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Theorem dvfsumlem2 22554
Description: Lemma for dvfsumrlim 22558. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsumlem1.6  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 ioossre 11611 . . . . . . . . 9  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3529 . . . . . . . 8  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
76, 1syl6eleq 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( T (,) +oo ) )
8 dvfsum.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
98rexrd 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
10 elioopnf 11643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( X  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  < 
X ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) ) )
127, 11mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) )
1312simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
14 reflcl 11936 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
165, 15resubcld 10008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
1713rexrd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
185rexrd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
19 dvfsumlem1.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
20 ubicc2 11662 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
22 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
2412simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  <  X )
25 ltpnf 11356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  < +oo )
265, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  < +oo )
27 iccssioo 11618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( T  <  X  /\  Y  < +oo ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  ( T (,) +oo ) )
289, 23, 24, 26, 27syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  ( T (,) +oo ) )
2928, 1syl6sseqr 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  S )
3029sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  S )
313a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
32 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
33 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
34 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 22551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
36 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( x  e.  S  |->  B )
3735, 36fmptd 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> RR )
38 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y B
39 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
40 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
4138, 39, 40cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ B )
4241fmpt 6053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> RR )
4337, 42sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4443r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4530, 44syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4645ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
47 csbeq1 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
4847eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
4948rspcv 3206 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
5021, 46, 49sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
5116, 50remulcld 9641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
52 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( x  e.  S  |->  A )
5332, 52fmptd 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR )
54 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y A
55 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
56 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
5754, 55, 56cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )
5857fmpt 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR )
5953, 58sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6059r19.21bi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6130, 60syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6261ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
63 csbeq1 3433 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ Y  /  x ]_ A )
6463eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
6564rspcv 3206 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
6621, 62, 65sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
6751, 66resubcld 10008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
6813, 15resubcld 10008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
69 lbicc2 11661 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
7017, 18, 19, 69syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
71 csbeq1 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
7271eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7372rspcv 3206 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR ) )
7470, 46, 73sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
7568, 74remulcld 9641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
76 csbeq1 3433 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ X  /  x ]_ A )
7776eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
7877rspcv 3206 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
7970, 62, 78sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
8075, 79resubcld 10008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
81 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
82 dvfsum.b2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
8382ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
84 elfzuz 11709 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 dvfsum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8684, 85syl6eleqr 2556 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
87 dvfsum.c . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
8887eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
8988rspccva 3209 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
9083, 86, 89syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
9181, 90fsumrecl 13568 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
9268, 50remulcld 9641 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
9392, 79resubcld 10008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
945, 13resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
9550, 94remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
9650recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
975recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
9813recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
9996, 97, 98subdid 10033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
100 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
101100mulcn 21497 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
10228, 2syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
103 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
104102, 103syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  CC )
105103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
106 cncfmptc 21541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  e.  RR  /\  ( X [,] Y
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
10750, 104, 105, 106syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
108 cncfmptid 21542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X [,] Y
)  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  y )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
109102, 103, 108sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  y )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
110 remulcl 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y )  e.  RR )
111100, 101, 107, 109, 103, 110cncfmpt2ss 21545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
112 reelprrecn 9601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
114 ioossicc 11635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
115114, 102syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  RR )
116115sselda 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  y  e.  RR )
117116recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  y  e.  CC )
118 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  1  e.  CC )
119 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
120119recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
121 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
122113dvmptid 22486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
123100tgioo2 21434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
124 iooretop 21399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X (,) Y )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
126113, 120, 121, 122, 115, 123, 100, 125dvmptres 22492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  y ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  1 ) )
127113, 117, 118, 126, 96dvmptcmul 22493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 ) ) )
12896mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 )  =  [_ Y  /  x ]_ B )
129128mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ Y  /  x ]_ B
) )
130127, 129eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ Y  /  x ]_ B ) )
13129resmptd 5335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A ) )
13232recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
133132, 52fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
13434dmeqd 5215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  S  |->  B ) )
13533ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  V )
136 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  S  |->  B )  =  S )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  S  |->  B )  =  S )
138134, 137eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  S )
139 dvcn 22450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC  /\  S  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  S )  -> 
( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> CC ) )
140105, 133, 31, 138, 139syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> CC ) )
141 cncffvrn 21528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( S
-cn-> CC ) )  -> 
( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR ) )
142103, 140, 141sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR ) )
14353, 142mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR ) )
14457, 143syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  e.  ( S -cn-> RR ) )
145 rescncf 21527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  S  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  e.  ( S -cn-> RR )  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) ) )
14629, 144, 145sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
147131, 146eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
14860recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
14957oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A ) )
15034, 149, 413eqtr3g 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
151114, 29syl5ss 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  S )
152113, 148, 44, 150, 151, 123, 100, 125dvmptres 22492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
153114sseli 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( X (,) Y )  ->  y  e.  ( X [,] Y
) )
154 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ph )
1554adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  e.  S )
156 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
157156adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  e.  RR )
15813adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  e.  RR )
159 elicc2 11614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( y  e.  RR  /\  X  <_  y  /\  y  <_  Y ) ) )
16013, 5, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( y  e.  RR  /\  X  <_  y  /\  y  <_  Y ) ) )
161160biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  X  <_ 
y  /\  y  <_  Y ) )
162161simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  RR )
163 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  <_  X )
165161simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  <_  y )
166157, 158, 162, 164, 165letrd 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  <_  y )
167161simp3d 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  <_  Y )
168 dvfsumlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
169168adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  <_  U )
170 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  Y  e.  S )
171 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
k  e.  S  <->  Y  e.  S ) )
172171anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  (
( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S ) ) )
173 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
y  <_  k  <->  y  <_  Y ) )
174 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
k  <_  U  <->  Y  <_  U ) )
175173, 1743anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  (
( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U
) ) )
176172, 1753anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Y  ->  (
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) ) ) )
177 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  k  e. 
_V
178177, 87csbie 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ k  /  x ]_ B  =  C
179 csbeq1 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
180178, 179syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  C  =  [_ Y  /  x ]_ B )
181180breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Y  ->  ( C  <_  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
182176, 181imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  Y  ->  (
( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
183 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )
184 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x C
185 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x  <_
186184, 185, 39nfbr 4500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  C  <_  [_ y  /  x ]_ B
187183, 186nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )
188 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  S  <->  y  e.  S ) )
189188anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( y  e.  S  /\  k  e.  S ) ) )
190 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  y ) )
191 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  k  <->  y  <_  k ) )
192190, 1913anbi12d 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) ) )
193189, 1923anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) ) ) )
19440breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( C  <_  B  <->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
195193, 194imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
196 dvfsum.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
197187, 195, 196chvar 2014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )
198182, 197vtoclg 3167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  S  ->  (
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
199170, 198mpcom 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
200154, 30, 155, 166, 167, 169, 199syl123anc 1245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
201153, 200sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
202 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X ) )
203 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  Y ) )
20413, 5, 111, 130, 147, 152, 201, 70, 21, 19, 202, 76, 203, 63dvle 22534 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  Y )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X
) )  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
20599, 204eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
20695, 66, 79, 205lesubd 10177 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
20792recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
20851recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
20966recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
210207, 208, 209subsubd 9978 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
211208, 207negsubdi2d 9966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
21215recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  CC )
21397, 98, 212nnncan2d 9985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  =  ( Y  -  X ) )
214213oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  X )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
21516recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
21668recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
217215, 216, 96subdird 10034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
21894recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
219218, 96mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
220214, 217, 2193eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
221220negeqd 9833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) )
222211, 221eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
223222oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
22495recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  CC )
225224, 209negsubdid 9965 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
226223, 225eqtr4d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  -u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
) )
227224, 209negsubdi2d 9966 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
228210, 226, 2273eqtrd 2502 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) ) )
229206, 228breqtrrd 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  <_  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
) ) )
23079, 92, 67, 229lesubd 10177 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
231 flle 11939 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  <_  X )
23213, 231syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  X )
23313, 15subge0d 10163 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <->  ( |_ `  X )  <_  X
) )
234232, 233mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
235200ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
23671breq2d 4468 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
237236rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
23870, 235, 237sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
23950, 74, 68, 234, 238lemul2ad 10506 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
24092, 75, 79, 239lesub1dd 10189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
24167, 93, 80, 230, 240letrd 9756 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
24267, 80, 91, 241leadd1dd 10187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C ) )
243 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
244 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
245 dvfsum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
246 dvfsum.h . . . 4  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
247 dvfsumlem1.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
2481, 85, 243, 156, 244, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 245, 196, 246, 6, 4, 163, 19, 168, 247dvfsumlem1 22553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
24913leidd 10140 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  X )
25017, 18, 245, 19, 168xrletrd 11390 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
251 fllep1 11941 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
25213, 251syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
2531, 85, 243, 156, 244, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 245, 196, 246, 6, 6, 163, 249, 250, 252dvfsumlem1 22553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
254242, 248, 2533brtr4d 4486 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  <_  ( H `  X ) )
25580, 74resubcld 10008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
25667, 50resubcld 10008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  RR )
257 peano2rem 9905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  e.  RR  ->  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
25868, 257syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
259258, 74remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
260259, 79resubcld 10008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
261 peano2rem 9905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  e.  RR  ->  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
26216, 261syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
263262, 74remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
264263, 66resubcld 10008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
265262, 50remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  RR )
266265, 66resubcld 10008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
267259recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  CC )
268263recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  CC )
269267, 268subcld 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  e.  CC )
270269, 209addcomd 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  +  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
271267, 268, 209subsubd 9978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )  + 
[_ Y  /  x ]_ A ) )
272209, 268, 267subsub2d 9979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  +  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
273270, 271, 2723eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
274 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
275215, 216, 274nnncan2d 9985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) ) )
276275, 213eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  =  ( Y  -  X ) )
277276oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  X )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
278262recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  CC )
279258recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  CC )
28074recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
281278, 279, 280subdird 10034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
282218, 280mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
283277, 281, 2823eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
284283oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) ) )
285273, 284eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
28674, 94remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
287 cncfmptc 21541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[_ X  /  x ]_ B  e.  RR  /\  ( X [,] Y
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
28874, 104, 105, 287syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ X  /  x ]_ B )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
289 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ X  /  x ]_ B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y )  e.  RR )
290100, 101, 288, 109, 103, 289cncfmpt2ss 21545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
291113, 117, 118, 126, 280dvmptcmul 22493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ X  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 ) ) )
292280mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 )  =  [_ X  /  x ]_ B )
293292mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ X  /  x ]_ B
) )
294291, 293eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ X  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ X  /  x ]_ B ) )
2956adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  e.  S )
296162rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  RR* )
29718adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  e.  RR* )
298245adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  U  e.  RR* )
299296, 297, 298, 167, 169xrletrd 11390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  <_  U )
300 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
301 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
k  e.  S  <->  y  e.  S ) )
302301anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( X  e.  S  /\  y  e.  S ) ) )
303 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  ( X  <_  k  <->  X  <_  y ) )
304 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
k  <_  U  <->  y  <_  U ) )
305303, 3043anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
y  /\  y  <_  U ) ) )
306302, 3053anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) ) ) )
307 csbeq1 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ y  /  x ]_ B )
308178, 307syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ B )
309308breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  ( C  <_  [_ X  /  x ]_ B  <->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
310306, 309imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
311 simp2l 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  X  e.  S )
312 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )
313 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
314184, 185, 313nfbr 4500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x  C  <_  [_ X  /  x ]_ B
315312, 314nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )
316 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  S  <->  X  e.  S ) )
317316anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( X  e.  S  /\  k  e.  S ) ) )
318 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
319 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <_  k  <->  X  <_  k ) )
320318, 3193anbi12d 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  (
( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) ) )
321317, 3203anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) ) ) )
322 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
323322breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  ( C  <_  B  <->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
324321, 323imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
325315, 324, 196vtoclg1f 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
326311, 325mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )
327300, 310, 326vtocl 3161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
328154, 295, 30, 164, 165, 299, 327syl123anc 1245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
329153, 328sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
330 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) )
331 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  Y ) )
33213, 5, 147, 152, 290, 294, 329, 70, 21, 19, 76, 330, 63, 331dvle 22534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( ( [_ X  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
333280, 97, 98subdid 10033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( (
[_ X  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
334332, 333breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
33566, 79, 286, 334subled 10176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) )  <_  [_ X  /  x ]_ A )
336285, 335eqbrtrd 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  [_ X  /  x ]_ A )
337259, 264, 79, 336subled 10176 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
338262renegcld 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  e.  RR )
339 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3405, 15, 339lesubadd2d 10172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  <_  1  <->  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
341247, 340mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
34216, 339suble0d 10164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  <_  0  <->  ( Y  -  ( |_
`  X ) )  <_  1 ) )
343341, 342mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  <_  0 )
344262le0neg1d 10145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  <_  0  <->  0  <_  -u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 ) ) )
345343, 344mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 ) )
34650, 74, 338, 345, 238lemul2ad 10506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
347278, 96mulneg1d 10030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) )
348278, 280mulneg1d 10030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
) )
349346, 347, 3483brtr3d 4485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
350263, 265lenegd 10152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <->  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
351349, 350mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
352263, 265, 66, 351lesub1dd 10189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
353260, 264, 266, 337, 352letrd 9756 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
354216, 274, 280subdird 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
) ) )
355280mulid2d 9631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
356355oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
357354, 356eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
358357oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
359215, 274, 96subdird 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) ) )
36096mulid2d 9631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
361360oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
362359, 361eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
363362oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
364353, 358, 3633brtr3d 4485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
36575recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  CC )
36679recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  CC )
367365, 366, 280sub32d 9982 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
368208, 209, 96sub32d 9982 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
369364, 367, 3683brtr4d 4486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
370255, 256, 91, 369leadd1dd 10187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )  <_  (
( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
37180recnd 9639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  CC )
37291recnd 9639 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
373371, 372, 280addsubd 9971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
37467recnd 9639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  CC )
375374, 372, 96addsubd 9971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
376370, 373, 3753brtr4d 4486 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
377253oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B
) )
378248oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )  -  [_ Y  /  x ]_ B
) )
379376, 377, 3783brtr4d 4486 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
380254, 379jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   [_csb 3430    C_ wss 3471   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ...cfz 11697   |_cfl 11930   sum_csu 13520   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂfldccnfld 18547   -cn->ccncf 21506    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  dvfsumlem3  22555
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