MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimge0 Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlimge0 22725
Description: Lemma for dvfsumrlim 22726. Satisfy the assumption of dvfsumlem4 22724. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimge0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlimge0
Dummy variables  z  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . 6  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 ioossre 11642 . . . . . 6  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3474 . . . . 5  |-  S  C_  RR
4 simprl 758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  S )
53, 4sseldi 3442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
65rexrd 9675 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR* )
75renepnfd 9676 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  =/= +oo )
8 icopnfsup 12032 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= +oo )  ->  sup ( ( x [,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
96, 7, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  sup ( ( x [,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
10 dvfsum.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1110rexrd 9675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  e.  RR* )
134, 1syl6eleq 2502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  ( T (,) +oo ) )
14 elioopnf 11674 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  < 
x ) ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  <  x ) ) )
1613, 15mpbid 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  T  <  x ) )
1716simprd 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  <  x )
18 df-ioo 11588 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
19 df-ico 11590 . . . . . 6  |-  [,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <_  w  /\  w  <  v ) } )
20 xrltletr 11415 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( T  <  x  /\  x  <_  z )  ->  T  <  z
) )
2118, 19, 20ixxss1 11602 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  T  <  x )  ->  (
x [,) +oo )  C_  ( T (,) +oo ) )
2212, 17, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,) +oo )  C_  ( T (,) +oo ) )
2322, 1syl6sseqr 3491 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,) +oo )  C_  S )
24 dvfsum.c . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
2524cbvmptv 4489 . . . 4  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( k  e.  S  |->  C )
26 dvfsumrlim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2726adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2825, 27syl5eqbrr 4431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  C )  ~~> r  0 )
2923, 28rlimres2 13535 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,) +oo )  |->  C )  ~~> r  0 )
303a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  S  C_  RR )
313a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
32 dvfsum.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
33 dvfsum.b1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
34 dvfsum.b3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 22719 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
3635adantrr 717 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
3736recnd 9654 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  CC )
38 rlimconst 13518 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B )
3930, 37, 38syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B
)
4023, 39rlimres2 13535 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,) +oo )  |->  B )  ~~> r  B
)
4123sselda 3444 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  k  e.  S )
4235ralrimiva 2820 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4342adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4424eleq1d 2473 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
4544rspccva 3161 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  S  B  e.  RR  /\  k  e.  S )  ->  C  e.  RR )
4643, 45sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  S
)  ->  C  e.  RR )
4741, 46syldan 470 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  C  e.  RR )
4836adantr 465 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  B  e.  RR )
49 simpll 754 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  ph )
50 simplrl 764 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  x  e.  S )
51 simplrr 765 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  D  <_  x )
52 elicopnf 11676 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
k  e.  ( x [,) +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_ 
k ) ) )
535, 52syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,) +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_  k ) ) )
5453simplbda 624 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  x  <_  k )
55 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
5649, 50, 41, 51, 54, 55syl122anc 1241 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  C  <_  B )
579, 29, 40, 47, 48, 56rlimle 13621 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756    C_ wss 3416   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   supcsup 7936   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527   +oocpnf 9657   RR*cxr 9659    < clt 9660    <_ cle 9661    - cmin 9843   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   (,)cioo 11584   [,)cico 11586   ...cfz 11728   |_cfl 11966    ~~> r crli 13459   sum_csu 13659    _D cdv 22561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-rlim 13463  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-rest 15039  df-topn 15040  df-topgen 15060  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  22726  dvfsumrlim2  22727
  Copyright terms: Public domain W3C validator