Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvfsumge 23053
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m
dvfsumle.a
dvfsumle.v
dvfsumle.b
dvfsumle.c
dvfsumle.d
dvfsumle.x ..^
dvfsumge.l ..^
Assertion
Ref Expression
dvfsumge ..^
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4
2 df-neg 9883 . . . . . 6
32mpteq2i 4479 . . . . 5
4 eqid 2471 . . . . . 6 fld fld
54subcn 21976 . . . . . 6 fld fld fld
6 0red 9662 . . . . . . 7
7 eluzel2 11187 . . . . . . . . . . 11
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10
98zred 11063 . . . . . . . . 9
10 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . 11
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10
1211zred 11063 . . . . . . . . 9
13 iccssre 11741 . . . . . . . . 9
149, 12, 13syl2anc 673 . . . . . . . 8
15 ax-resscn 9614 . . . . . . . 8
1614, 15syl6ss 3430 . . . . . . 7
1715a1i 11 . . . . . . 7
18 cncfmptc 22021 . . . . . . 7
196, 16, 17, 18syl3anc 1292 . . . . . 6
20 dvfsumle.a . . . . . 6
21 resubcl 9958 . . . . . 6
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 22025 . . . . 5
233, 22syl5eqel 2553 . . . 4
24 negex 9893 . . . . 5
2524a1i 11 . . . 4
26 reelprrecn 9649 . . . . . 6
2726a1i 11 . . . . 5
28 ioossicc 11745 . . . . . . . 8
2928sseli 3414 . . . . . . 7
30 cncff 22003 . . . . . . . . . 10
3120, 30syl 17 . . . . . . . . 9
32 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
3332fmpt 6058 . . . . . . . . 9
3431, 33sylibr 217 . . . . . . . 8
3534r19.21bi 2776 . . . . . . 7
3629, 35sylan2 482 . . . . . 6
3736recnd 9687 . . . . 5
38 dvfsumle.v . . . . 5
39 dvfsumle.b . . . . 5
4027, 37, 38, 39dvmptneg 22999 . . . 4
41 dvfsumle.c . . . . 5
4241negeqd 9889 . . . 4
43 dvfsumle.d . . . . 5
4443negeqd 9889 . . . 4
45 dvfsumle.x . . . . 5 ..^
4645renegcld 10067 . . . 4 ..^
47 dvfsumge.l . . . . 5 ..^
489adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^
4948rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11 ..^
50 elfzole1 11955 . . . . . . . . . . . 12 ..^
5150adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ..^
52 iooss1 11696 . . . . . . . . . . 11
5349, 51, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 ..^
5412adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^
5554rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11 ..^
56 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ..^
58 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ..^
60 iooss2 11697 . . . . . . . . . . 11
6155, 59, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 ..^
6253, 61sstrd 3428 . . . . . . . . 9 ..^
6362sselda 3418 . . . . . . . 8 ..^
6435adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
6529, 64sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 66fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12 ..^
68 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . 12
69 dvfre 22984 . . . . . . . . . . . 12
7067, 68, 69sylancl 675 . . . . . . . . . . 11 ..^
7139adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^
7271dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7338adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
7473ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
75 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . . . 14
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7772, 76eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12 ..^
7871, 77feq12d 5727 . . . . . . . . . . 11 ..^
7970, 78mpbid 215 . . . . . . . . . 10 ..^
80 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
8180fmpt 6058 . . . . . . . . . 10
8279, 81sylibr 217 . . . . . . . . 9 ..^
8382r19.21bi 2776 . . . . . . . 8 ..^
8463, 83syldan 478 . . . . . . 7 ..^
8584anasss 659 . . . . . 6 ..^
8645adantrr 731 . . . . . 6 ..^
8785, 86lenegd 10213 . . . . 5 ..^
8847, 87mpbid 215 . . . 4 ..^
891, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88dvfsumle 23052 . . 3 ..^
90 fzofi 12225 . . . . 5 ..^
9190a1i 11 . . . 4 ..^
9245recnd 9687 . . . 4 ..^
9391, 92fsumneg 13925 . . 3 ..^ ..^
949rexrd 9708 . . . . . . . 8
9512rexrd 9708 . . . . . . . 8
96 eluzle 11195 . . . . . . . . 9
971, 96syl 17 . . . . . . . 8
98 ubicc2 11775 . . . . . . . 8
9994, 95, 97, 98syl3anc 1292 . . . . . . 7
10043eleq1d 2533 . . . . . . . 8
101100rspcv 3132 . . . . . . 7
10299, 34, 101sylc 61 . . . . . 6
103102recnd 9687 . . . . 5
104 lbicc2 11774 . . . . . . . 8
10594, 95, 97, 104syl3anc 1292 . . . . . . 7
10641eleq1d 2533 . . . . . . . 8
107106rspcv 3132 . . . . . . 7
108105, 34, 107sylc 61 . . . . . 6
109108recnd 9687 . . . . 5
110103, 109neg2subd 10022 . . . 4
111103, 109negsubdi2d 10021 . . . 4
112110, 111eqtr4d 2508 . . 3
11389, 93, 1123brtr3d 4425 . 2 ..^
114102, 108resubcld 10068 . . 3
11591, 45fsumrecl 13877 . . 3 ..^
116114, 115lenegd 10213 . 2 ..^ ..^
117113, 116mpbird 240 1 ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560  cxr 9692   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881  cz 10961  cuz 11182  cioo 11660  cicc 11663  cfz 11810  ..^cfzo 11942  csu 13829  ctopn 15398  ℂfldccnfld 19047  ccncf 21986   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator