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Theorem dvfsumlem3 23059
Description: Lemma for dvfsumrlim 23062. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables  y  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 ioossre 11721 . . . 4  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3448 . . 3  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3416 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
73, 6sseldi 3416 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
8 reflcl 12065 . . 3  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
9 peano2re 9824 . . 3  |-  ( ( |_ `  X )  e.  RR  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  RR )
107, 8, 93syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
11 dvfsum.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
12 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  M  e.  ZZ )
14 dvfsum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
1514adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  D  e.  RR )
16 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
1716adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
18 dvfsum.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1918adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  T  e.  RR )
20 dvfsum.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
2120adantlr 729 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
22 dvfsum.b1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
2322adantlr 729 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
24 dvfsum.b2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
2524adantlr 729 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
26 dvfsum.b3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
2726adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
28 dvfsum.c . . 3  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
29 dvfsum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
3029adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  U  e.  RR* )
31 dvfsum.l . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
32313adant1r 1285 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B
)
33 dvfsum.h . . 3  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
346adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  X  e.  S )
354adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  Y  e.  S )
36 dvfsumlem1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
3736adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  D  <_  X )
38 dvfsumlem1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
3938adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  X  <_  Y )
40 dvfsumlem1.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
4140adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  Y  <_  U )
42 simpr 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 23058 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X
)  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
4544sselda 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  RR )
46 reflcl 12065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
4845, 47resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  e.  RR )
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 23055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
5048, 49remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  e.  RR )
51 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
5224ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5352adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
54 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5554, 11syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  Z )
5628eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
5756rspccva 3135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
5853, 55, 57syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
5951, 58fsumrecl 13877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  e.  RR )
6059, 20resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  e.  RR )
6150, 60readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  e.  RR )
6261, 33fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : S --> RR )
6362adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  H : S
--> RR )
644adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  e.  S )
6563, 64ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  Y )  e.  RR )
665adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  e.  RR )
67 reflcl 12065 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
6866, 67syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
6918adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  e.  RR )
707adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  X  e.  RR )
7170, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
726, 1syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( T (,) +oo ) )
7318rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
74 elioopnf 11753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( X  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  < 
X ) ) )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) ) )
7672, 75mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) )
7776simprd 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  <  X )
78 fllep1 12070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  RR  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
797, 78syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 9812 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
8180adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
82 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)
8370flcld 12067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  X )  e.  ZZ )
8483peano2zd 11066 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )
85 flge 12074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y 
<->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  ( |_ `  Y ) ) )
8666, 84, 85syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y  <->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  ( |_ `  Y ) ) )
8782, 86mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  ( |_ `  Y ) )
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 9812 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  <  ( |_ `  Y ) )
8973adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  e.  RR* )
90 elioopnf 11753 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( ( |_ `  Y )  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( ( |_
`  Y )  e.  RR  /\  T  < 
( |_ `  Y
) ) ) )
9189, 90syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  Y )  e.  ( T (,) +oo ) 
<->  ( ( |_ `  Y )  e.  RR  /\  T  <  ( |_
`  Y ) ) ) )
9268, 88, 91mpbir2and 936 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  ( T (,) +oo )
)
9392, 1syl6eleqr 2560 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  S
)
9463, 93ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( |_ `  Y
) )  e.  RR )
956adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  X  e.  S )
9663, 95ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  X )  e.  RR )
9712adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  M  e.  ZZ )
9814adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  e.  RR )
9916adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
10020adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
10122adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
10224adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
10326adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
10429adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  U  e.  RR* )
105313adant1r 1285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
10636adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  <_  X )
10770, 78syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  X  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
10898, 70, 71, 106, 107letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
10998, 71, 68, 108, 87letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  <_  ( |_ `  Y ) )
110 flle 12068 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  <_  Y )
11166, 110syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  <_  Y
)
11240adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  <_  U )
113 fllep1 12070 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  <_  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )
11466, 113syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  <_  ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) )
115 flidm 12078 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  ( |_ `  Y ) )  =  ( |_ `  Y
) )
11666, 115syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  ( |_ `  Y
) )  =  ( |_ `  Y ) )
117116oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  ( |_ `  Y ) )  +  1 )  =  ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) )
118114, 117breqtrrd 4422 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  <_  ( ( |_ `  ( |_ `  Y ) )  +  1 ) )
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 23058 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  ( |_ `  Y ) )  /\  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
120119simpld 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  Y )  <_  ( H `  ( |_ `  Y ) ) )
121 elioopnf 11753 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR  /\  T  < 
( ( |_ `  X )  +  1 ) ) ) )
12273, 121syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR  /\  T  <  ( ( |_
`  X )  +  1 ) ) ) )
12310, 80, 122mpbir2and 936 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ( T (,) +oo ) )
124123, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  S )
125124adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  S
)
12663, 125ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  e.  RR )
12766flcld 12067 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  ZZ )
128 eluz2 11188 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  <->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( |_
`  Y )  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_ 
( |_ `  Y
) ) )
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  X )  +  1 ) ) )
13063adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  H : S --> RR )
131 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( |_ `  Y
) )  ->  m  e.  ZZ )
132131adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
133132zred 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  RR )
13469adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  e.  RR )
13571adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  e.  RR )
13680ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  <  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
137 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( |_ `  Y
) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  m )
138137adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  <_  m
)
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 9812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  <  m
)
14073ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  e.  RR* )
141 elioopnf 11753 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( m  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( m  e.  RR  /\  T  < 
m ) ) )
142140, 141syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( m  e.  ( T (,) +oo ) 
<->  ( m  e.  RR  /\  T  <  m ) ) )
143133, 139, 142mpbir2and 936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  ( T (,) +oo )
)
144143, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  S
)
145130, 144ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
14697adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
14798adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  D  e.  RR )
14816ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
14969adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  e.  RR )
150100adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
151101adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
152102adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
153103adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
154104adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  U  e.  RR* )
1551053adant1r 1285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
156 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
157156adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
158157zred 11063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
15971adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  e.  RR )
16080ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  <  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
161 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  m )
162161adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  <_  m
)
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  <  m
)
164149rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  e.  RR* )
165164, 141syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  e.  ( T (,) +oo ) 
<->  ( m  e.  RR  /\  T  <  m ) ) )
166158, 163, 165mpbir2and 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ( T (,) +oo )
)
167166, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  S
)
168 peano2re 9824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
169158, 168syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  RR )
170158lep1d 10560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  <_  (
m  +  1 ) )
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  <  (
m  +  1 ) )
172 elioopnf 11753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( ( m  +  1 )  e.  RR  /\  T  < 
( m  +  1 ) ) ) )
173164, 172syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( T (,) +oo ) 
<->  ( ( m  + 
1 )  e.  RR  /\  T  <  ( m  +  1 ) ) ) )
174169, 171, 173mpbir2and 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( T (,) +oo )
)
175174, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  S
)
176108adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  D  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
177147, 159, 158, 176, 162letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  D  <_  m
)
178169rexrd 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  RR* )
17968rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR* )
180179adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR* )
181 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )  ->  m  <_  ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )
182181adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  <_  (
( |_ `  Y
)  -  1 ) )
183 1red 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
18466adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  Y  e.  RR )
185184, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
186 leaddsub 10111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( |_ `  Y )  e.  RR )  ->  (
( m  +  1 )  <_  ( |_ `  Y )  <->  m  <_  ( ( |_ `  Y
)  -  1 ) ) )
187158, 183, 185, 186syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  <_ 
( |_ `  Y
)  <->  m  <_  ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )
188182, 187mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  ( |_ `  Y ) )
18966rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  e.  RR* )
190179, 189, 104, 111, 112xrletrd 11482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  <_  U
)
191190adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  <_  U
)
192178, 180, 154, 188, 191xrletrd 11482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  U
)
193 flid 12077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( |_ `  m )  =  m )
194157, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  m )  =  m )
195194eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  =  ( |_ `  m ) )
196195oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  =  ( ( |_ `  m
)  +  1 ) )
197 eqle 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  RR  /\  ( m  +  1
)  =  ( ( |_ `  m )  +  1 ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
198169, 196, 197syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
1991, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 198dvfsumlem2 23058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( H `
 ( m  + 
1 ) )  <_ 
( H `  m
)  /\  ( ( H `  m )  -  [_ m  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
m  +  1 ) )  -  [_ (
m  +  1 )  /  x ]_ B
) ) )
200199simpld 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( H `  ( m  +  1
) )  <_  ( H `  m )
)
201129, 145, 200monoord2 12282 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( |_ `  Y
) )  <_  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
20271rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR* )
203202, 179, 104, 87, 190xrletrd 11482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  U
)
20471leidd 10201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
2051, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 203, 204dvfsumlem2 23058 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  <_ 
( H `  X
)  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  -  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) ) )
206205simpld 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  <_  ( H `  X )
)
20794, 126, 96, 201, 206letrd 9809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( |_ `  Y
) )  <_  ( H `  X )
)
20865, 94, 96, 120, 207letrd 9809 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  Y )  <_  ( H `  X )
)
20949ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
210209adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
211 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
212211nfel1 2626 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
213 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
214213eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
215212, 214rspc 3130 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
)
216210, 215mpan9 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  S )  ->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
217216ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
218 csbeq1 3352 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
219218eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
220219rspcv 3132 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
22195, 217, 220sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
22296, 221resubcld 10068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
223 csbeq1 3352 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( |_ `  Y )  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ ( |_ `  Y )  /  x ]_ B )
224223eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( |_ `  Y )  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B  e.  RR )
)
225224rspcv 3132 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B  e.  RR )
)
22693, 217, 225sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ ( |_
`  Y )  /  x ]_ B  e.  RR )
22794, 226resubcld 10068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )  e.  RR )
228 csbeq1 3352 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  Y  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
229228eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( m  =  Y  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
230229rspcv 3132 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
23164, 217, 230sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
23265, 231resubcld 10068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
233 csbeq1 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
234233eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B  e.  RR )
)
235234rspcv 3132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B  e.  RR )
)
236125, 217, 235sylc 61 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B  e.  RR )
237126, 236resubcld 10068 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B )  e.  RR )
238205simprd 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  -  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
239 vex 3034 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
240 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  m  ->  ( H `  y )  =  ( H `  m ) )
241 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  m  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ m  /  x ]_ B )
242240, 241oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  m  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B ) )
243 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( y  e. 
_V  |->  ( ( H `
 y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) )
244 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B )  e. 
_V
245242, 243, 244fvmpt3i 5968 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  m
)  =  ( ( H `  m )  -  [_ m  /  x ]_ B ) )
246239, 245ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  m )  =  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B )
247144, 216syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
248145, 247resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B )  e.  RR )
249246, 248syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `
 m )  e.  RR )
250199simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
m  +  1 ) )  -  [_ (
m  +  1 )  /  x ]_ B
) )
251 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( m  +  1 )  e. 
_V
252 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( m  +  1
) ) )
253 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ ( m  + 
1 )  /  x ]_ B )
254252, 253oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 ( m  + 
1 ) )  -  [_ ( m  +  1 )  /  x ]_ B ) )
255254, 243, 244fvmpt3i 5968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  +  1 )  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( H `  ( m  +  1 ) )  -  [_ ( m  +  1 )  /  x ]_ B ) )
256251, 255ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( H `
 ( m  + 
1 ) )  -  [_ ( m  +  1 )  /  x ]_ B )
257250, 246, 2563brtr4g 4428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `
 m )  <_ 
( ( y  e. 
_V  |->  ( ( H `
 y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( m  +  1
) ) )
258129, 249, 257monoord 12281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( (
y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  <_  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `
 ( |_ `  Y ) ) )
259 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e. 
_V
260 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
261 csbeq1 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
262260, 261oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 ( ( |_
`  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
263262, 243, 244fvmpt3i 5968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  =  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
264259, 263ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  =  ( ( H `
 ( ( |_
`  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
265 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( |_
`  Y )  e. 
_V
266 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( |_ `  Y )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( |_ `  Y ) ) )
267 csbeq1 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( |_ `  Y )  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ ( |_ `  Y )  /  x ]_ B )
268266, 267oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( |_ `  Y )  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B ) )
269268, 243, 244fvmpt3i 5968 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  ( |_ `  Y ) )  =  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B ) )
270265, 269ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( |_
`  Y ) )  =  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )
271258, 264, 2703brtr3g 4427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_
`  Y )  /  x ]_ B ) )
272222, 237, 227, 238, 271letrd 9809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_
`  Y )  /  x ]_ B ) )
273119simprd 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
274222, 227, 232, 272, 273letrd 9809 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
275208, 274jca 541 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X
)  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
2765, 10, 43, 275lecasei 9758 1  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   |_cfl 12059   sum_csu 13829    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  23060  dvfsum2  23065
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