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Theorem dvfsumlem2 19864
Description: Lemma for dvfsumrlim 19868. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsumlem1.6  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3338 . . . . . . . 8  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
76, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( T (,)  +oo ) )
8 dvfsum.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
98rexrd 9090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
10 elioopnf 10954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( X  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  < 
X ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) ) )
127, 11mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) )
1312simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
14 reflcl 11160 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
165, 15resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
1713rexrd 9090 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
185rexrd 9090 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
19 dvfsumlem1.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
20 ubicc2 10970 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
22 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +oo  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  +oo  e.  RR* )
2412simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  <  X )
25 ltpnf 10677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  <  +oo )
265, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  <  +oo )
27 iccssioo 10935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  ( T  <  X  /\  Y  <  +oo ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  ( T (,)  +oo ) )
289, 23, 24, 26, 27syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  ( T (,)  +oo ) )
2928, 1syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  S )
3029sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  S )
313a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
32 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
33 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
34 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 19861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( x  e.  S  |->  B )
3735, 36fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> RR )
38 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y B
39 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
40 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
4138, 39, 40cbvmpt 4259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ B )
4241fmpt 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> RR )
4337, 42sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4443r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4530, 44syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4645ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
47 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
4847eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
4948rspcv 3008 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
5021, 46, 49sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
5116, 50remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
52 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( x  e.  S  |->  A )
5332, 52fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR )
54 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y A
55 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
56 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
5754, 55, 56cbvmpt 4259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )
5857fmpt 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR )
5953, 58sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6059r19.21bi 2764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6130, 60syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6261ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
63 csbeq1 3214 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ Y  /  x ]_ A )
6463eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
6564rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
6621, 62, 65sylc 58 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
6751, 66resubcld 9421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
6813, 15resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
69 lbicc2 10969 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
7017, 18, 19, 69syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
71 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
7271eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7372rspcv 3008 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR ) )
7470, 46, 73sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
7568, 74remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
76 csbeq1 3214 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ X  /  x ]_ A )
7776eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
7877rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
7970, 62, 78sylc 58 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
8075, 79resubcld 9421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
81 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
82 dvfsum.b2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
8382ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
84 elfzuz 11011 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 dvfsum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8684, 85syl6eleqr 2495 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
87 dvfsum.c . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
8887eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
8988rspccva 3011 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
9083, 86, 89syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
9181, 90fsumrecl 12483 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
9268, 50remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
9392, 79resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
945, 13resubcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
9550, 94remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
9650recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
975recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
9813recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
9996, 97, 98subdid 9445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
100 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
101100mulcn 18850 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
10228, 2syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
103 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
104102, 103syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  CC )
105103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
106 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  e.  RR  /\  ( X [,] Y
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
10750, 104, 105, 106syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
108 cncfmptid 18895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X [,] Y
)  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  y )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
109102, 103, 108sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  y )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
110 remulcl 9031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y )  e.  RR )
111100, 101, 107, 109, 103, 110cncfmpt2ss 18898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
112 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
113112prid1 3872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
115 ioossicc 10952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
116115, 102syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  RR )
117116sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  y  e.  RR )
118117recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  y  e.  CC )
119 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  1  e.  CC )
121 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
122121recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
123119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
124114dvmptid 19796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
125100tgioo2 18787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
126 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X (,) Y )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
128114, 122, 123, 124, 116, 125, 100, 127dvmptres 19802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  y ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  1 ) )
129114, 118, 120, 128, 96dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 ) ) )
13096mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 )  =  [_ Y  /  x ]_ B )
131130mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ Y  /  x ]_ B
) )
132129, 131eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ Y  /  x ]_ B ) )
133 resmpt 5150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  S  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A ) )
13429, 133syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A ) )
13532recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
136135, 52fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
13734dmeqd 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  S  |->  B ) )
13833ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  V )
139 dmmptg 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  S  |->  B )  =  S )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  S  |->  B )  =  S )
141137, 140eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  S )
142 dvcn 19760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC  /\  S  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  S )  -> 
( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> CC ) )
143105, 136, 31, 141, 142syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> CC ) )
144 cncffvrn 18881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( S
-cn-> CC ) )  -> 
( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR ) )
145103, 143, 144sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR ) )
14653, 145mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR ) )
14757, 146syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  e.  ( S -cn-> RR ) )
148 rescncf 18880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  S  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  e.  ( S -cn-> RR )  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) ) )
14929, 147, 148sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
150134, 149eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
15160recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
15257oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A ) )
15334, 152, 413eqtr3g 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
154115, 29syl5ss 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  S )
155114, 151, 44, 153, 154, 125, 100, 127dvmptres 19802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
156115sseli 3304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( X (,) Y )  ->  y  e.  ( X [,] Y
) )
157 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ph )
1584adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  e.  S )
159 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
160159adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  e.  RR )
16113adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  e.  RR )
162 elicc2 10931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( y  e.  RR  /\  X  <_  y  /\  y  <_  Y ) ) )
16313, 5, 162syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( y  e.  RR  /\  X  <_  y  /\  y  <_  Y ) ) )
164163biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  X  <_ 
y  /\  y  <_  Y ) )
165164simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  RR )
166 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
167166adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  <_  X )
168164simp2d 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  <_  y )
169160, 161, 165, 167, 168letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  <_  y )
170164simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  <_  Y )
171 dvfsumlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
172171adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  <_  U )
173 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  Y  e.  S )
174 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
k  e.  S  <->  Y  e.  S ) )
175174anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  (
( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S ) ) )
176 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
y  <_  k  <->  y  <_  Y ) )
177 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
k  <_  U  <->  Y  <_  U ) )
178176, 1773anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  (
( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U
) ) )
179175, 1783anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Y  ->  (
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) ) ) )
180 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  k  e. 
_V
181 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x C
182180, 181, 87csbief 3252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ k  /  x ]_ B  =  C
183 csbeq1 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
184182, 183syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  C  =  [_ Y  /  x ]_ B )
185184breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Y  ->  ( C  <_  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
186179, 185imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  Y  ->  (
( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
187 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )
188 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x  <_
189181, 188, 39nfbr 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  C  <_  [_ y  /  x ]_ B
190187, 189nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )
191 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  S  <->  y  e.  S ) )
192191anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( y  e.  S  /\  k  e.  S ) ) )
193 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  y ) )
194 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  k  <->  y  <_  k ) )
195193, 1943anbi12d 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) ) )
196192, 1953anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) ) ) )
19740breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( C  <_  B  <->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
198196, 197imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
199 dvfsum.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
200190, 198, 199chvar 2039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )
201186, 200vtoclg 2971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  S  ->  (
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
202173, 201mpcom 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
203157, 30, 158, 169, 170, 172, 202syl123anc 1201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
204156, 203sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
205 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X ) )
206 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  Y ) )
20713, 5, 111, 132, 150, 155, 204, 70, 21, 19, 205, 76, 206, 63dvle 19844 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  Y )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X
) )  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
20899, 207eqbrtrd 4192 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
20995, 66, 79, 208lesubd 9586 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
21092recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
21151recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
21266recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
213210, 211, 212subsubd 9395 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
214211, 210negsubdi2d 9383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
21515recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  CC )
21697, 98, 215nnncan2d 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  =  ( Y  -  X ) )
217216oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  X )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
21816recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
21968recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
220218, 219, 96subdird 9446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
22194recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
222221, 96mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
223217, 220, 2223eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
224223negeqd 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) )
225214, 224eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
226225oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
22795recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  CC )
228227, 212negsubdid 9382 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
229226, 228eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  -u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
) )
230227, 212negsubdi2d 9383 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
231213, 229, 2303eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) ) )
232209, 231breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  <_  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
) ) )
23379, 92, 67, 232lesubd 9586 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
234 flle 11163 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  <_  X )
23513, 234syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  X )
23613, 15subge0d 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <->  ( |_ `  X )  <_  X
) )
237235, 236mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
238203ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
23971breq2d 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
240239rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
24170, 238, 240sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
24250, 74, 68, 237, 241lemul2ad 9907 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
24392, 75, 79, 242lesub1dd 9598 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
24467, 93, 80, 233, 243letrd 9183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
24567, 80, 91, 244leadd1dd 9596 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C ) )
246 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
247 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
248 dvfsum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
249 dvfsum.h . . . 4  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
250 dvfsumlem1.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
2511, 85, 246, 159, 247, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 248, 199, 249, 6, 4, 166, 19, 171, 250dvfsumlem1 19863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
25213leidd 9549 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  X )
25317, 18, 248, 19, 171xrletrd 10708 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
254 fllep1 11165 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
25513, 254syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
2561, 85, 246, 159, 247, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 248, 199, 249, 6, 6, 166, 252, 253, 255dvfsumlem1 19863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
257245, 251, 2563brtr4d 4202 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  <_  ( H `  X ) )
25880, 74resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
25967, 50resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  RR )
260 peano2rem 9323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  e.  RR  ->  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
26168, 260syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
262261, 74remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
263262, 79resubcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
264 peano2rem 9323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  e.  RR  ->  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
26516, 264syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
266265, 74remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
267266, 66resubcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
268265, 50remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  RR )
269268, 66resubcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
270262recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  CC )
271266recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  CC )
272270, 271subcld 9367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  e.  CC )
273272, 212addcomd 9224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  +  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
274270, 271, 212subsubd 9395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )  + 
[_ Y  /  x ]_ A ) )
275212, 271, 270subsub2d 9396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  +  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
276273, 274, 2753eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
277119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
278218, 219, 277nnncan2d 9402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) ) )
279278, 216eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  =  ( Y  -  X ) )
280279oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  X )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
281265recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  CC )
282261recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  CC )
28374recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
284281, 282, 283subdird 9446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
285221, 283mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
286280, 284, 2853eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
287286oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) ) )
288276, 287eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
28974, 94remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
290 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[_ X  /  x ]_ B  e.  RR  /\  ( X [,] Y
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
29174, 104, 105, 290syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ X  /  x ]_ B )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
292 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ X  /  x ]_ B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y )  e.  RR )
293100, 101, 291, 109, 103, 292cncfmpt2ss 18898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
294114, 118, 120, 128, 283dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ X  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 ) ) )
295283mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 )  =  [_ X  /  x ]_ B )
296295mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ X  /  x ]_ B
) )
297294, 296eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ X  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ X  /  x ]_ B ) )
2986adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  e.  S )
299165rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  RR* )
30018adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  e.  RR* )
301248adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  U  e.  RR* )
302299, 300, 301, 170, 172xrletrd 10708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  <_  U )
303 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
304 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
k  e.  S  <->  y  e.  S ) )
305304anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( X  e.  S  /\  y  e.  S ) ) )
306 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  ( X  <_  k  <->  X  <_  y ) )
307 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
k  <_  U  <->  y  <_  U ) )
308306, 3073anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
y  /\  y  <_  U ) ) )
309305, 3083anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) ) ) )
310 csbeq1 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ y  /  x ]_ B )
311182, 310syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ B )
312311breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  ( C  <_  [_ X  /  x ]_ B  <->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
313309, 312imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
314 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  X  e.  S )
315 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x X
316 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )
317 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
318181, 188, 317nfbr 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x  C  <_  [_ X  /  x ]_ B
319316, 318nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )
320 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  S  <->  X  e.  S ) )
321320anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( X  e.  S  /\  k  e.  S ) ) )
322 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
323 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <_  k  <->  X  <_  k ) )
324322, 3233anbi12d 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  (
( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) ) )
325321, 3243anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) ) ) )
326 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
327326breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  ( C  <_  B  <->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
328325, 327imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
329315, 319, 328, 199vtoclgf 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
330314, 329mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )
331303, 313, 330vtocl 2966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
332157, 298, 30, 167, 168, 302, 331syl123anc 1201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
333156, 332sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
334 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) )
335 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  Y ) )
33613, 5, 150, 155, 293, 297, 333, 70, 21, 19, 76, 334, 63, 335dvle 19844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( ( [_ X  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
337283, 97, 98subdid 9445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( (
[_ X  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
338336, 337breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
33966, 79, 289, 338subled 9585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) )  <_  [_ X  /  x ]_ A )
340288, 339eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  [_ X  /  x ]_ A )
341262, 267, 79, 340subled 9585 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
342265renegcld 9420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  e.  RR )
343 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3455, 15, 344lesubadd2d 9581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  <_  1  <->  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
346250, 345mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
34716, 344suble0d 9573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  <_  0  <->  ( Y  -  ( |_
`  X ) )  <_  1 ) )
348346, 347mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  <_  0 )
349265le0neg1d 9554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  <_  0  <->  0  <_  -u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 ) ) )
350348, 349mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 ) )
35150, 74, 342, 350, 241lemul2ad 9907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
352281, 96mulneg1d 9442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) )
353281, 283mulneg1d 9442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
) )
354351, 352, 3533brtr3d 4201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
355266, 268lenegd 9561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <->  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
356354, 355mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
357266, 268, 66, 356lesub1dd 9598 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
358263, 267, 269, 341, 357letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
359219, 277, 283subdird 9446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
) ) )
360283mulid2d 9062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
361360oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
362359, 361eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
363362oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
364218, 277, 96subdird 9446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) ) )
36596mulid2d 9062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
366365oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
367364, 366eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
368367oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
369358, 363, 3683brtr3d 4201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
37075recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  CC )
37179recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  CC )
372370, 371, 283sub32d 9399 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
373211, 212, 96sub32d 9399 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
374369, 372, 3733brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
375258, 259, 91, 374leadd1dd 9596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )  <_  (
( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
37680recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  CC )
37791recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
378376, 377, 283addsubd 9388 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
37967recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  CC )
380379, 377, 96addsubd 9388 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
381375, 378, 3803brtr4d 4202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
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382256oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
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[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
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) )
383251oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
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) )
384381, 382, 3833brtr4d 4202 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
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385257, 384jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   [_csb 3211    C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ...cfz 10999   |_cfl 11156   sum_csu 12434   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658   -cn->ccncf 18859    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvfsumlem3  19865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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