MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim3 Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlim3 22724
Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 22722 and dvfsumrlim2 22723. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
dvfsumrlim3.1  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim3  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D   
x, E    ph, k, x    S, k, x    k, M, x    x, T    x, Z    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    E( k)    G( x, k)    L( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim3
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . 3  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 dvfsum.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 dvfsum.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 dvfsum.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5 dvfsum.md . . 3  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
6 dvfsum.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7 dvfsum.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
8 dvfsum.b1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
9 dvfsum.b2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
10 dvfsum.b3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
11 dvfsum.c . . 3  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
12 dvfsumrlim.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvfsumrlimf 22716 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
14 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
15 dvfsumrlim.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15dvfsumrlim 22722 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
173adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
184adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  e.  RR )
195adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  <_  ( D  + 
1 ) )
206adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  T  e.  RR )
217adantlr 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
228adantlr 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
239adantlr 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
2410adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
25143adant1r 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k ) )  ->  C  <_  B )
2615adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
27 simprr 758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  X  e.  S )
28 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  <_  X )
291, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28dvfsumrlim2 22723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
3027adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  X  e.  S )
31 nfcvd 2565 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  F/_ x E )
32 dvfsumrlim3.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
3331, 32csbiegf 3396 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E )
3430, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E
)
3529, 34breqtrd 4418 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
3635exp42 609 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  <_  X  ->  ( X  e.  S  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
3736com24 87 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( X  e.  S  ->  ( D  <_  X  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
38373impd 1211 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
)
3913, 16, 383jca 1177 1  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   [_csb 3372   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   dom cdm 4822   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524   +oocpnf 9654    <_ cle 9658    - cmin 9840   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   (,)cioo 11581   ...cfz 11724   |_cfl 11962   abscabs 13214    ~~> r crli 13455   sum_csu 13655    _D cdv 22557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-cmp 20178  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561
This theorem is referenced by:  divsqrtsumlem  23633  logdivsum  24097
  Copyright terms: Public domain W3C validator