Theorem dvfsumle 23052

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumle.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumle	|- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumle

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 12225	. . . 4 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumle.x	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
4		dvfsumle.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 11187	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 11192	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 11813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3643	. . . . . . . . 9 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumle.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
15		cncff 22003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
17		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 6058	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
19	16, 18	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
20		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2626	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. RR
22		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A e. RR <-> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
24	21, 23	rspc 3130	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
25	19, 24	mpan9 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
26	13, 25	syldan 478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
27	26	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR )
28		fzofzp1 12037	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3352	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR ) )
31	30	rspccva 3135	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
32	27, 28, 31	syl2an 485	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
33		elfzofz 11962	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3352	. . . . . . 7 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ k / x ]_ A e. RR ) )
36	35	rspccva 3135	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
37	27, 33, 36	syl2an 485	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
38	32, 37	resubcld 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. RR )
39		elfzoelz 11947	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
40	39	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
41	40	zred 11063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
42	41	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
43		ax-1cn 9615	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
44		pncan2 9902	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
45	42, 43, 44	sylancl 675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
46	45	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
47	3	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
48		peano2re 9824	. . . . . . . 8 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
49	41, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
50	49	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
51	47, 50, 42	subdid 10095	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
52	47	mulid1d 9678	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
53	46, 51, 52	3eqtr3d 2513	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
54		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
55	54	mulcn 21977	. . . . . 6 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
56	6	zred 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
57	56	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
58	8	zred 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
59	58	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
60		elfzole1 11955	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
61	60	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
62	28	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
63		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
65		iccss 11727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
66	57, 59, 61, 64, 65	syl22anc 1293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
67		iccssre 11741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
68	56, 58, 67	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
69	68	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
70	66, 69	sstrd 3428	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
71		ax-resscn 9614	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
72	70, 71	syl6ss 3430	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC )
73	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
74		cncfmptc 22021	. . . . . . 7 |- ( ( X e. RR /\ ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
75	3, 72, 73, 74	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
76		cncfmptid 22022	. . . . . . 7 |- ( ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
77	70, 71, 76	sylancl 675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
78		remulcl 9642	. . . . . 6 |- ( ( X e. RR /\ y e. RR ) -> ( X x. y ) e. RR )
79	54, 55, 75, 77, 71, 78	cncfmpt2ss 22025	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
80		reelprrecn 9649	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
82	57	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
83		iooss1 11696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
84	82, 61, 83	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
85	59	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
86		iooss2 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
87	85, 64, 86	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
88	84, 87	sstrd 3428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
89		ioossicc 11745	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
90	69, 71	syl6ss 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
91	89, 90	syl5ss 3429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
92	88, 91	sstrd 3428	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ CC )
93	92	sselda 3418	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> y e. CC )
94		1cnd 9677	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
95	73	sselda 3418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> y e. CC )
96		1cnd 9677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
97	81	dvmptid 22990	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
98		ioossre 11721	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR )
100	54	tgioo2 21899	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
101		iooretop 21864	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
102	101	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
103	81, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102	dvmptres 22996	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> y ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> 1 ) )
104	81, 93, 94, 103, 47	dvmptcmul 22997	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) )
105	52	mpteq2dv 4483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
106	104, 105	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
107		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ y A
108	107, 20, 22	cbvmpt 4487	. . . . . 6 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) = ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A )
109	66	resmptd 5162	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) )
110	14	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
111		rescncf 22007	. . . . . . . 8 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) ) )
112	66, 110, 111	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
113	109, 112	eqeltrrd 2550	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
114	108, 113	syl5eqelr 2554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
115	16	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
116	115, 18	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
117	89	sseli 3414	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M (,) N ) -> y e. ( M [,] N ) )
118	24	impcom 437	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
119	116, 117, 118	syl2an 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
120	119	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
121	89	sseli 3414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
122	19	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
123	122	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
124	121, 123	sylan2 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
125		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
126	124, 125	fmptd 6061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
127		ioossre 11721	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ RR
128		dvfre 22984	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
129	126, 127, 128	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
130		dvfsumle.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
131	130	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
132	131	dmeqd 5042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
133		dvfsumle.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
134	133	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
135	134	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
136		dmmptg 5339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
138	132, 137	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
139	131, 138	feq12d 5727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
140	129, 139	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
141		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
142	141	fmpt 6058	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
143	140, 142	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
144		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . 9 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
145	144	nfel1 2626	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. RR
146		csbeq1a 3358	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
147	146	eleq1d 2533	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( B e. RR <-> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
148	145, 147	rspc 3130	. . . . . . 7 |- ( y e. ( M (,) N ) -> ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR -> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
149	143, 148	mpan9 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ B e. RR )
150	107, 20, 22	cbvmpt 4487	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A )
151	150	oveq2i 6319	. . . . . . 7 |- ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
152		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ y B
153	152, 144, 146	cbvmpt 4487	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B )
154	131, 151, 153	3eqtr3g 2528	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
155	81, 120, 149, 154, 88, 100, 54, 102	dvmptres 22996	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
156		dvfsumle.l	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )
157	156	anassrs 660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ B )
158	157	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B )
159		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ x X
160		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
161	159, 160, 144	nfbr 4440	. . . . . . 7 |- F/ x X <_ [_ y / x ]_ B
162	146	breq2d 4407	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X <_ B <-> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
163	161, 162	rspc 3130	. . . . . 6 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B -> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
164	158, 163	mpan9 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ [_ y / x ]_ B )
165	41	rexrd 9708	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
166	49	rexrd 9708	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
167	41	lep1d 10560	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
168		lbicc2 11774	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
169	165, 166, 167, 168	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
170		ubicc2 11775	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
171	165, 166, 167, 170	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
172		oveq2 6316	. . . . 5 |- ( y = k -> ( X x. y ) = ( X x. k ) )
173		oveq2 6316	. . . . 5 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( X x. y ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
174	41, 49, 79, 106, 114, 155, 164, 169, 171, 167, 172, 34, 173, 29	dvle 23038	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
175	53, 174	eqbrtrrd 4418	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
176	2, 3, 38, 175	fsumle 13936	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
177		vex 3034	. . . . 5 |- y e. _V
178	177	a1i 11	. . . 4 |- ( y = M -> y e. _V )
179		eqeq2 2482	. . . . . 6 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
180	179	biimpa 492	. . . . 5 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
181		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
182	180, 181	syl 17	. . . 4 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
183	178, 182	csbied 3376	. . 3 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
184	177	a1i 11	. . . 4 |- ( y = N -> y e. _V )
185		eqeq2 2482	. . . . . 6 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
186	185	biimpa 492	. . . . 5 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
187		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
188	186, 187	syl 17	. . . 4 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
189	184, 188	csbied 3376	. . 3 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
190	26	recnd 9687	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
191	34, 29, 183, 189, 4, 190	telfsumo2 13940	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
192	176, 191	breqtrd 4420	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349   i^i cin 3389   C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   <_ cle 9694   - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sum_csu 13829   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   -cn->ccncf 21986   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  dvfsumge  23053