Theorem dvfsumle 22973

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumle.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumle	|- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumle

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 12187	. . . 4 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumle.x	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
4		dvfsumle.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 11164	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 11168	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 11787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3652	. . . . . . . . 9 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3432	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumle.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
15		cncff 21925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
17		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 6043	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
19	16, 18	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
20		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2606	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. RR
22		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A e. RR <-> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
24	21, 23	rspc 3144	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
25	19, 24	mpan9 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
26	13, 25	syldan 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
27	26	ralrimiva 2802	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR )
28		fzofzp1 12008	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3366	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR ) )
31	30	rspccva 3149	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
32	27, 28, 31	syl2an 480	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
33		elfzofz 11935	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3366	. . . . . . 7 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ k / x ]_ A e. RR ) )
36	35	rspccva 3149	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
37	27, 33, 36	syl2an 480	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
38	32, 37	resubcld 10047	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. RR )
39		elfzoelz 11920	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
40	39	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
41	40	zred 11040	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
42	41	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
43		ax-1cn 9597	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
44		pncan2 9882	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
45	42, 43, 44	sylancl 668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
46	45	oveq2d 6306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
47	3	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
48		peano2re 9806	. . . . . . . 8 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
49	41, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
50	49	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
51	47, 50, 42	subdid 10074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
52	47	mulid1d 9660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
53	46, 51, 52	3eqtr3d 2493	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
54		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
55	54	mulcn 21899	. . . . . 6 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
56	6	zred 11040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
57	56	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
58	8	zred 11040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
59	58	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
60		elfzole1 11928	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
61	60	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
62	28	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
63		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
65		iccss 11702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
66	57, 59, 61, 64, 65	syl22anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
67		iccssre 11716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
68	56, 58, 67	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
69	68	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
70	66, 69	sstrd 3442	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
71		ax-resscn 9596	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
72	70, 71	syl6ss 3444	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC )
73	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
74		cncfmptc 21943	. . . . . . 7 |- ( ( X e. RR /\ ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
75	3, 72, 73, 74	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
76		cncfmptid 21944	. . . . . . 7 |- ( ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
77	70, 71, 76	sylancl 668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
78		remulcl 9624	. . . . . 6 |- ( ( X e. RR /\ y e. RR ) -> ( X x. y ) e. RR )
79	54, 55, 75, 77, 71, 78	cncfmpt2ss 21947	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
80		reelprrecn 9631	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
82	57	rexrd 9690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
83		iooss1 11671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
84	82, 61, 83	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
85	59	rexrd 9690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
86		iooss2 11672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
87	85, 64, 86	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
88	84, 87	sstrd 3442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
89		ioossicc 11720	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
90	69, 71	syl6ss 3444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
91	89, 90	syl5ss 3443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
92	88, 91	sstrd 3442	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ CC )
93	92	sselda 3432	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> y e. CC )
94		1cnd 9659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
95	73	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> y e. CC )
96		1cnd 9659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
97	81	dvmptid 22911	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
98		ioossre 11696	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR )
100	54	tgioo2 21821	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
101		iooretop 21786	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
102	101	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
103	81, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102	dvmptres 22917	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> y ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> 1 ) )
104	81, 93, 94, 103, 47	dvmptcmul 22918	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) )
105	52	mpteq2dv 4490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
106	104, 105	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
107		nfcv 2592	. . . . . . 7 |- F/_ y A
108	107, 20, 22	cbvmpt 4494	. . . . . 6 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) = ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A )
109	66	resmptd 5156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) )
110	14	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
111		rescncf 21929	. . . . . . . 8 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) ) )
112	66, 110, 111	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
113	109, 112	eqeltrrd 2530	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
114	108, 113	syl5eqelr 2534	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
115	16	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
116	115, 18	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
117	89	sseli 3428	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M (,) N ) -> y e. ( M [,] N ) )
118	24	impcom 432	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
119	116, 117, 118	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
120	119	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
121	89	sseli 3428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
122	19	r19.21bi 2757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
123	122	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
124	121, 123	sylan2 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
125		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
126	124, 125	fmptd 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
127		ioossre 11696	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ RR
128		dvfre 22905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
129	126, 127, 128	sylancl 668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
130		dvfsumle.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
131	130	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
132	131	dmeqd 5037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
133		dvfsumle.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
134	133	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
135	134	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
136		dmmptg 5332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
138	132, 137	eqtrd 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
139	131, 138	feq12d 5717	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
140	129, 139	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
141		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
142	141	fmpt 6043	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
143	140, 142	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
144		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . 9 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
145	144	nfel1 2606	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. RR
146		csbeq1a 3372	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
147	146	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( B e. RR <-> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
148	145, 147	rspc 3144	. . . . . . 7 |- ( y e. ( M (,) N ) -> ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR -> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
149	143, 148	mpan9 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ B e. RR )
150	107, 20, 22	cbvmpt 4494	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A )
151	150	oveq2i 6301	. . . . . . 7 |- ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
152		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ y B
153	152, 144, 146	cbvmpt 4494	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B )
154	131, 151, 153	3eqtr3g 2508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
155	81, 120, 149, 154, 88, 100, 54, 102	dvmptres 22917	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
156		dvfsumle.l	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )
157	156	anassrs 654	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ B )
158	157	ralrimiva 2802	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B )
159		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ x X
160		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
161	159, 160, 144	nfbr 4447	. . . . . . 7 |- F/ x X <_ [_ y / x ]_ B
162	146	breq2d 4414	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X <_ B <-> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
163	161, 162	rspc 3144	. . . . . 6 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B -> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
164	158, 163	mpan9 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ [_ y / x ]_ B )
165	41	rexrd 9690	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
166	49	rexrd 9690	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
167	41	lep1d 10538	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
168		lbicc2 11748	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
169	165, 166, 167, 168	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
170		ubicc2 11749	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
171	165, 166, 167, 170	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
172		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( y = k -> ( X x. y ) = ( X x. k ) )
173		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( X x. y ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
174	41, 49, 79, 106, 114, 155, 164, 169, 171, 167, 172, 34, 173, 29	dvle 22959	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
175	53, 174	eqbrtrrd 4425	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
176	2, 3, 38, 175	fsumle 13859	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
177		vex 3048	. . . . 5 |- y e. _V
178	177	a1i 11	. . . 4 |- ( y = M -> y e. _V )
179		eqeq2 2462	. . . . . 6 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
180	179	biimpa 487	. . . . 5 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
181		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
182	180, 181	syl 17	. . . 4 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
183	178, 182	csbied 3390	. . 3 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
184	177	a1i 11	. . . 4 |- ( y = N -> y e. _V )
185		eqeq2 2462	. . . . . 6 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
186	185	biimpa 487	. . . . 5 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
187		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
188	186, 187	syl 17	. . . 4 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
189	184, 188	csbied 3390	. . 3 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
190	26	recnd 9669	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
191	34, 29, 183, 189, 4, 190	telfsumo2 13863	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
192	176, 191	breqtrd 4427	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363   i^i cin 3403   C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   <_ cle 9676   - cmin 9860   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   sum_csu 13752   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂ_fldccnfld 18970   -cn->ccncf 21908   _D cdv 22818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  dvfsumge  22974