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Theorem dvfsumlem3 22857
Description: Lemma for dvfsumrlim 22860. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem3
Dummy variables  y  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 ioossre 11696 . . . 4  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3500 . . 3  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3468 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
73, 6sseldi 3468 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
8 reflcl 12029 . . 3  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
9 peano2re 9805 . . 3  |-  ( ( |_ `  X )  e.  RR  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  RR )
107, 8, 93syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
11 dvfsum.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
12 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  M  e.  ZZ )
14 dvfsum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
1514adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  D  e.  RR )
16 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
1716adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
18 dvfsum.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1918adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  T  e.  RR )
20 dvfsum.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
2120adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
22 dvfsum.b1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
2322adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
24 dvfsum.b2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
2524adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
26 dvfsum.b3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
2726adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
28 dvfsum.c . . 3  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
29 dvfsum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
3029adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  U  e.  RR* )
31 dvfsum.l . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
32313adant1r 1257 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B
)
33 dvfsum.h . . 3  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
346adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  X  e.  S )
354adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  Y  e.  S )
36 dvfsumlem1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
3736adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  D  <_  X )
38 dvfsumlem1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
3938adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  X  <_  Y )
40 dvfsumlem1.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
4140adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  Y  <_  U )
42 simpr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
431, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 41, 42dvfsumlem2 22856 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X
)  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
4544sselda 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  RR )
46 reflcl 12029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
4845, 47resubcld 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  e.  RR )
4944, 20, 22, 26dvmptrecl 22853 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
5048, 49remulcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  e.  RR )
51 fzfid 12183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
5224ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5352adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
54 elfzuz 11794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5554, 11syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  Z )
5628eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
5756rspccva 3187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
5853, 55, 57syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
5951, 58fsumrecl 13778 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  e.  RR )
6059, 20resubcld 10046 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  e.  RR )
6150, 60readdcld 9669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  e.  RR )
6261, 33fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : S --> RR )
6362adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  H : S
--> RR )
644adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  e.  S )
6563, 64ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  Y )  e.  RR )
665adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  e.  RR )
67 reflcl 12029 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
6866, 67syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
6918adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  e.  RR )
707adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  X  e.  RR )
7170, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
726, 1syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( T (,) +oo ) )
7318rexrd 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
74 elioopnf 11728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( X  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  < 
X ) ) )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) ) )
7672, 75mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) )
7776simprd 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  <  X )
78 fllep1 12034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  RR  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
797, 78syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
8018, 7, 10, 77, 79ltletrd 9794 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
8180adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
82 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)
8370flcld 12031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  X )  e.  ZZ )
8483peano2zd 11043 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )
85 flge 12038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y 
<->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  ( |_ `  Y ) ) )
8666, 84, 85syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y  <->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  ( |_ `  Y ) ) )
8782, 86mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  ( |_ `  Y ) )
8869, 71, 68, 81, 87ltletrd 9794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  <  ( |_ `  Y ) )
8973adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  T  e.  RR* )
90 elioopnf 11728 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( ( |_ `  Y )  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( ( |_
`  Y )  e.  RR  /\  T  < 
( |_ `  Y
) ) ) )
9189, 90syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  Y )  e.  ( T (,) +oo ) 
<->  ( ( |_ `  Y )  e.  RR  /\  T  <  ( |_
`  Y ) ) ) )
9268, 88, 91mpbir2and 930 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  ( T (,) +oo )
)
9392, 1syl6eleqr 2528 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  S
)
9463, 93ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( |_ `  Y
) )  e.  RR )
956adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  X  e.  S )
9663, 95ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  X )  e.  RR )
9712adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  M  e.  ZZ )
9814adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  e.  RR )
9916adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
10020adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
10122adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
10224adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
10326adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
10429adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  U  e.  RR* )
105313adant1r 1257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
10636adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  <_  X )
10770, 78syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  X  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
10898, 70, 71, 106, 107letrd 9791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )
10998, 71, 68, 108, 87letrd 9791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  D  <_  ( |_ `  Y ) )
110 flle 12032 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  <_  Y )
11166, 110syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  <_  Y
)
11240adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  <_  U )
113 fllep1 12034 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  <_  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )
11466, 113syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  <_  ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) )
115 flidm 12042 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  ( |_ `  Y ) )  =  ( |_ `  Y
) )
11666, 115syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  ( |_ `  Y
) )  =  ( |_ `  Y ) )
117116oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  ( |_ `  Y ) )  +  1 )  =  ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) )
118114, 117breqtrrd 4452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  <_  ( ( |_ `  ( |_ `  Y ) )  +  1 ) )
1191, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 93, 64, 109, 111, 112, 118dvfsumlem2 22856 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  ( |_ `  Y ) )  /\  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
120119simpld 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  Y )  <_  ( H `  ( |_ `  Y ) ) )
121 elioopnf 11728 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR  /\  T  < 
( ( |_ `  X )  +  1 ) ) ) )
12273, 121syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR  /\  T  <  ( ( |_
`  X )  +  1 ) ) ) )
12310, 80, 122mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ( T (,) +oo ) )
124123, 1syl6eleqr 2528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  S )
125124adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  S
)
12663, 125ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  e.  RR )
12766flcld 12031 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  ZZ )
128 eluz2 11165 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  <->  ( ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( |_
`  Y )  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_ 
( |_ `  Y
) ) )
12984, 127, 87, 128syl3anbrc 1189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  X )  +  1 ) ) )
13063adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  H : S --> RR )
131 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( |_ `  Y
) )  ->  m  e.  ZZ )
132131adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
133132zred 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  RR )
13469adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  e.  RR )
13571adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  e.  RR )
13680ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  <  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
137 elfzle1 11800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( |_ `  Y
) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  m )
138137adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  <_  m
)
139134, 135, 133, 136, 138ltletrd 9794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  <  m
)
14073ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  T  e.  RR* )
141 elioopnf 11728 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( m  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( m  e.  RR  /\  T  < 
m ) ) )
142140, 141syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( m  e.  ( T (,) +oo ) 
<->  ( m  e.  RR  /\  T  <  m ) ) )
143133, 139, 142mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  ( T (,) +oo )
)
144143, 1syl6eleqr 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  m  e.  S
)
145130, 144ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
14697adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
14798adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  D  e.  RR )
14816ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
14969adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  e.  RR )
150100adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
151101adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
152102adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
153103adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
154104adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  U  e.  RR* )
1551053adant1r 1257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  (
( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
156 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
157156adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
158157zred 11040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
15971adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  e.  RR )
16080ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  <  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
161 elfzle1 11800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  m )
162161adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  X )  +  1 )  <_  m
)
163149, 159, 158, 160, 162ltletrd 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  <  m
)
164149rexrd 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  e.  RR* )
165164, 141syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  e.  ( T (,) +oo ) 
<->  ( m  e.  RR  /\  T  <  m ) ) )
166158, 163, 165mpbir2and 930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  ( T (,) +oo )
)
167166, 1syl6eleqr 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  e.  S
)
168 peano2re 9805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
169158, 168syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  RR )
170158lep1d 10538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  <_  (
m  +  1 ) )
171149, 158, 169, 163, 170ltletrd 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  T  <  (
m  +  1 ) )
172 elioopnf 11728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( ( m  +  1 )  e.  RR  /\  T  < 
( m  +  1 ) ) ) )
173164, 172syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( T (,) +oo ) 
<->  ( ( m  + 
1 )  e.  RR  /\  T  <  ( m  +  1 ) ) ) )
174169, 171, 173mpbir2and 930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( T (,) +oo )
)
175174, 1syl6eleqr 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  S
)
176108adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  D  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
177147, 159, 158, 176, 162letrd 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  D  <_  m
)
178169rexrd 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  e.  RR* )
17968rexrd 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR* )
180179adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR* )
181 elfzle2 11801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  X )  +  1 ) ... ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )  ->  m  <_  ( ( |_ `  Y )  -  1 ) )
182181adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  <_  (
( |_ `  Y
)  -  1 ) )
183 1red 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
18466adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  Y  e.  RR )
185184, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
186 leaddsub 10089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( |_ `  Y )  e.  RR )  ->  (
( m  +  1 )  <_  ( |_ `  Y )  <->  m  <_  ( ( |_ `  Y
)  -  1 ) ) )
187158, 183, 185, 186syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  <_ 
( |_ `  Y
)  <->  m  <_  ( ( |_ `  Y )  -  1 ) ) )
188182, 187mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  ( |_ `  Y ) )
18966rexrd 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  Y  e.  RR* )
190179, 189, 104, 111, 112xrletrd 11459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( |_ `  Y )  <_  U
)
191190adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  <_  U
)
192178, 180, 154, 188, 191xrletrd 11459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  U
)
193 flid 12041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( |_ `  m )  =  m )
194157, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( |_ `  m )  =  m )
195194eqcomd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  m  =  ( |_ `  m ) )
196195oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  =  ( ( |_ `  m
)  +  1 ) )
197 eqle 9735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  RR  /\  ( m  +  1
)  =  ( ( |_ `  m )  +  1 ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
198169, 196, 197syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( m  + 
1 )  <_  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
1991, 11, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 28, 154, 155, 33, 167, 175, 177, 170, 192, 198dvfsumlem2 22856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( H `
 ( m  + 
1 ) )  <_ 
( H `  m
)  /\  ( ( H `  m )  -  [_ m  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
m  +  1 ) )  -  [_ (
m  +  1 )  /  x ]_ B
) ) )
200199simpld 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( H `  ( m  +  1
) )  <_  ( H `  m )
)
201129, 145, 200monoord2 12241 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( |_ `  Y
) )  <_  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
20271rexrd 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR* )
203202, 179, 104, 87, 190xrletrd 11459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  U
)
20471leidd 10179 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )
2051, 11, 97, 98, 99, 69, 100, 101, 102, 103, 28, 104, 105, 33, 95, 125, 106, 107, 203, 204dvfsumlem2 22856 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  <_ 
( H `  X
)  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  -  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) ) )
206205simpld 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  <_  ( H `  X )
)
20794, 126, 96, 201, 206letrd 9791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  ( |_ `  Y
) )  <_  ( H `  X )
)
20865, 94, 96, 120, 207letrd 9791 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( H `  Y )  <_  ( H `  X )
)
20949ralrimiva 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
210209adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
211 nfcsb1v 3417 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
212211nfel1 2607 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
213 csbeq1a 3410 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
214213eleq1d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
215212, 214rspc 3182 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
)
216210, 215mpan9 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  S )  ->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
217216ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
218 csbeq1 3404 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
219218eleq1d 2498 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
220219rspcv 3184 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
22195, 217, 220sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
22296, 221resubcld 10046 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
223 csbeq1 3404 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( |_ `  Y )  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ ( |_ `  Y )  /  x ]_ B )
224223eleq1d 2498 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( |_ `  Y )  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B  e.  RR )
)
225224rspcv 3184 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B  e.  RR )
)
22693, 217, 225sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ ( |_
`  Y )  /  x ]_ B  e.  RR )
22794, 226resubcld 10046 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )  e.  RR )
228 csbeq1 3404 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  Y  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
229228eleq1d 2498 . . . . . . 7  |-  ( m  =  Y  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
230229rspcv 3184 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
23164, 217, 230sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
23265, 231resubcld 10046 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
233 csbeq1 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
234233eleq1d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B  e.  RR )
)
235234rspcv 3184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B  e.  RR )
)
236125, 217, 235sylc 62 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B  e.  RR )
237126, 236resubcld 10046 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B )  e.  RR )
238205simprd 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  -  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
239 vex 3090 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
240 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  m  ->  ( H `  y )  =  ( H `  m ) )
241 csbeq1 3404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  m  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ m  /  x ]_ B )
242240, 241oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  m  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B ) )
243 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( y  e. 
_V  |->  ( ( H `
 y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) )
244 ovex 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B )  e. 
_V
245242, 243, 244fvmpt3i 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  m
)  =  ( ( H `  m )  -  [_ m  /  x ]_ B ) )
246239, 245ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  m )  =  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B )
247144, 216syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
248145, 247resubcld 10046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B )  e.  RR )
249246, 248syl5eqel 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `
 m )  e.  RR )
250199simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( H `
 m )  -  [_ m  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  (
m  +  1 ) )  -  [_ (
m  +  1 )  /  x ]_ B
) )
251 ovex 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( m  +  1 )  e. 
_V
252 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( m  +  1
) ) )
253 csbeq1 3404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ ( m  + 
1 )  /  x ]_ B )
254252, 253oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 ( m  + 
1 ) )  -  [_ ( m  +  1 )  /  x ]_ B ) )
255254, 243, 244fvmpt3i 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  +  1 )  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( H `  ( m  +  1 ) )  -  [_ ( m  +  1 )  /  x ]_ B ) )
256251, 255ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( H `
 ( m  + 
1 ) )  -  [_ ( m  +  1 )  /  x ]_ B )
257250, 246, 2563brtr4g 4458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <_  Y )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  X
)  +  1 ) ... ( ( |_
`  Y )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `
 m )  <_ 
( ( y  e. 
_V  |->  ( ( H `
 y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( m  +  1
) ) )
258129, 249, 257monoord 12240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( (
y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  <_  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `
 ( |_ `  Y ) ) )
259 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e. 
_V
260 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
261 csbeq1 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
262260, 261oveq12d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 ( ( |_
`  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
263262, 243, 244fvmpt3i 5969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  =  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
264259, 263ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  =  ( ( H `
 ( ( |_
`  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
265 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( |_
`  Y )  e. 
_V
266 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( |_ `  Y )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( |_ `  Y ) ) )
267 csbeq1 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( |_ `  Y )  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ ( |_ `  Y )  /  x ]_ B )
268266, 267oveq12d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( |_ `  Y )  ->  (
( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B )  =  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B ) )
269268, 243, 244fvmpt3i 5969 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  _V  ->  (
( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y )  -  [_ y  /  x ]_ B
) ) `  ( |_ `  Y ) )  =  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B ) )
270265, 269ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  ( ( H `  y
)  -  [_ y  /  x ]_ B ) ) `  ( |_
`  Y ) )  =  ( ( H `
 ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )
271258, 264, 2703brtr3g 4457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  -  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_
`  Y )  /  x ]_ B ) )
272222, 237, 227, 238, 271letrd 9791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_
`  Y )  /  x ]_ B ) )
273119simprd 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  ( |_ `  Y ) )  -  [_ ( |_ `  Y
)  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
274222, 227, 232, 272, 273letrd 9791 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
275208, 274jca 534 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  <_  Y
)  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X
)  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( H `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
2765, 10, 43, 275lecasei 9739 1  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087   [_csb 3401    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   ...cfz 11782   |_cfl 12023   sum_csu 13730    _D cdv 22695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699
This theorem is referenced by:  dvfsumlem4  22858  dvfsum2  22863
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