Theorem dvfsumabs 22975

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumabs.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumabs.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
dvfsumabs.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumabs.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumabs.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumabs.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumabs.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
dvfsumabs.y	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
dvfsumabs.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumabs	|- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V   x, Y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)   Y( k)

Proof of Theorem dvfsumabs

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 12187	. . . . . 6 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumabs.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
4		dvfsumabs.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 11164	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 11168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 11787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumabs.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
15		cncff 21925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
17		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
19	16, 18	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. CC )
20		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2606	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. CC
22		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. CC <-> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
24	21, 23	rspc 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC -> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
25	19, 24	mpan9 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
26	13, 25	syldan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
27	26	ralrimiva 2802	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC )
28		fzofzp1 12008	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3366	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC ) )
31	30	rspccva 3149	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
32	27, 28, 31	syl2an 480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
33		elfzofz 11935	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3366	. . . . . . . . 9 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ k / x ]_ A e. CC ) )
36	35	rspccva 3149	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
37	27, 33, 36	syl2an 480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
38	32, 37	subcld 9986	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
39	2, 3, 38	fsumsub 13849	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
40		vex 3048	. . . . . . . 8 |- y e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = M -> y e. _V )
42		eqeq2 2462	. . . . . . . . 9 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
43	42	biimpa 487	. . . . . . . 8 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
44		dvfsumabs.c	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> A = C )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
46	41, 45	csbied 3390	. . . . . 6 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
47	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = N -> y e. _V )
48		eqeq2 2462	. . . . . . . . 9 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
49	48	biimpa 487	. . . . . . . 8 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
50		dvfsumabs.d	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> A = D )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
52	47, 51	csbied 3390	. . . . . 6 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
53	34, 29, 46, 52, 4, 26	telfsumo2 13863	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
54	53	oveq2d 6306	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
55	39, 54	eqtrd 2485	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
56	55	fveq2d 5869	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) )
57	3, 38	subcld 9986	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
58	2, 57	fsumcl 13799	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
59	58	abscld 13498	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
60	57	abscld 13498	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
61	2, 60	fsumrecl 13800	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
62		dvfsumabs.y	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
63	2, 62	fsumrecl 13800	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) Y e. RR )
64	2, 57	fsumabs 13861	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) )
65		elfzoelz 11920	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
66	65	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
67	66	zred 11040	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
68	67	rexrd 9690	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
69		peano2re 9806	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
70	67, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
71	70	rexrd 9690	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
72	67	lep1d 10538	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
73		ubicc2 11749	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
74	68, 71, 72, 73	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
75		lbicc2 11748	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
76	68, 71, 72, 75	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
77	6	zred 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. RR )
78	77	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
79	8	zred 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. RR )
80	79	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
81		elfzole1 11928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
82	81	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
83	28	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
84		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
86		iccss 11702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
87	78, 80, 82, 85, 86	syl22anc 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
88	87	resmptd 5156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
89		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
90	89	subcn 21898	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
92		iccssre 11716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
93	77, 79, 92	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
94	93	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
95		ax-resscn 9596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
96	94, 95	syl6ss 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
97		ssid 3451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> CC C_ CC )
99		cncfmptc 21943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. CC /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
100	3, 96, 98, 99	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
101		cncfmptid 21944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
102	96, 97, 101	sylancl 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
103	100, 102	mulcncf 22398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( X x. x ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
104	14	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
105	89, 91, 103, 104	cncfmpt2f 21946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
106		rescncf 21929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) ) )
107	87, 105, 106	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
108	88, 107	eqeltrrd 2530	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
109	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
110	87, 94	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
111	87	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M [,] N ) )
112	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> X e. CC )
113	96	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> x e. CC )
114	112, 113	mulcld 9663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
115	19	r19.21bi 2757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
116	115	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
117	114, 116	subcld 9986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
118	111, 117	syldan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
119	89	tgioo2 21821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
120		iccntr 21839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
121	67, 70, 120	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
122	109, 110, 118, 119, 89, 121	dvmptntr 22925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) )
123		reelprrecn 9631	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
125		ioossicc 11720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
126	125	sseli 3428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
127	126, 117	sylan2 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
128		ovex 6318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X - B ) e. _V
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X - B ) e. _V )
130	126, 114	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
131	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> X e. CC )
132	125, 96	syl5ss 3443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
133	132	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> x e. CC )
134		1cnd 9659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> 1 e. CC )
135	109	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> x e. CC )
136		1cnd 9659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> 1 e. CC )
137	124	dvmptid 22911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) )
138	125, 94	syl5ss 3443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ RR )
139		iooretop 21786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) )
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
141	124, 135, 136, 137, 138, 119, 89, 140	dvmptres 22917	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> x ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> 1 ) )
142	124, 133, 134, 141, 3	dvmptcmul 22918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) )
143	3	mulid1d 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
144	143	mpteq2dv 4490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
145	142, 144	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
146	126, 116	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
147		dvfsumabs.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
148	147	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
149		dvfsumabs.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
150	149	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
151	124, 130, 131, 145, 146, 148, 150	dvmptsub 22921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X - B ) ) )
152	78	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
153		iooss1 11671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
154	152, 82, 153	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
155	80	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
156		iooss2 11672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
157	155, 85, 156	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
158	154, 157	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
159		iooretop 21786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
160	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
161	124, 127, 129, 151, 158, 119, 89, 160	dvmptres 22917	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
162	122, 161	eqtrd 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
163	162	dmeqd 5037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
164		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) )
165	128, 164	dmmpti 5707	. . . . . . . . 9 |- dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) )
166	163, 165	syl6eq 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
167	162	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
168	167	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) )
169		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) )
170	164	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) /\ ( X - B ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
171	169, 128, 170	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
172	168, 171	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( X - B ) )
173	172	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( X - B ) ) )
174		dvfsumabs.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
175	174	anassrs 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
176	173, 175	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
177	176	ralrimiva 2802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
178		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x abs
179		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x RR
180		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x _D
181		nfmpt1 4492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
182	179, 180, 181	nfov 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
183		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x y
184	182, 183	nffv 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y )
185	178, 184	nffv 5872	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
186		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <_
187		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x Y
188	185, 186, 187	nfbr 4447	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y
189		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
190	189	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) )
191	190	breq1d 4412	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y <-> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
192	188, 191	rspc 3144	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
193	177, 192	mpan9 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y )
194	67, 70, 108, 166, 62, 193	dvlip 22945	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
195	194	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) ) )
196	74, 76, 195	mp2and 685	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
197		ovex 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V
198		nfcv 2592	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( k + 1 )
199		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. ( k + 1 ) )
200		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x -
201		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ ( k + 1 ) / x ]_ A
202	199, 200, 201	nfov 6316	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
203		oveq2 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( X x. x ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
204		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
205	203, 204	oveq12d 6308	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
206		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
207	198, 202, 205, 206	fvmptf 5966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
208	74, 197, 207	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
209	67	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
210	3, 209	mulcld 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. k ) e. CC )
211	210, 37	subcld 9986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
212		nfcv 2592	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x k
213		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. k )
214		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ k / x ]_ A
215	213, 200, 214	nfov 6316	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A )
216		oveq2 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( X x. x ) = ( X x. k ) )
217		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> A = [_ k / x ]_ A )
218	216, 217	oveq12d 6308	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
219	212, 215, 218, 206	fvmptf 5966	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
220	76, 211, 219	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
221	208, 220	oveq12d 6308	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
222		peano2cn 9805	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( k + 1 ) e. CC )
223	209, 222	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
224	3, 223	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( k + 1 ) ) e. CC )
225	224, 210, 32, 37	sub4d 10035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
226		1cnd 9659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> 1 e. CC )
227	209, 226	pncan2d 9988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
228	227	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
229	3, 223, 209	subdid 10074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
230	228, 229, 143	3eqtr3d 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
231	230	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
232	221, 225, 231	3eqtr2rd 2492	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) )
233	232	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) )
234	227	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( abs ` 1 ) )
235		abs1 13360	. . . . . . . 8 |- ( abs ` 1 ) = 1
236	234, 235	syl6eq 2501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = 1 )
237	236	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) = ( Y x. 1 ) )
238	62	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. CC )
239	238	mulid1d 9660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. 1 ) = Y )
240	237, 239	eqtr2d 2486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y = ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
241	196, 233, 240	3brtr4d 4433	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ Y )
242	2, 60, 62, 241	fsumle 13859	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
243	59, 61, 63, 64, 242	letrd 9792	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
244	56, 243	eqbrtrrd 4425	1 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363   i^i cin 3403   C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   <_ cle 9676   - cmin 9860   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   abscabs 13297   sum_csu 13752   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂ_fldccnfld 18970   intcnt 20032   Cn ccn 20240   tX ctx 20575   -cn->ccncf 21908   _D cdv 22818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by: (None)