Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvfsumlem3 23059
 Description: Lemma for dvfsumrlim 23062. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s
dvfsum.z
dvfsum.m
dvfsum.d
dvfsum.md
dvfsum.t
dvfsum.a
dvfsum.b1
dvfsum.b2
dvfsum.b3
dvfsum.c
dvfsum.u
dvfsum.l
dvfsum.h
dvfsumlem1.1
dvfsumlem1.2
dvfsumlem1.3
dvfsumlem1.4
dvfsumlem1.5
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4
2 ioossre 11721 . . . 4
31, 2eqsstri 3448 . . 3
4 dvfsumlem1.2 . . 3
53, 4sseldi 3416 . 2
6 dvfsumlem1.1 . . . 4
73, 6sseldi 3416 . . 3
8 reflcl 12065 . . 3
9 peano2re 9824 . . 3
107, 8, 93syl 18 . 2
11 dvfsum.z . . 3
12 dvfsum.m . . . 4
14 dvfsum.d . . . 4
16 dvfsum.md . . . 4
18 dvfsum.t . . . 4
20 dvfsum.a . . . 4
22 dvfsum.b1 . . . 4
24 dvfsum.b2 . . . 4
26 dvfsum.b3 . . . 4
28 dvfsum.c . . 3
29 dvfsum.u . . . 4
31 dvfsum.l . . . 4
33 dvfsum.h . . 3
36 dvfsumlem1.3 . . . 4
38 dvfsumlem1.4 . . . 4
40 dvfsumlem1.5 . . . 4
42 simpr 468 . . 3
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 23058 . 2
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4544sselda 3418 . . . . . . . . . 10
46 reflcl 12065 . . . . . . . . . . 11
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10
4845, 47resubcld 10068 . . . . . . . . 9
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 23055 . . . . . . . . 9
5048, 49remulcld 9689 . . . . . . . 8
51 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10
5224ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12
5352adantr 472 . . . . . . . . . . 11
54 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . 12
5554, 11syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11
5628eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12
5756rspccva 3135 . . . . . . . . . . 11
5853, 55, 57syl2an 485 . . . . . . . . . 10
5951, 58fsumrecl 13877 . . . . . . . . 9
6059, 20resubcld 10068 . . . . . . . 8
6150, 60readdcld 9688 . . . . . . 7
6261, 33fmptd 6061 . . . . . 6
6362adantr 472 . . . . 5
644adantr 472 . . . . 5
6563, 64ffvelrnd 6038 . . . 4
665adantr 472 . . . . . . . 8
67 reflcl 12065 . . . . . . . 8
6866, 67syl 17 . . . . . . 7
6918adantr 472 . . . . . . . 8
707adantr 472 . . . . . . . . 9
7170, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8
726, 1syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12
7318rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
74 elioopnf 11753 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12
7672, 75mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
7776simprd 470 . . . . . . . . . 10
78 fllep1 12070 . . . . . . . . . . 11
797, 78syl 17 . . . . . . . . . 10
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 9812 . . . . . . . . 9
8180adantr 472 . . . . . . . 8
82 simpr 468 . . . . . . . . 9
8370flcld 12067 . . . . . . . . . . 11
8483peano2zd 11066 . . . . . . . . . 10
85 flge 12074 . . . . . . . . . 10
8666, 84, 85syl2anc 673 . . . . . . . . 9
8782, 86mpbid 215 . . . . . . . 8
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 9812 . . . . . . 7
8973adantr 472 . . . . . . . 8
90 elioopnf 11753 . . . . . . . 8
9189, 90syl 17 . . . . . . 7
9268, 88, 91mpbir2and 936 . . . . . 6
9392, 1syl6eleqr 2560 . . . . 5
9463, 93ffvelrnd 6038 . . . 4
956adantr 472 . . . . 5
9663, 95ffvelrnd 6038 . . . 4
9712adantr 472 . . . . . 6
9814adantr 472 . . . . . 6
9916adantr 472 . . . . . 6
10020adantlr 729 . . . . . 6
10122adantlr 729 . . . . . 6
10224adantlr 729 . . . . . 6
10326adantr 472 . . . . . 6
10429adantr 472 . . . . . 6
105313adant1r 1285 . . . . . 6
10636adantr 472 . . . . . . . 8
10770, 78syl 17 . . . . . . . 8
10898, 70, 71, 106, 107letrd 9809 . . . . . . 7
10998, 71, 68, 108, 87letrd 9809 . . . . . 6
110 flle 12068 . . . . . . 7
11166, 110syl 17 . . . . . 6
11240adantr 472 . . . . . 6
113 fllep1 12070 . . . . . . . 8
11466, 113syl 17 . . . . . . 7
115 flidm 12078 . . . . . . . . 9
11666, 115syl 17 . . . . . . . 8
117116oveq1d 6323 . . . . . . 7
118114, 117breqtrrd 4422 . . . . . 6
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 23058 . . . . 5
120119simpld 466 . . . 4
121 elioopnf 11753 . . . . . . . . . 10
12273, 121syl 17 . . . . . . . . 9
12310, 80, 122mpbir2and 936 . . . . . . . 8
124123, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . 7
125124adantr 472 . . . . . 6
12663, 125ffvelrnd 6038 . . . . 5
12766flcld 12067 . . . . . . 7
128 eluz2 11188 . . . . . . 7
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1214 . . . . . 6
13063adantr 472 . . . . . . 7
131 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . 11
132131adantl 473 . . . . . . . . . 10
133132zred 11063 . . . . . . . . 9
13469adantr 472 . . . . . . . . . 10
13571adantr 472 . . . . . . . . . 10
13680ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
137 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . 11
138137adantl 473 . . . . . . . . . 10
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 9812 . . . . . . . . 9
14073ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
141 elioopnf 11753 . . . . . . . . . 10
142140, 141syl 17 . . . . . . . . 9
143133, 139, 142mpbir2and 936 . . . . . . . 8
144143, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . 7
145130, 144ffvelrnd 6038 . . . . . 6
14697adantr 472 . . . . . . . 8
14798adantr 472 . . . . . . . 8
14816ad2antrr 740 . . . . . . . 8
14969adantr 472 . . . . . . . 8
150100adantlr 729 . . . . . . . 8
151101adantlr 729 . . . . . . . 8
152102adantlr 729 . . . . . . . 8
153103adantr 472 . . . . . . . 8
154104adantr 472 . . . . . . . 8
1551053adant1r 1285 . . . . . . . 8
156 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . 12
157156adantl 473 . . . . . . . . . . 11
158157zred 11063 . . . . . . . . . 10
15971adantr 472 . . . . . . . . . . 11
16080ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
161 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . 12
162161adantl 473 . . . . . . . . . . 11
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10
164149rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11
165164, 141syl 17 . . . . . . . . . 10
166158, 163, 165mpbir2and 936 . . . . . . . . 9
167166, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8
168 peano2re 9824 . . . . . . . . . . 11
169158, 168syl 17 . . . . . . . . . 10
170158lep1d 10560 . . . . . . . . . . 11
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10
172 elioopnf 11753 . . . . . . . . . . 11
173164, 172syl 17 . . . . . . . . . 10
174169, 171, 173mpbir2and 936 . . . . . . . . 9
175174, 1syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8
176108adantr 472 . . . . . . . . 9
177147, 159, 158, 176, 162letrd 9809 . . . . . . . 8
178169rexrd 9708 . . . . . . . . 9
17968rexrd 9708 . . . . . . . . . 10
180179adantr 472 . . . . . . . . 9
181 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11
182181adantl 473 . . . . . . . . . 10
183 1red 9676 . . . . . . . . . . 11
18466adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
185184, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11
186 leaddsub 10111 . . . . . . . . . . 11
187158, 183, 185, 186syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
188182, 187mpbird 240 . . . . . . . . 9
18966rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11
190179, 189, 104, 111, 112xrletrd 11482 . . . . . . . . . 10
191190adantr 472 . . . . . . . . 9
192178, 180, 154, 188, 191xrletrd 11482 . . . . . . . 8
193 flid 12077 . . . . . . . . . . . 12
194157, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11
195194eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10
196195oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
197 eqle 9754 . . . . . . . . 9
198169, 196, 197syl2anc 673 . . . . . . . 8
1991, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 198dvfsumlem2 23058 . . . . . . 7
200199simpld 466 . . . . . 6
201129, 145, 200monoord2 12282 . . . . 5
20271rexrd 9708 . . . . . . . 8
203202, 179, 104, 87, 190xrletrd 11482 . . . . . . 7
20471leidd 10201 . . . . . . 7
2051, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 203, 204dvfsumlem2 23058 . . . . . 6
206205simpld 466 . . . . 5
20794, 126, 96, 201, 206letrd 9809 . . . 4
20865, 94, 96, 120, 207letrd 9809 . . 3
20949ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
210209adantr 472 . . . . . . . 8
211 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . 10
212211nfel1 2626 . . . . . . . . 9
213 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . 10
214213eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
215212, 214rspc 3130 . . . . . . . 8
216210, 215mpan9 477 . . . . . . 7
217216ralrimiva 2809 . . . . . 6
218 csbeq1 3352 . . . . . . . 8
219218eleq1d 2533 . . . . . . 7
220219rspcv 3132 . . . . . 6
22195, 217, 220sylc 61 . . . . 5
22296, 221resubcld 10068 . . . 4
223 csbeq1 3352 . . . . . . . 8
224223eleq1d 2533 . . . . . . 7
225224rspcv 3132 . . . . . 6
22693, 217, 225sylc 61 . . . . 5
22794, 226resubcld 10068 . . . 4
228 csbeq1 3352 . . . . . . . 8
229228eleq1d 2533 . . . . . . 7
230229rspcv 3132 . . . . . 6
23164, 217, 230sylc 61 . . . . 5
23265, 231resubcld 10068 . . . 4
233 csbeq1 3352 . . . . . . . . 9
234233eleq1d 2533 . . . . . . . 8
235234rspcv 3132 . . . . . . 7
236125, 217, 235sylc 61 . . . . . 6
237126, 236resubcld 10068 . . . . 5
238205simprd 470 . . . . 5
239 vex 3034 . . . . . . . . 9
240 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
241 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . 11
242240, 241oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
243 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
244 ovex 6336 . . . . . . . . . 10
245242, 243, 244fvmpt3i 5968 . . . . . . . . 9
246239, 245ax-mp 5 . . . . . . . 8
247144, 216syldan 478 . . . . . . . . 9
248145, 247resubcld 10068 . . . . . . . 8
249246, 248syl5eqel 2553 . . . . . . 7
250199simprd 470 . . . . . . . 8
251 ovex 6336 . . . . . . . . 9
252 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
253 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . 11
254252, 253oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
255254, 243, 244fvmpt3i 5968 . . . . . . . . 9
256251, 255ax-mp 5 . . . . . . . 8
257250, 246, 2563brtr4g 4428 . . . . . . 7
258129, 249, 257monoord 12281 . . . . . 6
259 ovex 6336 . . . . . . 7
260 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
261 csbeq1 3352 . . . . . . . . 9
262260, 261oveq12d 6326 . . . . . . . 8
263262, 243, 244fvmpt3i 5968 . . . . . . 7
264259, 263ax-mp 5 . . . . . 6
265 fvex 5889 . . . . . . 7
266 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
267 csbeq1 3352 . . . . . . . . 9
268266, 267oveq12d 6326 . . . . . . . 8
269268, 243, 244fvmpt3i 5968 . . . . . . 7
270265, 269ax-mp 5 . . . . . 6
271258, 264, 2703brtr3g 4427 . . . . 5
272222, 237, 227, 238, 271letrd 9809 . . . 4
273119simprd 470 . . . 4
274222, 227, 232, 272, 273letrd 9809 . . 3
275208, 274jca 541 . 2
2765, 10, 43, 275lecasei 9758 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031  csb 3349   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cz 10961  cuz 11182  cioo 11660  cfz 11810  cfl 12059  csu 13829   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  23060  dvfsum2  23065
 Copyright terms: Public domain W3C validator