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Theorem dvfsumle 22973
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumle.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumle.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumle.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumle.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumle.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
dvfsumle.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  <_  B )
Assertion
Ref Expression
dvfsumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  ( D  -  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12187 . . . 4  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 dvfsumle.x . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 eluzel2 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
9 fzval2 11787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
106, 8, 9syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
11 inss1 3652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ )  C_  ( M [,] N )
1210, 11syl6eqss 3482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  ( M [,] N ) )
1312sselda 3432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  y  e.  ( M [,] N ) )
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
15 cncff 21925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
17 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
1817fmpt 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
1916, 18sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
20 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
2120nfel1 2606 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  RR
22 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
2322eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
2421, 23rspc 3144 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
2519, 24mpan9 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
2613, 25syldan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
2726ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
28 fzofzp1 12008 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
29 csbeq1 3366 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
3029eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
)
3130rspccva 3149 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
3227, 28, 31syl2an 480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
33 elfzofz 11935 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
34 csbeq1 3366 . . . . . . 7  |-  ( y  =  k  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ k  /  x ]_ A )
3534eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
)
3635rspccva 3149 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
3727, 33, 36syl2an 480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
3832, 37resubcld 10047 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  RR )
39 elfzoelz 11920 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
4039adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
4140zred 11040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR )
4241recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  CC )
43 ax-1cn 9597 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
44 pncan2 9882 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k
)  =  1 )
4542, 43, 44sylancl 668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k )  =  1 )
4645oveq2d 6306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( X  x.  1 ) )
473recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
48 peano2re 9806 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
4941, 48syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
5049recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
5147, 50, 42subdid 10074 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) ) )
5247mulid1d 9660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
5346, 51, 523eqtr3d 2493 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  =  X )
54 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5554mulcn 21899 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
566zred 11040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5756adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
588zred 11040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5958adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
60 elfzole1 11928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
6160adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
6228adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
63 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
65 iccss 11702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( M  <_ 
k  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )  -> 
( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
67 iccssre 11716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
6856, 58, 67syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
6968adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  RR )
7066, 69sstrd 3442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  RR )
71 ax-resscn 9596 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
7270, 71syl6ss 3444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  CC )
7371a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  C_  CC )
74 cncfmptc 21943 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  X )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) )
753, 72, 73, 74syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  X )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
76 cncfmptid 21944 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  y )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) )
7770, 71, 76sylancl 668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  y )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
78 remulcl 9624 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( X  x.  y
)  e.  RR )
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 21947 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( X  x.  y ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
80 reelprrecn 9631 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8257rexrd 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
83 iooss1 11671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
8482, 61, 83syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
8559rexrd 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
86 iooss2 11672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
8785, 64, 86syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
8884, 87sstrd 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
89 ioossicc 11720 . . . . . . . . . 10  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
9069, 71syl6ss 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  CC )
9189, 90syl5ss 3443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  CC )
9288, 91sstrd 3442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  CC )
9392sselda 3432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  CC )
94 1cnd 9659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
9573sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
96 1cnd 9659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9781dvmptid 22911 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
98 ioossre 11696 . . . . . . . . 9  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  RR
9998a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  RR )
10054tgioo2 21821 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
101 iooretop 21786 . . . . . . . . 9  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
102101a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 22917 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  y ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  1 ) )
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 22918 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  1 ) ) )
10552mpteq2dv 4490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  X ) )
106104, 105eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  X ) )
107 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
108107, 20, 22cbvmpt 4494 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A )  =  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  [_ y  /  x ]_ A )
10966resmptd 5156 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A ) )
11014adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
111 rescncf 21929 . . . . . . . 8  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) ) )
11266, 110, 111sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
113109, 112eqeltrrd 2530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  A )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
114108, 113syl5eqelr 2534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
11516adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
116115, 18sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
11789sseli 3428 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M (,) N )  ->  y  e.  ( M [,] N
) )
11824impcom 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
119116, 117, 118syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
120119recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
12189sseli 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
12219r19.21bi 2757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  RR )
123122adantlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  RR )
124121, 123sylan2 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  RR )
125 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A )
126124, 125fmptd 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) : ( M (,) N
) --> RR )
127 ioossre 11696 . . . . . . . . . 10  |-  ( M (,) N )  C_  RR
128 dvfre 22905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) : ( M (,) N ) --> RR  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  ->  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR )
129126, 127, 128sylancl 668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) : dom  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) --> RR )
130 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
131130adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
132131dmeqd 5037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) )
133 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
134133adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
135134ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V )
136 dmmptg 5332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( M (,) N ) )
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )  =  ( M (,) N
) )
138132, 137eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  ( M (,) N
) )
139131, 138feq12d 5717 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR ) )
140129, 139mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
141 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )
142141fmpt 6043 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
143140, 142sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR )
144 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
145144nfel1 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  RR
146 csbeq1a 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
147146eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
148145, 147rspc 3144 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( M (,) N )  ->  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
149143, 148mpan9 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
150107, 20, 22cbvmpt 4494 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( y  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )
151150oveq2i 6301 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )
152 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
153152, 144, 146cbvmpt 4494 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( y  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )
154131, 151, 1533eqtr3g 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
15581, 120, 149, 154, 88, 100, 54, 102dvmptres 22917 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
156 dvfsumle.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  <_  B )
157156anassrs 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  X  <_  B )
158157ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) X  <_  B )
159 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ x X
160 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
161159, 160, 144nfbr 4447 . . . . . . 7  |-  F/ x  X  <_  [_ y  /  x ]_ B
162146breq2d 4414 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( X  <_  B  <->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
163161, 162rspc 3144 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  ->  ( A. x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) X  <_  B  ->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
164158, 163mpan9 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B )
16541rexrd 9690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR* )
16649rexrd 9690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR* )
16741lep1d 10538 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  <_  (
k  +  1 ) )
168 lbicc2 11748 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )
169165, 166, 167, 168syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
170 ubicc2 11749 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
171165, 166, 167, 170syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
172 oveq2 6298 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  ( X  x.  y )  =  ( X  x.  k ) )
173 oveq2 6298 . . . . 5  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( X  x.  y )  =  ( X  x.  ( k  +  1 ) ) )
17441, 49, 79, 106, 114, 155, 164, 169, 171, 167, 172, 34, 173, 29dvle 22959 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  <_  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
17553, 174eqbrtrrd 4425 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  <_  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
1762, 3, 38, 175fsumle 13859 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
177 vex 3048 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
178177a1i 11 . . . 4  |-  ( y  =  M  ->  y  e.  _V )
179 eqeq2 2462 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  (
x  =  y  <->  x  =  M ) )
180179biimpa 487 . . . . 5  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  x  =  M )
181 dvfsumle.c . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
182180, 181syl 17 . . . 4  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  A  =  C )
183178, 182csbied 3390 . . 3  |-  ( y  =  M  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  C )
184177a1i 11 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  y  e.  _V )
185 eqeq2 2462 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
186185biimpa 487 . . . . 5  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  x  =  N )
187 dvfsumle.d . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
188186, 187syl 17 . . . 4  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  A  =  D )
189184, 188csbied 3390 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  D )
19026recnd 9669 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
19134, 29, 183, 189, 4, 190telfsumo2 13863 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  =  ( D  -  C ) )
192176, 191breqtrd 4427 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  ( D  -  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363    i^i cin 3403    C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    <_ cle 9676    - cmin 9860   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   sum_csu 13752   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂfldccnfld 18970   -cn->ccncf 21908    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  dvfsumge  22974
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