Theorem dvfsumlem3 21503

Description: Lemma for dvfsumrlim 21506. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
dvfsum.h	|- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
dvfsumlem1.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsumlem1.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsumlem1.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsumlem1.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsumlem1.5	|- ( ph -> Y <_ U )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem3	|- ( ph -> ( ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) /\ ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   k, Y, x   x, Z   U, k, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   H( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem3

Dummy variables y m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . 4 |- S = ( T (,) +oo )
2		ioossre 11360	. . . 4 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3389	. . 3 |- S C_ RR
4		dvfsumlem1.2	. . 3 |- ( ph -> Y e. S )
5	3, 4	sseldi 3357	. 2 |- ( ph -> Y e. RR )
6		dvfsumlem1.1	. . . 4 |- ( ph -> X e. S )
7	3, 6	sseldi 3357	. . 3 |- ( ph -> X e. RR )
8		reflcl 11649	. . 3 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
9		peano2re 9545	. . 3 |- ( ( |_ ` X ) e. RR -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
10	7, 8, 9	3syl 20	. 2 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
11		dvfsum.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
12		dvfsum.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
13	12	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> M e. ZZ )
14		dvfsum.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. RR )
15	14	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> D e. RR )
16		dvfsum.md	. . . 4 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
17	16	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> M <_ ( D + 1 ) )
18		dvfsum.t	. . . 4 |- ( ph -> T e. RR )
19	18	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> T e. RR )
20		dvfsum.a	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
21	20	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) /\ x e. S ) -> A e. RR )
22		dvfsum.b1	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
23	22	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) /\ x e. S ) -> B e. V )
24		dvfsum.b2	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
25	24	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) /\ x e. Z ) -> B e. RR )
26		dvfsum.b3	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
27	26	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
28		dvfsum.c	. . 3 |- ( x = k -> B = C )
29		dvfsum.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. RR* )
30	29	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> U e. RR* )
31		dvfsum.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
32	31	3adant1r 1211	. . 3 |- ( ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
33		dvfsum.h	. . 3 |- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
34	6	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> X e. S )
35	4	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y e. S )
36		dvfsumlem1.3	. . . 4 |- ( ph -> D <_ X )
37	36	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> D <_ X )
38		dvfsumlem1.4	. . . 4 |- ( ph -> X <_ Y )
39	38	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> X <_ Y )
40		dvfsumlem1.5	. . . 4 |- ( ph -> Y <_ U )
41	40	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y <_ U )
42		simpr 461	. . 3 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
43	1, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42	dvfsumlem2 21502	. 2 |- ( ( ph /\ Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) /\ ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )
44	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ RR )
45	44	sselda 3359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. RR )
46		reflcl 11649	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
48	45, 47	resubcld 9779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x - ( |_ ` x ) ) e. RR )
49	44, 20, 22, 26	dvmptrecl 21499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
50	48, 49	remulcld 9417	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) e. RR )
51		fzfid 11798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( M ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
52	24	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. Z B e. RR )
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A. x e. Z B e. RR )
54		elfzuz 11452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
55	54, 11	syl6eleqr 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -> k e. Z )
56	28	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = k -> ( B e. RR <-> C e. RR ) )
57	56	rspccva 3075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. Z B e. RR /\ k e. Z ) -> C e. RR )
58	53, 55, 57	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. RR )
59	51, 58	fsumrecl 13214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C e. RR )
60	59, 20	resubcld 9779	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) e. RR )
61	50, 60	readdcld 9416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) e. RR )
62	61, 33	fmptd 5870	. . . . . 6 |- ( ph -> H : S --> RR )
63	62	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> H : S --> RR )
64	4	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> Y e. S )
65	63, 64	ffvelrnd 5847	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( H ` Y ) e. RR )
66	5	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> Y e. RR )
67		reflcl 11649	. . . . . . . 8 |- ( Y e. RR -> ( |_ ` Y ) e. RR )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) e. RR )
69	18	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> T e. RR )
70	7	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> X e. RR )
71	70, 8, 9	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
72	6, 1	syl6eleq 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. ( T (,) +oo ) )
73	18	rexrd 9436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. RR* )
74		elioopnf 11386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. RR* -> ( X e. ( T (,) +oo ) <-> ( X e. RR /\ T < X ) ) )
75	73, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X e. ( T (,) +oo ) <-> ( X e. RR /\ T < X ) ) )
76	72, 75	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X e. RR /\ T < X ) )
77	76	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T < X )
78		fllep1 11654	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. RR -> X <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
79	7, 78	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
80	18, 7, 10, 77, 79	ltletrd 9534	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T < ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
81	80	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> T < ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
82		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y )
83	70	flcld 11651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
84	83	peano2zd 10753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
85		flge 11658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. RR /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y <-> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) ) )
86	66, 84, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y <-> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) ) )
87	82, 86	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) )
88	69, 71, 68, 81, 87	ltletrd 9534	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> T < ( |_ ` Y ) )
89	73	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> T e. RR* )
90		elioopnf 11386	. . . . . . . 8 |- ( T e. RR* -> ( ( |_ ` Y ) e. ( T (,) +oo ) <-> ( ( |_ ` Y ) e. RR /\ T < ( |_ ` Y ) ) ) )
91	89, 90	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` Y ) e. ( T (,) +oo ) <-> ( ( |_ ` Y ) e. RR /\ T < ( |_ ` Y ) ) ) )
92	68, 88, 91	mpbir2and 913	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) e. ( T (,) +oo ) )
93	92, 1	syl6eleqr 2534	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) e. S )
94	63, 93	ffvelrnd 5847	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( H ` ( |_ ` Y ) ) e. RR )
95	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> X e. S )
96	63, 95	ffvelrnd 5847	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( H ` X ) e. RR )
97	12	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> M e. ZZ )
98	14	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> D e. RR )
99	16	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> M <_ ( D + 1 ) )
100	20	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ x e. S ) -> A e. RR )
101	22	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ x e. S ) -> B e. V )
102	24	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ x e. Z ) -> B e. RR )
103	26	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
104	29	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> U e. RR* )
105	31	3adant1r 1211	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
106	36	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> D <_ X )
107	70, 78	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> X <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
108	98, 70, 71, 106, 107	letrd 9531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> D <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
109	98, 71, 68, 108, 87	letrd 9531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> D <_ ( |_ ` Y ) )
110		flle 11652	. . . . . . 7 |- ( Y e. RR -> ( |_ ` Y ) <_ Y )
111	66, 110	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) <_ Y )
112	40	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> Y <_ U )
113		fllep1 11654	. . . . . . . 8 |- ( Y e. RR -> Y <_ ( ( |_ ` Y ) + 1 ) )
114	66, 113	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> Y <_ ( ( |_ ` Y ) + 1 ) )
115		flidm 11661	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. RR -> ( |_ ` ( |_ ` Y ) ) = ( |_ ` Y ) )
116	66, 115	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` ( |_ ` Y ) ) = ( |_ ` Y ) )
117	116	oveq1d 6109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` ( |_ ` Y ) ) + 1 ) = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) )
118	114, 117	breqtrrd 4321	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> Y <_ ( ( |_ ` ( |_ ` Y ) ) + 1 ) )
119	1, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118	dvfsumlem2 21502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` Y ) <_ ( H ` ( |_ ` Y ) ) /\ ( ( H ` ( |_ ` Y ) ) - [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )
120	119	simpld 459	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( H ` Y ) <_ ( H ` ( |_ ` Y ) ) )
121		elioopnf 11386	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. RR* -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( T (,) +oo ) <-> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR /\ T < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
122	73, 121	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( T (,) +oo ) <-> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR /\ T < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
123	10, 80, 122	mpbir2and 913	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( T (,) +oo ) )
124	123, 1	syl6eleqr 2534	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. S )
125	124	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. S )
126	63, 125	ffvelrnd 5847	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) e. RR )
127	66	flcld 11651	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) e. ZZ )
128		eluz2 10870	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) <-> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ ( |_ ` Y ) e. ZZ /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) ) )
129	84, 127, 87, 128	syl3anbrc 1172	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
130	63	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> H : S --> RR )
131		elfzelz 11456	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> m e. ZZ )
132	131	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> m e. ZZ )
133	132	zred 10750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> m e. RR )
134	69	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> T e. RR )
135	71	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
136	80	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> T < ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
137		elfzle1 11457	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ m )
138	137	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ m )
139	134, 135, 133, 136, 138	ltletrd 9534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> T < m )
140	73	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> T e. RR* )
141		elioopnf 11386	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. RR* -> ( m e. ( T (,) +oo ) <-> ( m e. RR /\ T < m ) ) )
142	140, 141	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> ( m e. ( T (,) +oo ) <-> ( m e. RR /\ T < m ) ) )
143	133, 139, 142	mpbir2and 913	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> m e. ( T (,) +oo ) )
144	143, 1	syl6eleqr 2534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> m e. S )
145	130, 144	ffvelrnd 5847	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> ( H ` m ) e. RR )
146	97	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
147	98	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> D e. RR )
148	16	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> M <_ ( D + 1 ) )
149	69	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> T e. RR )
150	100	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) /\ x e. S ) -> A e. RR )
151	101	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) /\ x e. S ) -> B e. V )
152	102	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) /\ x e. Z ) -> B e. RR )
153	103	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
154	104	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> U e. RR* )
155	105	3adant1r 1211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
156		elfzelz 11456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) -> m e. ZZ )
157	156	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
158	157	zred 10750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> m e. RR )
159	71	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
160	80	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> T < ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
161		elfzle1 11457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ m )
162	161	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ m )
163	149, 159, 158, 160, 162	ltletrd 9534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> T < m )
164	149	rexrd 9436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> T e. RR* )
165	164, 141	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( m e. ( T (,) +oo ) <-> ( m e. RR /\ T < m ) ) )
166	158, 163, 165	mpbir2and 913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> m e. ( T (,) +oo ) )
167	166, 1	syl6eleqr 2534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> m e. S )
168		peano2re 9545	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. RR -> ( m + 1 ) e. RR )
169	158, 168	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR )
170	158	lep1d 10267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> m <_ ( m + 1 ) )
171	149, 158, 169, 163, 170	ltletrd 9534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> T < ( m + 1 ) )
172		elioopnf 11386	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. RR* -> ( ( m + 1 ) e. ( T (,) +oo ) <-> ( ( m + 1 ) e. RR /\ T < ( m + 1 ) ) ) )
173	164, 172	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) e. ( T (,) +oo ) <-> ( ( m + 1 ) e. RR /\ T < ( m + 1 ) ) ) )
174	169, 171, 173	mpbir2and 913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( T (,) +oo ) )
175	174, 1	syl6eleqr 2534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. S )
176	108	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> D <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
177	147, 159, 158, 176, 162	letrd 9531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> D <_ m )
178	169	rexrd 9436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR* )
179	68	rexrd 9436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) e. RR* )
180	179	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( |_ ` Y ) e. RR* )
181		elfzle2 11458	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) -> m <_ ( ( |_ ` Y ) - 1 ) )
182	181	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> m <_ ( ( |_ ` Y ) - 1 ) )
183		1red 9404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
184	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> Y e. RR )
185	184, 67	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( |_ ` Y ) e. RR )
186		leaddsub 9818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. RR /\ 1 e. RR /\ ( |_ ` Y ) e. RR ) -> ( ( m + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) <-> m <_ ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) )
187	158, 183, 185, 186	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) <-> m <_ ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) )
188	182, 187	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) )
189	66	rexrd 9436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> Y e. RR* )
190	179, 189, 104, 111, 112	xrletrd 11139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) <_ U )
191	190	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( |_ ` Y ) <_ U )
192	178, 180, 154, 188, 191	xrletrd 11139	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) <_ U )
193		flid 11660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ZZ -> ( |_ ` m ) = m )
194	157, 193	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( |_ ` m ) = m )
195	194	eqcomd 2448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> m = ( |_ ` m ) )
196	195	oveq1d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) = ( ( |_ ` m ) + 1 ) )
197		eqle 9480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m + 1 ) e. RR /\ ( m + 1 ) = ( ( |_ ` m ) + 1 ) ) -> ( m + 1 ) <_ ( ( |_ ` m ) + 1 ) )
198	169, 196, 197	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) <_ ( ( |_ ` m ) + 1 ) )
199	1, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 198	dvfsumlem2 21502	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( ( H ` ( m + 1 ) ) <_ ( H ` m ) /\ ( ( H ` m ) - [_ m / x ]_ B ) <_ ( ( H ` ( m + 1 ) ) - [_ ( m + 1 ) / x ]_ B ) ) )
200	199	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) <_ ( H ` m ) )
201	129, 145, 200	monoord2 11840	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( H ` ( |_ ` Y ) ) <_ ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
202	71	rexrd 9436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR* )
203	202, 179, 104, 87, 190	xrletrd 11139	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ U )
204	71	leidd 9909	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
205	1, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 203, 204	dvfsumlem2 21502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) <_ ( H ` X ) /\ ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) - [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) ) )
206	205	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) <_ ( H ` X ) )
207	94, 126, 96, 201, 206	letrd 9531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( H ` ( |_ ` Y ) ) <_ ( H ` X ) )
208	65, 94, 96, 120, 207	letrd 9531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) )
209	49	ralrimiva 2802	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. S B e. RR )
210	209	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> A. x e. S B e. RR )
211		nfcsb1v 3307	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ m / x ]_ B
212	211	nfel1 2592	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ m / x ]_ B e. RR
213		csbeq1a 3300	. . . . . . . . . 10 |- ( x = m -> B = [_ m / x ]_ B )
214	213	eleq1d 2509	. . . . . . . . 9 |- ( x = m -> ( B e. RR <-> [_ m / x ]_ B e. RR ) )
215	212, 214	rspc 3070	. . . . . . . 8 |- ( m e. S -> ( A. x e. S B e. RR -> [_ m / x ]_ B e. RR ) )
216	210, 215	mpan9 469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. S ) -> [_ m / x ]_ B e. RR )
217	216	ralrimiva 2802	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR )
218		csbeq1 3294	. . . . . . . 8 |- ( m = X -> [_ m / x ]_ B = [_ X / x ]_ B )
219	218	eleq1d 2509	. . . . . . 7 |- ( m = X -> ( [_ m / x ]_ B e. RR <-> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
220	219	rspcv 3072	. . . . . 6 |- ( X e. S -> ( A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR -> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
221	95, 217, 220	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> [_ X / x ]_ B e. RR )
222	96, 221	resubcld 9779	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) e. RR )
223		csbeq1 3294	. . . . . . . 8 |- ( m = ( |_ ` Y ) -> [_ m / x ]_ B = [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B )
224	223	eleq1d 2509	. . . . . . 7 |- ( m = ( |_ ` Y ) -> ( [_ m / x ]_ B e. RR <-> [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B e. RR ) )
225	224	rspcv 3072	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` Y ) e. S -> ( A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR -> [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B e. RR ) )
226	93, 217, 225	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B e. RR )
227	94, 226	resubcld 9779	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` ( |_ ` Y ) ) - [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B ) e. RR )
228		csbeq1 3294	. . . . . . . 8 |- ( m = Y -> [_ m / x ]_ B = [_ Y / x ]_ B )
229	228	eleq1d 2509	. . . . . . 7 |- ( m = Y -> ( [_ m / x ]_ B e. RR <-> [_ Y / x ]_ B e. RR ) )
230	229	rspcv 3072	. . . . . 6 |- ( Y e. S -> ( A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR -> [_ Y / x ]_ B e. RR ) )
231	64, 217, 230	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> [_ Y / x ]_ B e. RR )
232	65, 231	resubcld 9779	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
233		csbeq1 3294	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> [_ m / x ]_ B = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
234	233	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( m = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( [_ m / x ]_ B e. RR <-> [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B e. RR ) )
235	234	rspcv 3072	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. S -> ( A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR -> [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B e. RR ) )
236	125, 217, 235	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B e. RR )
237	126, 236	resubcld 9779	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) - [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) e. RR )
238	205	simprd 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) - [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
239		vex 2978	. . . . . . . . 9 |- m e. _V
240		fveq2 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = m -> ( H ` y ) = ( H ` m ) )
241		csbeq1 3294	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = m -> [_ y / x ]_ B = [_ m / x ]_ B )
242	240, 241	oveq12d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( y = m -> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) = ( ( H ` m ) - [_ m / x ]_ B ) )
243		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) = ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) )
244		ovex 6119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) e. _V
245	242, 243, 244	fvmpt3i 5781	. . . . . . . . 9 |- ( m e. _V -> ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` m ) = ( ( H ` m ) - [_ m / x ]_ B ) )
246	239, 245	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` m ) = ( ( H ` m ) - [_ m / x ]_ B )
247	144, 216	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> [_ m / x ]_ B e. RR )
248	145, 247	resubcld 9779	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> ( ( H ` m ) - [_ m / x ]_ B ) e. RR )
249	246, 248	syl5eqel 2527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ) -> ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` m ) e. RR )
250	199	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( ( H ` m ) - [_ m / x ]_ B ) <_ ( ( H ` ( m + 1 ) ) - [_ ( m + 1 ) / x ]_ B ) )
251		ovex 6119	. . . . . . . . 9 |- ( m + 1 ) e. _V
252		fveq2 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( m + 1 ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( m + 1 ) ) )
253		csbeq1 3294	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( m + 1 ) -> [_ y / x ]_ B = [_ ( m + 1 ) / x ]_ B )
254	252, 253	oveq12d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( m + 1 ) -> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) = ( ( H ` ( m + 1 ) ) - [_ ( m + 1 ) / x ]_ B ) )
255	254, 243, 244	fvmpt3i 5781	. . . . . . . . 9 |- ( ( m + 1 ) e. _V -> ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( H ` ( m + 1 ) ) - [_ ( m + 1 ) / x ]_ B ) )
256	251, 255	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( H ` ( m + 1 ) ) - [_ ( m + 1 ) / x ]_ B )
257	250, 246, 256	3brtr4g 4327	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) /\ m e. ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) - 1 ) ) ) -> ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` m ) <_ ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` ( m + 1 ) ) )
258	129, 249, 257	monoord 11839	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) <_ ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` ( |_ ` Y ) ) )
259		ovex 6119	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V
260		fveq2 5694	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
261		csbeq1 3294	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> [_ y / x ]_ B = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
262	260, 261	oveq12d 6112	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) = ( ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) - [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
263	262, 243, 244	fvmpt3i 5781	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V -> ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) = ( ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) - [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
264	259, 263	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) = ( ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) - [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
265		fvex 5704	. . . . . . 7 |- ( |_ ` Y ) e. _V
266		fveq2 5694	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( |_ ` Y ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( |_ ` Y ) ) )
267		csbeq1 3294	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( |_ ` Y ) -> [_ y / x ]_ B = [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B )
268	266, 267	oveq12d 6112	. . . . . . . 8 |- ( y = ( |_ ` Y ) -> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) = ( ( H ` ( |_ ` Y ) ) - [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B ) )
269	268, 243, 244	fvmpt3i 5781	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` Y ) e. _V -> ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` ( |_ ` Y ) ) = ( ( H ` ( |_ ` Y ) ) - [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B ) )
270	265, 269	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( y e. _V |-> ( ( H ` y ) - [_ y / x ]_ B ) ) ` ( |_ ` Y ) ) = ( ( H ` ( |_ ` Y ) ) - [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B )
271	258, 264, 270	3brtr3g 4326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) - [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) <_ ( ( H ` ( |_ ` Y ) ) - [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B ) )
272	222, 237, 227, 238, 271	letrd 9531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` ( |_ ` Y ) ) - [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B ) )
273	119	simprd 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` ( |_ ` Y ) ) - [_ ( |_ ` Y ) / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) )
274	222, 227, 232, 272, 273	letrd 9531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) )
275	208, 274	jca 532	. 2 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <_ Y ) -> ( ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) /\ ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )
276	5, 10, 43, 275	lecasei 9483	1 |- ( ph -> ( ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) /\ ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2718   _Vcvv 2975   [_csb 3291   C_ wss 3331   class class class wbr 4295   e. cmpt 4353   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   RRcr 9284   1c1 9286   + caddc 9288   x. cmul 9290   +oocpnf 9418   RR*cxr 9420   < clt 9421   <_ cle 9422   - cmin 9598   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   (,)cioo 11303   ...cfz 11440   |_cfl 11643   sum_csu 13166   _D cdv 21341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-cmp 18993  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345

This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  21504  dvfsum2  21509