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Theorem dvfsumrlim 19868
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if  x  e.  S  |->  B is a decreasing function with antiderivative  A converging to zero, then the difference between  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) B ( k ) and  A ( x )  =  S. u  e.  ( M [,] x
) B ( u )  _d u converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by  B
( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim
Dummy variables  y 
e  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10928 . . . 4  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3338 . . 3  |-  S  C_  RR
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
5 dvfsum.z . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 dvfsum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
8 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
9 dvfsum.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
10 dvfsum.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
11 dvfsum.b1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
12 dvfsum.b2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
13 dvfsum.b3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
14 dvfsum.c . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
15 dvfsumrlim.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
161, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dvfsumrlimf 19862 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
17 ax-resscn 9003 . . 3  |-  RR  C_  CC
18 fss 5558 . . 3  |-  ( ( G : S --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : S --> CC )
1916, 17, 18sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
201supeq1i 7410 . . 3  |-  sup ( S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )
21 ressxr 9085 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
2221, 9sseldi 3306 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
239renepnfd 9091 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =/=  +oo )
24 ioopnfsup 11200 . . . 4  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  T  =/=  +oo )  ->  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
2522, 23, 24syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
2620, 25syl5eq 2448 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
27 dvfsumrlim.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2811, 27rlimmptrcl 12356 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
2928ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
3029, 4rlim0 12257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )
) )
3127, 30mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) )
323a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  S  C_  RR )
33 peano2re 9195 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  RR  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
349, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
35 ifcl 3735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
3634, 7, 35syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
3736adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
38 rexico 12112 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )  -> 
( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) ) )
40 elicopnf 10956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
)  e.  RR  ->  ( c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
) [,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c ) ) )
4136, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) 
<->  ( c  e.  RR  /\  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c
) ) )
4241simprbda 607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  RR )
439adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  e.  RR )
4443, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
4543ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  <  ( T  +  1 ) )
4641simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c )
477adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  D  e.  RR )
48 maxle 10734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  RR  /\  ( T  +  1
)  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_ 
c  <->  ( D  <_ 
c  /\  ( T  +  1 )  <_ 
c ) ) )
4947, 44, 42, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
)  <_  c  <->  ( D  <_  c  /\  ( T  +  1 )  <_ 
c ) ) )
5046, 49mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( D  <_  c  /\  ( T  +  1 )  <_  c ) )
5150simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( T  +  1 )  <_  c )
5243, 44, 42, 45, 51ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  <  c )
5322adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  e.  RR* )
54 elioopnf 10954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( c  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  T  < 
c ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  (
c  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  T  < 
c ) ) )
5642, 52, 55mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  ( T (,)  +oo ) )
5756, 1syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  S )
5850simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  D  <_  c )
5957, 58jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )
6059adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) )  -> 
( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )
61 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  c  e.  S
)
6261adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  e.  S
)
633, 62sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  e.  RR )
6463leidd 9549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  <_  c
)
65 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x  c  <_  c
66 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x abs
67 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x [_ c  /  x ]_ B
6866, 67nffv 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )
69 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x  <
70 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
e
7168, 69, 70nfbr 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e
7265, 71nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e )
73 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  c  ->  (
c  <_  x  <->  c  <_  c ) )
74 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  c  ->  B  =  [_ c  /  x ]_ B )
7574fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  c  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B ) )
7675breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  c  ->  (
( abs `  B
)  <  e  <->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) )
7773, 76imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  c  ->  (
( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  <->  ( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e ) ) )
7872, 77rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e ) ) )
7962, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  <_  c  ->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) ) )
8064, 79mpid 39 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) )
814, 10, 11, 13dvmptrecl 19861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
8281adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
83 dvfsumrlim.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
841, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 83, 15, 27dvfsumrlimge0 19867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
85 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
8682, 84, 85sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8786expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
8887ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
90 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  D  <_  c
)
9190adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  D  <_  c
)
92 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x  D  <_  c
9367nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo )
9492, 93nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x
( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) )
95 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  c  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  c ) )
9674eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  c  ->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
9795, 96imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  c  ->  (
( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  <->  ( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) ) )
9894, 97rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
9962, 89, 91, 98syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) )
100 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B ) )
10199, 100sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B ) )
102 absid 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B )  -> 
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  =  [_ c  /  x ]_ B )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  =  [_ c  /  x ]_ B )
104103breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e  <->  [_ c  /  x ]_ B  <  e ) )
1056adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
1067adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  D  e.  RR )
1078adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
1089adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  T  e.  RR )
10910adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  A  e.  RR )
11011adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  B  e.  V )
11112adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  Z
)  ->  B  e.  RR )
11213adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
113 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  +oo  e.  RR*
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
115 3simpa 954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo )  ->  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )
116115, 83syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo ) )  ->  C  <_  B )
1171163adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo ) )  ->  C  <_  B )
118843adantr3 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  +oo )
)  ->  0  <_  B )
119118adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  +oo )
)  ->  0  <_  B )
120 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  e.  S
)
121 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  <_  y
)
1223, 21sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  S  C_  RR*
123122, 120sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
124 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  +oo )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  <_  +oo )
1261, 5, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 14, 114, 117, 15, 119, 62, 120, 91, 121, 125dvfsumlem4 19866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B )
12719adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  G : S --> CC )
128127, 120ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
129127, 62ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
130128, 129subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) )  e.  CC )
131130abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  e.  RR )
132101simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  RR )
133 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  e  e.  RR+ )
134133rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  e  e.  RR )
135 lelttr 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  e.  RR  /\  [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B  /\  [_ c  /  x ]_ B  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e
) )
136131, 132, 134, 135syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B  /\  [_ c  /  x ]_ B  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e
) )
137126, 136mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( [_ c  /  x ]_ B  < 
e  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) )
138104, 137sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) )
13980, 138syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) )
140139anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) )
141140expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
c  <_  y  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) )
142141com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  <_  y  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) )
143142ralrimdva 2756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
144143, 61jctild 528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
145144anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
14660, 145syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) ) )
147146expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
) [,)  +oo )  /\  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) )  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
148147reximdv2 2775 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
14939, 148sylbird 227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
150149ralimdva 2744 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e )  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
15131, 150mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  S  A. y  e.  S  (
c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e ) )
1524, 19, 26, 151caucvgr 12424 1  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   [_csb 3211    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   abscabs 11994    ~~> r crli 12234   sum_csu 12434    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  19870
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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