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Theorem dvfsumle 23052
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumle.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumle.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumle.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumle.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumle.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
dvfsumle.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  <_  B )
Assertion
Ref Expression
dvfsumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  ( D  -  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12225 . . . 4  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 dvfsumle.x . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 eluzel2 11187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
9 fzval2 11813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
106, 8, 9syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
11 inss1 3643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ )  C_  ( M [,] N )
1210, 11syl6eqss 3468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  ( M [,] N ) )
1312sselda 3418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  y  e.  ( M [,] N ) )
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
15 cncff 22003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
17 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
1817fmpt 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
1916, 18sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
20 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
2120nfel1 2626 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  RR
22 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
2322eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
2421, 23rspc 3130 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
2519, 24mpan9 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
2613, 25syldan 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
2726ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
28 fzofzp1 12037 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
29 csbeq1 3352 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
3029eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
)
3130rspccva 3135 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
3227, 28, 31syl2an 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
33 elfzofz 11962 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
34 csbeq1 3352 . . . . . . 7  |-  ( y  =  k  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ k  /  x ]_ A )
3534eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
)
3635rspccva 3135 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
3727, 33, 36syl2an 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
3832, 37resubcld 10068 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  RR )
39 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
4039adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
4140zred 11063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR )
4241recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  CC )
43 ax-1cn 9615 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
44 pncan2 9902 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k
)  =  1 )
4542, 43, 44sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k )  =  1 )
4645oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( X  x.  1 ) )
473recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
48 peano2re 9824 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
4941, 48syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
5049recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
5147, 50, 42subdid 10095 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) ) )
5247mulid1d 9678 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
5346, 51, 523eqtr3d 2513 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  =  X )
54 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5554mulcn 21977 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
566zred 11063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5756adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
588zred 11063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5958adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
60 elfzole1 11955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
6160adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
6228adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
63 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
65 iccss 11727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( M  <_ 
k  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )  -> 
( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
67 iccssre 11741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
6856, 58, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
6968adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  RR )
7066, 69sstrd 3428 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  RR )
71 ax-resscn 9614 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
7270, 71syl6ss 3430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  CC )
7371a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  C_  CC )
74 cncfmptc 22021 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  X )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) )
753, 72, 73, 74syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  X )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
76 cncfmptid 22022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  y )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) )
7770, 71, 76sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  y )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
78 remulcl 9642 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( X  x.  y
)  e.  RR )
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 22025 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( X  x.  y ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
80 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8257rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
83 iooss1 11696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
8482, 61, 83syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
8559rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
86 iooss2 11697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
8785, 64, 86syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
8884, 87sstrd 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
89 ioossicc 11745 . . . . . . . . . 10  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
9069, 71syl6ss 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  CC )
9189, 90syl5ss 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  CC )
9288, 91sstrd 3428 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  CC )
9392sselda 3418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  CC )
94 1cnd 9677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
9573sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
96 1cnd 9677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9781dvmptid 22990 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
98 ioossre 11721 . . . . . . . . 9  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  RR
9998a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  RR )
10054tgioo2 21899 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
101 iooretop 21864 . . . . . . . . 9  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
102101a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 22996 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  y ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  1 ) )
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 22997 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  1 ) ) )
10552mpteq2dv 4483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  X ) )
106104, 105eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  X ) )
107 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
108107, 20, 22cbvmpt 4487 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A )  =  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  [_ y  /  x ]_ A )
10966resmptd 5162 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A ) )
11014adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
111 rescncf 22007 . . . . . . . 8  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) ) )
11266, 110, 111sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
113109, 112eqeltrrd 2550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  A )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
114108, 113syl5eqelr 2554 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
11516adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
116115, 18sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
11789sseli 3414 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M (,) N )  ->  y  e.  ( M [,] N
) )
11824impcom 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
119116, 117, 118syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
120119recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
12189sseli 3414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
12219r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  RR )
123122adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  RR )
124121, 123sylan2 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  RR )
125 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A )
126124, 125fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) : ( M (,) N
) --> RR )
127 ioossre 11721 . . . . . . . . . 10  |-  ( M (,) N )  C_  RR
128 dvfre 22984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) : ( M (,) N ) --> RR  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  ->  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR )
129126, 127, 128sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) : dom  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) --> RR )
130 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
131130adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
132131dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) )
133 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
134133adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
135134ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V )
136 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( M (,) N ) )
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )  =  ( M (,) N
) )
138132, 137eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  ( M (,) N
) )
139131, 138feq12d 5727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR ) )
140129, 139mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
141 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )
142141fmpt 6058 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
143140, 142sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR )
144 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
145144nfel1 2626 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  RR
146 csbeq1a 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
147146eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
148145, 147rspc 3130 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( M (,) N )  ->  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
149143, 148mpan9 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
150107, 20, 22cbvmpt 4487 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( y  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )
151150oveq2i 6319 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )
152 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
153152, 144, 146cbvmpt 4487 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( y  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )
154131, 151, 1533eqtr3g 2528 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
15581, 120, 149, 154, 88, 100, 54, 102dvmptres 22996 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
156 dvfsumle.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  <_  B )
157156anassrs 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  X  <_  B )
158157ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) X  <_  B )
159 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ x X
160 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
161159, 160, 144nfbr 4440 . . . . . . 7  |-  F/ x  X  <_  [_ y  /  x ]_ B
162146breq2d 4407 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( X  <_  B  <->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
163161, 162rspc 3130 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  ->  ( A. x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) X  <_  B  ->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
164158, 163mpan9 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B )
16541rexrd 9708 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR* )
16649rexrd 9708 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR* )
16741lep1d 10560 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  <_  (
k  +  1 ) )
168 lbicc2 11774 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )
169165, 166, 167, 168syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
170 ubicc2 11775 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
171165, 166, 167, 170syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
172 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  ( X  x.  y )  =  ( X  x.  k ) )
173 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( X  x.  y )  =  ( X  x.  ( k  +  1 ) ) )
17441, 49, 79, 106, 114, 155, 164, 169, 171, 167, 172, 34, 173, 29dvle 23038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  <_  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
17553, 174eqbrtrrd 4418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  <_  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
1762, 3, 38, 175fsumle 13936 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
177 vex 3034 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
178177a1i 11 . . . 4  |-  ( y  =  M  ->  y  e.  _V )
179 eqeq2 2482 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  (
x  =  y  <->  x  =  M ) )
180179biimpa 492 . . . . 5  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  x  =  M )
181 dvfsumle.c . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
182180, 181syl 17 . . . 4  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  A  =  C )
183178, 182csbied 3376 . . 3  |-  ( y  =  M  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  C )
184177a1i 11 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  y  e.  _V )
185 eqeq2 2482 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
186185biimpa 492 . . . . 5  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  x  =  N )
187 dvfsumle.d . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
188186, 187syl 17 . . . 4  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  A  =  D )
189184, 188csbied 3376 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  D )
19026recnd 9687 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
19134, 29, 183, 189, 4, 190telfsumo2 13940 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  =  ( D  -  C ) )
192176, 191breqtrd 4420 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  ( D  -  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    <_ cle 9694    - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sum_csu 13829   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   -cn->ccncf 21986    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  dvfsumge  23053
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