MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvge0 Structured version   Unicode version

Theorem dvge0 22697
Description: A function on a closed interval with nonnegative derivative is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dvgt0.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dvgt0.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
dvge0.d  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> ( 0 [,) +oo )
)
dvge0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
dvge0.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
dvge0.l  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
Assertion
Ref Expression
dvge0  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  <_  ( F `  Y ) )

Proof of Theorem dvge0
StepHypRef Expression
1 dvge0.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
2 dvge0.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
3 dvgt0.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 dvgt0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 dvgt0.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
6 dvge0.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> ( 0 [,) +oo )
)
73, 4, 5, 6dvgt0lem1 22693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( A [,] B )  /\  Y  e.  ( A [,] B
) ) )  /\  X  <  Y )  -> 
( ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
87exp31 602 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( A [,] B
)  /\  Y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( X  <  Y  ->  ( (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
91, 2, 8mp2and 677 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  ( ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
109imp 427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
11 elrege0 11679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( ( ( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  /  ( Y  -  X ) ) ) )
1211simprbi 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  /  ( Y  -  X ) ) )
1310, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )
14 cncff 21687 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
155, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
1615, 2ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  e.  RR )
1715, 1ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
1816, 17resubcld 10027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  e.  RR )
1918adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  Y )  -  ( F `  X ) )  e.  RR )
20 iccssre 11658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
213, 4, 20syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2221, 2sseldd 3442 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2321, 1sseldd 3442 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
2422, 23resubcld 10027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
2524adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
2623, 22posdifd 10178 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
2726biimpa 482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
28 ge0div 10449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  <->  0  <_  ( (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) ) ) )
2919, 25, 27, 28syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  <->  0  <_  (
( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) ) )
3013, 29mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( ( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) ) )
3130ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  0  <_  ( ( F `  Y )  -  ( F `  X ) ) ) )
3216, 17subge0d 10181 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  <-> 
( F `  X
)  <_  ( F `  Y ) ) )
3331, 32sylibd 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  ( F `  X
)  <_  ( F `  Y ) ) )
3416leidd 10158 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  <_  ( F `  Y ) )
35 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( X  =  Y  ->  ( F `  X )  =  ( F `  Y ) )
3635breq1d 4404 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( F `  X
)  <_  ( F `  Y )  <->  ( F `  Y )  <_  ( F `  Y )
) )
3734, 36syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  ->  ( F `  X )  <_  ( F `  Y )
) )
38 dvge0.l . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
3923, 22leloed 9759 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  <_  Y  <->  ( X  <  Y  \/  X  =  Y )
) )
4038, 39mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  \/  X  =  Y
) )
4133, 37, 40mpjaod 379 1  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  <_  ( F `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   +oocpnf 9654    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840    / cdiv 10246   (,)cioo 11581   [,)cico 11583   [,]cicc 11584   -cn->ccncf 21670    _D cdv 22557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-cmp 20178  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561
This theorem is referenced by:  dvle  22698
  Copyright terms: Public domain W3C validator