MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim3 Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlim3 22983
Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 22981 and dvfsumrlim2 22982. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
dvfsumrlim3.1  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim3  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D   
x, E    ph, k, x    S, k, x    k, M, x    x, T    x, Z    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    E( k)    G( x, k)    L( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim3
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . 3  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 dvfsum.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 dvfsum.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 dvfsum.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5 dvfsum.md . . 3  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
6 dvfsum.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7 dvfsum.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
8 dvfsum.b1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
9 dvfsum.b2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
10 dvfsum.b3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
11 dvfsum.c . . 3  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
12 dvfsumrlim.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvfsumrlimf 22975 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
14 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
15 dvfsumrlim.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15dvfsumrlim 22981 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
173adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
184adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  e.  RR )
195adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  <_  ( D  + 
1 ) )
206adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  T  e.  RR )
217adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
228adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
239adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
2410adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
25143adant1r 1257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k ) )  ->  C  <_  B )
2615adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
27 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  X  e.  S )
28 simprl 762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  <_  X )
291, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28dvfsumrlim2 22982 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
3027adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  X  e.  S )
31 nfcvd 2581 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  F/_ x E )
32 dvfsumrlim3.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
3331, 32csbiegf 3419 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E )
3430, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E
)
3529, 34breqtrd 4448 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
3635exp42 614 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  <_  X  ->  ( X  e.  S  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
3736com24 90 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( X  e.  S  ->  ( D  <_  X  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
38373impd 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
)
3913, 16, 383jca 1185 1  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   [_csb 3395   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549   +oocpnf 9679    <_ cle 9683    - cmin 9867   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   (,)cioo 11642   ...cfz 11791   |_cfl 12032   abscabs 13297    ~~> r crli 13548   sum_csu 13751    _D cdv 22816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-cmp 20400  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820
This theorem is referenced by:  divsqrtsumlem  23903  logdivsum  24369
  Copyright terms: Public domain W3C validator