296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-riotaBAD 32177

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-undef 6778  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-0g 14363  df-poset 15099  df-plt 15111  df-lub 15127  df-glb 15128  df-join 15129  df-meet 15130  df-p0 15192  df-p1 15193  df-lat 15199  df-clat 15261  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-subg 15658  df-cntz 15815  df-lsm 16115  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-dvr 16709  df-drng 16758  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-lsp 16975  df-lvec 17106  df-lsatoms 32194  df-oposet 32394  df-ol 32396  df-oml 32397  df-covers 32484  df-ats 32485  df-atl 32516  df-cvlat 32540  df-hlat 32569  df-llines 32715  df-lplanes 32716  df-lvols 32717  df-lines 32718  df-psubsp 32720  df-pmap 32721  df-padd 33013  df-lhyp 33205  df-laut 33206  df-ldil 33321  df-ltrn 33322  df-trl 33376  df-tendo 33972  df-edring 33974  df-disoa 34247  df-dvech 34297  df-dib 34357  df-dic 34391  df-dih 34447

This theorem is referenced by:  dvh2dim  34663  hdmap14lem14  35102  hgmapval0  35113  hgmapval1  35114  hgmapadd  35115  hgmapmul  35116  hgmaprnlem5N  35121  hgmap11  35123