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Theorem dvfsumlem4 19866
Description: Lemma for dvfsumrlim 19868. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumlem4.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumlem4.0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U
) )  ->  0  <_  B )
dvfsumlem4.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem4.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem4.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem4.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem4.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
2 fzfid 11267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 11011 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 3011 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  RR )
122, 11fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  RR )
15 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
1615nfel1 2550 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR
17 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
1817eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
1916, 18rspc 3006 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
201, 14, 19sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
2112, 20resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )
22 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x Y
23 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
24 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ x  -
2523, 24, 15nfov 6063 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
26 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
2726oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
2827sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
2928, 17oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
3122, 25, 29, 30fvmptf 5780 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
321, 21, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
34 fzfid 11267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
35 elfzuz 11011 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3635, 6syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
374, 36, 10syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
3834, 37fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
39 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ A
4039nfel1 2550 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ X  /  x ]_ A  e.  RR
41 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  A  =  [_ X  /  x ]_ A )
4241eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
4340, 42rspc 3006 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
4433, 14, 43sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
4538, 44resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )
46 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x X
47 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C
4847, 24, 39nfov 6063 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )
49 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  X
) )
5049oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
5150sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
5251, 41oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5346, 48, 52, 30fvmptf 5780 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5433, 45, 53syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5532, 54oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
5655fveq2d 5691 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
58 ioossre 10928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
5957, 58eqsstri 3338 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  RR
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 19861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
6463ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
65 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ m  B  e.  RR
66 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
6766nfel1 2550 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
68 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
6968eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
7065, 67, 69cbvral 2888 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  <->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
7164, 70sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
72 csbeq1 3214 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
7372eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7473rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7533, 71, 74sylc 58 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
7645, 75resubcld 9421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
7759, 33sseldi 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
78 reflcl 11160 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
7977, 78syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
8077, 79resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
8180, 75remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
8281, 45readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
8382, 75resubcld 9421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
84 fracge0 11168 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
8577, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
8777rexrd 9090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
8859, 1sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
8988rexrd 9090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 10708 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
9433, 86, 933jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )
95 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) )  ->  X  e.  S )
96 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )
97 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
0
98 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <_
99 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
10097, 98, 99nfbr 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
0  <_  [_ X  /  x ]_ B
10196, 100nfim 1828 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
102 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  S  <->  X  e.  S ) )
103 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
104 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <_  U  <->  X  <_  U ) )
105102, 103, 1043anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U )  <->  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) ) )
106105anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  <->  ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) ) ) )
107 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
108107breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
109106, 108imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  ->  0  <_  B
)  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U
) )  ->  0  <_  B )
11146, 101, 109, 110vtoclgf 2970 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  -> 
0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
11295, 111mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
11394, 112mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
11480, 75, 85, 113mulge0d 9559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
11545, 81addge02d 9571 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
116114, 115mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
11745, 82, 75, 116lesub1dd 9598 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
118 reflcl 11160 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
11988, 118syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
12088, 119resubcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  RR )
121 csbeq1 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  Y  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
122121eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  Y  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
123122rspcv 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
1241, 71, 123sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
125120, 124remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
126125, 21readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
127126, 124resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
128 dvfsum.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
129 dvfsum.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
130 dvfsum.md . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
131 dvfsum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
132 dvfsum.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
133 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) )
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 19865 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  <_  ( (
x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  /\  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
135134simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
136 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  -  ( |_ `  X ) )
137 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  x.
138136, 137, 99nfov 6063 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )
139 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  +
140138, 139, 48nfov 6063 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
141 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
142141, 49oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
143142, 107oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
144143, 52oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
14546, 140, 144, 133fvmptf 5780 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
14633, 82, 145syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
147146oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
148 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( Y  -  ( |_ `  Y ) )
149 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ B
150148, 137, 149nfov 6063 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )
151150, 139, 25nfov 6063 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
152 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
153152, 26oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
154 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  [_ Y  /  x ]_ B )
155153, 154oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
156155, 29oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
15722, 151, 156, 133fvmptf 5780 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
1581, 126, 157syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
159158oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
160135, 147, 1593brtr3d 4201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
16121recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
162124recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
163125recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
164161, 162, 163subsub3d 9397 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
165161, 163addcomd 9224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
166165oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
167164, 166eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
168 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
169168a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
170129, 77, 88, 86, 91letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  <_  Y )
1711, 170, 923jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )
172 simpr1 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) )  ->  Y  e.  S )
173 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )
17497, 98, 149nfbr 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
0  <_  [_ Y  /  x ]_ B
175173, 174nfim 1828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
176 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  e.  S  <->  Y  e.  S ) )
177 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  Y ) )
178 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  <_  U  <->  Y  <_  U ) )
179176, 177, 1783anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U )  <->  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) ) )
180179anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  <->  ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) ) ) )
181154breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
182180, 181imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  ->  0  <_  B
)  <->  ( ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
18322, 175, 182, 110vtoclgf 2970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  -> 
0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
184172, 183mpcom 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
185171, 184mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
186 fracle1 11167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_ 
1 )
18788, 186syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_  1 )
188120, 169, 124, 185, 187lemul1ad 9906 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
189162mulid2d 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
190188, 189breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
191124, 125subge0d 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  <-> 
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
192190, 191mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) ) )
193124, 125resubcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
19421, 193subge02d 9574 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  <-> 
( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
195192, 194mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
196167, 195eqbrtrrd 4194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19783, 127, 21, 160, 196letrd 9183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19876, 83, 21, 117, 197letrd 9183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19975, 45readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
200 fracge0 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
20188, 200syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
202120, 124, 201, 185mulge0d 9559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
20321, 125addge02d 9571 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
204202, 203mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
205134simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  <_  ( (
x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
) )
206205, 158, 1463brtr3d 4201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
20721, 126, 82, 204, 206letrd 9183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
208 fracle1 11167 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_ 
1 )
20977, 208syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
21080, 169, 75, 113, 209lemul1ad 9906 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
21175recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
212211mulid2d 9062 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
213210, 212breqtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
21481, 75, 45, 213leadd1dd 9596 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
21521, 82, 199, 207, 214letrd 9183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
21645recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  CC )
217211, 216addcomd 9224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B ) )
218215, 217breqtrd 4196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B
) )
21921, 45, 75absdifled 12192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B  <->  ( (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B
) ) ) )
220198, 218, 219mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
22156, 220eqbrtrd 4192 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   [_csb 3211    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,)cioo 10872   ...cfz 10999   |_cfl 11156   abscabs 11994   sum_csu 12434    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19868  dvfsumrlim2  19869  logexprlim  20962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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