Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumle 22249
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m
dvfsumle.a
dvfsumle.v
dvfsumle.b
dvfsumle.c
dvfsumle.d
dvfsumle.x ..^
dvfsumle.l ..^
Assertion
Ref Expression
dvfsumle ..^
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12053 . . . 4 ..^
21a1i 11 . . 3 ..^
3 dvfsumle.x . . 3 ..^
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11
5 eluzel2 11088 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
7 eluzelz 11092 . . . . . . . . . . 11
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10
9 fzval2 11676 . . . . . . . . . 10
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . 9
11 inss1 3718 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eqss 3554 . . . . . . . 8
1312sselda 3504 . . . . . . 7
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10
15 cncff 21224 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9
17 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
1817fmpt 6043 . . . . . . . . 9
1916, 18sylibr 212 . . . . . . . 8
20 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10
2120nfel1 2645 . . . . . . . . 9
22 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10
2322eleq1d 2536 . . . . . . . . 9
2421, 23rspc 3208 . . . . . . . 8
2519, 24mpan9 469 . . . . . . 7
2613, 25syldan 470 . . . . . 6
2726ralrimiva 2878 . . . . 5
28 fzofzp1 11878 . . . . 5 ..^
29 csbeq1 3438 . . . . . . 7
3029eleq1d 2536 . . . . . 6
3130rspccva 3213 . . . . 5
3227, 28, 31syl2an 477 . . . 4 ..^
33 elfzofz 11812 . . . . 5 ..^
34 csbeq1 3438 . . . . . . 7
3534eleq1d 2536 . . . . . 6
3635rspccva 3213 . . . . 5
3727, 33, 36syl2an 477 . . . 4 ..^
3832, 37resubcld 9988 . . 3 ..^
39 elfzoelz 11798 . . . . . . . . . 10 ..^
4039adantl 466 . . . . . . . . 9 ..^
4140zred 10967 . . . . . . . 8 ..^
4241recnd 9623 . . . . . . 7 ..^
43 ax-1cn 9551 . . . . . . 7
44 pncan2 9828 . . . . . . 7
4542, 43, 44sylancl 662 . . . . . 6 ..^
4645oveq2d 6301 . . . . 5 ..^
473recnd 9623 . . . . . 6 ..^
48 peano2re 9753 . . . . . . . 8
4941, 48syl 16 . . . . . . 7 ..^
5049recnd 9623 . . . . . 6 ..^
5147, 50, 42subdid 10013 . . . . 5 ..^
5247mulid1d 9614 . . . . 5 ..^
5346, 51, 523eqtr3d 2516 . . . 4 ..^
54 eqid 2467 . . . . . 6 fld fld
5554mulcn 21198 . . . . . 6 fld fld fld
566zred 10967 . . . . . . . . . . 11
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10 ..^
588zred 10967 . . . . . . . . . . 11
5958adantr 465 . . . . . . . . . 10 ..^
60 elfzole1 11805 . . . . . . . . . . 11 ..^
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10 ..^
6228adantl 466 . . . . . . . . . . 11 ..^
63 elfzle2 11691 . . . . . . . . . . 11
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10 ..^
65 iccss 11593 . . . . . . . . . 10
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 1229 . . . . . . . . 9 ..^
67 iccssre 11607 . . . . . . . . . . 11
6856, 58, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
6968adantr 465 . . . . . . . . 9 ..^
7066, 69sstrd 3514 . . . . . . . 8 ..^
71 ax-resscn 9550 . . . . . . . 8
7270, 71syl6ss 3516 . . . . . . 7 ..^
7371a1i 11 . . . . . . 7 ..^
74 cncfmptc 21242 . . . . . . 7
753, 72, 73, 74syl3anc 1228 . . . . . 6 ..^
76 cncfmptid 21243 . . . . . . 7
7770, 71, 76sylancl 662 . . . . . 6 ..^
78 remulcl 9578 . . . . . 6
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 21246 . . . . 5 ..^
80 reelprrecn 9585 . . . . . . . 8
8180a1i 11 . . . . . . 7 ..^
8257rexrd 9644 . . . . . . . . . . 11 ..^
83 iooss1 11565 . . . . . . . . . . 11
8482, 61, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 ..^
8559rexrd 9644 . . . . . . . . . . 11 ..^
86 iooss2 11566 . . . . . . . . . . 11
8785, 64, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 ..^
8884, 87sstrd 3514 . . . . . . . . 9 ..^
89 ioossicc 11611 . . . . . . . . . 10
9069, 71syl6ss 3516 . . . . . . . . . 10 ..^
9189, 90syl5ss 3515 . . . . . . . . 9 ..^
9288, 91sstrd 3514 . . . . . . . 8 ..^
9392sselda 3504 . . . . . . 7 ..^
94 1cnd 9613 . . . . . . 7 ..^
9573sselda 3504 . . . . . . . 8 ..^
96 1cnd 9613 . . . . . . . 8 ..^
9781dvmptid 22187 . . . . . . . 8 ..^
98 ioossre 11587 . . . . . . . . 9
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ..^
10054tgioo2 21135 . . . . . . . 8 fldt
101 iooretop 21100 . . . . . . . . 9
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ..^
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 22193 . . . . . . 7 ..^
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 22194 . . . . . 6 ..^
10552mpteq2dv 4534 . . . . . 6 ..^
106104, 105eqtrd 2508 . . . . 5 ..^
107 nfcv 2629 . . . . . . 7
108107, 20, 22cbvmpt 4537 . . . . . 6
109 resmpt 5323 . . . . . . . 8
11066, 109syl 16 . . . . . . 7 ..^
11114adantr 465 . . . . . . . 8 ..^
112 rescncf 21228 . . . . . . . 8
11366, 111, 112sylc 60 . . . . . . 7 ..^
114110, 113eqeltrrd 2556 . . . . . 6 ..^
115108, 114syl5eqelr 2560 . . . . 5 ..^
11616adantr 465 . . . . . . . . 9 ..^
117116, 18sylibr 212 . . . . . . . 8 ..^
11889sseli 3500 . . . . . . . 8
11924impcom 430 . . . . . . . 8
120117, 118, 119syl2an 477 . . . . . . 7 ..^
121120recnd 9623 . . . . . 6 ..^
12289sseli 3500 . . . . . . . . . . . 12
12319r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . 13
124123adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ..^
125122, 124sylan2 474 . . . . . . . . . . 11 ..^
126 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
127125, 126fmptd 6046 . . . . . . . . . 10 ..^
128 ioossre 11587 . . . . . . . . . 10
129 dvfre 22181 . . . . . . . . . 10
130127, 128, 129sylancl 662 . . . . . . . . 9 ..^
131 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11
132131adantr 465 . . . . . . . . . 10 ..^
133132dmeqd 5205 . . . . . . . . . . 11 ..^
134 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14
135134adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
136135ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12 ..^
137 dmmptg 5504 . . . . . . . . . . . 12
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . 11 ..^
139133, 138eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10 ..^
140132, 139feq12d 5720 . . . . . . . . 9 ..^
141130, 140mpbid 210 . . . . . . . 8 ..^
142 eqid 2467 . . . . . . . . 9
143142fmpt 6043 . . . . . . . 8
144141, 143sylibr 212 . . . . . . 7 ..^
145 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . 9
146145nfel1 2645 . . . . . . . 8
147 csbeq1a 3444 . . . . . . . . 9
148147eleq1d 2536 . . . . . . . 8
149146, 148rspc 3208 . . . . . . 7
150144, 149mpan9 469 . . . . . 6 ..^
151107, 20, 22cbvmpt 4537 . . . . . . . 8
152151oveq2i 6296 . . . . . . 7
153 nfcv 2629 . . . . . . . 8
154153, 145, 147cbvmpt 4537 . . . . . . 7
155132, 152, 1543eqtr3g 2531 . . . . . 6 ..^
15681, 121, 150, 155, 88, 100, 54, 102dvmptres 22193 . . . . 5 ..^
157 dvfsumle.l . . . . . . . 8 ..^
158157anassrs 648 . . . . . . 7 ..^
159158ralrimiva 2878 . . . . . 6 ..^
160 nfcv 2629 . . . . . . . 8
161 nfcv 2629 . . . . . . . 8
162160, 161, 145nfbr 4491 . . . . . . 7
163147breq2d 4459 . . . . . . 7
164162, 163rspc 3208 . . . . . 6
165159, 164mpan9 469 . . . . 5 ..^
16641rexrd 9644 . . . . . 6 ..^
16749rexrd 9644 . . . . . 6 ..^
16841lep1d 10478 . . . . . 6 ..^
169 lbicc2 11637 . . . . . 6
170166, 167, 168, 169syl3anc 1228 . . . . 5 ..^
171 ubicc2 11638 . . . . . 6
172166, 167, 168, 171syl3anc 1228 . . . . 5 ..^
173 oveq2 6293 . . . . 5
174 oveq2 6293 . . . . 5
17541, 49, 79, 106, 115, 156, 165, 170, 172, 168, 173, 34, 174, 29dvle 22235 . . . 4 ..^
17653, 175eqbrtrrd 4469 . . 3 ..^
1772, 3, 38, 176fsumle 13579 . 2 ..^ ..^
178 vex 3116 . . . . 5
179178a1i 11 . . . 4
180 eqeq2 2482 . . . . . 6
181180biimpa 484 . . . . 5
182 dvfsumle.c . . . . 5
183181, 182syl 16 . . . 4
184179, 183csbied 3462 . . 3
185178a1i 11 . . . 4
186 eqeq2 2482 . . . . . 6
187186biimpa 484 . . . . 5
188 dvfsumle.d . . . . 5
189187, 188syl 16 . . . 4
190185, 189csbied 3462 . . 3
19126recnd 9623 . . 3
19234, 29, 184, 190, 4, 191telfsumo2 13583 . 2 ..^
193177, 192breqtrd 4471 1 ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  cvv 3113  csb 3435   cin 3475   wss 3476  cpr 4029   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cdm 4999   crn 5000   cres 5001  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6285  cfn 7517  cc 9491  cr 9492  c1 9494   caddc 9496   cmul 9498  cxr 9628   cle 9630   cmin 9806  cz 10865  cuz 11083  cioo 11530  cicc 11533  cfz 11673  ..^cfzo 11793  csu 13474  ctopn 14680  ctg 14696  ℂfldccnfld 18231  ccncf 21207   cdv 22094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-limc 22097  df-dv 22098 This theorem is referenced by:  dvfsumge  22250
 Copyright terms: Public domain W3C validator