Theorem dvfsumge 22296

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumge.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumge	|- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsumle.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		df-neg 9813	. . . . . 6 |- -u A = ( 0 - A )
3	2	mpteq2i 4520	. . . . 5 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) )
4		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	subcn 21243	. . . . . 6 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
6		0red 9600	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
7		eluzel2 11095	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	zred 10974	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
10		eluzelz 11099	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	11	zred 10974	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
13		iccssre 11615	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
14	9, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
15		ax-resscn 9552	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
16	14, 15	syl6ss 3501	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ CC )
17	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
18		cncfmptc 21288	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
19	6, 16, 17, 18	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
20		dvfsumle.a	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
21		resubcl 9888	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 - A ) e. RR )
22	4, 5, 19, 20, 15, 21	cncfmpt2ss 21292	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
23	3, 22	syl5eqel 2535	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
24		negex 9823	. . . . 5 |- -u B e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> -u B e. _V )
26		reelprrecn 9587	. . . . . 6 |- RR e. { RR , CC }
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
28		ioossicc 11619	. . . . . . . 8 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
29	28	sseli 3485	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
30		cncff 21270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
31	20, 30	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
32		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
33	32	fmpt 6037	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
34	31, 33	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
35	34	r19.21bi 2812	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
36	29, 35	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
37	36	recnd 9625	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
38		dvfsumle.v	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
39		dvfsumle.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
40	27, 37, 38, 39	dvmptneg 22242	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> -u A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> -u B ) )
41		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
42	41	negeqd 9819	. . . 4 |- ( x = M -> -u A = -u C )
43		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
44	43	negeqd 9819	. . . 4 |- ( x = N -> -u A = -u D )
45		dvfsumle.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
46	45	renegcld 9992	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> -u X e. RR )
47		dvfsumge.l	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )
48	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
49	48	rexrd 9646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
50		elfzole1 11815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
51	50	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
52		iooss1 11573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
54	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
55	54	rexrd 9646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
56		fzofzp1 11888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
57	56	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
58		elfzle2 11699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
60		iooss2 11574	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
61	55, 59, 60	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
62	53, 61	sstrd 3499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
63	62	sselda 3489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M (,) N ) )
64	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
65	29, 64	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
66		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
67	65, 66	fmptd 6040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
68		ioossre 11595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M (,) N ) C_ RR
69		dvfre 22227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
70	67, 68, 69	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
71	39	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
72	71	dmeqd 5195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
73	38	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
74	73	ralrimiva 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
75		dmmptg 5494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
77	72, 76	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
78	71, 77	feq12d 5710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
79	70, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
80		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
81	80	fmpt 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
82	79, 81	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
83	82	r19.21bi 2812	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. RR )
84	63, 83	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> B e. RR )
85	84	anasss 647	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B e. RR )
86	45	adantrr 716	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
87	85, 86	lenegd 10137	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( B <_ X <-> -u X <_ -u B ) )
88	47, 87	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> -u X <_ -u B )
89	1, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88	dvfsumle 22295	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X <_ ( -u D - -u C ) )
90		fzofi 12063	. . . . 5 |- ( M..^ N ) e. Fin
91	90	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
92	45	recnd 9625	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
93	91, 92	fsumneg 13581	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X = -u sum_ k e. ( M..^ N ) X )
94	9	rexrd 9646	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR* )
95	12	rexrd 9646	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR* )
96		eluzle 11102	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
97	1, 96	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M <_ N )
98		ubicc2 11646	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> N e. ( M [,] N ) )
99	94, 95, 97, 98	syl3anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( M [,] N ) )
100	43	eleq1d 2512	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( A e. RR <-> D e. RR ) )
101	100	rspcv 3192	. . . . . . 7 |- ( N e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> D e. RR ) )
102	99, 34, 101	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR )
103	102	recnd 9625	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
104		lbicc2 11645	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> M e. ( M [,] N ) )
105	94, 95, 97, 104	syl3anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M [,] N ) )
106	41	eleq1d 2512	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( A e. RR <-> C e. RR ) )
107	106	rspcv 3192	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> C e. RR ) )
108	105, 34, 107	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
109	108	recnd 9625	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
110	103, 109	neg2subd 9953	. . . 4 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = ( C - D ) )
111	103, 109	negsubdi2d 9952	. . . 4 |- ( ph -> -u ( D - C ) = ( C - D ) )
112	110, 111	eqtr4d 2487	. . 3 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = -u ( D - C ) )
113	89, 93, 112	3brtr3d 4466	. 2 |- ( ph -> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) )
114	102, 108	resubcld 9993	. . 3 |- ( ph -> ( D - C ) e. RR )
115	91, 45	fsumrecl 13535	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X e. RR )
116	114, 115	lenegd 10137	. 2 |- ( ph -> ( ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X <-> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) ) )
117	113, 116	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   C_ wss 3461   {cpr 4016   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   RR*cxr 9630   <_ cle 9632   - cmin 9810   -ucneg 9811   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   (,)cioo 11538   [,]cicc 11541   ...cfz 11681  ..^cfzo 11803   sum_csu 13487   TopOpenctopn 14696  ℂ_fldccnfld 18294   -cn->ccncf 21253   _D cdv 22140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-cmp 19760  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144

This theorem is referenced by: (None)