Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim2 Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlim2 22411
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if is a decreasing function with antiderivative converging to zero, then the difference between and converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by . (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s
dvfsum.z
dvfsum.m
dvfsum.d
dvfsum.md
dvfsum.t
dvfsum.a
dvfsum.b1
dvfsum.b2
dvfsum.b3
dvfsum.c
dvfsumrlim.l
dvfsumrlim.g
dvfsumrlim.k
dvfsumrlim2.1
dvfsumrlim2.2
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dvfsumrlim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . 7
2 ioossre 11597 . . . . . . 7
31, 2eqsstri 3519 . . . . . 6
4 dvfsumrlim2.1 . . . . . 6
53, 4sseldi 3487 . . . . 5
65rexrd 9646 . . . 4
75renepnfd 9647 . . . 4
8 icopnfsup 11974 . . . 4
96, 7, 8syl2anc 661 . . 3
109adantr 465 . 2
11 dvfsum.z . . . . . . . 8
12 dvfsum.m . . . . . . . 8
13 dvfsum.d . . . . . . . 8
14 dvfsum.md . . . . . . . 8
15 dvfsum.t . . . . . . . 8
16 dvfsum.a . . . . . . . 8
17 dvfsum.b1 . . . . . . . 8
18 dvfsum.b2 . . . . . . . 8
19 dvfsum.b3 . . . . . . . 8
20 dvfsum.c . . . . . . . 8
21 dvfsumrlim.g . . . . . . . 8
221, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21dvfsumrlimf 22404 . . . . . . 7
2322ad2antrr 725 . . . . . 6
244ad2antrr 725 . . . . . 6
2523, 24ffvelrnd 6017 . . . . 5
2625recnd 9625 . . . 4
2715rexrd 9646 . . . . . . . . . 10
284, 1syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . . 12
29 elioopnf 11629 . . . . . . . . . . . . 13
3027, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3128, 30mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
3231simprd 463 . . . . . . . . . 10
33 df-ioo 11544 . . . . . . . . . . 11
34 df-ico 11546 . . . . . . . . . . 11
35 xrltletr 11371 . . . . . . . . . . 11
3633, 34, 35ixxss1 11558 . . . . . . . . . 10
3727, 32, 36syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3837, 1syl6sseqr 3536 . . . . . . . 8
3938adantr 465 . . . . . . 7
4039sselda 3489 . . . . . 6
4123, 40ffvelrnd 6017 . . . . 5
4241recnd 9625 . . . 4
4326, 42subcld 9936 . . 3
44 pnfxr 11332 . . . . . . 7
45 icossre 11616 . . . . . . 7
465, 44, 45sylancl 662 . . . . . 6
4746adantr 465 . . . . 5
48 rlimf 13306 . . . . . . . 8
4948adantl 466 . . . . . . 7
50 ovex 6309 . . . . . . . . 9
5150, 21dmmpti 5700 . . . . . . . 8
5251feq2i 5714 . . . . . . 7
5349, 52sylib 196 . . . . . 6
544adantr 465 . . . . . 6
5553, 54ffvelrnd 6017 . . . . 5
56 rlimconst 13349 . . . . 5
5747, 55, 56syl2anc 661 . . . 4
5853feqmptd 5911 . . . . . 6
59 simpr 461 . . . . . 6
6058, 59eqbrtrrd 4459 . . . . 5
6139, 60rlimres2 13366 . . . 4
6226, 42, 57, 61rlimsub 13448 . . 3
6343, 62rlimabs 13413 . 2
643a1i 11 . . . . . . . 8
6564, 16, 17, 19dvmptrecl 22403 . . . . . . 7
6665ralrimiva 2857 . . . . . 6
67 nfcsb1v 3436 . . . . . . . 8
6867nfel1 2621 . . . . . . 7
69 csbeq1a 3429 . . . . . . . 8
7069eleq1d 2512 . . . . . . 7
7168, 70rspc 3190 . . . . . 6
724, 66, 71sylc 60 . . . . 5
7372recnd 9625 . . . 4
74 rlimconst 13349 . . . 4
7546, 73, 74syl2anc 661 . . 3
7675adantr 465 . 2
7743abscld 13249 . 2
7872ad2antrr 725 . 2
7926, 42abssubd 13266 . . 3
8012adantr 465 . . . . 5
8113adantr 465 . . . . 5
8214adantr 465 . . . . 5
8315adantr 465 . . . . 5
8416adantlr 714 . . . . 5
8517adantlr 714 . . . . 5
8618adantlr 714 . . . . 5
8719adantr 465 . . . . 5
8844a1i 11 . . . . 5
89 3simpa 994 . . . . . . 7
90 dvfsumrlim.l . . . . . . 7
9189, 90syl3an3 1264 . . . . . 6
92913adant1r 1222 . . . . 5
93 dvfsumrlim.k . . . . . . . 8
941, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 90, 21, 93dvfsumrlimge0 22409 . . . . . . 7
95943adantr3 1158 . . . . . 6
9695adantlr 714 . . . . 5
974adantr 465 . . . . 5
9838sselda 3489 . . . . 5
99 dvfsumrlim2.2 . . . . . 6
10099adantr 465 . . . . 5
101 elicopnf 11631 . . . . . . 7
1025, 101syl 16 . . . . . 6
103102simplbda 624 . . . . 5
104102simprbda 623 . . . . . . 7
105104rexrd 9646 . . . . . 6
106 pnfge 11350 . . . . . 6
107105, 106syl 16 . . . . 5
1081, 11, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 20, 88, 92, 21, 96, 97, 98, 100, 103, 107dvfsumlem4 22408 . . . 4
109108adantlr 714 . . 3
11079, 109eqbrtrd 4457 . 2
11110, 63, 76, 77, 78, 110rlimle 13452 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  csb 3420   wss 3461   class class class wbr 4437   cmpt 4495   cdm 4989  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  csup 7902  cc 9493  cr 9494  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   cpnf 9628  cxr 9630   clt 9631   cle 9632   cmin 9810  cz 10871  cuz 11092  cioo 11540  cico 11542  cfz 11683  cfl 11909  cabs 13049   crli 13290  csu 13490   cdv 22245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-cmp 19865  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249 This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  22412
 Copyright terms: Public domain W3C validator