Theorem dvfsumlem2 22163

Description: Lemma for dvfsumrlim 22167. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
dvfsum.h	|- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
dvfsumlem1.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsumlem1.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsumlem1.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsumlem1.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsumlem1.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsumlem1.6	|- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem2	|- ( ph -> ( ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) /\ ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   k, Y, x   x, Z   U, k, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   H( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( T (,) +oo )
2		ioossre 11582	. . . . . . . . 9 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3534	. . . . . . . 8 |- S C_ RR
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. S )
5	3, 4	sseldi 3502	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. S )
7	6, 1	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. ( T (,) +oo ) )
8		dvfsum.t	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. RR )
9	8	rexrd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. RR* )
10		elioopnf 11614	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. RR* -> ( X e. ( T (,) +oo ) <-> ( X e. RR /\ T < X ) ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X e. ( T (,) +oo ) <-> ( X e. RR /\ T < X ) ) )
12	7, 11	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X e. RR /\ T < X ) )
13	12	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
14		reflcl 11897	. . . . . . . 8 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
16	5, 15	resubcld 9983	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) e. RR )
17	13	rexrd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR* )
18	5	rexrd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR* )
19		dvfsumlem1.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X <_ Y )
20		ubicc2 11633	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> Y e. ( X [,] Y ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( X [,] Y ) )
22		pnfxr 11317	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> +oo e. RR* )
24	12	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T < X )
25		ltpnf 11327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. RR -> Y < +oo )
26	5, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y < +oo )
27		iccssioo 11589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( T < X /\ Y < +oo ) ) -> ( X [,] Y ) C_ ( T (,) +oo ) )
28	9, 23, 24, 26, 27	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ ( T (,) +oo ) )
29	28, 1	syl6sseqr 3551	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ S )
30	29	sselda 3504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y e. S )
31	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ RR )
32		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
33		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
34		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
35	31, 32, 33, 34	dvmptrecl 22160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
36		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S |-> B ) = ( x e. S |-> B )
37	35, 36	fmptd 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. S |-> B ) : S --> RR )
38		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y B
39		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
40		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
41	38, 39, 40	cbvmpt 4537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S |-> B ) = ( y e. S |-> [_ y / x ]_ B )
42	41	fmpt 6040	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. S [_ y / x ]_ B e. RR <-> ( x e. S |-> B ) : S --> RR )
43	37, 42	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. S [_ y / x ]_ B e. RR )
44	43	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> [_ y / x ]_ B e. RR )
45	30, 44	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ B e. RR )
46	45	ralrimiva 2878	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ B e. RR )
47		csbeq1 3438	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> [_ y / x ]_ B = [_ Y / x ]_ B )
48	47	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( [_ y / x ]_ B e. RR <-> [_ Y / x ]_ B e. RR ) )
49	48	rspcv 3210	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ B e. RR -> [_ Y / x ]_ B e. RR ) )
50	21, 46, 49	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. RR )
51	16, 50	remulcld 9620	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
52		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S |-> A ) = ( x e. S |-> A )
53	32, 52	fmptd 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. S |-> A ) : S --> RR )
54		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y A
55		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
56		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
57	54, 55, 56	cbvmpt 4537	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S |-> A ) = ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A )
58	57	fmpt 6040	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. S [_ y / x ]_ A e. RR <-> ( x e. S |-> A ) : S --> RR )
59	53, 58	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. S [_ y / x ]_ A e. RR )
60	59	r19.21bi 2833	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
61	30, 60	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
62	61	ralrimiva 2878	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ A e. RR )
63		csbeq1 3438	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> [_ y / x ]_ A = [_ Y / x ]_ A )
64	63	eleq1d 2536	. . . . . . 7 |- ( y = Y -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
65	64	rspcv 3210	. . . . . 6 |- ( Y e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ A e. RR -> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
66	21, 62, 65	sylc 60	. . . . 5 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. RR )
67	51, 66	resubcld 9983	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
68	13, 15	resubcld 9983	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. RR )
69		lbicc2 11632	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> X e. ( X [,] Y ) )
70	17, 18, 19, 69	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( X [,] Y ) )
71		csbeq1 3438	. . . . . . . . 9 |- ( y = X -> [_ y / x ]_ B = [_ X / x ]_ B )
72	71	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( [_ y / x ]_ B e. RR <-> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
73	72	rspcv 3210	. . . . . . 7 |- ( X e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ B e. RR -> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
74	70, 46, 73	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. RR )
75	68, 74	remulcld 9620	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
76		csbeq1 3438	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> [_ y / x ]_ A = [_ X / x ]_ A )
77	76	eleq1d 2536	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
78	77	rspcv 3210	. . . . . 6 |- ( X e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ A e. RR -> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
79	70, 62, 78	sylc 60	. . . . 5 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. RR )
80	75, 79	resubcld 9983	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
81		fzfid 12047	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
82		dvfsum.b2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
83	82	ralrimiva 2878	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. Z B e. RR )
84		elfzuz 11680	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
85		dvfsum.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
86	84, 85	syl6eleqr 2566	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
87		dvfsum.c	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> B = C )
88	87	eleq1d 2536	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( B e. RR <-> C e. RR ) )
89	88	rspccva 3213	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. Z B e. RR /\ k e. Z ) -> C e. RR )
90	83, 86, 89	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. RR )
91	81, 90	fsumrecl 13515	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. RR )
92	68, 50	remulcld 9620	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
93	92, 79	resubcld 9983	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
94	5, 13	resubcld 9983	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - X ) e. RR )
95	50, 94	remulcld 9620	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) e. RR )
96	50	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
97	5	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
98	13	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. CC )
99	96, 97, 98	subdid 10008	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) = ( ( [_ Y / x ]_ B x. Y ) - ( [_ Y / x ]_ B x. X ) ) )
100		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
101	100	mulcn 21106	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
102	28, 2	syl6ss 3516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
103		ax-resscn 9545	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
104	102, 103	syl6ss 3516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ CC )
105	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR C_ CC )
106		cncfmptc 21150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [_ Y / x ]_ B e. RR /\ ( X [,] Y ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ Y / x ]_ B ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
107	50, 104, 105, 106	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ Y / x ]_ B ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
108		cncfmptid 21151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X [,] Y ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> y ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
109	102, 103, 108	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> y ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
110		remulcl 9573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [_ Y / x ]_ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) e. RR )
111	100, 101, 107, 109, 103, 110	cncfmpt2ss 21154	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
112		reelprrecn 9580	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
114		ioossicc 11606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
115	114, 102	syl5ss 3515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ RR )
116	115	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> y e. RR )
117	116	recnd 9618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> y e. CC )
118		1cnd 9608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> 1 e. CC )
119		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
120	119	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
121		1cnd 9608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
122	113	dvmptid 22095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
123	100	tgioo2 21043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
124		iooretop 21008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X (,) Y ) e. ( topGen ` ran (,) )
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X (,) Y ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
126	113, 120, 121, 122, 115, 123, 100, 125	dvmptres 22101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> y ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> 1 ) )
127	113, 117, 118, 126, 96	dvmptcmul 22102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. 1 ) ) )
128	96	mulid1d 9609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. 1 ) = [_ Y / x ]_ B )
129	128	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. 1 ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ Y / x ]_ B ) )
130	127, 129	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ Y / x ]_ B ) )
131		resmpt 5321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X [,] Y ) C_ S -> ( ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) |` ( X [,] Y ) ) = ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
132	29, 131	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) |` ( X [,] Y ) ) = ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
133	32	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
134	133, 52	fmptd 6043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. S |-> A ) : S --> CC )
135	34	dmeqd 5203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = dom ( x e. S |-> B ) )
136	33	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. x e. S B e. V )
137		dmmptg 5502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. S B e. V -> dom ( x e. S |-> B ) = S )
138	136, 137	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom ( x e. S |-> B ) = S )
139	135, 138	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = S )
140		dvcn 22059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( x e. S |-> A ) : S --> CC /\ S C_ RR ) /\ dom ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = S ) -> ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> CC ) )
141	105, 134, 31, 139, 140	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> CC ) )
142		cncffvrn 21137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( RR C_ CC /\ ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> CC ) ) -> ( ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> RR ) <-> ( x e. S |-> A ) : S --> RR ) )
143	103, 141, 142	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> RR ) <-> ( x e. S |-> A ) : S --> RR ) )
144	53, 143	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> RR ) )
145	57, 144	syl5eqelr 2560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( S -cn-> RR ) )
146		rescncf 21136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X [,] Y ) C_ S -> ( ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( S -cn-> RR ) -> ( ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) |` ( X [,] Y ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) ) )
147	29, 145, 146	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) |` ( X [,] Y ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
148	132, 147	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
149	60	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
150	57	oveq2i 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) )
151	34, 150, 41	3eqtr3g 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. S |-> [_ y / x ]_ B ) )
152	114, 29	syl5ss 3515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ S )
153	113, 149, 44, 151, 152, 123, 100, 125	dvmptres 22101	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
154	114	sseli 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( X (,) Y ) -> y e. ( X [,] Y ) )
155		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> ph )
156	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> Y e. S )
157		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. RR )
158	157	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> D e. RR )
159	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> X e. RR )
160		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( y e. ( X [,] Y ) <-> ( y e. RR /\ X <_ y /\ y <_ Y ) ) )
161	13, 5, 160	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) <-> ( y e. RR /\ X <_ y /\ y <_ Y ) ) )
162	161	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> ( y e. RR /\ X <_ y /\ y <_ Y ) )
163	162	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y e. RR )
164		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D <_ X )
165	164	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> D <_ X )
166	162	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> X <_ y )
167	158, 159, 163, 165, 166	letrd 9734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> D <_ y )
168	162	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y <_ Y )
169		dvfsumlem1.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y <_ U )
170	169	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> Y <_ U )
171		simp2r 1023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> Y e. S )
172		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = Y -> ( k e. S <-> Y e. S ) )
173	172	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = Y -> ( ( y e. S /\ k e. S ) <-> ( y e. S /\ Y e. S ) ) )
174		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = Y -> ( y <_ k <-> y <_ Y ) )
175		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = Y -> ( k <_ U <-> Y <_ U ) )
176	174, 175	3anbi23d 1302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = Y -> ( ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) <-> ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) )
177	173, 176	3anbi23d 1302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = Y -> ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) ) )
178		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- k e. _V
179		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x C
180	178, 179, 87	csbief 3460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ k / x ]_ B = C
181		csbeq1 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = Y -> [_ k / x ]_ B = [_ Y / x ]_ B )
182	180, 181	syl5eqr 2522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = Y -> C = [_ Y / x ]_ B )
183	182	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = Y -> ( C <_ [_ y / x ]_ B <-> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B ) )
184	177, 183	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = Y -> ( ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ y / x ]_ B ) <-> ( ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B ) ) )
185		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) )
186		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x <_
187	179, 186, 39	nfbr 4491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x C <_ [_ y / x ]_ B
188	185, 187	nfim 1867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ y / x ]_ B )
189		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x e. S <-> y e. S ) )
190	189	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( x e. S /\ k e. S ) <-> ( y e. S /\ k e. S ) ) )
191		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( D <_ x <-> D <_ y ) )
192		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x <_ k <-> y <_ k ) )
193	191, 192	3anbi12d 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) <-> ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) )
194	190, 193	3anbi23d 1302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) ) )
195	40	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( C <_ B <-> C <_ [_ y / x ]_ B ) )
196	194, 195	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B ) <-> ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ y / x ]_ B ) ) )
197		dvfsum.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
198	188, 196, 197	chvar 1982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ y / x ]_ B )
199	184, 198	vtoclg 3171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. S -> ( ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B ) )
200	171, 199	mpcom 36	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B )
201	155, 30, 156, 167, 168, 170, 200	syl123anc 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B )
202	154, 201	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B )
203		oveq2 6290	. . . . . . . . . 10 |- ( y = X -> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) = ( [_ Y / x ]_ B x. X ) )
204		oveq2 6290	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) = ( [_ Y / x ]_ B x. Y ) )
205	13, 5, 111, 130, 148, 153, 202, 70, 21, 19, 203, 76, 204, 63	dvle 22143	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( [_ Y / x ]_ B x. Y ) - ( [_ Y / x ]_ B x. X ) ) <_ ( [_ Y / x ]_ A - [_ X / x ]_ A ) )
206	99, 205	eqbrtrd 4467	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) <_ ( [_ Y / x ]_ A - [_ X / x ]_ A ) )
207	95, 66, 79, 206	lesubd 10152	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A <_ ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
208	92	recnd 9618	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
209	51	recnd 9618	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
210	66	recnd 9618	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
211	208, 209, 210	subsubd 9954	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) )
212	209, 208	negsubdi2d 9942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
213	15	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. CC )
214	97, 98, 213	nnncan2d 9961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - ( X - ( |_ ` X ) ) ) = ( Y - X ) )
215	214	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - ( X - ( |_ ` X ) ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - X ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
216	16	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) e. CC )
217	68	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. CC )
218	216, 217, 96	subdird 10009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - ( X - ( |_ ` X ) ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
219	94	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y - X ) e. CC )
220	219, 96	mulcomd 9613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y - X ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
221	215, 218, 220	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
222	221	negeqd 9810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) = -u ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
223	212, 222	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) = -u ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
224	223	oveq1d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) = ( -u ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) + [_ Y / x ]_ A ) )
225	95	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) e. CC )
226	225, 210	negsubdid 9941	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( -u ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) + [_ Y / x ]_ A ) )
227	224, 226	eqtr4d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) = -u ( ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) - [_ Y / x ]_ A ) )
228	225, 210	negsubdi2d 9942	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
229	211, 227, 228	3eqtrd 2512	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
230	207, 229	breqtrrd 4473	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) )
231	79, 92, 67, 230	lesubd 10152	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
232		flle 11900	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) <_ X )
233	13, 232	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ X )
234	13, 15	subge0d 10138	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) <-> ( |_ ` X ) <_ X ) )
235	233, 234	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
236	201	ralrimiva 2878	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. ( X [,] Y ) [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B )
237	71	breq2d 4459	. . . . . . . . 9 |- ( y = X -> ( [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B <-> [_ Y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B ) )
238	237	rspcv 3210	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B ) )
239	70, 236, 238	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B )
240	50, 74, 68, 235, 239	lemul2ad 10482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
241	92, 75, 79, 240	lesub1dd 10164	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
242	67, 93, 80, 231, 241	letrd 9734	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
243	67, 80, 91, 242	leadd1dd 10162	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
244		dvfsum.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
245		dvfsum.md	. . . 4 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
246		dvfsum.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. RR* )
247		dvfsum.h	. . . 4 |- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
248		dvfsumlem1.6	. . . 4 |- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
249	1, 85, 244, 157, 245, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 246, 197, 247, 6, 4, 164, 19, 169, 248	dvfsumlem1 22162	. . 3 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
250	13	leidd 10115	. . . 4 |- ( ph -> X <_ X )
251	17, 18, 246, 19, 169	xrletrd 11361	. . . 4 |- ( ph -> X <_ U )
252		fllep1 11902	. . . . 5 |- ( X e. RR -> X <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
253	13, 252	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> X <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
254	1, 85, 244, 157, 245, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 246, 197, 247, 6, 6, 164, 250, 251, 253	dvfsumlem1 22162	. . 3 |- ( ph -> ( H ` X ) = ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
255	243, 249, 254	3brtr4d 4477	. 2 |- ( ph -> ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) )
256	80, 74	resubcld 9983	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) e. RR )
257	67, 50	resubcld 9983	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
258		peano2rem 9882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X - ( |_ ` X ) ) e. RR -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
259	68, 258	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
260	259, 74	remulcld 9620	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
261	260, 79	resubcld 9983	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
262		peano2rem 9882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y - ( |_ ` X ) ) e. RR -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
263	16, 262	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
264	263, 74	remulcld 9620	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
265	264, 66	resubcld 9983	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
266	263, 50	remulcld 9620	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
267	266, 66	resubcld 9983	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
268	260	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) e. CC )
269	264	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) e. CC )
270	268, 269	subcld 9926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) e. CC )
271	270, 210	addcomd 9777	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A + ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) )
272	268, 269, 210	subsubd 9954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) )
273	210, 269, 268	subsub2d 9955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) = ( [_ Y / x ]_ A + ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) )
274	271, 272, 273	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) )
275		1cnd 9608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. CC )
276	216, 217, 275	nnncan2d 9961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) = ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - ( X - ( |_ ` X ) ) ) )
277	276, 214	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) = ( Y - X ) )
278	277	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( ( Y - X ) x. [_ X / x ]_ B ) )
279	263	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. CC )
280	259	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. CC )
281	74	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. CC )
282	279, 280, 281	subdird 10009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) )
283	219, 281	mulcomd 9613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y - X ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
284	278, 282, 283	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) = ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
285	284	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
286	274, 285	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
287	74, 94	remulcld 9620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) e. RR )
288		cncfmptc 21150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( [_ X / x ]_ B e. RR /\ ( X [,] Y ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ X / x ]_ B ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
289	74, 104, 105, 288	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ X / x ]_ B ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
290		remulcl 9573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [_ X / x ]_ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( [_ X / x ]_ B x. y ) e. RR )
291	100, 101, 289, 109, 103, 290	cncfmpt2ss 21154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. y ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
292	113, 117, 118, 126, 281	dvmptcmul 22102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. y ) ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. 1 ) ) )
293	281	mulid1d 9609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B x. 1 ) = [_ X / x ]_ B )
294	293	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. 1 ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ X / x ]_ B ) )
295	292, 294	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. y ) ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ X / x ]_ B ) )
296	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> X e. S )
297	163	rexrd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y e. RR* )
298	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> Y e. RR* )
299	246	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> U e. RR* )
300	297, 298, 299, 168, 170	xrletrd 11361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y <_ U )
301		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
302		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( k e. S <-> y e. S ) )
303	302	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> ( ( X e. S /\ k e. S ) <-> ( X e. S /\ y e. S ) ) )
304		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( X <_ k <-> X <_ y ) )
305		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( k <_ U <-> y <_ U ) )
306	304, 305	3anbi23d 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> ( ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) <-> ( D <_ X /\ X <_ y /\ y <_ U ) ) )
307	303, 306	3anbi23d 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = y -> ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( X e. S /\ y e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ y /\ y <_ U ) ) ) )
308		csbeq1 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> [_ k / x ]_ B = [_ y / x ]_ B )
309	180, 308	syl5eqr 2522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> C = [_ y / x ]_ B )
310	309	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = y -> ( C <_ [_ X / x ]_ B <-> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B ) )
311	307, 310	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B ) <-> ( ( ph /\ ( X e. S /\ y e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ y /\ y <_ U ) ) -> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
312		simp2l 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> X e. S )
313		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) )
314		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x [_ X / x ]_ B
315	179, 186, 314	nfbr 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x C <_ [_ X / x ]_ B
316	313, 315	nfim 1867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B )
317		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = X -> ( x e. S <-> X e. S ) )
318	317	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = X -> ( ( x e. S /\ k e. S ) <-> ( X e. S /\ k e. S ) ) )
319		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = X -> ( D <_ x <-> D <_ X ) )
320		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = X -> ( x <_ k <-> X <_ k ) )
321	319, 320	3anbi12d 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = X -> ( ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) <-> ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) )
322	318, 321	3anbi23d 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = X -> ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) ) )
323		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = X -> B = [_ X / x ]_ B )
324	323	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = X -> ( C <_ B <-> C <_ [_ X / x ]_ B ) )
325	322, 324	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = X -> ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B ) <-> ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
326	316, 325, 197	vtoclg1f 3170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. S -> ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B ) )
327	312, 326	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B )
328	301, 311, 327	vtocl 3165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ y e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ y /\ y <_ U ) ) -> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B )
329	155, 296, 30, 165, 166, 300, 328	syl123anc 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B )
330	154, 329	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B )
331		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = X -> ( [_ X / x ]_ B x. y ) = ( [_ X / x ]_ B x. X ) )
332		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( [_ X / x ]_ B x. y ) = ( [_ X / x ]_ B x. Y ) )
333	13, 5, 148, 153, 291, 295, 330, 70, 21, 19, 76, 331, 63, 332	dvle 22143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( [_ X / x ]_ B x. Y ) - ( [_ X / x ]_ B x. X ) ) )
334	281, 97, 98	subdid 10008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) = ( ( [_ X / x ]_ B x. Y ) - ( [_ X / x ]_ B x. X ) ) )
335	333, 334	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - [_ X / x ]_ A ) <_ ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
336	66, 79, 287, 335	subled 10151	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) <_ [_ X / x ]_ A )
337	286, 336	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ [_ X / x ]_ A )
338	260, 265, 79, 337	subled 10151	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
339	263	renegcld 9982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
340		1red 9607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
341	5, 15, 340	lesubadd2d 10147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) <_ 1 <-> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
342	248, 341	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
343	16, 340	suble0d 10139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) <_ 0 <-> ( Y - ( |_ ` X ) ) <_ 1 ) )
344	342, 343	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) <_ 0 )
345	263	le0neg1d 10120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) )
346	344, 345	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) )
347	50, 74, 339, 346, 239	lemul2ad 10482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ ( -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) )
348	279, 96	mulneg1d 10005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
349	279, 281	mulneg1d 10005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) )
350	347, 348, 349	3brtr3d 4476	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) )
351	264, 266	lenegd 10127	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) <-> -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) )
352	350, 351	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
353	264, 266, 66, 352	lesub1dd 10164	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
354	261, 265, 267, 338, 353	letrd 9734	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
355	217, 275, 281	subdird 10009	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) ) )
356	281	mulid2d 9610	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) = [_ X / x ]_ B )
357	356	oveq2d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) )
358	355, 357	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) )
359	358	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) = ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
360	216, 275, 96	subdird 10009	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
361	96	mulid2d 9610	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) = [_ Y / x ]_ B )
362	361	oveq2d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
363	360, 362	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
364	363	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
365	354, 359, 364	3brtr3d 4476	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
366	75	recnd 9618	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. CC )
367	79	recnd 9618	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. CC )
368	366, 367, 281	sub32d 9958	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
369	209, 210, 96	sub32d 9958	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
370	365, 368, 369	3brtr4d 4477	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) )
371	256, 257, 91, 370	leadd1dd 10162	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) <_ ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
372	80	recnd 9618	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) e. CC )
373	91	recnd 9618	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
374	372, 373, 281	addsubd 9947	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
375	67	recnd 9618	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
376	375, 373, 96	addsubd 9947	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
377	371, 374, 376	3brtr4d 4477	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ Y / x ]_ B ) )
378	254	oveq1d 6297	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ X / x ]_ B ) )
379	249	oveq1d 6297	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ Y / x ]_ B ) )
380	377, 378, 379	3brtr4d 4477	. 2 |- ( ph -> ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) )
381	255, 380	jca 532	1 |- ( ph -> ( ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) /\ ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   [_csb 3435   C_ wss 3476   {cpr 4029   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   -ucneg 9802   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   ...cfz 11668   |_cfl 11891   sum_csu 13467   TopOpenctopn 14673   topGenctg 14689  ℂ_fldccnfld 18191   -cn->ccncf 21115   _D cdv 22002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006

This theorem is referenced by:  dvfsumlem3  22164