Theorem dvfsumge 22592

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumge.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumge	|- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsumle.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		df-neg 9799	. . . . . 6 |- -u A = ( 0 - A )
3	2	mpteq2i 4522	. . . . 5 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) )
4		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	subcn 21539	. . . . . 6 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
6		0red 9586	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
7		eluzel2 11087	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	zred 10965	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
10		eluzelz 11091	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	11	zred 10965	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
13		iccssre 11609	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
14	9, 12, 13	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
15		ax-resscn 9538	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
16	14, 15	syl6ss 3501	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ CC )
17	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
18		cncfmptc 21584	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
19	6, 16, 17, 18	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
20		dvfsumle.a	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
21		resubcl 9874	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 - A ) e. RR )
22	4, 5, 19, 20, 15, 21	cncfmpt2ss 21588	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
23	3, 22	syl5eqel 2546	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
24		negex 9809	. . . . 5 |- -u B e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> -u B e. _V )
26		reelprrecn 9573	. . . . . 6 |- RR e. { RR , CC }
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
28		ioossicc 11613	. . . . . . . 8 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
29	28	sseli 3485	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
30		cncff 21566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
31	20, 30	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
32		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
33	32	fmpt 6028	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
34	31, 33	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
35	34	r19.21bi 2823	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
36	29, 35	sylan2 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
37	36	recnd 9611	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
38		dvfsumle.v	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
39		dvfsumle.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
40	27, 37, 38, 39	dvmptneg 22538	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> -u A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> -u B ) )
41		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
42	41	negeqd 9805	. . . 4 |- ( x = M -> -u A = -u C )
43		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
44	43	negeqd 9805	. . . 4 |- ( x = N -> -u A = -u D )
45		dvfsumle.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
46	45	renegcld 9982	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> -u X e. RR )
47		dvfsumge.l	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )
48	9	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
49	48	rexrd 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
50		elfzole1 11812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
51	50	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
52		iooss1 11567	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
54	12	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
55	54	rexrd 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
56		fzofzp1 11890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
57	56	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
58		elfzle2 11693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
60		iooss2 11568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
61	55, 59, 60	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
62	53, 61	sstrd 3499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
63	62	sselda 3489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M (,) N ) )
64	35	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
65	29, 64	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
66		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
67	65, 66	fmptd 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
68		ioossre 11589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M (,) N ) C_ RR
69		dvfre 22523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
70	67, 68, 69	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
71	39	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
72	71	dmeqd 5194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
73	38	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
74	73	ralrimiva 2868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
75		dmmptg 5487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
77	72, 76	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
78	71, 77	feq12d 5702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
79	70, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
80		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
81	80	fmpt 6028	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
82	79, 81	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
83	82	r19.21bi 2823	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. RR )
84	63, 83	syldan 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> B e. RR )
85	84	anasss 645	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B e. RR )
86	45	adantrr 714	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
87	85, 86	lenegd 10127	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( B <_ X <-> -u X <_ -u B ) )
88	47, 87	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> -u X <_ -u B )
89	1, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88	dvfsumle 22591	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X <_ ( -u D - -u C ) )
90		fzofi 12069	. . . . 5 |- ( M..^ N ) e. Fin
91	90	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
92	45	recnd 9611	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
93	91, 92	fsumneg 13687	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X = -u sum_ k e. ( M..^ N ) X )
94	9	rexrd 9632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR* )
95	12	rexrd 9632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR* )
96		eluzle 11094	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
97	1, 96	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M <_ N )
98		ubicc2 11640	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> N e. ( M [,] N ) )
99	94, 95, 97, 98	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( M [,] N ) )
100	43	eleq1d 2523	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( A e. RR <-> D e. RR ) )
101	100	rspcv 3203	. . . . . . 7 |- ( N e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> D e. RR ) )
102	99, 34, 101	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR )
103	102	recnd 9611	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
104		lbicc2 11639	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> M e. ( M [,] N ) )
105	94, 95, 97, 104	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M [,] N ) )
106	41	eleq1d 2523	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( A e. RR <-> C e. RR ) )
107	106	rspcv 3203	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> C e. RR ) )
108	105, 34, 107	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
109	108	recnd 9611	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
110	103, 109	neg2subd 9939	. . . 4 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = ( C - D ) )
111	103, 109	negsubdi2d 9938	. . . 4 |- ( ph -> -u ( D - C ) = ( C - D ) )
112	110, 111	eqtr4d 2498	. . 3 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = -u ( D - C ) )
113	89, 93, 112	3brtr3d 4468	. 2 |- ( ph -> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) )
114	102, 108	resubcld 9983	. . 3 |- ( ph -> ( D - C ) e. RR )
115	91, 45	fsumrecl 13641	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X e. RR )
116	114, 115	lenegd 10127	. 2 |- ( ph -> ( ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X <-> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) ) )
117	113, 116	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   {cpr 4018   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   RR*cxr 9616   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   sum_csu 13593   TopOpenctopn 14914  ℂ_fldccnfld 18618   -cn->ccncf 21549   _D cdv 22436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440

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