MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumge 21394
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumle.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumle.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumle.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumle.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumle.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
dvfsumge.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
Assertion
Ref Expression
dvfsumge  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 df-neg 9594 . . . . . 6  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
32mpteq2i 4372 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  -u A
)  =  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( 0  -  A ) )
4 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54subcn 20342 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
6 0red 9383 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
7 eluzel2 10862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
81, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98zred 10743 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
10 eluzelz 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
111, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1211zred 10743 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
13 iccssre 11373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
149, 12, 13syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
15 ax-resscn 9335 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1614, 15syl6ss 3365 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  CC )
1715a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
18 cncfmptc 20387 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( M [,] N ) 
C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  0 )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
196, 16, 17, 18syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  0 )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
20 dvfsumle.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
21 resubcl 9669 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  -  A
)  e.  RR )
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 20391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( 0  -  A
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
233, 22syl5eqel 2525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  -u A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
24 negex 9604 . . . . 5  |-  -u B  e.  _V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  -u B  e. 
_V )
26 reelprrecn 9370 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
28 ioossicc 11377 . . . . . . . 8  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
2928sseli 3349 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
30 cncff 20369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
3120, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
32 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
3332fmpt 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
3431, 33sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
3534r19.21bi 2812 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  RR )
3629, 35sylan2 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  RR )
3736recnd 9408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  CC )
38 dvfsumle.v . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
39 dvfsumle.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
4027, 37, 38, 39dvmptneg 21340 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  -u A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  -u B ) )
41 dvfsumle.c . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
4241negeqd 9600 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  -u A  =  -u C )
43 dvfsumle.d . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
4443negeqd 9600 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  -u A  =  -u D )
45 dvfsumle.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4645renegcld 9771 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  -u X  e.  RR )
47 dvfsumge.l . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
489adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
4948rexrd 9429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
50 elfzole1 11556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
5150adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
52 iooss1 11331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5412adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
5554rexrd 9429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
56 fzofzp1 11620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
5756adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
58 elfzle2 11451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
60 iooss2 11332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6155, 59, 60syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6253, 61sstrd 3363 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6362sselda 3353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) N
) )
6435adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  RR )
6529, 64sylan2 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  RR )
66 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A )
6765, 66fmptd 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) : ( M (,) N
) --> RR )
68 ioossre 11353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M (,) N )  C_  RR
69 dvfre 21325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) : ( M (,) N ) --> RR  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  ->  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR )
7067, 68, 69sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) : dom  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) --> RR )
7139adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
7271dmeqd 5038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) )
7338adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
7473ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V )
75 dmmptg 5332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( M (,) N ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )  =  ( M (,) N
) )
7772, 76eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  ( M (,) N
) )
7871, 77feq12d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR ) )
7970, 78mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
80 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )
8180fmpt 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
8279, 81sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR )
8382r19.21bi 2812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  RR )
8463, 83syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR )
8584anasss 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8645adantrr 711 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR )
8785, 86lenegd 9914 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( B  <_  X  <->  -u X  <_  -u B ) )
8847, 87mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  -u X  <_ 
-u B )
891, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88dvfsumle 21393 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  <_  ( -u D  -  -u C ) )
90 fzofi 11792 . . . . 5  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
9190a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
9245recnd 9408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
9391, 92fsumneg 13250 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  =  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
949rexrd 9429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
9512rexrd 9429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
96 eluzle 10869 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
971, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
98 ubicc2 11398 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( M [,] N
) )
9994, 95, 97, 98syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M [,] N ) )
10043eleq1d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( A  e.  RR  <->  D  e.  RR ) )
101100rspcv 3066 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  D  e.  RR ) )
10299, 34, 101sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
103102recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
104 lbicc2 11397 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ( M [,] N
) )
10594, 95, 97, 104syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M [,] N ) )
10641eleq1d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( A  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
107106rspcv 3066 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
108105, 34, 107sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
109108recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
110103, 109neg2subd 9732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  ( C  -  D ) )
111103, 109negsubdi2d 9731 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( D  -  C )  =  ( C  -  D ) )
112110, 111eqtr4d 2476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  -u ( D  -  C
) )
11389, 93, 1123brtr3d 4318 . 2  |-  ( ph  -> 
-u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) )
114102, 108resubcld 9772 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  e.  RR )
11591, 45fsumrecl 13207 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  e.  RR )
116114, 115lenegd 9914 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  C )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <->  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) ) )
117113, 116mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   {cpr 3876   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281   RR*cxr 9413    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   (,)cioo 11296   [,]cicc 11299   ...cfz 11433  ..^cfzo 11544   sum_csu 13159   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17718   -cn->ccncf 20352    _D cdv 21238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator