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Theorem dvfsumabs 21517
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumabs.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumabs.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
dvfsumabs.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumabs.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumabs.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumabs.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumabs.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
dvfsumabs.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  e.  RR )
dvfsumabs.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( X  -  B ) )  <_  Y )
Assertion
Ref Expression
dvfsumabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem dvfsumabs
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11817 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 dvfsumabs.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
4 dvfsumabs.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 eluzel2 10887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 eluzelz 10891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
9 fzval2 11461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
11 inss1 3591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ )  C_  ( M [,] N )
1210, 11syl6eqss 3427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  ( M [,] N ) )
1312sselda 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  y  e.  ( M [,] N ) )
14 dvfsumabs.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
15 cncff 20491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> CC )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> CC )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
1817fmpt 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> CC )
1916, 18sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  CC )
20 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
2120nfel1 2604 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  CC
22 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
2322eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
2421, 23rspc 3088 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  CC  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
2519, 24mpan9 469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
2613, 25syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
2726ralrimiva 2820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
28 fzofzp1 11645 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
29 csbeq1 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
3029eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  CC )
)
3130rspccva 3093 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  CC )
3227, 28, 31syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  CC )
33 elfzofz 11588 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
34 csbeq1 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  k  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ k  /  x ]_ A )
3534eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  k  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ k  /  x ]_ A  e.  CC )
)
3635rspccva 3093 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  CC  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  CC )
3727, 33, 36syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  CC )
3832, 37subcld 9740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  CC )
392, 3, 38fsumsub 13276 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A
) ) )
40 vex 2996 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
4140a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  =  M  ->  y  e.  _V )
42 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  M  ->  (
x  =  y  <->  x  =  M ) )
4342biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  x  =  M )
44 dvfsumabs.c . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  A  =  C )
4641, 45csbied 3335 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  C )
4740a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  =  N  ->  y  e.  _V )
48 eqeq2 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
4948biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  x  =  N )
50 dvfsumabs.d . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  A  =  D )
5247, 51csbied 3335 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  D )
5334, 29, 46, 52, 4, 26fsumtscopo2 13287 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  =  ( D  -  C ) )
5453oveq2d 6128 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) )
5539, 54eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C ) ) )
5655fveq2d 5716 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) ) )
573, 38subcld 9740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
582, 57fsumcl 13231 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
5958abscld 12943 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  e.  RR )
6057abscld 12943 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  e.  RR )
612, 60fsumrecl 13232 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( abs `  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  e.  RR )
62 dvfsumabs.y . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  e.  RR )
632, 62fsumrecl 13232 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y  e.  RR )
642, 57fsumabs 13285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( abs `  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) ) )
65 elfzoelz 11574 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
6665adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
6766zred 10768 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR )
6867rexrd 9454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR* )
69 peano2re 9563 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
7067, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
7170rexrd 9454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR* )
7267lep1d 10285 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  <_  (
k  +  1 ) )
73 ubicc2 11423 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
7468, 71, 72, 73syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
75 lbicc2 11422 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )
7668, 71, 72, 75syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
776zred 10768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
798zred 10768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
8079adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
81 elfzole1 11581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
8281adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
8328adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
84 elfzle2 11476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
86 iccss 11384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( M  <_ 
k  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )  -> 
( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
8778, 80, 82, 85, 86syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
88 resmpt 5177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) )
90 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9190subcn 20464 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
9390mulcn 20465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
95 iccssre 11398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
9677, 79, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  RR )
98 ax-resscn 9360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  CC
9997, 98syl6ss 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  CC )
100 ssid 3396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  CC  C_  CC )
102 cncfmptc 20509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( M [,] N ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  X )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
1033, 99, 101, 102syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  X )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
104 cncfmptid 20510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M [,] N
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  x )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )
10599, 100, 104sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  x )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
10690, 94, 103, 105cncfmpt2f 20512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  ( X  x.  x ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
10714adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
10890, 92, 106, 107cncfmpt2f 20512 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
109 rescncf 20495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> CC ) ) )
11087, 108, 109sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> CC ) )
11189, 110eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> CC ) )
11298a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  C_  CC )
11387, 97sstrd 3387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  RR )
11487sselda 3377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
1153adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  X  e.  CC )
11699sselda 3377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  x  e.  CC )
117115, 116mulcld 9427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  ( X  x.  x )  e.  CC )
11819r19.21bi 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  CC )
119118adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  CC )
120117, 119subcld 9740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  e.  CC )
121114, 120syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  e.  CC )
12290tgioo2 20402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
123 iccntr 20420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
12467, 70, 123syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
125112, 113, 121, 122, 90, 124dvmptntr 21467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  (
k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) )
126 reelprrecn 9395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
128 ioossicc 11402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
129128sseli 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
130129, 120sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  e.  CC )
131 ovex 6137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  -  B )  e. 
_V
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  ( X  -  B )  e.  _V )
133129, 117sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  ( X  x.  x )  e.  CC )
1343adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  X  e.  CC )
135128, 99syl5ss 3388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  CC )
136135sselda 3377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  x  e.  CC )
137 1cnd 9423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  1  e.  CC )
138112sselda 3377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
139 1cnd 9423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
140127dvmptid 21453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
141128, 97syl5ss 3388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  RR )
142 iooretop 20367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M (,) N )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
144127, 138, 139, 140, 141, 122, 90, 143dvmptres 21459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  x ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  1 ) )
145127, 136, 137, 144, 3dvmptcmul 21460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  x.  1 ) ) )
1463mulid1d 9424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
147146mpteq2dv 4400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  ( X  x.  1 ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  X ) )
148145, 147eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  X ) )
149129, 119sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  CC )
150 dvfsumabs.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
151150adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
152 dvfsumabs.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
153152adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
154127, 133, 134, 148, 149, 151, 153dvmptsub 21463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  -  B ) ) )
15578rexrd 9454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
156 iooss1 11356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
157155, 82, 156syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
15880rexrd 9454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
159 iooss2 11357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
160158, 85, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
161157, 160sstrd 3387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
162 iooretop 20367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
164127, 130, 132, 154, 161, 122, 90, 163dvmptres 21459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  -  B
) ) )
165125, 164eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  (
k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  -  B
) ) )
166165dmeqd 5063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  dom  ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) )
167 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) )  =  ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) )
168131, 167dmmpti 5561 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) )  =  ( k (,) ( k  +  1 ) )
169166, 168syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
170165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) )  =  ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) )
171170fveq1d 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) `  x ) )
172 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
173167fvmpt2 5802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  /\  ( X  -  B
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) `  x )  =  ( X  -  B ) )
174172, 131, 173sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  -  B
) ) `  x
)  =  ( X  -  B ) )
175171, 174eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
)  =  ( X  -  B ) )
176175fveq2d 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  ( X  -  B )
) )
177 dvfsumabs.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( X  -  B ) )  <_  Y )
178177anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( X  -  B ) )  <_  Y )
179176, 178eqbrtrd 4333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 x ) )  <_  Y )
180179ralrimiva 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
) )  <_  Y
)
181 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x abs
182 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x RR
183 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  _D
184 nfmpt1 4402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )
185182, 183, 184nfov 6135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) )
186 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
y
187185, 186nffv 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  (
k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) ) `  y )
188181, 187nffv 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) )
189 nfcv 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  <_
190 nfcv 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Y
191188, 189, 190nfbr 4357 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) )  <_  Y
192 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `  y ) )
193192fveq2d 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) ) )
194193breq1d 4323 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
) )  <_  Y  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `  y ) )  <_  Y )
)
195191, 194rspc 3088 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  ->  ( A. x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
) )  <_  Y  ->  ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) )  <_  Y
) )
196180, 195mpan9 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 y ) )  <_  Y )
19767, 70, 111, 169, 62, 196dvlip 21487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  (
( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) `  k
) ) )  <_ 
( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k ) ) ) )
198197ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k ) ) )  <_  ( Y  x.  ( abs `  (
( k  +  1 )  -  k ) ) ) ) )
19974, 76, 198mp2and 679 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  (
( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) `  k
) ) )  <_ 
( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k ) ) ) )
200 ovex 6137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )  e. 
_V
201 nfcv 2589 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( k  +  1 )
202 nfcv 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  x.  (
k  +  1 ) )
203 nfcv 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  -
204 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A
205202, 203, 204nfov 6135 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
206 oveq2 6120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( X  x.  x )  =  ( X  x.  ( k  +  1 ) ) )
207 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  A  =  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
208206, 207oveq12d 6130 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  =  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A ) )
209 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  =  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )
210201, 205, 208, 209fvmptf 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A ) )
21174, 200, 210sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A ) )
21267recnd 9433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  CC )
2133, 212mulcld 9427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  k )  e.  CC )
214213, 37subcld 9740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  CC )
215 nfcv 2589 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
k
216 nfcv 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  x.  k
)
217 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ k  /  x ]_ A
218216, 203, 217nfov 6135 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
)
219 oveq2 6120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( X  x.  x )  =  ( X  x.  k ) )
220 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  A  =  [_ k  /  x ]_ A )
221219, 220oveq12d 6130 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  =  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
222215, 218, 221, 209fvmptf 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k )  =  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
) )
22376, 214, 222syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k )  =  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
) )
224211, 223oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k ) )  =  ( ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )  -  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
) ) )
225 peano2cn 9562 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
226212, 225syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
2273, 226mulcld 9427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
228227, 213, 32, 37sub4d 9789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) )  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A
)  -  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )
229 1cnd 9423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  1  e.  CC )
230212, 229pncan2d 9742 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k )  =  1 )
231230oveq2d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( X  x.  1 ) )
2323, 226, 212subdid 9821 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) ) )
233231, 232, 1463eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  =  X )
234233oveq1d 6127 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) )  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )
235224, 228, 2343eqtr2rd 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) `  (
k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) `  k ) ) )
236235fveq2d 5716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 ( k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `  k ) ) ) )
237230fveq2d 5716 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  (
( k  +  1 )  -  k ) )  =  ( abs `  1 ) )
238 abs1 12807 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  1 )  =  1
239237, 238syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  (
( k  +  1 )  -  k ) )  =  1 )
240239oveq2d 6128 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k ) ) )  =  ( Y  x.  1 ) )
24162recnd 9433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  e.  CC )
242241mulid1d 9424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( Y  x.  1 )  =  Y )
243240, 242eqtr2d 2476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  =  ( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k
) ) ) )
244199, 236, 2433brtr4d 4343 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  Y )
2452, 60, 62, 244fsumle 13283 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( abs `  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
24659, 61, 63, 64, 245letrd 9549 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
24756, 246eqbrtrrd 4335 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993   [_csb 3309    i^i cin 3348    C_ wss 3349   {cpr 3900   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   CCcc 9301   RRcr 9302   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308   RR*cxr 9438    <_ cle 9440    - cmin 9616   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   (,)cioo 11321   [,]cicc 11324   ...cfz 11458  ..^cfzo 11569   abscabs 12744   sum_csu 13184   TopOpenctopn 14381   topGenctg 14397  ℂfldccnfld 17840   intcnt 18643    Cn ccn 18850    tX ctx 19155   -cn->ccncf 20474    _D cdv 21360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364
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