MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim3 Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlim3 21464
Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 21462 and dvfsumrlim2 21463. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
dvfsumrlim3.1  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim3  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D   
x, E    ph, k, x    S, k, x    k, M, x    x, T    x, Z    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    E( k)    G( x, k)    L( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim3
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . 3  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 dvfsum.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 dvfsum.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 dvfsum.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5 dvfsum.md . . 3  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
6 dvfsum.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7 dvfsum.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
8 dvfsum.b1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
9 dvfsum.b2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
10 dvfsum.b3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
11 dvfsum.c . . 3  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
12 dvfsumrlim.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvfsumrlimf 21456 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
14 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
15 dvfsumrlim.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15dvfsumrlim 21462 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
173adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
184adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  e.  RR )
195adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  <_  ( D  + 
1 ) )
206adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  T  e.  RR )
217adantlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
228adantlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
239adantlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
2410adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
25143adant1r 1206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k ) )  ->  C  <_  B )
2615adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
27 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  X  e.  S )
28 simprl 750 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  <_  X )
291, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28dvfsumrlim2 21463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
3027adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  X  e.  S )
31 nfcvd 2578 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  F/_ x E )
32 dvfsumrlim3.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
3331, 32csbiegf 3309 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E )
3430, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E
)
3529, 34breqtrd 4313 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
3635exp42 608 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  <_  X  ->  ( X  e.  S  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
3736com24 87 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( X  e.  S  ->  ( D  <_  X  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
38373impd 1196 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
)
3913, 16, 383jca 1163 1  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   [_csb 3285   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281   +oocpnf 9411    <_ cle 9415    - cmin 9591   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   (,)cioo 11296   ...cfz 11433   |_cfl 11636   abscabs 12719    ~~> r crli 12959   sum_csu 13159    _D cdv 21297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301
This theorem is referenced by:  divsqrsumlem  22332  logdivsum  22741
  Copyright terms: Public domain W3C validator