Theorem dvfsumle 22400

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumle.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumle	|- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumle

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 12066	. . . 4 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumle.x	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
4		dvfsumle.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 11097	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 11101	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 11686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3703	. . . . . . . . 9 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3489	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumle.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
15		cncff 21375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
17		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 6037	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
19	16, 18	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
20		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2621	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. RR
22		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2512	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A e. RR <-> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
24	21, 23	rspc 3190	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> [_ y / x ]_ A e. RR ) )
25	19, 24	mpan9 469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
26	13, 25	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
27	26	ralrimiva 2857	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR )
28		fzofzp1 11891	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3423	. . . . . . 7 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2512	. . . . . 6 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR ) )
31	30	rspccva 3195	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
32	27, 28, 31	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. RR )
33		elfzofz 11825	. . . . 5 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3423	. . . . . . 7 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2512	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. RR <-> [_ k / x ]_ A e. RR ) )
36	35	rspccva 3195	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. RR /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
37	27, 33, 36	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. RR )
38	32, 37	resubcld 9994	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. RR )
39		elfzoelz 11811	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
40	39	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
41	40	zred 10976	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
42	41	recnd 9625	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
43		ax-1cn 9553	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
44		pncan2 9832	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
45	42, 43, 44	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
46	45	oveq2d 6297	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
47	3	recnd 9625	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
48		peano2re 9756	. . . . . . . 8 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
49	41, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
50	49	recnd 9625	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
51	47, 50, 42	subdid 10019	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
52	47	mulid1d 9616	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
53	46, 51, 52	3eqtr3d 2492	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
54		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
55	54	mulcn 21349	. . . . . 6 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
56	6	zred 10976	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
58	8	zred 10976	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
59	58	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
60		elfzole1 11818	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
61	60	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
62	28	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
63		elfzle2 11701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
65		iccss 11603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
66	57, 59, 61, 64, 65	syl22anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
67		iccssre 11617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
68	56, 58, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
69	68	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
70	66, 69	sstrd 3499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
71		ax-resscn 9552	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
72	70, 71	syl6ss 3501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC )
73	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
74		cncfmptc 21393	. . . . . . 7 |- ( ( X e. RR /\ ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
75	3, 72, 73, 74	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> X ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
76		cncfmptid 21394	. . . . . . 7 |- ( ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
77	70, 71, 76	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> y ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
78		remulcl 9580	. . . . . 6 |- ( ( X e. RR /\ y e. RR ) -> ( X x. y ) e. RR )
79	54, 55, 75, 77, 71, 78	cncfmpt2ss 21397	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
80		reelprrecn 9587	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
82	57	rexrd 9646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
83		iooss1 11575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
84	82, 61, 83	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
85	59	rexrd 9646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
86		iooss2 11576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
87	85, 64, 86	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
88	84, 87	sstrd 3499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
89		ioossicc 11621	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
90	69, 71	syl6ss 3501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
91	89, 90	syl5ss 3500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
92	88, 91	sstrd 3499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ CC )
93	92	sselda 3489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> y e. CC )
94		1cnd 9615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
95	73	sselda 3489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> y e. CC )
96		1cnd 9615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
97	81	dvmptid 22338	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
98		ioossre 11597	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ RR )
100	54	tgioo2 21286	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
101		iooretop 21251	. . . . . . . . 9 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
102	101	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
103	81, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102	dvmptres 22344	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> y ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> 1 ) )
104	81, 93, 94, 103, 47	dvmptcmul 22345	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) )
105	52	mpteq2dv 4524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
106	104, 105	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X x. y ) ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> X ) )
107		nfcv 2605	. . . . . . 7 |- F/_ y A
108	107, 20, 22	cbvmpt 4527	. . . . . 6 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) = ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A )
109	66	resmptd 5315	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) )
110	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
111		rescncf 21379	. . . . . . . 8 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) ) )
112	66, 110, 111	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
113	109, 112	eqeltrrd 2532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
114	108, 113	syl5eqelr 2536	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( y e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> RR ) )
115	16	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
116	115, 18	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
117	89	sseli 3485	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( M (,) N ) -> y e. ( M [,] N ) )
118	24	impcom 430	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
119	116, 117, 118	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. RR )
120	119	recnd 9625	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
121	89	sseli 3485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
122	19	r19.21bi 2812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
123	122	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
124	121, 123	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
125		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
126	124, 125	fmptd 6040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
127		ioossre 11597	. . . . . . . . . 10 |- ( M (,) N ) C_ RR
128		dvfre 22332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
129	126, 127, 128	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
130		dvfsumle.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
131	130	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
132	131	dmeqd 5195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
133		dvfsumle.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
134	133	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
135	134	ralrimiva 2857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
136		dmmptg 5494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
137	135, 136	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
138	132, 137	eqtrd 2484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
139	131, 138	feq12d 5710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
140	129, 139	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
141		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
142	141	fmpt 6037	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
143	140, 142	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
144		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . 9 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
145	144	nfel1 2621	. . . . . . . 8 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. RR
146		csbeq1a 3429	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
147	146	eleq1d 2512	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( B e. RR <-> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
148	145, 147	rspc 3190	. . . . . . 7 |- ( y e. ( M (,) N ) -> ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR -> [_ y / x ]_ B e. RR ) )
149	143, 148	mpan9 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( M (,) N ) ) -> [_ y / x ]_ B e. RR )
150	107, 20, 22	cbvmpt 4527	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A )
151	150	oveq2i 6292	. . . . . . 7 |- ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
152		nfcv 2605	. . . . . . . 8 |- F/_ y B
153	152, 144, 146	cbvmpt 4527	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B )
154	131, 151, 153	3eqtr3g 2507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( M (,) N ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
155	81, 120, 149, 154, 88, 100, 54, 102	dvmptres 22344	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
156		dvfsumle.l	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X <_ B )
157	156	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ B )
158	157	ralrimiva 2857	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B )
159		nfcv 2605	. . . . . . . 8 |- F/_ x X
160		nfcv 2605	. . . . . . . 8 |- F/_ x <_
161	159, 160, 144	nfbr 4481	. . . . . . 7 |- F/ x X <_ [_ y / x ]_ B
162	146	breq2d 4449	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X <_ B <-> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
163	161, 162	rspc 3190	. . . . . 6 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) X <_ B -> X <_ [_ y / x ]_ B ) )
164	158, 163	mpan9 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> X <_ [_ y / x ]_ B )
165	41	rexrd 9646	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
166	49	rexrd 9646	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
167	41	lep1d 10484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
168		lbicc2 11647	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
169	165, 166, 167, 168	syl3anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
170		ubicc2 11648	. . . . . 6 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
171	165, 166, 167, 170	syl3anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
172		oveq2 6289	. . . . 5 |- ( y = k -> ( X x. y ) = ( X x. k ) )
173		oveq2 6289	. . . . 5 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( X x. y ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
174	41, 49, 79, 106, 114, 155, 164, 169, 171, 167, 172, 34, 173, 29	dvle 22386	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
175	53, 174	eqbrtrrd 4459	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X <_ ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
176	2, 3, 38, 175	fsumle 13595	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) )
177		vex 3098	. . . . 5 |- y e. _V
178	177	a1i 11	. . . 4 |- ( y = M -> y e. _V )
179		eqeq2 2458	. . . . . 6 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
180	179	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
181		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
182	180, 181	syl 16	. . . 4 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
183	178, 182	csbied 3447	. . 3 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
184	177	a1i 11	. . . 4 |- ( y = N -> y e. _V )
185		eqeq2 2458	. . . . . 6 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
186	185	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
187		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
188	186, 187	syl 16	. . . 4 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
189	184, 188	csbied 3447	. . 3 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
190	26	recnd 9625	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
191	34, 29, 183, 189, 4, 190	telfsumo2 13599	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
192	176, 191	breqtrd 4461	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ ( D - C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   [_csb 3420   i^i cin 3460   C_ wss 3461   {cpr 4016   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990   |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   RR*cxr 9630   <_ cle 9632   - cmin 9810   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   (,)cioo 11540   [,]cicc 11543   ...cfz 11683  ..^cfzo 11806   sum_csu 13490   TopOpenctopn 14801   topGenctg 14817  ℂ_fldccnfld 18399   -cn->ccncf 21358   _D cdv 22245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-sum 13491  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-cmp 19865  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249

This theorem is referenced by:  dvfsumge  22401