Theorem dvfsumabs 21517

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumabs.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumabs.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
dvfsumabs.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumabs.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumabs.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumabs.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumabs.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
dvfsumabs.y	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
dvfsumabs.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumabs	|- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V   x, Y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)   Y( k)

Proof of Theorem dvfsumabs

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 11817	. . . . . 6 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumabs.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
4		dvfsumabs.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 10887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 10891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 11461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3591	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3427	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3377	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumabs.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
15		cncff 20491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
17		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 5885	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
19	16, 18	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. CC )
20		nfcsb1v 3325	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2604	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. CC
22		csbeq1a 3318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. CC <-> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
24	21, 23	rspc 3088	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC -> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
25	19, 24	mpan9 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
26	13, 25	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
27	26	ralrimiva 2820	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC )
28		fzofzp1 11645	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3312	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC ) )
31	30	rspccva 3093	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
32	27, 28, 31	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
33		elfzofz 11588	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3312	. . . . . . . . 9 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ k / x ]_ A e. CC ) )
36	35	rspccva 3093	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
37	27, 33, 36	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
38	32, 37	subcld 9740	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
39	2, 3, 38	fsumsub 13276	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
40		vex 2996	. . . . . . . 8 |- y e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = M -> y e. _V )
42		eqeq2 2452	. . . . . . . . 9 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
43	42	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
44		dvfsumabs.c	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> A = C )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
46	41, 45	csbied 3335	. . . . . 6 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
47	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = N -> y e. _V )
48		eqeq2 2452	. . . . . . . . 9 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
49	48	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
50		dvfsumabs.d	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> A = D )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
52	47, 51	csbied 3335	. . . . . 6 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
53	34, 29, 46, 52, 4, 26	fsumtscopo2 13287	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
54	53	oveq2d 6128	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
55	39, 54	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
56	55	fveq2d 5716	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) )
57	3, 38	subcld 9740	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
58	2, 57	fsumcl 13231	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
59	58	abscld 12943	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
60	57	abscld 12943	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
61	2, 60	fsumrecl 13232	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
62		dvfsumabs.y	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
63	2, 62	fsumrecl 13232	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) Y e. RR )
64	2, 57	fsumabs 13285	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) )
65		elfzoelz 11574	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
66	65	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
67	66	zred 10768	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
68	67	rexrd 9454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
69		peano2re 9563	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
70	67, 69	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
71	70	rexrd 9454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
72	67	lep1d 10285	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
73		ubicc2 11423	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
74	68, 71, 72, 73	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
75		lbicc2 11422	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
76	68, 71, 72, 75	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
77	6	zred 10768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. RR )
78	77	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
79	8	zred 10768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. RR )
80	79	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
81		elfzole1 11581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
82	81	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
83	28	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
84		elfzle2 11476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
86		iccss 11384	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
87	78, 80, 82, 85, 86	syl22anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
88		resmpt 5177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
89	87, 88	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
90		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
91	90	subcn 20464	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
93	90	mulcn 20465	. . . . . . . . . . . . 13 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
95		iccssre 11398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
96	77, 79, 95	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
97	96	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
98		ax-resscn 9360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
99	97, 98	syl6ss 3389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
100		ssid 3396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> CC C_ CC )
102		cncfmptc 20509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. CC /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
103	3, 99, 101, 102	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
104		cncfmptid 20510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
105	99, 100, 104	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
106	90, 94, 103, 105	cncfmpt2f 20512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( X x. x ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
107	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
108	90, 92, 106, 107	cncfmpt2f 20512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
109		rescncf 20495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) ) )
110	87, 108, 109	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
111	89, 110	eqeltrrd 2518	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
112	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
113	87, 97	sstrd 3387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
114	87	sselda 3377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M [,] N ) )
115	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> X e. CC )
116	99	sselda 3377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> x e. CC )
117	115, 116	mulcld 9427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
118	19	r19.21bi 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
119	118	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
120	117, 119	subcld 9740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
121	114, 120	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
122	90	tgioo2 20402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
123		iccntr 20420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
124	67, 70, 123	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
125	112, 113, 121, 122, 90, 124	dvmptntr 21467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) )
126		reelprrecn 9395	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
128		ioossicc 11402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
129	128	sseli 3373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
130	129, 120	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
131		ovex 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X - B ) e. _V
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X - B ) e. _V )
133	129, 117	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
134	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> X e. CC )
135	128, 99	syl5ss 3388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
136	135	sselda 3377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> x e. CC )
137		1cnd 9423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> 1 e. CC )
138	112	sselda 3377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> x e. CC )
139		1cnd 9423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> 1 e. CC )
140	127	dvmptid 21453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) )
141	128, 97	syl5ss 3388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ RR )
142		iooretop 20367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
144	127, 138, 139, 140, 141, 122, 90, 143	dvmptres 21459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> x ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> 1 ) )
145	127, 136, 137, 144, 3	dvmptcmul 21460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) )
146	3	mulid1d 9424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
147	146	mpteq2dv 4400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
148	145, 147	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
149	129, 119	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
150		dvfsumabs.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
151	150	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
152		dvfsumabs.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
153	152	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
154	127, 133, 134, 148, 149, 151, 153	dvmptsub 21463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X - B ) ) )
155	78	rexrd 9454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
156		iooss1 11356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
157	155, 82, 156	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
158	80	rexrd 9454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
159		iooss2 11357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
160	158, 85, 159	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
161	157, 160	sstrd 3387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
162		iooretop 20367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
164	127, 130, 132, 154, 161, 122, 90, 163	dvmptres 21459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
165	125, 164	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
166	165	dmeqd 5063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
167		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) )
168	131, 167	dmmpti 5561	. . . . . . . . 9 |- dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) )
169	166, 168	syl6eq 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
170	165	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
171	170	fveq1d 5714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) )
172		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) )
173	167	fvmpt2 5802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) /\ ( X - B ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
174	172, 131, 173	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
175	171, 174	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( X - B ) )
176	175	fveq2d 5716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( X - B ) ) )
177		dvfsumabs.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
178	177	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
179	176, 178	eqbrtrd 4333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
180	179	ralrimiva 2820	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
181		nfcv 2589	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x abs
182		nfcv 2589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x RR
183		nfcv 2589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x _D
184		nfmpt1 4402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
185	182, 183, 184	nfov 6135	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
186		nfcv 2589	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x y
187	185, 186	nffv 5719	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y )
188	181, 187	nffv 5719	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
189		nfcv 2589	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <_
190		nfcv 2589	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x Y
191	188, 189, 190	nfbr 4357	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y
192		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
193	192	fveq2d 5716	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) )
194	193	breq1d 4323	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y <-> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
195	191, 194	rspc 3088	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
196	180, 195	mpan9 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y )
197	67, 70, 111, 169, 62, 196	dvlip 21487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
198	197	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) ) )
199	74, 76, 198	mp2and 679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
200		ovex 6137	. . . . . . . . 9 |- ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V
201		nfcv 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( k + 1 )
202		nfcv 2589	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. ( k + 1 ) )
203		nfcv 2589	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x -
204		nfcsb1v 3325	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ ( k + 1 ) / x ]_ A
205	202, 203, 204	nfov 6135	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
206		oveq2 6120	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( X x. x ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
207		csbeq1a 3318	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
208	206, 207	oveq12d 6130	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
209		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
210	201, 205, 208, 209	fvmptf 5811	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
211	74, 200, 210	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
212	67	recnd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
213	3, 212	mulcld 9427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. k ) e. CC )
214	213, 37	subcld 9740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
215		nfcv 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x k
216		nfcv 2589	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. k )
217		nfcsb1v 3325	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ k / x ]_ A
218	216, 203, 217	nfov 6135	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A )
219		oveq2 6120	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( X x. x ) = ( X x. k ) )
220		csbeq1a 3318	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> A = [_ k / x ]_ A )
221	219, 220	oveq12d 6130	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
222	215, 218, 221, 209	fvmptf 5811	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
223	76, 214, 222	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
224	211, 223	oveq12d 6130	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
225		peano2cn 9562	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( k + 1 ) e. CC )
226	212, 225	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
227	3, 226	mulcld 9427	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( k + 1 ) ) e. CC )
228	227, 213, 32, 37	sub4d 9789	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
229		1cnd 9423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> 1 e. CC )
230	212, 229	pncan2d 9742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
231	230	oveq2d 6128	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
232	3, 226, 212	subdid 9821	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
233	231, 232, 146	3eqtr3d 2483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
234	233	oveq1d 6127	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
235	224, 228, 234	3eqtr2rd 2482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) )
236	235	fveq2d 5716	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) )
237	230	fveq2d 5716	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( abs ` 1 ) )
238		abs1 12807	. . . . . . . 8 |- ( abs ` 1 ) = 1
239	237, 238	syl6eq 2491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = 1 )
240	239	oveq2d 6128	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) = ( Y x. 1 ) )
241	62	recnd 9433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. CC )
242	241	mulid1d 9424	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. 1 ) = Y )
243	240, 242	eqtr2d 2476	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y = ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
244	199, 236, 243	3brtr4d 4343	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ Y )
245	2, 60, 62, 244	fsumle 13283	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
246	59, 61, 63, 64, 245	letrd 9549	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
247	56, 246	eqbrtrrd 4335	1 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993   [_csb 3309   i^i cin 3348   C_ wss 3349   {cpr 3900   class class class wbr 4313   e. cmpt 4371   dom cdm 4861   ran crn 4862   |` cres 4863   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   CCcc 9301   RRcr 9302   1c1 9304   + caddc 9306   x. cmul 9308   RR*cxr 9438   <_ cle 9440   - cmin 9616   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   (,)cioo 11321   [,]cicc 11324   ...cfz 11458  ..^cfzo 11569   abscabs 12744   sum_csu 13184   TopOpenctopn 14381   topGenctg 14397  ℂ_fldccnfld 17840   intcnt 18643   Cn ccn 18850   tX ctx 19155   -cn->ccncf 20474   _D cdv 21360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364

This theorem is referenced by: (None)