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Theorem dvfsumle 22249
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumle.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumle.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumle.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumle.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumle.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
dvfsumle.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  <_  B )
Assertion
Ref Expression
dvfsumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  ( D  -  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12053 . . . 4  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 dvfsumle.x . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 eluzel2 11088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 eluzelz 11092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
9 fzval2 11676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
11 inss1 3718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ )  C_  ( M [,] N )
1210, 11syl6eqss 3554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  ( M [,] N ) )
1312sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  y  e.  ( M [,] N ) )
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
15 cncff 21224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
1817fmpt 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
1916, 18sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
20 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
2120nfel1 2645 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  RR
22 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
2322eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
2421, 23rspc 3208 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
2519, 24mpan9 469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
2613, 25syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
2726ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
28 fzofzp1 11878 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
29 csbeq1 3438 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
3029eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
)
3130rspccva 3213 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
3227, 28, 31syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  RR )
33 elfzofz 11812 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
34 csbeq1 3438 . . . . . . 7  |-  ( y  =  k  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ k  /  x ]_ A )
3534eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
)
3635rspccva 3213 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
3727, 33, 36syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  RR )
3832, 37resubcld 9988 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  RR )
39 elfzoelz 11798 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
4039adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
4140zred 10967 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR )
4241recnd 9623 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  CC )
43 ax-1cn 9551 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
44 pncan2 9828 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k
)  =  1 )
4542, 43, 44sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k )  =  1 )
4645oveq2d 6301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( X  x.  1 ) )
473recnd 9623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
48 peano2re 9753 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
4941, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
5049recnd 9623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
5147, 50, 42subdid 10013 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) ) )
5247mulid1d 9614 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
5346, 51, 523eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  =  X )
54 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5554mulcn 21198 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
566zred 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
588zred 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5958adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
60 elfzole1 11805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
6228adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
63 elfzle2 11691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
65 iccss 11593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( M  <_ 
k  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )  -> 
( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
67 iccssre 11607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
6856, 58, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
6968adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  RR )
7066, 69sstrd 3514 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  RR )
71 ax-resscn 9550 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
7270, 71syl6ss 3516 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  CC )
7371a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  C_  CC )
74 cncfmptc 21242 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  X )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) )
753, 72, 73, 74syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  X )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
76 cncfmptid 21243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  y )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) )
7770, 71, 76sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  y )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
78 remulcl 9578 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( X  x.  y
)  e.  RR )
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 21246 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( X  x.  y ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
80 reelprrecn 9585 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8257rexrd 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
83 iooss1 11565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
8482, 61, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
8559rexrd 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
86 iooss2 11566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
8785, 64, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
8884, 87sstrd 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
89 ioossicc 11611 . . . . . . . . . 10  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
9069, 71syl6ss 3516 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  CC )
9189, 90syl5ss 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  CC )
9288, 91sstrd 3514 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  CC )
9392sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  CC )
94 1cnd 9613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
9573sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
96 1cnd 9613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9781dvmptid 22187 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
98 ioossre 11587 . . . . . . . . 9  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  RR
9998a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  RR )
10054tgioo2 21135 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
101 iooretop 21100 . . . . . . . . 9  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
102101a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 22193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  y ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  1 ) )
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 22194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  1 ) ) )
10552mpteq2dv 4534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  X ) )
106104, 105eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  X ) )
107 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
108107, 20, 22cbvmpt 4537 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A )  =  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  [_ y  /  x ]_ A )
109 resmpt 5323 . . . . . . . 8  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A ) )
11066, 109syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  A ) )
11114adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
112 rescncf 21228 . . . . . . . 8  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> RR ) ) )
11366, 111, 112sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
114110, 113eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  A )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
115108, 114syl5eqelr 2560 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( y  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> RR ) )
11616adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
117116, 18sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
11889sseli 3500 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M (,) N )  ->  y  e.  ( M [,] N
) )
11924impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
120117, 118, 119syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
121120recnd 9623 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
12289sseli 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
12319r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  RR )
124123adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  RR )
125122, 124sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  RR )
126 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A )
127125, 126fmptd 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) : ( M (,) N
) --> RR )
128 ioossre 11587 . . . . . . . . . 10  |-  ( M (,) N )  C_  RR
129 dvfre 22181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) : ( M (,) N ) --> RR  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  ->  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR )
130127, 128, 129sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) : dom  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) --> RR )
131 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
133132dmeqd 5205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) )
134 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
135134adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
136135ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V )
137 dmmptg 5504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( M (,) N ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )  =  ( M (,) N
) )
139133, 138eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  ( M (,) N
) )
140132, 139feq12d 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR ) )
141130, 140mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
142 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )
143142fmpt 6043 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
144141, 143sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR )
145 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
146145nfel1 2645 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  RR
147 csbeq1a 3444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
148147eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
149146, 148rspc 3208 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( M (,) N )  ->  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
150144, 149mpan9 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( M (,) N
) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
151107, 20, 22cbvmpt 4537 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( y  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )
152151oveq2i 6296 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )
153 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
154153, 145, 147cbvmpt 4537 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( y  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )
155132, 152, 1543eqtr3g 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( M (,) N ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
15681, 121, 150, 155, 88, 100, 54, 102dvmptres 22193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
157 dvfsumle.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  <_  B )
158157anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  X  <_  B )
159158ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) X  <_  B )
160 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x X
161 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
162160, 161, 145nfbr 4491 . . . . . . 7  |-  F/ x  X  <_  [_ y  /  x ]_ B
163147breq2d 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( X  <_  B  <->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
164162, 163rspc 3208 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  ->  ( A. x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) X  <_  B  ->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
165159, 164mpan9 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  X  <_  [_ y  /  x ]_ B )
16641rexrd 9644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR* )
16749rexrd 9644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR* )
16841lep1d 10478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  <_  (
k  +  1 ) )
169 lbicc2 11637 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )
170166, 167, 168, 169syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
171 ubicc2 11638 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
172166, 167, 168, 171syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
173 oveq2 6293 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  ( X  x.  y )  =  ( X  x.  k ) )
174 oveq2 6293 . . . . 5  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( X  x.  y )  =  ( X  x.  ( k  +  1 ) ) )
17541, 49, 79, 106, 115, 156, 165, 170, 172, 168, 173, 34, 174, 29dvle 22235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  <_  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
17653, 175eqbrtrrd 4469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  <_  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
1772, 3, 38, 176fsumle 13579 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
178 vex 3116 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
179178a1i 11 . . . 4  |-  ( y  =  M  ->  y  e.  _V )
180 eqeq2 2482 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  (
x  =  y  <->  x  =  M ) )
181180biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  x  =  M )
182 dvfsumle.c . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
183181, 182syl 16 . . . 4  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  A  =  C )
184179, 183csbied 3462 . . 3  |-  ( y  =  M  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  C )
185178a1i 11 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  y  e.  _V )
186 eqeq2 2482 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
187186biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  x  =  N )
188 dvfsumle.d . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
189187, 188syl 16 . . . 4  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  A  =  D )
190185, 189csbied 3462 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  D )
19126recnd 9623 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
19234, 29, 184, 190, 4, 191telfsumo2 13583 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  =  ( D  -  C ) )
193177, 192breqtrd 4471 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  ( D  -  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {cpr 4029   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   CCcc 9491   RRcr 9492   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498   RR*cxr 9628    <_ cle 9630    - cmin 9806   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   (,)cioo 11530   [,]cicc 11533   ...cfz 11673  ..^cfzo 11793   sum_csu 13474   TopOpenctopn 14680   topGenctg 14696  ℂfldccnfld 18231   -cn->ccncf 21207    _D cdv 22094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-limc 22097  df-dv 22098
This theorem is referenced by:  dvfsumge  22250
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