MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumge 22592
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumle.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
dvfsumle.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumle.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumle.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumle.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumle.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
dvfsumge.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
Assertion
Ref Expression
dvfsumge  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 df-neg 9799 . . . . . 6  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
32mpteq2i 4522 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  -u A
)  =  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( 0  -  A ) )
4 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54subcn 21539 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
6 0red 9586 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
7 eluzel2 11087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
81, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98zred 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
10 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
111, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1211zred 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
13 iccssre 11609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
149, 12, 13syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
15 ax-resscn 9538 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1614, 15syl6ss 3501 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  CC )
1715a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
18 cncfmptc 21584 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( M [,] N ) 
C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  0 )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
196, 16, 17, 18syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  0 )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
20 dvfsumle.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
21 resubcl 9874 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  -  A
)  e.  RR )
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 21588 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( 0  -  A
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> RR ) )
233, 22syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  -u A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
24 negex 9809 . . . . 5  |-  -u B  e.  _V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  -u B  e. 
_V )
26 reelprrecn 9573 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
28 ioossicc 11613 . . . . . . . 8  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
2928sseli 3485 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
30 cncff 21566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
3120, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> RR )
32 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
3332fmpt 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> RR )
3431, 33sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR )
3534r19.21bi 2823 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  RR )
3629, 35sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  RR )
3736recnd 9611 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  A  e.  CC )
38 dvfsumle.v . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
39 dvfsumle.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
4027, 37, 38, 39dvmptneg 22538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  -u A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  -u B ) )
41 dvfsumle.c . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
4241negeqd 9805 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  -u A  =  -u C )
43 dvfsumle.d . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
4443negeqd 9805 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  -u A  =  -u D )
45 dvfsumle.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4645renegcld 9982 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  -u X  e.  RR )
47 dvfsumge.l . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  <_  X )
489adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
4948rexrd 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
50 elfzole1 11812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
5150adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
52 iooss1 11567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
5412adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
5554rexrd 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
56 fzofzp1 11890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
5756adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
58 elfzle2 11693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
60 iooss2 11568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6155, 59, 60syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6253, 61sstrd 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
6362sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) N
) )
6435adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  RR )
6529, 64sylan2 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  RR )
66 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A )
6765, 66fmptd 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) : ( M (,) N
) --> RR )
68 ioossre 11589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M (,) N )  C_  RR
69 dvfre 22523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) : ( M (,) N ) --> RR  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  ->  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR )
7067, 68, 69sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) : dom  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) ) --> RR )
7139adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
7271dmeqd 5194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) )
7338adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
7473ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V )
75 dmmptg 5487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  V  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( M (,) N ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )  =  ( M (,) N
) )
7772, 76eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  A ) )  =  ( M (,) N
) )
7871, 77feq12d 5702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) : dom  ( RR 
_D  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  A ) ) --> RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR ) )
7970, 78mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
80 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B )  =  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B )
8180fmpt 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  B ) : ( M (,) N
) --> RR )
8279, 81sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( M (,) N ) B  e.  RR )
8382r19.21bi 2823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  RR )
8463, 83syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR )
8584anasss 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
8645adantrr 714 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR )
8785, 86lenegd 10127 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( B  <_  X  <->  -u X  <_  -u B ) )
8847, 87mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  -u X  <_ 
-u B )
891, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 88dvfsumle 22591 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  <_  ( -u D  -  -u C ) )
90 fzofi 12069 . . . . 5  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
9190a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
9245recnd 9611 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
9391, 92fsumneg 13687 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) -u X  =  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
949rexrd 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
9512rexrd 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
96 eluzle 11094 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
971, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
98 ubicc2 11640 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( M [,] N
) )
9994, 95, 97, 98syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M [,] N ) )
10043eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( A  e.  RR  <->  D  e.  RR ) )
101100rspcv 3203 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  D  e.  RR ) )
10299, 34, 101sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
103102recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
104 lbicc2 11639 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ( M [,] N
) )
10594, 95, 97, 104syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M [,] N ) )
10641eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( A  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
107106rspcv 3203 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
108105, 34, 107sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
109108recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
110103, 109neg2subd 9939 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  ( C  -  D ) )
111103, 109negsubdi2d 9938 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( D  -  C )  =  ( C  -  D ) )
112110, 111eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u C )  =  -u ( D  -  C
) )
11389, 93, 1123brtr3d 4468 . 2  |-  ( ph  -> 
-u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) )
114102, 108resubcld 9983 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  e.  RR )
11591, 45fsumrecl 13641 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  e.  RR )
116114, 115lenegd 10127 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  C )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <->  -u sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  <_  -u ( D  -  C ) ) )
117113, 116mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( D  -  C
)  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   {cpr 4018   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   RR*cxr 9616    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   sum_csu 13593   TopOpenctopn 14914  ℂfldccnfld 18618   -cn->ccncf 21549    _D cdv 22436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator