Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumabs Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvfsumabs 23054
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumabs.m
dvfsumabs.a
dvfsumabs.v
dvfsumabs.b
dvfsumabs.c
dvfsumabs.d
dvfsumabs.x ..^
dvfsumabs.y ..^
dvfsumabs.l ..^
Assertion
Ref Expression
dvfsumabs ..^ ..^
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvfsumabs
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12225 . . . . . 6 ..^
21a1i 11 . . . . 5 ..^
3 dvfsumabs.x . . . . 5 ..^
4 dvfsumabs.m . . . . . . . . . . . . 13
5 eluzel2 11187 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12
7 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . . 13
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12
9 fzval2 11813 . . . . . . . . . . . 12
106, 8, 9syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
11 inss1 3643 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syl6eqss 3468 . . . . . . . . . 10
1312sselda 3418 . . . . . . . . 9
14 dvfsumabs.a . . . . . . . . . . . 12
15 cncff 22003 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11
17 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
1817fmpt 6058 . . . . . . . . . . 11
1916, 18sylibr 217 . . . . . . . . . 10
20 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . 12
2120nfel1 2626 . . . . . . . . . . 11
22 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . 12
2322eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11
2421, 23rspc 3130 . . . . . . . . . 10
2519, 24mpan9 477 . . . . . . . . 9
2613, 25syldan 478 . . . . . . . 8
2726ralrimiva 2809 . . . . . . 7
28 fzofzp1 12037 . . . . . . 7 ..^
29 csbeq1 3352 . . . . . . . . 9
3029eleq1d 2533 . . . . . . . 8
3130rspccva 3135 . . . . . . 7
3227, 28, 31syl2an 485 . . . . . 6 ..^
33 elfzofz 11962 . . . . . . 7 ..^
34 csbeq1 3352 . . . . . . . . 9
3534eleq1d 2533 . . . . . . . 8
3635rspccva 3135 . . . . . . 7
3727, 33, 36syl2an 485 . . . . . 6 ..^
3832, 37subcld 10005 . . . . 5 ..^
392, 3, 38fsumsub 13926 . . . 4 ..^ ..^ ..^
40 vex 3034 . . . . . . . 8
4140a1i 11 . . . . . . 7
42 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9
4342biimpa 492 . . . . . . . 8
44 dvfsumabs.c . . . . . . . 8
4543, 44syl 17 . . . . . . 7
4641, 45csbied 3376 . . . . . 6
4740a1i 11 . . . . . . 7
48 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9
4948biimpa 492 . . . . . . . 8
50 dvfsumabs.d . . . . . . . 8
5149, 50syl 17 . . . . . . 7
5247, 51csbied 3376 . . . . . 6
5334, 29, 46, 52, 4, 26telfsumo2 13940 . . . . 5 ..^
5453oveq2d 6324 . . . 4 ..^ ..^ ..^
5539, 54eqtrd 2505 . . 3 ..^ ..^
5655fveq2d 5883 . 2 ..^ ..^
573, 38subcld 10005 . . . . 5 ..^
582, 57fsumcl 13876 . . . 4 ..^
5958abscld 13575 . . 3 ..^
6057abscld 13575 . . . 4 ..^
612, 60fsumrecl 13877 . . 3 ..^
62 dvfsumabs.y . . . 4 ..^
632, 62fsumrecl 13877 . . 3 ..^
642, 57fsumabs 13938 . . 3 ..^ ..^
65 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . 10 ..^
6665adantl 473 . . . . . . . . 9 ..^
6766zred 11063 . . . . . . . 8 ..^
6867rexrd 9708 . . . . . . 7 ..^
69 peano2re 9824 . . . . . . . . 9
7067, 69syl 17 . . . . . . . 8 ..^
7170rexrd 9708 . . . . . . 7 ..^
7267lep1d 10560 . . . . . . 7 ..^
73 ubicc2 11775 . . . . . . 7
7468, 71, 72, 73syl3anc 1292 . . . . . 6 ..^
75 lbicc2 11774 . . . . . . 7
7668, 71, 72, 75syl3anc 1292 . . . . . 6 ..^
776zred 11063 . . . . . . . . . . . 12
7877adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ..^
798zred 11063 . . . . . . . . . . . 12
8079adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ..^
81 elfzole1 11955 . . . . . . . . . . . 12 ..^
8281adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ..^
8328adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ..^
84 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . 12
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 ..^
86 iccss 11727 . . . . . . . . . . 11
8778, 80, 82, 85, 86syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10 ..^
8887resmptd 5162 . . . . . . . . 9 ..^
89 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 fld fld
9089subcn 21976 . . . . . . . . . . . 12 fld fld fld
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ..^ fld fld fld
92 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9377, 79, 92syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
95 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . 14
9694, 95syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
97 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . 14
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
99 cncfmptc 22021 . . . . . . . . . . . . 13
1003, 96, 98, 99syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 ..^
101 cncfmptid 22022 . . . . . . . . . . . . 13
10296, 97, 101sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12 ..^
103100, 102mulcncf 22476 . . . . . . . . . . 11 ..^
10414adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ..^
10589, 91, 103, 104cncfmpt2f 22024 . . . . . . . . . 10 ..^
106 rescncf 22007 . . . . . . . . . 10
10787, 105, 106sylc 61 . . . . . . . . 9 ..^
10888, 107eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8 ..^
10995a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
11087, 94sstrd 3428 . . . . . . . . . . . 12 ..^
11187sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
1123adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
11396sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
114112, 113mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
11519r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
117114, 116subcld 10005 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
118111, 117syldan 478 . . . . . . . . . . . 12 ..^
11989tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . 12 fldt
120 iccntr 21917 . . . . . . . . . . . . 13
12167, 70, 120syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 ..^
122109, 110, 118, 119, 89, 121dvmptntr 23004 . . . . . . . . . . 11 ..^
123 reelprrecn 9649 . . . . . . . . . . . . 13
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
125 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . 14
126125sseli 3414 . . . . . . . . . . . . 13
127126, 117sylan2 482 . . . . . . . . . . . 12 ..^
128 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
130126, 114sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
1313adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
132125, 96syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
133132sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
134 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
135109sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
136 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
137124dvmptid 22990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
138125, 94syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
139 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
141124, 135, 136, 137, 138, 119, 89, 140dvmptres 22996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
142124, 133, 134, 141, 3dvmptcmul 22997 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
1433mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
144143mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
145142, 144eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
146126, 116sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
147 dvfsumabs.v . . . . . . . . . . . . . 14
148147adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
149 dvfsumabs.b . . . . . . . . . . . . . 14
150149adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
151124, 130, 131, 145, 146, 148, 150dvmptsub 23000 . . . . . . . . . . . 12 ..^
15278rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
153 iooss1 11696 . . . . . . . . . . . . . 14
154152, 82, 153syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
15580rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
156 iooss2 11697 . . . . . . . . . . . . . 14
157155, 85, 156syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
158154, 157sstrd 3428 . . . . . . . . . . . 12 ..^
159 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . . 13
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
161124, 127, 129, 151, 158, 119, 89, 160dvmptres 22996 . . . . . . . . . . 11 ..^
162122, 161eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10 ..^
163162dmeqd 5042 . . . . . . . . 9 ..^
164 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
165128, 164dmmpti 5717 . . . . . . . . 9
166163, 165syl6eq 2521 . . . . . . . 8 ..^
167162adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
168167fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
169 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
170164fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14
171169, 128, 170sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
172168, 171eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12 ..^
173172fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 ..^
174 dvfsumabs.l . . . . . . . . . . . 12 ..^
175174anassrs 660 . . . . . . . . . . 11 ..^
176173, 175eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10 ..^
177176ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9 ..^
178 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
179 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
180 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
181 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . 14
182179, 180, 181nfov 6334 . . . . . . . . . . . . 13
183 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
184182, 183nffv 5886 . . . . . . . . . . . 12
185178, 184nffv 5886 . . . . . . . . . . 11
186 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
187 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
188185, 186, 187nfbr 4440 . . . . . . . . . 10
189 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
190189fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
191190breq1d 4405 . . . . . . . . . 10
192188, 191rspc 3130 . . . . . . . . 9
193177, 192mpan9 477 . . . . . . . 8 ..^
19467, 70, 108, 166, 62, 193dvlip 23024 . . . . . . 7 ..^
195194ex 441 . . . . . 6 ..^
19674, 76, 195mp2and 693 . . . . 5 ..^
197 ovex 6336 . . . . . . . . 9
198 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
199 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
200 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
201 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . 11
202199, 200, 201nfov 6334 . . . . . . . . . 10
203 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
204 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . 11
205203, 204oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
206 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
207198, 202, 205, 206fvmptf 5981 . . . . . . . . 9
20874, 197, 207sylancl 675 . . . . . . . 8 ..^
20967recnd 9687 . . . . . . . . . . 11 ..^
2103, 209mulcld 9681 . . . . . . . . . 10 ..^
211210, 37subcld 10005 . . . . . . . . 9 ..^
212 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
213 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
214 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . 11
215213, 200, 214nfov 6334 . . . . . . . . . 10
216 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
217 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . 11
218216, 217oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
219212, 215, 218, 206fvmptf 5981 . . . . . . . . 9
22076, 211, 219syl2anc 673 . . . . . . . 8 ..^
221208, 220oveq12d 6326 . . . . . . 7 ..^
222 peano2cn 9823 . . . . . . . . . 10
223209, 222syl 17 . . . . . . . . 9 ..^
2243, 223mulcld 9681 . . . . . . . 8 ..^
225224, 210, 32, 37sub4d 10054 . . . . . . 7 ..^
226 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11 ..^
227209, 226pncan2d 10007 . . . . . . . . . 10 ..^
228227oveq2d 6324 . . . . . . . . 9 ..^
2293, 223, 209subdid 10095 . . . . . . . . 9 ..^
230228, 229, 1433eqtr3d 2513 . . . . . . . 8 ..^
231230oveq1d 6323 . . . . . . 7 ..^
232221, 225, 2313eqtr2rd 2512 . . . . . 6 ..^
233232fveq2d 5883 . . . . 5 ..^
234227fveq2d 5883 . . . . . . . 8 ..^
235 abs1 13437 . . . . . . . 8
236234, 235syl6eq 2521 . . . . . . 7 ..^
237236oveq2d 6324 . . . . . 6 ..^
23862recnd 9687 . . . . . . 7 ..^
239238mulid1d 9678 . . . . . 6 ..^
240237, 239eqtr2d 2506 . . . . 5 ..^
241196, 233, 2403brtr4d 4426 . . . 4 ..^
2422, 60, 62, 241fsumle 13936 . . 3 ..^ ..^
24359, 61, 63, 64, 242letrd 9809 . 2 ..^ ..^
24456, 243eqbrtrrd 4418 1 ..^ ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031  csb 3349   cin 3389   wss 3390  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   cle 9694   cmin 9880  cz 10961  cuz 11182  cioo 11660  cicc 11663  cfz 11810  ..^cfzo 11942  cabs 13374  csu 13829  ctopn 15398  ctg 15414  ℂfldccnfld 19047  cnt 20109   ccn 20317   ctx 20652  ccncf 21986   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator