MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimge0 Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlimge0 22166
Description: Lemma for dvfsumrlim 22167. Satisfy the assumption of dvfsumlem4 22165. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimge0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlimge0
Dummy variables  z  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . 6  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 ioossre 11582 . . . . . 6  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3534 . . . . 5  |-  S  C_  RR
4 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  S )
53, 4sseldi 3502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
65rexrd 9639 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR* )
75renepnfd 9640 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  =/= +oo )
8 icopnfsup 11956 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= +oo )  ->  sup ( ( x [,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
96, 7, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  sup ( ( x [,) +oo ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
10 dvfsum.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1110rexrd 9639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  e.  RR* )
134, 1syl6eleq 2565 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  ( T (,) +oo ) )
14 elioopnf 11614 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  < 
x ) ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  <  x ) ) )
1613, 15mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  T  <  x ) )
1716simprd 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  <  x )
18 df-ioo 11529 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
19 df-ico 11531 . . . . . 6  |-  [,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <_  w  /\  w  <  v ) } )
20 xrltletr 11356 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( T  <  x  /\  x  <_  z )  ->  T  <  z
) )
2118, 19, 20ixxss1 11543 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  T  <  x )  ->  (
x [,) +oo )  C_  ( T (,) +oo ) )
2212, 17, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,) +oo )  C_  ( T (,) +oo ) )
2322, 1syl6sseqr 3551 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,) +oo )  C_  S )
24 dvfsum.c . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
2524cbvmptv 4538 . . . 4  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( k  e.  S  |->  C )
26 dvfsumrlim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2726adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2825, 27syl5eqbrr 4481 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  C )  ~~> r  0 )
2923, 28rlimres2 13343 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,) +oo )  |->  C )  ~~> r  0 )
303a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  S  C_  RR )
313a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
32 dvfsum.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
33 dvfsum.b1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
34 dvfsum.b3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 22160 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
3635adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
3736recnd 9618 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  CC )
38 rlimconst 13326 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B )
3930, 37, 38syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B
)
4023, 39rlimres2 13343 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,) +oo )  |->  B )  ~~> r  B
)
4123sselda 3504 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  k  e.  S )
4235ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4342adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4424eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
4544rspccva 3213 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  S  B  e.  RR  /\  k  e.  S )  ->  C  e.  RR )
4643, 45sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  S
)  ->  C  e.  RR )
4741, 46syldan 470 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  C  e.  RR )
4836adantr 465 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  B  e.  RR )
49 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  ph )
50 simplrl 759 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  x  e.  S )
51 simplrr 760 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  D  <_  x )
52 elicopnf 11616 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
k  e.  ( x [,) +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_ 
k ) ) )
535, 52syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,) +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_  k ) ) )
5453simplbda 624 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  x  <_  k )
55 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
5649, 50, 41, 51, 54, 55syl122anc 1237 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,) +oo )
)  ->  C  <_  B )
579, 29, 40, 47, 48, 56rlimle 13429 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   ...cfz 11668   |_cfl 11891    ~~> r crli 13267   sum_csu 13467    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-rlim 13271  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-rest 14674  df-topn 14675  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  22167  dvfsumrlim2  22168
  Copyright terms: Public domain W3C validator