Theorem dvfsumle 21496

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumle.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumle	|- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumle

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 11799	. . . 4 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumle.x	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
4		dvfsumle.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 10869	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 10873	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 11443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3573	. . . . . . . . 9 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumle.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
15		cncff 20472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
17		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 5867	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
19	16, 18	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
20		nfcsb1v 3307	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2592	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. RR
22		csbeq1a 3300	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2509	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A e. RR <-> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
24	21, 23	rspc 3070	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
25	19, 24	mpan9 469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
26	13, 25	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
27	26	ralrimiva 2802	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR )
28		fzofzp1 11627	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3294	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2509	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR ) )
31	30	rspccva 3075	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
32	27, 28, 31	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
33		elfzofz 11570	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3294	. . . . . . 7 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2509	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ k / x ]_ A e. RR ) )
36	35	rspccva 3075	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
37	27, 33, 36	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
38	32, 37	resubcld 9779	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. RR )
39		elfzoelz 11556	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
40	39	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
41	40	zred 10750	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
42	41	recnd 9415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
43		ax-1cn 9343	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
44		pncan2 9620	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
45	42, 43, 44	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
46	45	oveq2d 6110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
47	3	recnd 9415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
48		peano2re 9545	. . . . . . . 8 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
49	41, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
50	49	recnd 9415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
51	47, 50, 42	subdid 9803	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
52	47	mulid1d 9406	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
53	46, 51, 52	3eqtr3d 2483	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
54		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
55	54	mulcn 20446	. . . . . 6 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
56	6	zred 10750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
58	8	zred 10750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
59	58	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
60		elfzole1 11563	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
61	60	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
62	28	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
63		elfzle2 11458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
65		iccss 11366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
66	57, 59, 61, 64, 65	syl22anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
67		iccssre 11380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
68	56, 58, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
69	68	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
70	66, 69	sstrd 3369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
71		ax-resscn 9342	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
72	70, 71	syl6ss 3371	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC )
73	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
74		cncfmptc 20490	. . . . . . 7 |- ( ( X e. RR /\ ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
75	3, 72, 73, 74	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
76		cncfmptid 20491	. . . . . . 7 |- ( ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
77	70, 71, 76	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
78		remulcl 9370	. . . . . 6 |- ( ( X e. RR /\ y e. RR ) -> ( X x. y ) e. RR )
79	54, 55, 75, 77, 71, 78	cncfmpt2ss 20494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
80		reelprrecn 9377	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
82	57	rexrd 9436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
83		iooss1 11338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
84	82, 61, 83	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
85	59	rexrd 9436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
86		iooss2 11339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
87	85, 64, 86	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
88	84, 87	sstrd 3369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
89		ioossicc 11384	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
90	69, 71	syl6ss 3371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
91	89, 90	syl5ss 3370	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
92	88, 91	sstrd 3369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ CC )
93	92	sselda 3359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> y e. CC )
94		1cnd 9405	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
95	73	sselda 3359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> y e. CC )
96		1cnd 9405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
97	81	dvmptid 21434	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
98		ioossre 11360	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR )
100	54	tgioo2 20383	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
101		iooretop 20348	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
102	101	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
103	81, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102	dvmptres 21440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> y ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> 1 ) )
104	81, 93, 94, 103, 47	dvmptcmul 21441	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) )
105	52	mpteq2dv 4382	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
106	104, 105	eqtrd 2475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
107		nfcv 2582	. . . . . . 7 |- F/_ y A
108	107, 20, 22	cbvmpt 4385	. . . . . 6 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) = ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A )
109		resmpt 5159	. . . . . . . 8 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) )
110	66, 109	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) )
111	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
112		rescncf 20476	. . . . . . . 8 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) ) )
113	66, 111, 112	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
114	110, 113	eqeltrrd 2518	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
115	108, 114	syl5eqelr 2528	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
116	16	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
117	116, 18	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
118	89	sseli 3355	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M (,) N ) -> y e. ( M [,] N ) )
119	24	impcom 430	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
120	117, 118, 119	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
121	120	recnd 9415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
122	89	sseli 3355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
123	19	r19.21bi 2817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
124	123	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
125	122, 124	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
126		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
127	125, 126	fmptd 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
128		ioossre 11360	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ RR
129		dvfre 21428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
130	127, 128, 129	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
131		dvfsumle.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
132	131	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
133	132	dmeqd 5045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
134		dvfsumle.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
135	134	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
136	135	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
137		dmmptg 5338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
138	136, 137	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
139	133, 138	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
140	132, 139	feq12d 5551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
141	130, 140	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
142		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
143	142	fmpt 5867	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
144	141, 143	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
145		nfcsb1v 3307	. . . . . . . . 9 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
146	145	nfel1 2592	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. RR
147		csbeq1a 3300	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
148	147	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( B e. RR <-> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
149	146, 148	rspc 3070	. . . . . . 7 |- ( y e. ( M (,) N ) -> ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR -> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
150	144, 149	mpan9 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ B e. RR )
151	107, 20, 22	cbvmpt 4385	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A )
152	151	oveq2i 6105	. . . . . . 7 |- ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
153		nfcv 2582	. . . . . . . 8 |- F/_ y B
154	153, 145, 147	cbvmpt 4385	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B )
155	132, 152, 154	3eqtr3g 2498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
156	81, 121, 150, 155, 88, 100, 54, 102	dvmptres 21440	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
157		dvfsumle.l	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )
158	157	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ B )
159	158	ralrimiva 2802	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B )
160		nfcv 2582	. . . . . . . 8 |- F/_ x X
161		nfcv 2582	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
162	160, 161, 145	nfbr 4339	. . . . . . 7 |- F/ x X <_ [_ y / x ]_ B
163	147	breq2d 4307	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X <_ B <-> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
164	162, 163	rspc 3070	. . . . . 6 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B -> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
165	159, 164	mpan9 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ [_ y / x ]_ B )
166	41	rexrd 9436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
167	49	rexrd 9436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
168	41	lep1d 10267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
169		lbicc2 11404	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
170	166, 167, 168, 169	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
171		ubicc2 11405	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
172	166, 167, 168, 171	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
173		oveq2 6102	. . . . 5 |- ( y = k -> ( X x. y ) = ( X x. k ) )
174		oveq2 6102	. . . . 5 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( X x. y ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
175	41, 49, 79, 106, 115, 156, 165, 170, 172, 168, 173, 34, 174, 29	dvle 21482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
176	53, 175	eqbrtrrd 4317	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
177	2, 3, 38, 176	fsumle 13265	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
178		vex 2978	. . . . 5 |- y e. _V
179	178	a1i 11	. . . 4 |- ( y = M -> y e. _V )
180		eqeq2 2452	. . . . . 6 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
181	180	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
182		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
183	181, 182	syl 16	. . . 4 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
184	179, 183	csbied 3317	. . 3 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
185	178	a1i 11	. . . 4 |- ( y = N -> y e. _V )
186		eqeq2 2452	. . . . . 6 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
187	186	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
188		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
189	187, 188	syl 16	. . . 4 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
190	185, 189	csbied 3317	. . 3 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
191	26	recnd 9415	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
192	34, 29, 184, 190, 4, 191	fsumtscopo2 13269	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
193	177, 192	breqtrd 4319	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2718   _Vcvv 2975   [_csb 3291   i^i cin 3330   C_ wss 3331   {cpr 3882   class class class wbr 4295   e. cmpt 4353   dom cdm 4843   ran crn 4844   |` cres 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   CCcc 9283   RRcr 9284   1c1 9286   + caddc 9288   x. cmul 9290   RR*cxr 9420   <_ cle 9422   - cmin 9598   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   (,)cioo 11303   [,]cicc 11306   ...cfz 11440  ..^cfzo 11551   sum_csu 13166   TopOpenctopn 14363   topGenctg 14379  ℂ_fldccnfld 17821   -cn->ccncf 20455   _D cdv 21341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-cmp 18993  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345

This theorem is referenced by:  dvfsumge  21497