MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimf Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlimf 21456
Description: Lemma for dvfsumrlim 21462. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlimf.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimf  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlimf
StepHypRef Expression
1 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 dvfsum.b2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
32ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
43adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 11445 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2532 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum.c . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2507 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 3069 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 474 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
121, 11fsumrecl 13207 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1412, 13resubcld 9772 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  e.  RR )
15 dvfsumrlimf.g . 2  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
1614, 15fmptd 5864 1  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   1c1 9279    + caddc 9281   +oocpnf 9411    <_ cle 9415    - cmin 9591   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   (,)cioo 11296   ...cfz 11433   |_cfl 11636   sum_csu 13159    _D cdv 21297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  21462  dvfsumrlim2  21463  dvfsumrlim3  21464
  Copyright terms: Public domain W3C validator