Theorem dvfsumge 22268

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumge.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumge	|- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsumle.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		df-neg 9818	. . . . . 6 |- -u A = ( 0 - A )
3	2	mpteq2i 4535	. . . . 5 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) )
4		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	subcn 21215	. . . . . 6 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
6		0red 9607	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
7		eluzel2 11097	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	zred 10976	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
10		eluzelz 11101	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	11	zred 10976	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
13		iccssre 11616	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
14	9, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
15		ax-resscn 9559	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
16	14, 15	syl6ss 3521	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ CC )
17	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
18		cncfmptc 21260	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
19	6, 16, 17, 18	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
20		dvfsumle.a	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
21		resubcl 9893	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 - A ) e. RR )
22	4, 5, 19, 20, 15, 21	cncfmpt2ss 21264	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
23	3, 22	syl5eqel 2559	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
24		negex 9828	. . . . 5 |- -u B e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> -u B e. _V )
26		reelprrecn 9594	. . . . . 6 |- RR e. { RR , CC }
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
28		ioossicc 11620	. . . . . . . 8 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
29	28	sseli 3505	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
30		cncff 21242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
31	20, 30	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
32		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
33	32	fmpt 6052	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
34	31, 33	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
35	34	r19.21bi 2836	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
36	29, 35	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
37	36	recnd 9632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
38		dvfsumle.v	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
39		dvfsumle.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
40	27, 37, 38, 39	dvmptneg 22214	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> -u A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> -u B ) )
41		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
42	41	negeqd 9824	. . . 4 |- ( x = M -> -u A = -u C )
43		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
44	43	negeqd 9824	. . . 4 |- ( x = N -> -u A = -u D )
45		dvfsumle.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
46	45	renegcld 9996	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> -u X e. RR )
47		dvfsumge.l	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )
48	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
49	48	rexrd 9653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
50		elfzole1 11814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
51	50	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
52		iooss1 11574	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
54	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
55	54	rexrd 9653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
56		fzofzp1 11887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
57	56	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
58		elfzle2 11700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
60		iooss2 11575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
61	55, 59, 60	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
62	53, 61	sstrd 3519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
63	62	sselda 3509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M (,) N ) )
64	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
65	29, 64	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
66		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
67	65, 66	fmptd 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
68		ioossre 11596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M (,) N ) C_ RR
69		dvfre 22199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
70	67, 68, 69	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
71	39	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
72	71	dmeqd 5210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
73	38	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
74	73	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
75		dmmptg 5509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
77	72, 76	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
78	71, 77	feq12d 5725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
79	70, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
80		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
81	80	fmpt 6052	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
82	79, 81	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
83	82	r19.21bi 2836	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. RR )
84	63, 83	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> B e. RR )
85	84	anasss 647	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B e. RR )
86	45	adantrr 716	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
87	85, 86	lenegd 10141	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( B <_ X <-> -u X <_ -u B ) )
88	47, 87	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> -u X <_ -u B )
89	1, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88	dvfsumle 22267	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X <_ ( -u D - -u C ) )
90		fzofi 12062	. . . . 5 |- ( M..^ N ) e. Fin
91	90	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
92	45	recnd 9632	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
93	91, 92	fsumneg 13577	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X = -u sum_ k e. ( M..^ N ) X )
94	9	rexrd 9653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR* )
95	12	rexrd 9653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR* )
96		eluzle 11104	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
97	1, 96	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M <_ N )
98		ubicc2 11647	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> N e. ( M [,] N ) )
99	94, 95, 97, 98	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( M [,] N ) )
100	43	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( A e. RR <-> D e. RR ) )
101	100	rspcv 3215	. . . . . . 7 |- ( N e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> D e. RR ) )
102	99, 34, 101	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR )
103	102	recnd 9632	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
104		lbicc2 11646	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> M e. ( M [,] N ) )
105	94, 95, 97, 104	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M [,] N ) )
106	41	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( A e. RR <-> C e. RR ) )
107	106	rspcv 3215	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> C e. RR ) )
108	105, 34, 107	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
109	108	recnd 9632	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
110	103, 109	neg2subd 9957	. . . 4 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = ( C - D ) )
111	103, 109	negsubdi2d 9956	. . . 4 |- ( ph -> -u ( D - C ) = ( C - D ) )
112	110, 111	eqtr4d 2511	. . 3 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = -u ( D - C ) )
113	89, 93, 112	3brtr3d 4481	. 2 |- ( ph -> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) )
114	102, 108	resubcld 9997	. . 3 |- ( ph -> ( D - C ) e. RR )
115	91, 45	fsumrecl 13531	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X e. RR )
116	114, 115	lenegd 10141	. 2 |- ( ph -> ( ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X <-> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) ) )
117	113, 116	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   {cpr 4034   class class class wbr 4452   |-> cmpt 4510   dom cdm 5004   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Fincfn 7526   CCcc 9500   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503   + caddc 9505   RR*cxr 9637   <_ cle 9639   - cmin 9815   -ucneg 9816   ZZcz 10874   ZZ>=cuz 11092   (,)cioo 11539   [,]cicc 11542   ...cfz 11682  ..^cfzo 11802   sum_csu 13483   TopOpenctopn 14689  ℂ_fldccnfld 18267   -cn->ccncf 21225   _D cdv 22112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-clim 13286  df-sum 13484  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-cmp 19732  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116

This theorem is referenced by: (None)