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Theorem dvfsumlem2 21504
Description: Lemma for dvfsumrlim 21508. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsumlem1.6  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 ioossre 11362 . . . . . . . . 9  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3391 . . . . . . . 8  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3359 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
76, 1syl6eleq 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( T (,) +oo ) )
8 dvfsum.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
98rexrd 9438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
10 elioopnf 11388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( X  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  < 
X ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T (,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) ) )
127, 11mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) )
1312simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
14 reflcl 11651 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
165, 15resubcld 9781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
1713rexrd 9438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
185rexrd 9438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
19 dvfsumlem1.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
20 ubicc2 11407 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
22 pnfxr 11097 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
2412simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  <  X )
25 ltpnf 11107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  < +oo )
265, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  < +oo )
27 iccssioo 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( T  <  X  /\  Y  < +oo ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  ( T (,) +oo ) )
289, 23, 24, 26, 27syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  ( T (,) +oo ) )
2928, 1syl6sseqr 3408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  S )
3029sselda 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  S )
313a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
32 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
33 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
34 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 21501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
36 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( x  e.  S  |->  B )
3735, 36fmptd 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> RR )
38 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y B
39 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
40 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
4138, 39, 40cbvmpt 4387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ B )
4241fmpt 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> RR )
4337, 42sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4443r19.21bi 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4530, 44syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4645ralrimiva 2804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
47 csbeq1 3296 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
4847eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
4948rspcv 3074 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
5021, 46, 49sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
5116, 50remulcld 9419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
52 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( x  e.  S  |->  A )
5332, 52fmptd 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR )
54 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y A
55 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
56 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
5754, 55, 56cbvmpt 4387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )
5857fmpt 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR )
5953, 58sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6059r19.21bi 2819 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6130, 60syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6261ralrimiva 2804 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
63 csbeq1 3296 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ Y  /  x ]_ A )
6463eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
6564rspcv 3074 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
6621, 62, 65sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
6751, 66resubcld 9781 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
6813, 15resubcld 9781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
69 lbicc2 11406 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
7017, 18, 19, 69syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
71 csbeq1 3296 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
7271eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7372rspcv 3074 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR ) )
7470, 46, 73sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
7568, 74remulcld 9419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
76 csbeq1 3296 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ X  /  x ]_ A )
7776eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
7877rspcv 3074 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
7970, 62, 78sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
8075, 79resubcld 9781 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
81 fzfid 11800 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
82 dvfsum.b2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
8382ralrimiva 2804 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
84 elfzuz 11454 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 dvfsum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8684, 85syl6eleqr 2534 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
87 dvfsum.c . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
8887eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
8988rspccva 3077 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
9083, 86, 89syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
9181, 90fsumrecl 13216 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
9268, 50remulcld 9419 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
9392, 79resubcld 9781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
945, 13resubcld 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
9550, 94remulcld 9419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
9650recnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
975recnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
9813recnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
9996, 97, 98subdid 9805 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
100 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
101100mulcn 20448 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
10228, 2syl6ss 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
103 ax-resscn 9344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
104102, 103syl6ss 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  CC )
105103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
106 cncfmptc 20492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  e.  RR  /\  ( X [,] Y
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
10750, 104, 105, 106syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
108 cncfmptid 20493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X [,] Y
)  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  y )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
109102, 103, 108sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  y )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
110 remulcl 9372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y )  e.  RR )
111100, 101, 107, 109, 103, 110cncfmpt2ss 20496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
112 reelprrecn 9379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
114 ioossicc 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
115114, 102syl5ss 3372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  RR )
116115sselda 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  y  e.  RR )
117116recnd 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  y  e.  CC )
118 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  1  e.  CC )
119 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
120119recnd 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
121 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
122113dvmptid 21436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
123100tgioo2 20385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
124 iooretop 20350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X (,) Y )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
126113, 120, 121, 122, 115, 123, 100, 125dvmptres 21442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  y ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  1 ) )
127113, 117, 118, 126, 96dvmptcmul 21443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 ) ) )
12896mulid1d 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 )  =  [_ Y  /  x ]_ B )
129128mpteq2dv 4384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ Y  /  x ]_ B
) )
130127, 129eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ Y  /  x ]_ B ) )
131 resmpt 5161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  S  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A ) )
13229, 131syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A ) )
13332recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
134133, 52fmptd 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
13534dmeqd 5047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  S  |->  B ) )
13633ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  V )
137 dmmptg 5340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  S  |->  B )  =  S )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  S  |->  B )  =  S )
139135, 138eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  S )
140 dvcn 21400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC  /\  S  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  S )  -> 
( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> CC ) )
141105, 134, 31, 139, 140syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> CC ) )
142 cncffvrn 20479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( S
-cn-> CC ) )  -> 
( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR ) )
143103, 141, 142sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR ) )
14453, 143mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR ) )
14557, 144syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  e.  ( S -cn-> RR ) )
146 rescncf 20478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  S  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  e.  ( S -cn-> RR )  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) ) )
14729, 145, 146sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
148132, 147eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
14960recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
15057oveq2i 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A ) )
15134, 150, 413eqtr3g 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
152114, 29syl5ss 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  S )
153113, 149, 44, 151, 152, 123, 100, 125dvmptres 21442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
154114sseli 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( X (,) Y )  ->  y  e.  ( X [,] Y
) )
155 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ph )
1564adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  e.  S )
157 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
158157adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  e.  RR )
15913adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  e.  RR )
160 elicc2 11365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( y  e.  RR  /\  X  <_  y  /\  y  <_  Y ) ) )
16113, 5, 160syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( y  e.  RR  /\  X  <_  y  /\  y  <_  Y ) ) )
162161biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  X  <_ 
y  /\  y  <_  Y ) )
163162simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  RR )
164 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
165164adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  <_  X )
166162simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  <_  y )
167158, 159, 163, 165, 166letrd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  <_  y )
168162simp3d 1002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  <_  Y )
169 dvfsumlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
170169adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  <_  U )
171 simp2r 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  Y  e.  S )
172 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
k  e.  S  <->  Y  e.  S ) )
173172anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  (
( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S ) ) )
174 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
y  <_  k  <->  y  <_  Y ) )
175 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
k  <_  U  <->  Y  <_  U ) )
176174, 1753anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  (
( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U
) ) )
177173, 1763anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Y  ->  (
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) ) ) )
178 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  k  e. 
_V
179 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x C
180178, 179, 87csbief 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ k  /  x ]_ B  =  C
181 csbeq1 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
182180, 181syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  C  =  [_ Y  /  x ]_ B )
183182breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Y  ->  ( C  <_  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
184177, 183imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  Y  ->  (
( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
185 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )
186 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x  <_
187179, 186, 39nfbr 4341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  C  <_  [_ y  /  x ]_ B
188185, 187nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )
189 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  S  <->  y  e.  S ) )
190189anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( y  e.  S  /\  k  e.  S ) ) )
191 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  y ) )
192 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  k  <->  y  <_  k ) )
193191, 1923anbi12d 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) ) )
194190, 1933anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) ) ) )
19540breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( C  <_  B  <->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
196194, 195imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
197 dvfsum.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
198188, 196, 197chvar 1957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )
199184, 198vtoclg 3035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  S  ->  (
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
200171, 199mpcom 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
201155, 30, 156, 167, 168, 170, 200syl123anc 1235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
202154, 201sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
203 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X ) )
204 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  Y ) )
20513, 5, 111, 130, 148, 153, 202, 70, 21, 19, 203, 76, 204, 63dvle 21484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  Y )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X
) )  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
20699, 205eqbrtrd 4317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
20795, 66, 79, 206lesubd 9948 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
20892recnd 9417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
20951recnd 9417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
21066recnd 9417 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
211208, 209, 210subsubd 9752 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
212209, 208negsubdi2d 9740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
21315recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  CC )
21497, 98, 213nnncan2d 9759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  =  ( Y  -  X ) )
215214oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  X )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
21616recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
21768recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
218216, 217, 96subdird 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
21994recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
220219, 96mulcomd 9412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
221215, 218, 2203eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
222221negeqd 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) )
223212, 222eqtr3d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
224223oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
22595recnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  CC )
226225, 210negsubdid 9739 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
227224, 226eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  -u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
) )
228225, 210negsubdi2d 9740 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
229211, 227, 2283eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) ) )
230207, 229breqtrrd 4323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  <_  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
) ) )
23179, 92, 67, 230lesubd 9948 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
232 flle 11654 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  <_  X )
23313, 232syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  X )
23413, 15subge0d 9934 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <->  ( |_ `  X )  <_  X
) )
235233, 234mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
236201ralrimiva 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
23771breq2d 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
238237rspcv 3074 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
23970, 236, 238sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
24050, 74, 68, 235, 239lemul2ad 10278 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
24192, 75, 79, 240lesub1dd 9960 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
24267, 93, 80, 231, 241letrd 9533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
24367, 80, 91, 242leadd1dd 9958 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C ) )
244 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
245 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
246 dvfsum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
247 dvfsum.h . . . 4  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
248 dvfsumlem1.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
2491, 85, 244, 157, 245, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 246, 197, 247, 6, 4, 164, 19, 169, 248dvfsumlem1 21503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
25013leidd 9911 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  X )
25117, 18, 246, 19, 169xrletrd 11141 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
252 fllep1 11656 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
25313, 252syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
2541, 85, 244, 157, 245, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 246, 197, 247, 6, 6, 164, 250, 251, 253dvfsumlem1 21503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
255243, 249, 2543brtr4d 4327 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  <_  ( H `  X ) )
25680, 74resubcld 9781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
25767, 50resubcld 9781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  RR )
258 peano2rem 9680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  e.  RR  ->  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
25968, 258syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
260259, 74remulcld 9419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
261260, 79resubcld 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
262 peano2rem 9680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  e.  RR  ->  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
26316, 262syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
264263, 74remulcld 9419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
265264, 66resubcld 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
266263, 50remulcld 9419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  RR )
267266, 66resubcld 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
268260recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  CC )
269264recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  CC )
270268, 269subcld 9724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  e.  CC )
271270, 210addcomd 9576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  +  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
272268, 269, 210subsubd 9752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )  + 
[_ Y  /  x ]_ A ) )
273210, 269, 268subsub2d 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  +  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
274271, 272, 2733eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
275 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
276216, 217, 275nnncan2d 9759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) ) )
277276, 214eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  =  ( Y  -  X ) )
278277oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  X )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
279263recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  CC )
280259recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  CC )
28174recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
282279, 280, 281subdird 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
283219, 281mulcomd 9412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
284278, 282, 2833eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
285284oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) ) )
286274, 285eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
28774, 94remulcld 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
288 cncfmptc 20492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[_ X  /  x ]_ B  e.  RR  /\  ( X [,] Y
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
28974, 104, 105, 288syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ X  /  x ]_ B )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
290 remulcl 9372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ X  /  x ]_ B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y )  e.  RR )
291100, 101, 289, 109, 103, 290cncfmpt2ss 20496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
292113, 117, 118, 126, 281dvmptcmul 21443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ X  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 ) ) )
293281mulid1d 9408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 )  =  [_ X  /  x ]_ B )
294293mpteq2dv 4384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ X  /  x ]_ B
) )
295292, 294eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ X  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ X  /  x ]_ B ) )
2966adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  e.  S )
297163rexrd 9438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  RR* )
29818adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  e.  RR* )
299246adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  U  e.  RR* )
300297, 298, 299, 168, 170xrletrd 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  <_  U )
301 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
302 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
k  e.  S  <->  y  e.  S ) )
303302anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( X  e.  S  /\  y  e.  S ) ) )
304 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  ( X  <_  k  <->  X  <_  y ) )
305 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
k  <_  U  <->  y  <_  U ) )
306304, 3053anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
y  /\  y  <_  U ) ) )
307303, 3063anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) ) ) )
308 csbeq1 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ y  /  x ]_ B )
309180, 308syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ B )
310309breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  ( C  <_  [_ X  /  x ]_ B  <->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
311307, 310imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
312 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  X  e.  S )
313 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )
314 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
315179, 186, 314nfbr 4341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x  C  <_  [_ X  /  x ]_ B
316313, 315nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )
317 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  S  <->  X  e.  S ) )
318317anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( X  e.  S  /\  k  e.  S ) ) )
319 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
320 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <_  k  <->  X  <_  k ) )
321319, 3203anbi12d 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  (
( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) ) )
322318, 3213anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) ) ) )
323 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
324323breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  ( C  <_  B  <->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
325322, 324imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
326316, 325, 197vtoclg1f 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
327312, 326mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )
328301, 311, 327vtocl 3029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
329155, 296, 30, 165, 166, 300, 328syl123anc 1235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
330154, 329sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
331 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) )
332 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  Y ) )
33313, 5, 148, 153, 291, 295, 330, 70, 21, 19, 76, 331, 63, 332dvle 21484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( ( [_ X  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
334281, 97, 98subdid 9805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( (
[_ X  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
335333, 334breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
33666, 79, 287, 335subled 9947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) )  <_  [_ X  /  x ]_ A )
337286, 336eqbrtrd 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  [_ X  /  x ]_ A )
338260, 265, 79, 337subled 9947 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
339263renegcld 9780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  e.  RR )
340 1red 9406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3415, 15, 340lesubadd2d 9943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  <_  1  <->  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
342248, 341mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
34316, 340suble0d 9935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  <_  0  <->  ( Y  -  ( |_
`  X ) )  <_  1 ) )
344342, 343mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  <_  0 )
345263le0neg1d 9916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  <_  0  <->  0  <_  -u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 ) ) )
346344, 345mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 ) )
34750, 74, 339, 346, 239lemul2ad 10278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
348279, 96mulneg1d 9802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) )
349279, 281mulneg1d 9802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
) )
350347, 348, 3493brtr3d 4326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
351264, 266lenegd 9923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <->  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
352350, 351mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
353264, 266, 66, 352lesub1dd 9960 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
354261, 265, 267, 338, 353letrd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
355217, 275, 281subdird 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
) ) )
356281mulid2d 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
357356oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
358355, 357eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
359358oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
360216, 275, 96subdird 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) ) )
36196mulid2d 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
362361oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
363360, 362eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
364363oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
365354, 359, 3643brtr3d 4326 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
36675recnd 9417 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  CC )
36779recnd 9417 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  CC )
368366, 367, 281sub32d 9756 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
369209, 210, 96sub32d 9756 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
370365, 368, 3693brtr4d 4327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
371256, 257, 91, 370leadd1dd 9958 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )  <_  (
( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
37280recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  CC )
37391recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
374372, 373, 281addsubd 9745 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
37567recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  CC )
376375, 373, 96addsubd 9745 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
377371, 374, 3763brtr4d 4327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
378254oveq1d 6111 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B
) )
379249oveq1d 6111 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )  -  [_ Y  /  x ]_ B
) )
380377, 378, 3793brtr4d 4327 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
381255, 380jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   [_csb 3293    C_ wss 3333   {cpr 3884   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   -ucneg 9601   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   (,)cioo 11305   [,]cicc 11308   ...cfz 11442   |_cfl 11645   sum_csu 13168   TopOpenctopn 14365   topGenctg 14381  ℂfldccnfld 17823   -cn->ccncf 20457    _D cdv 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347
This theorem is referenced by:  dvfsumlem3  21505
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