Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem4 Unicode version

Theorem dvfsumlem4 19866
 Description: Lemma for dvfsumrlim 19868. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s
dvfsum.z
dvfsum.m
dvfsum.d
dvfsum.md
dvfsum.t
dvfsum.a
dvfsum.b1
dvfsum.b2
dvfsum.b3
dvfsum.c
dvfsum.u
dvfsum.l
dvfsumlem4.g
dvfsumlem4.0
dvfsumlem4.1
dvfsumlem4.2
dvfsumlem4.3
dvfsumlem4.4
dvfsumlem4.5
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5
2 fzfid 11267 . . . . . . 7
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9
43ralrimiva 2749 . . . . . . . 8
5 elfzuz 11011 . . . . . . . . 9
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9
75, 6syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10
98eleq1d 2470 . . . . . . . . 9
109rspccva 3011 . . . . . . . 8
114, 7, 10syl2an 464 . . . . . . 7
122, 11fsumrecl 12483 . . . . . 6
13 dvfsum.a . . . . . . . 8
1413ralrimiva 2749 . . . . . . 7
15 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9
1615nfel1 2550 . . . . . . . 8
17 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9
1817eleq1d 2470 . . . . . . . 8
1916, 18rspc 3006 . . . . . . 7
201, 14, 19sylc 58 . . . . . 6
2112, 20resubcld 9421 . . . . 5
22 nfcv 2540 . . . . . 6
23 nfcv 2540 . . . . . . 7
24 nfcv 2540 . . . . . . 7
2523, 24, 15nfov 6063 . . . . . 6
26 fveq2 5687 . . . . . . . . 9
2726oveq2d 6056 . . . . . . . 8
2827sumeq1d 12450 . . . . . . 7
2928, 17oveq12d 6058 . . . . . 6
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6
3122, 25, 29, 30fvmptf 5780 . . . . 5
321, 21, 31syl2anc 643 . . . 4
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5
34 fzfid 11267 . . . . . . 7
35 elfzuz 11011 . . . . . . . . 9
3635, 6syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8
374, 36, 10syl2an 464 . . . . . . 7
3834, 37fsumrecl 12483 . . . . . 6
39 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9
4039nfel1 2550 . . . . . . . 8
41 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9
4241eleq1d 2470 . . . . . . . 8
4340, 42rspc 3006 . . . . . . 7
4433, 14, 43sylc 58 . . . . . 6
4538, 44resubcld 9421 . . . . 5
46 nfcv 2540 . . . . . 6
47 nfcv 2540 . . . . . . 7
4847, 24, 39nfov 6063 . . . . . 6
49 fveq2 5687 . . . . . . . . 9
5049oveq2d 6056 . . . . . . . 8
5150sumeq1d 12450 . . . . . . 7
5251, 41oveq12d 6058 . . . . . 6
5346, 48, 52, 30fvmptf 5780 . . . . 5
5433, 45, 53syl2anc 643 . . . 4
5532, 54oveq12d 6058 . . 3
5655fveq2d 5691 . 2
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11
58 ioossre 10928 . . . . . . . . . . 11
5957, 58eqsstri 3338 . . . . . . . . . 10
6059a1i 11 . . . . . . . . 9
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 19861 . . . . . . . 8
6463ralrimiva 2749 . . . . . . 7
65 nfv 1626 . . . . . . . 8
66 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9
6766nfel1 2550 . . . . . . . 8
68 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9
6968eleq1d 2470 . . . . . . . 8
7065, 67, 69cbvral 2888 . . . . . . 7
7164, 70sylib 189 . . . . . 6
72 csbeq1 3214 . . . . . . . 8
7372eleq1d 2470 . . . . . . 7
7473rspcv 3008 . . . . . 6
7533, 71, 74sylc 58 . . . . 5
7645, 75resubcld 9421 . . . 4
7759, 33sseldi 3306 . . . . . . . 8
78 reflcl 11160 . . . . . . . . 9
7977, 78syl 16 . . . . . . . 8
8077, 79resubcld 9421 . . . . . . 7
8180, 75remulcld 9072 . . . . . 6
8281, 45readdcld 9071 . . . . 5
8382, 75resubcld 9421 . . . 4
84 fracge0 11168 . . . . . . . 8
8577, 84syl 16 . . . . . . 7
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9
8777rexrd 9090 . . . . . . . . . 10
8859, 1sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11
8988rexrd 9090 . . . . . . . . . 10
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 10708 . . . . . . . . 9
9433, 86, 933jca 1134 . . . . . . . 8
95 simpr1 963 . . . . . . . . 9
96 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11
97 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12
98 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12
99 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . 12
10097, 98, 99nfbr 4216 . . . . . . . . . . 11
10196, 100nfim 1828 . . . . . . . . . 10
102 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13
103 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . 13
104 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13
105102, 103, 1043anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . 12
106105anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11
107 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . 12
108107breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11
109106, 108imbi12d 312 . . . . . . . . . 10
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10
11146, 101, 109, 110vtoclgf 2970 . . . . . . . . 9
11295, 111mpcom 34 . . . . . . . 8
11394, 112mpdan 650 . . . . . . 7
11480, 75, 85, 113mulge0d 9559 . . . . . 6
11545, 81addge02d 9571 . . . . . 6
116114, 115mpbid 202 . . . . 5
11745, 82, 75, 116lesub1dd 9598 . . . 4
118 reflcl 11160 . . . . . . . . . 10
11988, 118syl 16 . . . . . . . . 9
12088, 119resubcld 9421 . . . . . . . 8
121 csbeq1 3214 . . . . . . . . . . 11
122121eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10
123122rspcv 3008 . . . . . . . . 9
1241, 71, 123sylc 58 . . . . . . . 8
125120, 124remulcld 9072 . . . . . . 7
126125, 21readdcld 9071 . . . . . 6
127126, 124resubcld 9421 . . . . 5
128 dvfsum.m . . . . . . . 8
129 dvfsum.d . . . . . . . 8
130 dvfsum.md . . . . . . . 8
131 dvfsum.t . . . . . . . 8
132 dvfsum.l . . . . . . . 8
133 eqid 2404 . . . . . . . 8
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 19865 . . . . . . 7
135134simprd 450 . . . . . 6
136 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
137 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
138136, 137, 99nfov 6063 . . . . . . . . . 10
139 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10
140138, 139, 48nfov 6063 . . . . . . . . 9
141 id 20 . . . . . . . . . . . 12
142141, 49oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11
143142, 107oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10
144143, 52oveq12d 6058 . . . . . . . . 9
14546, 140, 144, 133fvmptf 5780 . . . . . . . 8
14633, 82, 145syl2anc 643 . . . . . . 7
147146oveq1d 6055 . . . . . 6
148 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
149 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . 11
150148, 137, 149nfov 6063 . . . . . . . . . 10
151150, 139, 25nfov 6063 . . . . . . . . 9
152 id 20 . . . . . . . . . . . 12
153152, 26oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11
154 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . 11
155153, 154oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10
156155, 29oveq12d 6058 . . . . . . . . 9
15722, 151, 156, 133fvmptf 5780 . . . . . . . 8
1581, 126, 157syl2anc 643 . . . . . . 7
159158oveq1d 6055 . . . . . 6
160135, 147, 1593brtr3d 4201 . . . . 5
16121recnd 9070 . . . . . . . 8
162124recnd 9070 . . . . . . . 8
163125recnd 9070 . . . . . . . 8
164161, 162, 163subsub3d 9397 . . . . . . 7
165161, 163addcomd 9224 . . . . . . . 8
166165oveq1d 6055 . . . . . . 7
167164, 166eqtrd 2436 . . . . . 6
168 1re 9046 . . . . . . . . . . 11
169168a1i 11 . . . . . . . . . 10
170129, 77, 88, 86, 91letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12
1711, 170, 923jca 1134 . . . . . . . . . . 11
172 simpr1 963 . . . . . . . . . . . 12
173 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14
17497, 98, 149nfbr 4216 . . . . . . . . . . . . . 14
175173, 174nfim 1828 . . . . . . . . . . . . 13
176 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16
179176, 177, 1783anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . 15
180179anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14
181154breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . 14
182180, 181imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13
18322, 175, 182, 110vtoclgf 2970 . . . . . . . . . . . 12
184172, 183mpcom 34 . . . . . . . . . . 11
185171, 184mpdan 650 . . . . . . . . . 10
186 fracle1 11167 . . . . . . . . . . 11
18788, 186syl 16 . . . . . . . . . 10
188120, 169, 124, 185, 187lemul1ad 9906 . . . . . . . . 9
189162mulid2d 9062 . . . . . . . . 9
190188, 189breqtrd 4196 . . . . . . . 8
191124, 125subge0d 9572 . . . . . . . 8
192190, 191mpbird 224 . . . . . . 7
193124, 125resubcld 9421 . . . . . . . 8
19421, 193subge02d 9574 . . . . . . 7
195192, 194mpbid 202 . . . . . 6
196167, 195eqbrtrrd 4194 . . . . 5
19783, 127, 21, 160, 196letrd 9183 . . . 4
19876, 83, 21, 117, 197letrd 9183 . . 3
19975, 45readdcld 9071 . . . . 5
200 fracge0 11168 . . . . . . . . 9
20188, 200syl 16 . . . . . . . 8
202120, 124, 201, 185mulge0d 9559 . . . . . . 7
20321, 125addge02d 9571 . . . . . . 7
204202, 203mpbid 202 . . . . . 6
205134simpld 446 . . . . . . 7
206205, 158, 1463brtr3d 4201 . . . . . 6
20721, 126, 82, 204, 206letrd 9183 . . . . 5
208 fracle1 11167 . . . . . . . . 9
20977, 208syl 16 . . . . . . . 8
21080, 169, 75, 113, 209lemul1ad 9906 . . . . . . 7
21175recnd 9070 . . . . . . . 8
212211mulid2d 9062 . . . . . . 7
213210, 212breqtrd 4196 . . . . . 6
21481, 75, 45, 213leadd1dd 9596 . . . . 5
21521, 82, 199, 207, 214letrd 9183 . . . 4
21645recnd 9070 . . . . 5
217211, 216addcomd 9224 . . . 4
218215, 217breqtrd 4196 . . 3
21921, 45, 75absdifled 12192 . . 3
220198, 218, 219mpbir2and 889 . 2
22156, 220eqbrtrd 4192 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  csb 3211   wss 3280   class class class wbr 4172   cmpt 4226  cfv 5413  (class class class)co 6040  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   cpnf 9073  cxr 9075   cle 9077   cmin 9247  cz 10238  cuz 10444  cioo 10872  cfz 10999  cfl 11156  cabs 11994  csu 12434   cdv 19703 This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19868  dvfsumrlim2  19869  logexprlim  20962 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
 Copyright terms: Public domain W3C validator