MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimf Unicode version

Theorem dvfsumrlimf 19862
Description: Lemma for dvfsumrlim 19868. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlimf.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimf  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlimf
StepHypRef Expression
1 fzfid 11267 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 dvfsum.b2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
32ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 11011 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2495 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum.c . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 3011 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
121, 11fsumrecl 12483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1412, 13resubcld 9421 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  e.  RR )
15 dvfsumrlimf.g . 2  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
1614, 15fmptd 5852 1  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,)cioo 10872   ...cfz 10999   |_cfl 11156   sum_csu 12434    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19868  dvfsumrlim2  19869  dvfsumrlim3  19870
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
  Copyright terms: Public domain W3C validator