Theorem dvfsumge 21494

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumle.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumle.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumle.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumle.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumle.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumle.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
dvfsumge.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumge	|- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)

Proof of Theorem dvfsumge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsumle.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		df-neg 9598	. . . . . 6 |- -u A = ( 0 - A )
3	2	mpteq2i 4375	. . . . 5 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) )
4		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	subcn 20442	. . . . . 6 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
6		0red 9387	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
7		eluzel2 10866	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	zred 10747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
10		eluzelz 10870	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	11	zred 10747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
13		iccssre 11377	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
14	9, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
15		ax-resscn 9339	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
16	14, 15	syl6ss 3368	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ CC )
17	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
18		cncfmptc 20487	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
19	6, 16, 17, 18	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> 0 ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
20		dvfsumle.a	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
21		resubcl 9673	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 - A ) e. RR )
22	4, 5, 19, 20, 15, 21	cncfmpt2ss 20491	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( 0 - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
23	3, 22	syl5eqel 2527	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> -u A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
24		negex 9608	. . . . 5 |- -u B e. _V
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> -u B e. _V )
26		reelprrecn 9374	. . . . . 6 |- RR e. { RR , CC }
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
28		ioossicc 11381	. . . . . . . 8 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
29	28	sseli 3352	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
30		cncff 20469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
31	20, 30	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
32		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
33	32	fmpt 5864	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> RR )
34	31, 33	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. RR )
35	34	r19.21bi 2814	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
36	29, 35	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
37	36	recnd 9412	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
38		dvfsumle.v	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
39		dvfsumle.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
40	27, 37, 38, 39	dvmptneg 21440	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> -u A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> -u B ) )
41		dvfsumle.c	. . . . 5 |- ( x = M -> A = C )
42	41	negeqd 9604	. . . 4 |- ( x = M -> -u A = -u C )
43		dvfsumle.d	. . . . 5 |- ( x = N -> A = D )
44	43	negeqd 9604	. . . 4 |- ( x = N -> -u A = -u D )
45		dvfsumle.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. RR )
46	45	renegcld 9775	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> -u X e. RR )
47		dvfsumge.l	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B <_ X )
48	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
49	48	rexrd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
50		elfzole1 11560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
51	50	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
52		iooss1 11335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
54	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
55	54	rexrd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
56		fzofzp1 11624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
57	56	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
58		elfzle2 11455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
60		iooss2 11336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
61	55, 59, 60	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
62	53, 61	sstrd 3366	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
63	62	sselda 3356	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M (,) N ) )
64	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. RR )
65	29, 64	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. RR )
66		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> A )
67	65, 66	fmptd 5867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR )
68		ioossre 11357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M (,) N ) C_ RR
69		dvfre 21425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) : ( M (,) N ) --> RR /\ ( M (,) N ) C_ RR ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
70	67, 68, 69	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR )
71	39	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
72	71	dmeqd 5042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
73	38	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
74	73	ralrimiva 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. V )
75		dmmptg 5335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. V -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( M (,) N ) )
77	72, 76	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( M (,) N ) )
78	71, 77	feq12d 5548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) : dom ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) --> RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR ) )
79	70, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
80		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B )
81	80	fmpt 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( M (,) N ) B e. RR <-> ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) : ( M (,) N ) --> RR )
82	79, 81	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M (,) N ) B e. RR )
83	82	r19.21bi 2814	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. RR )
84	63, 83	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> B e. RR )
85	84	anasss 647	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> B e. RR )
86	45	adantrr 716	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
87	85, 86	lenegd 9918	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( B <_ X <-> -u X <_ -u B ) )
88	47, 87	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> -u X <_ -u B )
89	1, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88	dvfsumle 21493	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X <_ ( -u D - -u C ) )
90		fzofi 11796	. . . . 5 |- ( M..^ N ) e. Fin
91	90	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
92	45	recnd 9412	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
93	91, 92	fsumneg 13254	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) -u X = -u sum_ k e. ( M..^ N ) X )
94	9	rexrd 9433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR* )
95	12	rexrd 9433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR* )
96		eluzle 10873	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
97	1, 96	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M <_ N )
98		ubicc2 11402	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> N e. ( M [,] N ) )
99	94, 95, 97, 98	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( M [,] N ) )
100	43	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( A e. RR <-> D e. RR ) )
101	100	rspcv 3069	. . . . . . 7 |- ( N e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> D e. RR ) )
102	99, 34, 101	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR )
103	102	recnd 9412	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
104		lbicc2 11401	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> M e. ( M [,] N ) )
105	94, 95, 97, 104	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M [,] N ) )
106	41	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( A e. RR <-> C e. RR ) )
107	106	rspcv 3069	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. RR -> C e. RR ) )
108	105, 34, 107	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
109	108	recnd 9412	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
110	103, 109	neg2subd 9736	. . . 4 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = ( C - D ) )
111	103, 109	negsubdi2d 9735	. . . 4 |- ( ph -> -u ( D - C ) = ( C - D ) )
112	110, 111	eqtr4d 2478	. . 3 |- ( ph -> ( -u D - -u C ) = -u ( D - C ) )
113	89, 93, 112	3brtr3d 4321	. 2 |- ( ph -> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) )
114	102, 108	resubcld 9776	. . 3 |- ( ph -> ( D - C ) e. RR )
115	91, 45	fsumrecl 13211	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) X e. RR )
116	114, 115	lenegd 9918	. 2 |- ( ph -> ( ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X <-> -u sum_ k e. ( M..^ N ) X <_ -u ( D - C ) ) )
117	113, 116	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( D - C ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   C_ wss 3328   {cpr 3879   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   dom cdm 4840   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   RR*cxr 9417   <_ cle 9419   - cmin 9595   -ucneg 9596   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   (,)cioo 11300   [,]cicc 11303   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548   sum_csu 13163   TopOpenctopn 14360  ℂ_fldccnfld 17818   -cn->ccncf 20452   _D cdv 21338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342

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