Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvfsumle 23052
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m
dvfsumle.a
dvfsumle.v
dvfsumle.b
dvfsumle.c
dvfsumle.d
dvfsumle.x ..^
dvfsumle.l ..^
Assertion
Ref Expression
dvfsumle ..^
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12225 . . . 4 ..^
21a1i 11 . . 3 ..^
3 dvfsumle.x . . 3 ..^
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11
5 eluzel2 11187 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10
7 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . 11
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10
9 fzval2 11813 . . . . . . . . . 10
106, 8, 9syl2anc 673 . . . . . . . . 9
11 inss1 3643 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eqss 3468 . . . . . . . 8
1312sselda 3418 . . . . . . 7
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10
15 cncff 22003 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9
17 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
1817fmpt 6058 . . . . . . . . 9
1916, 18sylibr 217 . . . . . . . 8
20 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . 10
2120nfel1 2626 . . . . . . . . 9
22 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . 10
2322eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
2421, 23rspc 3130 . . . . . . . 8
2519, 24mpan9 477 . . . . . . 7
2613, 25syldan 478 . . . . . 6
2726ralrimiva 2809 . . . . 5
28 fzofzp1 12037 . . . . 5 ..^
29 csbeq1 3352 . . . . . . 7
3029eleq1d 2533 . . . . . 6
3130rspccva 3135 . . . . 5
3227, 28, 31syl2an 485 . . . 4 ..^
33 elfzofz 11962 . . . . 5 ..^
34 csbeq1 3352 . . . . . . 7
3534eleq1d 2533 . . . . . 6
3635rspccva 3135 . . . . 5
3727, 33, 36syl2an 485 . . . 4 ..^
3832, 37resubcld 10068 . . 3 ..^
39 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . 10 ..^
4039adantl 473 . . . . . . . . 9 ..^
4140zred 11063 . . . . . . . 8 ..^
4241recnd 9687 . . . . . . 7 ..^
43 ax-1cn 9615 . . . . . . 7
44 pncan2 9902 . . . . . . 7
4542, 43, 44sylancl 675 . . . . . 6 ..^
4645oveq2d 6324 . . . . 5 ..^
473recnd 9687 . . . . . 6 ..^
48 peano2re 9824 . . . . . . . 8
4941, 48syl 17 . . . . . . 7 ..^
5049recnd 9687 . . . . . 6 ..^
5147, 50, 42subdid 10095 . . . . 5 ..^
5247mulid1d 9678 . . . . 5 ..^
5346, 51, 523eqtr3d 2513 . . . 4 ..^
54 eqid 2471 . . . . . 6 fld fld
5554mulcn 21977 . . . . . 6 fld fld fld
566zred 11063 . . . . . . . . . . 11
5756adantr 472 . . . . . . . . . 10 ..^
588zred 11063 . . . . . . . . . . 11
5958adantr 472 . . . . . . . . . 10 ..^
60 elfzole1 11955 . . . . . . . . . . 11 ..^
6160adantl 473 . . . . . . . . . 10 ..^
6228adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ..^
63 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ..^
65 iccss 11727 . . . . . . . . . 10
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 1293 . . . . . . . . 9 ..^
67 iccssre 11741 . . . . . . . . . . 11
6856, 58, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
6968adantr 472 . . . . . . . . 9 ..^
7066, 69sstrd 3428 . . . . . . . 8 ..^
71 ax-resscn 9614 . . . . . . . 8
7270, 71syl6ss 3430 . . . . . . 7 ..^
7371a1i 11 . . . . . . 7 ..^
74 cncfmptc 22021 . . . . . . 7
753, 72, 73, 74syl3anc 1292 . . . . . 6 ..^
76 cncfmptid 22022 . . . . . . 7
7770, 71, 76sylancl 675 . . . . . 6 ..^
78 remulcl 9642 . . . . . 6
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 22025 . . . . 5 ..^
80 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8
8180a1i 11 . . . . . . 7 ..^
8257rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11 ..^
83 iooss1 11696 . . . . . . . . . . 11
8482, 61, 83syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 ..^
8559rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11 ..^
86 iooss2 11697 . . . . . . . . . . 11
8785, 64, 86syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 ..^
8884, 87sstrd 3428 . . . . . . . . 9 ..^
89 ioossicc 11745 . . . . . . . . . 10
9069, 71syl6ss 3430 . . . . . . . . . 10 ..^
9189, 90syl5ss 3429 . . . . . . . . 9 ..^
9288, 91sstrd 3428 . . . . . . . 8 ..^
9392sselda 3418 . . . . . . 7 ..^
94 1cnd 9677 . . . . . . 7 ..^
9573sselda 3418 . . . . . . . 8 ..^
96 1cnd 9677 . . . . . . . 8 ..^
9781dvmptid 22990 . . . . . . . 8 ..^
98 ioossre 11721 . . . . . . . . 9
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ..^
10054tgioo2 21899 . . . . . . . 8 fldt
101 iooretop 21864 . . . . . . . . 9
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ..^
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 22996 . . . . . . 7 ..^
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 22997 . . . . . 6 ..^
10552mpteq2dv 4483 . . . . . 6 ..^
106104, 105eqtrd 2505 . . . . 5 ..^
107 nfcv 2612 . . . . . . 7
108107, 20, 22cbvmpt 4487 . . . . . 6
10966resmptd 5162 . . . . . . 7 ..^
11014adantr 472 . . . . . . . 8 ..^
111 rescncf 22007 . . . . . . . 8
11266, 110, 111sylc 61 . . . . . . 7 ..^
113109, 112eqeltrrd 2550 . . . . . 6 ..^
114108, 113syl5eqelr 2554 . . . . 5 ..^
11516adantr 472 . . . . . . . . 9 ..^
116115, 18sylibr 217 . . . . . . . 8 ..^
11789sseli 3414 . . . . . . . 8
11824impcom 437 . . . . . . . 8
119116, 117, 118syl2an 485 . . . . . . 7 ..^
120119recnd 9687 . . . . . 6 ..^
12189sseli 3414 . . . . . . . . . . . 12
12219r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . 13
123122adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12 ..^
124121, 123sylan2 482 . . . . . . . . . . 11 ..^
125 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
126124, 125fmptd 6061 . . . . . . . . . 10 ..^
127 ioossre 11721 . . . . . . . . . 10
128 dvfre 22984 . . . . . . . . . 10
129126, 127, 128sylancl 675 . . . . . . . . 9 ..^
130 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11
131130adantr 472 . . . . . . . . . 10 ..^
132131dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11 ..^
133 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14
134133adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
135134ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12 ..^
136 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . 12
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 ..^
138132, 137eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10 ..^
139131, 138feq12d 5727 . . . . . . . . 9 ..^
140129, 139mpbid 215 . . . . . . . 8 ..^
141 eqid 2471 . . . . . . . . 9
142141fmpt 6058 . . . . . . . 8
143140, 142sylibr 217 . . . . . . 7 ..^
144 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . 9
145144nfel1 2626 . . . . . . . 8
146 csbeq1a 3358 . . . . . . . . 9
147146eleq1d 2533 . . . . . . . 8
148145, 147rspc 3130 . . . . . . 7
149143, 148mpan9 477 . . . . . 6 ..^
150107, 20, 22cbvmpt 4487 . . . . . . . 8
151150oveq2i 6319 . . . . . . 7
152 nfcv 2612 . . . . . . . 8
153152, 144, 146cbvmpt 4487 . . . . . . 7
154131, 151, 1533eqtr3g 2528 . . . . . 6 ..^
15581, 120, 149, 154, 88, 100, 54, 102dvmptres 22996 . . . . 5 ..^
156 dvfsumle.l . . . . . . . 8 ..^
157156anassrs 660 . . . . . . 7 ..^
158157ralrimiva 2809 . . . . . 6 ..^
159 nfcv 2612 . . . . . . . 8
160 nfcv 2612 . . . . . . . 8
161159, 160, 144nfbr 4440 . . . . . . 7
162146breq2d 4407 . . . . . . 7
163161, 162rspc 3130 . . . . . 6
164158, 163mpan9 477 . . . . 5 ..^
16541rexrd 9708 . . . . . 6 ..^
16649rexrd 9708 . . . . . 6 ..^
16741lep1d 10560 . . . . . 6 ..^
168 lbicc2 11774 . . . . . 6
169165, 166, 167, 168syl3anc 1292 . . . . 5 ..^
170 ubicc2 11775 . . . . . 6
171165, 166, 167, 170syl3anc 1292 . . . . 5 ..^
172 oveq2 6316 . . . . 5
173 oveq2 6316 . . . . 5
17441, 49, 79, 106, 114, 155, 164, 169, 171, 167, 172, 34, 173, 29dvle 23038 . . . 4 ..^
17553, 174eqbrtrrd 4418 . . 3 ..^
1762, 3, 38, 175fsumle 13936 . 2 ..^ ..^
177 vex 3034 . . . . 5
178177a1i 11 . . . 4
179 eqeq2 2482 . . . . . 6
180179biimpa 492 . . . . 5
181 dvfsumle.c . . . . 5
182180, 181syl 17 . . . 4
183178, 182csbied 3376 . . 3
184177a1i 11 . . . 4
185 eqeq2 2482 . . . . . 6
186185biimpa 492 . . . . 5
187 dvfsumle.d . . . . 5
188186, 187syl 17 . . . 4
189184, 188csbied 3376 . . 3
19026recnd 9687 . . 3
19134, 29, 183, 189, 4, 190telfsumo2 13940 . 2 ..^
192176, 191breqtrd 4420 1 ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031  csb 3349   cin 3389   wss 3390  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   cle 9694   cmin 9880  cz 10961  cuz 11182  cioo 11660  cicc 11663  cfz 11810  ..^cfzo 11942  csu 13829  ctopn 15398  ctg 15414  ℂfldccnfld 19047  ccncf 21986   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  dvfsumge  23053
 Copyright terms: Public domain W3C validator