Theorem dvfsumlem2 23058

Description: Lemma for dvfsumrlim 23062. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
dvfsum.h	|- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
dvfsumlem1.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsumlem1.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsumlem1.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsumlem1.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsumlem1.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsumlem1.6	|- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem2	|- ( ph -> ( ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) /\ ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   k, Y, x   x, Z   U, k, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   H( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( T (,) +oo )
2		ioossre 11721	. . . . . . . . 9 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3448	. . . . . . . 8 |- S C_ RR
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. S )
5	3, 4	sseldi 3416	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. S )
7	6, 1	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. ( T (,) +oo ) )
8		dvfsum.t	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. RR )
9	8	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. RR* )
10		elioopnf 11753	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. RR* -> ( X e. ( T (,) +oo ) <-> ( X e. RR /\ T < X ) ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X e. ( T (,) +oo ) <-> ( X e. RR /\ T < X ) ) )
12	7, 11	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X e. RR /\ T < X ) )
13	12	simpld 466	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
14		reflcl 12065	. . . . . . . 8 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
16	5, 15	resubcld 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) e. RR )
17	13	rexrd 9708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR* )
18	5	rexrd 9708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR* )
19		dvfsumlem1.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X <_ Y )
20		ubicc2 11775	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> Y e. ( X [,] Y ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( X [,] Y ) )
22		pnfxr 11435	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> +oo e. RR* )
24	12	simprd 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T < X )
25		ltpnf 11445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. RR -> Y < +oo )
26	5, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y < +oo )
27		iccssioo 11728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( T < X /\ Y < +oo ) ) -> ( X [,] Y ) C_ ( T (,) +oo ) )
28	9, 23, 24, 26, 27	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ ( T (,) +oo ) )
29	28, 1	syl6sseqr 3465	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ S )
30	29	sselda 3418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y e. S )
31	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ RR )
32		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
33		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
34		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
35	31, 32, 33, 34	dvmptrecl 23055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
36		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S |-> B ) = ( x e. S |-> B )
37	35, 36	fmptd 6061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. S |-> B ) : S --> RR )
38		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y B
39		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
40		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
41	38, 39, 40	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S |-> B ) = ( y e. S |-> [_ y / x ]_ B )
42	41	fmpt 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. S [_ y / x ]_ B e. RR <-> ( x e. S |-> B ) : S --> RR )
43	37, 42	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. S [_ y / x ]_ B e. RR )
44	43	r19.21bi 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> [_ y / x ]_ B e. RR )
45	30, 44	syldan 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ B e. RR )
46	45	ralrimiva 2809	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ B e. RR )
47		csbeq1 3352	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> [_ y / x ]_ B = [_ Y / x ]_ B )
48	47	eleq1d 2533	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( [_ y / x ]_ B e. RR <-> [_ Y / x ]_ B e. RR ) )
49	48	rspcv 3132	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ B e. RR -> [_ Y / x ]_ B e. RR ) )
50	21, 46, 49	sylc 61	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. RR )
51	16, 50	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
52		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S |-> A ) = ( x e. S |-> A )
53	32, 52	fmptd 6061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. S |-> A ) : S --> RR )
54		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y A
55		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
56		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
57	54, 55, 56	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S |-> A ) = ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A )
58	57	fmpt 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. S [_ y / x ]_ A e. RR <-> ( x e. S |-> A ) : S --> RR )
59	53, 58	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. S [_ y / x ]_ A e. RR )
60	59	r19.21bi 2776	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
61	30, 60	syldan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
62	61	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ A e. RR )
63		csbeq1 3352	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> [_ y / x ]_ A = [_ Y / x ]_ A )
64	63	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( y = Y -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
65	64	rspcv 3132	. . . . . 6 |- ( Y e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ A e. RR -> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
66	21, 62, 65	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. RR )
67	51, 66	resubcld 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
68	13, 15	resubcld 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. RR )
69		lbicc2 11774	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> X e. ( X [,] Y ) )
70	17, 18, 19, 69	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( X [,] Y ) )
71		csbeq1 3352	. . . . . . . . 9 |- ( y = X -> [_ y / x ]_ B = [_ X / x ]_ B )
72	71	eleq1d 2533	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( [_ y / x ]_ B e. RR <-> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
73	72	rspcv 3132	. . . . . . 7 |- ( X e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ B e. RR -> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
74	70, 46, 73	sylc 61	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. RR )
75	68, 74	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
76		csbeq1 3352	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> [_ y / x ]_ A = [_ X / x ]_ A )
77	76	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
78	77	rspcv 3132	. . . . . 6 |- ( X e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ y / x ]_ A e. RR -> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
79	70, 62, 78	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. RR )
80	75, 79	resubcld 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
81		fzfid 12224	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
82		dvfsum.b2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
83	82	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. Z B e. RR )
84		elfzuz 11822	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
85		dvfsum.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
86	84, 85	syl6eleqr 2560	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
87		dvfsum.c	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> B = C )
88	87	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( B e. RR <-> C e. RR ) )
89	88	rspccva 3135	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. Z B e. RR /\ k e. Z ) -> C e. RR )
90	83, 86, 89	syl2an 485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. RR )
91	81, 90	fsumrecl 13877	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. RR )
92	68, 50	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
93	92, 79	resubcld 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
94	5, 13	resubcld 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - X ) e. RR )
95	50, 94	remulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) e. RR )
96	50	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
97	5	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
98	13	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. CC )
99	96, 97, 98	subdid 10095	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) = ( ( [_ Y / x ]_ B x. Y ) - ( [_ Y / x ]_ B x. X ) ) )
100		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
101	100	mulcn 21977	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
102	28, 2	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
103		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
104	102, 103	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ CC )
105	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR C_ CC )
106		cncfmptc 22021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [_ Y / x ]_ B e. RR /\ ( X [,] Y ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ Y / x ]_ B ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
107	50, 104, 105, 106	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ Y / x ]_ B ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
108		cncfmptid 22022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X [,] Y ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> y ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
109	102, 103, 108	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> y ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
110		remulcl 9642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [_ Y / x ]_ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) e. RR )
111	100, 101, 107, 109, 103, 110	cncfmpt2ss 22025	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
112		reelprrecn 9649	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
114		ioossicc 11745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
115	114, 102	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ RR )
116	115	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> y e. RR )
117	116	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> y e. CC )
118		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> 1 e. CC )
119		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
120	119	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
121		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
122	113	dvmptid 22990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
123	100	tgioo2 21899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
124		iooretop 21864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X (,) Y ) e. ( topGen ` ran (,) )
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X (,) Y ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
126	113, 120, 121, 122, 115, 123, 100, 125	dvmptres 22996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> y ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> 1 ) )
127	113, 117, 118, 126, 96	dvmptcmul 22997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. 1 ) ) )
128	96	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. 1 ) = [_ Y / x ]_ B )
129	128	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. 1 ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ Y / x ]_ B ) )
130	127, 129	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ Y / x ]_ B ) )
131	29	resmptd 5162	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) |` ( X [,] Y ) ) = ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
132	32	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
133	132, 52	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. S |-> A ) : S --> CC )
134	34	dmeqd 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = dom ( x e. S |-> B ) )
135	33	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. x e. S B e. V )
136		dmmptg 5339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. S B e. V -> dom ( x e. S |-> B ) = S )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom ( x e. S |-> B ) = S )
138	134, 137	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = S )
139		dvcn 22954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( x e. S |-> A ) : S --> CC /\ S C_ RR ) /\ dom ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = S ) -> ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> CC ) )
140	105, 133, 31, 138, 139	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> CC ) )
141		cncffvrn 22008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( RR C_ CC /\ ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> CC ) ) -> ( ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> RR ) <-> ( x e. S |-> A ) : S --> RR ) )
142	103, 140, 141	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> RR ) <-> ( x e. S |-> A ) : S --> RR ) )
143	53, 142	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. S |-> A ) e. ( S -cn-> RR ) )
144	57, 143	syl5eqelr 2554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( S -cn-> RR ) )
145		rescncf 22007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X [,] Y ) C_ S -> ( ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( S -cn-> RR ) -> ( ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) |` ( X [,] Y ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) ) )
146	29, 144, 145	sylc 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) |` ( X [,] Y ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
147	131, 146	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
148	60	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
149	57	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) )
150	34, 149, 41	3eqtr3g 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. S |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. S |-> [_ y / x ]_ B ) )
151	114, 29	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ S )
152	113, 148, 44, 150, 151, 123, 100, 125	dvmptres 22996	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
153	114	sseli 3414	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( X (,) Y ) -> y e. ( X [,] Y ) )
154		simpl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> ph )
155	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> Y e. S )
156		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. RR )
157	156	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> D e. RR )
158	13	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> X e. RR )
159		elicc2 11724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( y e. ( X [,] Y ) <-> ( y e. RR /\ X <_ y /\ y <_ Y ) ) )
160	13, 5, 159	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) <-> ( y e. RR /\ X <_ y /\ y <_ Y ) ) )
161	160	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> ( y e. RR /\ X <_ y /\ y <_ Y ) )
162	161	simp1d 1042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y e. RR )
163		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D <_ X )
164	163	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> D <_ X )
165	161	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> X <_ y )
166	157, 158, 162, 164, 165	letrd 9809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> D <_ y )
167	161	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y <_ Y )
168		dvfsumlem1.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y <_ U )
169	168	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> Y <_ U )
170		simp2r 1057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> Y e. S )
171		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = Y -> ( k e. S <-> Y e. S ) )
172	171	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = Y -> ( ( y e. S /\ k e. S ) <-> ( y e. S /\ Y e. S ) ) )
173		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = Y -> ( y <_ k <-> y <_ Y ) )
174		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = Y -> ( k <_ U <-> Y <_ U ) )
175	173, 174	3anbi23d 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = Y -> ( ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) <-> ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) )
176	172, 175	3anbi23d 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = Y -> ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) ) )
177		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- k e. _V
178	177, 87	csbie 3375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ k / x ]_ B = C
179		csbeq1 3352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = Y -> [_ k / x ]_ B = [_ Y / x ]_ B )
180	178, 179	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = Y -> C = [_ Y / x ]_ B )
181	180	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = Y -> ( C <_ [_ y / x ]_ B <-> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B ) )
182	176, 181	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = Y -> ( ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ y / x ]_ B ) <-> ( ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B ) ) )
183		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) )
184		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x C
185		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x <_
186	184, 185, 39	nfbr 4440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x C <_ [_ y / x ]_ B
187	183, 186	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ y / x ]_ B )
188		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x e. S <-> y e. S ) )
189	188	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( x e. S /\ k e. S ) <-> ( y e. S /\ k e. S ) ) )
190		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( D <_ x <-> D <_ y ) )
191		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x <_ k <-> y <_ k ) )
192	190, 191	3anbi12d 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) <-> ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) )
193	189, 192	3anbi23d 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) ) )
194	40	breq2d 4407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( C <_ B <-> C <_ [_ y / x ]_ B ) )
195	193, 194	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B ) <-> ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ y / x ]_ B ) ) )
196		dvfsum.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
197	187, 195, 196	chvar 2119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ y / x ]_ B )
198	182, 197	vtoclg 3093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. S -> ( ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B ) )
199	170, 198	mpcom 36	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ Y e. S ) /\ ( D <_ y /\ y <_ Y /\ Y <_ U ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B )
200	154, 30, 155, 166, 167, 169, 199	syl123anc 1309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B )
201	153, 200	sylan2 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B )
202		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( y = X -> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) = ( [_ Y / x ]_ B x. X ) )
203		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( [_ Y / x ]_ B x. y ) = ( [_ Y / x ]_ B x. Y ) )
204	13, 5, 111, 130, 147, 152, 201, 70, 21, 19, 202, 76, 203, 63	dvle 23038	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( [_ Y / x ]_ B x. Y ) - ( [_ Y / x ]_ B x. X ) ) <_ ( [_ Y / x ]_ A - [_ X / x ]_ A ) )
205	99, 204	eqbrtrd 4416	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) <_ ( [_ Y / x ]_ A - [_ X / x ]_ A ) )
206	95, 66, 79, 205	lesubd 10238	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A <_ ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
207	92	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
208	51	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
209	66	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
210	207, 208, 209	subsubd 10033	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) )
211	208, 207	negsubdi2d 10021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
212	15	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. CC )
213	97, 98, 212	nnncan2d 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - ( X - ( |_ ` X ) ) ) = ( Y - X ) )
214	213	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - ( X - ( |_ ` X ) ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - X ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
215	16	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) e. CC )
216	68	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. CC )
217	215, 216, 96	subdird 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - ( X - ( |_ ` X ) ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
218	94	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y - X ) e. CC )
219	218, 96	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y - X ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
220	214, 217, 219	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
221	220	negeqd 9889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) = -u ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
222	211, 221	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) = -u ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
223	222	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) = ( -u ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) + [_ Y / x ]_ A ) )
224	95	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) e. CC )
225	224, 209	negsubdid 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( -u ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) + [_ Y / x ]_ A ) )
226	223, 225	eqtr4d 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) = -u ( ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) - [_ Y / x ]_ A ) )
227	224, 209	negsubdi2d 10021	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
228	210, 226, 227	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ Y / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
229	206, 228	breqtrrd 4422	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) )
230	79, 92, 67, 229	lesubd 10238	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
231		flle 12068	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) <_ X )
232	13, 231	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ X )
233	13, 15	subge0d 10224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) <-> ( |_ ` X ) <_ X ) )
234	232, 233	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
235	200	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. ( X [,] Y ) [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B )
236	71	breq2d 4407	. . . . . . . . 9 |- ( y = X -> ( [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B <-> [_ Y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B ) )
237	236	rspcv 3132	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( X [,] Y ) -> ( A. y e. ( X [,] Y ) [_ Y / x ]_ B <_ [_ y / x ]_ B -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B ) )
238	70, 235, 237	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B )
239	50, 74, 68, 234, 238	lemul2ad 10569	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
240	92, 75, 79, 239	lesub1dd 10250	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
241	67, 93, 80, 230, 240	letrd 9809	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
242	67, 80, 91, 241	leadd1dd 10248	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
243		dvfsum.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
244		dvfsum.md	. . . 4 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
245		dvfsum.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. RR* )
246		dvfsum.h	. . . 4 |- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
247		dvfsumlem1.6	. . . 4 |- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
248	1, 85, 243, 156, 244, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 245, 196, 246, 6, 4, 163, 19, 168, 247	dvfsumlem1 23057	. . 3 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
249	13	leidd 10201	. . . 4 |- ( ph -> X <_ X )
250	17, 18, 245, 19, 168	xrletrd 11482	. . . 4 |- ( ph -> X <_ U )
251		fllep1 12070	. . . . 5 |- ( X e. RR -> X <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
252	13, 251	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
253	1, 85, 243, 156, 244, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 245, 196, 246, 6, 6, 163, 249, 250, 252	dvfsumlem1 23057	. . 3 |- ( ph -> ( H ` X ) = ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
254	242, 248, 253	3brtr4d 4426	. 2 |- ( ph -> ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) )
255	80, 74	resubcld 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) e. RR )
256	67, 50	resubcld 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
257		peano2rem 9961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X - ( |_ ` X ) ) e. RR -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
258	68, 257	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
259	258, 74	remulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
260	259, 79	resubcld 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
261		peano2rem 9961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y - ( |_ ` X ) ) e. RR -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
262	16, 261	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
263	262, 74	remulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
264	263, 66	resubcld 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
265	262, 50	remulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. RR )
266	265, 66	resubcld 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
267	259	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) e. CC )
268	263	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) e. CC )
269	267, 268	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) e. CC )
270	269, 209	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A + ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) )
271	267, 268, 209	subsubd 10033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) + [_ Y / x ]_ A ) )
272	209, 268, 267	subsub2d 10034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) = ( [_ Y / x ]_ A + ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) )
273	270, 271, 272	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) )
274		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. CC )
275	215, 216, 274	nnncan2d 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) = ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - ( X - ( |_ ` X ) ) ) )
276	275, 213	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) = ( Y - X ) )
277	276	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( ( Y - X ) x. [_ X / x ]_ B ) )
278	262	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. CC )
279	258	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. CC )
280	74	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. CC )
281	278, 279, 280	subdird 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) - ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) )
282	218, 280	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y - X ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
283	277, 281, 282	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) = ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
284	283	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
285	273, 284	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) )
286	74, 94	remulcld 9689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) e. RR )
287		cncfmptc 22021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( [_ X / x ]_ B e. RR /\ ( X [,] Y ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ X / x ]_ B ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
288	74, 104, 105, 287	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ X / x ]_ B ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
289		remulcl 9642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [_ X / x ]_ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( [_ X / x ]_ B x. y ) e. RR )
290	100, 101, 288, 109, 103, 289	cncfmpt2ss 22025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. y ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
291	113, 117, 118, 126, 280	dvmptcmul 22997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. y ) ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. 1 ) ) )
292	280	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B x. 1 ) = [_ X / x ]_ B )
293	292	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. 1 ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ X / x ]_ B ) )
294	291, 293	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ X / x ]_ B x. y ) ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ X / x ]_ B ) )
295	6	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> X e. S )
296	162	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y e. RR* )
297	18	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> Y e. RR* )
298	245	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> U e. RR* )
299	296, 297, 298, 167, 169	xrletrd 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> y <_ U )
300		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
301		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( k e. S <-> y e. S ) )
302	301	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> ( ( X e. S /\ k e. S ) <-> ( X e. S /\ y e. S ) ) )
303		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( X <_ k <-> X <_ y ) )
304		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( k <_ U <-> y <_ U ) )
305	303, 304	3anbi23d 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> ( ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) <-> ( D <_ X /\ X <_ y /\ y <_ U ) ) )
306	302, 305	3anbi23d 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = y -> ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( X e. S /\ y e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ y /\ y <_ U ) ) ) )
307		csbeq1 3352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> [_ k / x ]_ B = [_ y / x ]_ B )
308	178, 307	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> C = [_ y / x ]_ B )
309	308	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = y -> ( C <_ [_ X / x ]_ B <-> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B ) )
310	306, 309	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B ) <-> ( ( ph /\ ( X e. S /\ y e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ y /\ y <_ U ) ) -> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
311		simp2l 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> X e. S )
312		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) )
313		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x [_ X / x ]_ B
314	184, 185, 313	nfbr 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x C <_ [_ X / x ]_ B
315	312, 314	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B )
316		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = X -> ( x e. S <-> X e. S ) )
317	316	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = X -> ( ( x e. S /\ k e. S ) <-> ( X e. S /\ k e. S ) ) )
318		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = X -> ( D <_ x <-> D <_ X ) )
319		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = X -> ( x <_ k <-> X <_ k ) )
320	318, 319	3anbi12d 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = X -> ( ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) <-> ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) )
321	317, 320	3anbi23d 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = X -> ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) <-> ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) ) )
322		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = X -> B = [_ X / x ]_ B )
323	322	breq2d 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = X -> ( C <_ B <-> C <_ [_ X / x ]_ B ) )
324	321, 323	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = X -> ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B ) <-> ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
325	315, 324, 196	vtoclg1f 3092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. S -> ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B ) )
326	311, 325	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ [_ X / x ]_ B )
327	300, 310, 326	vtocl 3086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ y e. S ) /\ ( D <_ X /\ X <_ y /\ y <_ U ) ) -> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B )
328	154, 295, 30, 164, 165, 299, 327	syl123anc 1309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B )
329	153, 328	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( X (,) Y ) ) -> [_ y / x ]_ B <_ [_ X / x ]_ B )
330		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = X -> ( [_ X / x ]_ B x. y ) = ( [_ X / x ]_ B x. X ) )
331		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( [_ X / x ]_ B x. y ) = ( [_ X / x ]_ B x. Y ) )
332	13, 5, 147, 152, 290, 294, 329, 70, 21, 19, 76, 330, 63, 331	dvle 23038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( [_ X / x ]_ B x. Y ) - ( [_ X / x ]_ B x. X ) ) )
333	280, 97, 98	subdid 10095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) = ( ( [_ X / x ]_ B x. Y ) - ( [_ X / x ]_ B x. X ) ) )
334	332, 333	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - [_ X / x ]_ A ) <_ ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) )
335	66, 79, 286, 334	subled 10237	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( [_ Y / x ]_ A - ( [_ X / x ]_ B x. ( Y - X ) ) ) <_ [_ X / x ]_ A )
336	285, 335	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ [_ X / x ]_ A )
337	259, 264, 79, 336	subled 10237	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
338	262	renegcld 10067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) e. RR )
339		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
340	5, 15, 339	lesubadd2d 10233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) <_ 1 <-> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
341	247, 340	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
342	16, 339	suble0d 10225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) <_ 0 <-> ( Y - ( |_ ` X ) ) <_ 1 ) )
343	341, 342	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) <_ 0 )
344	262	le0neg1d 10206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) ) )
345	343, 344	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) )
346	50, 74, 338, 345, 238	lemul2ad 10569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ ( -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) )
347	278, 96	mulneg1d 10092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
348	278, 280	mulneg1d 10092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) )
349	346, 347, 348	3brtr3d 4425	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) )
350	263, 265	lenegd 10213	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) <-> -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) ) )
351	349, 350	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
352	263, 265, 66, 351	lesub1dd 10250	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
353	260, 264, 266, 337, 352	letrd 9809	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
354	216, 274, 280	subdird 10096	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) ) )
355	280	mulid2d 9679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) = [_ X / x ]_ B )
356	355	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) )
357	354, 356	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) )
358	357	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) = ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
359	215, 274, 96	subdird 10096	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
360	96	mulid2d 9679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) = [_ Y / x ]_ B )
361	360	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
362	359, 361	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
363	362	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
364	353, 358, 363	3brtr3d 4425	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
365	75	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. CC )
366	79	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. CC )
367	365, 366, 280	sub32d 10037	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) )
368	208, 209, 96	sub32d 10037	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
369	364, 367, 368	3brtr4d 4426	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) )
370	255, 256, 91, 369	leadd1dd 10248	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) <_ ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
371	80	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) e. CC )
372	91	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
373	371, 372, 280	addsubd 10026	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) - [_ X / x ]_ B ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
374	67	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
375	374, 372, 96	addsubd 10026	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) - [_ Y / x ]_ B ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
376	370, 373, 375	3brtr4d 4426	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ Y / x ]_ B ) )
377	253	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) = ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) - [_ X / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ X / x ]_ B ) )
378	248	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) - [_ Y / x ]_ B ) )
379	376, 377, 378	3brtr4d 4426	. 2 |- ( ph -> ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) )
380	254, 379	jca 541	1 |- ( ph -> ( ( H ` Y ) <_ ( H ` X ) /\ ( ( H ` X ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( ( H ` Y ) - [_ Y / x ]_ B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   [_csb 3349   C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810   |_cfl 12059   sum_csu 13829   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   -cn->ccncf 21986   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  dvfsumlem3  23059