Theorem dvfsumabs 19860

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumabs.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumabs.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
dvfsumabs.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumabs.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumabs.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumabs.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumabs.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
dvfsumabs.y	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
dvfsumabs.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumabs	|- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V   x, Y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)   Y( k)

Proof of Theorem dvfsumabs

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 11268	. . . . . 6 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumabs.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
4		dvfsumabs.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 10449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 10452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 11002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3358	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumabs.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
15		cncff 18876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
17		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 5849	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
19	16, 18	sylibr 204	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. CC )
20		nfcsb1v 3243	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2550	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. CC
22		csbeq1a 3219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. CC <-> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
24	21, 23	rspc 3006	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC -> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
25	19, 24	mpan9 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
26	13, 25	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
27	26	ralrimiva 2749	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC )
28		fzofzp1 11144	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3214	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC ) )
31	30	rspccva 3011	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
32	27, 28, 31	syl2an 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
33		elfzofz 11109	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3214	. . . . . . . . 9 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ k / x ]_ A e. CC ) )
36	35	rspccva 3011	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
37	27, 33, 36	syl2an 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
38	32, 37	subcld 9367	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
39	2, 3, 38	fsumsub 12526	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
40		vex 2919	. . . . . . . 8 |- y e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = M -> y e. _V )
42		eqeq2 2413	. . . . . . . . 9 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
43	42	biimpa 471	. . . . . . . 8 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
44		dvfsumabs.c	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> A = C )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
46	41, 45	csbied 3253	. . . . . 6 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
47	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = N -> y e. _V )
48		eqeq2 2413	. . . . . . . . 9 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
49	48	biimpa 471	. . . . . . . 8 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
50		dvfsumabs.d	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> A = D )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
52	47, 51	csbied 3253	. . . . . 6 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
53	34, 29, 46, 52, 4, 26	fsumtscopo2 12537	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
54	53	oveq2d 6056	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
55	39, 54	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
56	55	fveq2d 5691	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) )
57	3, 38	subcld 9367	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
58	2, 57	fsumcl 12482	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
59	58	abscld 12193	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
60	57	abscld 12193	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
61	2, 60	fsumrecl 12483	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
62		dvfsumabs.y	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
63	2, 62	fsumrecl 12483	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) Y e. RR )
64	2, 57	fsumabs 12535	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) )
65		elfzoelz 11095	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
66	65	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
67	66	zred 10331	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
68	67	rexrd 9090	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
69		peano2re 9195	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
70	67, 69	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
71	70	rexrd 9090	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
72	67	lep1d 9898	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
73		ubicc2 10970	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
74	68, 71, 72, 73	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
75		lbicc2 10969	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
76	68, 71, 72, 75	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
77	6	zred 10331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. RR )
78	77	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
79	8	zred 10331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. RR )
80	79	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
81		elfzole1 11102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
82	81	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
83	28	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
84		elfzle2 11017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
86		iccss 10934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
87	78, 80, 82, 85, 86	syl22anc 1185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
88		resmpt 5150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
89	87, 88	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
90		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
91	90	subcn 18849	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
93	90	mulcn 18850	. . . . . . . . . . . . 13 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
95		iccssre 10948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
96	77, 79, 95	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
97	96	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
98		ax-resscn 9003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
99	97, 98	syl6ss 3320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
100		ssid 3327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> CC C_ CC )
102		cncfmptc 18894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. CC /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
103	3, 99, 101, 102	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
104		cncfmptid 18895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
105	99, 100, 104	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
106	90, 94, 103, 105	cncfmpt2f 18897	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( X x. x ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
107	14	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
108	90, 92, 106, 107	cncfmpt2f 18897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
109		rescncf 18880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) ) )
110	87, 108, 109	sylc 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
111	89, 110	eqeltrrd 2479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
112	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
113	87, 97	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
114	87	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M [,] N ) )
115	3	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> X e. CC )
116	99	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> x e. CC )
117	115, 116	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
118	19	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
119	118	adantlr 696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
120	117, 119	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
121	114, 120	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
122	90	tgioo2 18787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
123		iccntr 18805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
124	67, 70, 123	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
125	112, 113, 121, 122, 90, 124	dvmptntr 19810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) )
126		reex 9037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR e. _V
127	126	prid1 3872	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
129		ioossicc 10952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
130	129	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
131	130, 120	sylan2 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
132		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X - B ) e. _V
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X - B ) e. _V )
134	130, 117	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
135	3	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> X e. CC )
136	129, 99	syl5ss 3319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
137	136	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> x e. CC )
138		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> 1 e. CC )
140	112	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> x e. CC )
141	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> 1 e. CC )
142	128	dvmptid 19796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) )
143	129, 97	syl5ss 3319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ RR )
144		iooretop 18753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) )
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
146	128, 140, 141, 142, 143, 122, 90, 145	dvmptres 19802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> x ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> 1 ) )
147	128, 137, 139, 146, 3	dvmptcmul 19803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) )
148	3	mulid1d 9061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
149	148	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
150	147, 149	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
151	130, 119	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
152		dvfsumabs.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
153	152	adantlr 696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
154		dvfsumabs.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
155	154	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
156	128, 134, 135, 150, 151, 153, 155	dvmptsub 19806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X - B ) ) )
157	78	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
158		iooss1 10907	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
159	157, 82, 158	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
160	80	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
161		iooss2 10908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
162	160, 85, 161	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
163	159, 162	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
164		iooretop 18753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
166	128, 131, 133, 156, 163, 122, 90, 165	dvmptres 19802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
167	125, 166	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
168	167	dmeqd 5031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
169		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) )
170	132, 169	dmmpti 5533	. . . . . . . . 9 |- dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) )
171	168, 170	syl6eq 2452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
172	167	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
173	172	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) )
174		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) )
175	169	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) /\ ( X - B ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
176	174, 132, 175	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
177	173, 176	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( X - B ) )
178	177	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( X - B ) ) )
179		dvfsumabs.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
180	179	anassrs 630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
181	178, 180	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
182	181	ralrimiva 2749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
183		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x abs
184		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x RR
185		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x _D
186		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
187	184, 185, 186	nfov 6063	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
188		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x y
189	187, 188	nffv 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y )
190	183, 189	nffv 5694	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
191		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <_
192		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x Y
193	190, 191, 192	nfbr 4216	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y
194		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
195	194	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) )
196	195	breq1d 4182	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y <-> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
197	193, 196	rspc 3006	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
198	182, 197	mpan9 456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y )
199	67, 70, 111, 171, 62, 198	dvlip 19830	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
200	199	ex 424	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) ) )
201	74, 76, 200	mp2and 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
202		ovex 6065	. . . . . . . . 9 |- ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V
203		nfcv 2540	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( k + 1 )
204		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. ( k + 1 ) )
205		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x -
206		nfcsb1v 3243	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ ( k + 1 ) / x ]_ A
207	204, 205, 206	nfov 6063	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
208		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( X x. x ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
209		csbeq1a 3219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
210	208, 209	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
211		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
212	203, 207, 210, 211	fvmptf 5780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
213	74, 202, 212	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
214	67	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
215	3, 214	mulcld 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. k ) e. CC )
216	215, 37	subcld 9367	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
217		nfcv 2540	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x k
218		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. k )
219		nfcsb1v 3243	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ k / x ]_ A
220	218, 205, 219	nfov 6063	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A )
221		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( X x. x ) = ( X x. k ) )
222		csbeq1a 3219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> A = [_ k / x ]_ A )
223	221, 222	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
224	217, 220, 223, 211	fvmptf 5780	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
225	76, 216, 224	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
226	213, 225	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
227		peano2cn 9194	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( k + 1 ) e. CC )
228	214, 227	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
229	3, 228	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( k + 1 ) ) e. CC )
230	229, 215, 32, 37	sub4d 9416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
231	138	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> 1 e. CC )
232	214, 231	pncan2d 9369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
233	232	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
234	3, 228, 214	subdid 9445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
235	233, 234, 148	3eqtr3d 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
236	235	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
237	226, 230, 236	3eqtr2rd 2443	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) )
238	237	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) )
239	232	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( abs ` 1 ) )
240		abs1 12057	. . . . . . . 8 |- ( abs ` 1 ) = 1
241	239, 240	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = 1 )
242	241	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) = ( Y x. 1 ) )
243	62	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. CC )
244	243	mulid1d 9061	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. 1 ) = Y )
245	242, 244	eqtr2d 2437	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y = ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
246	201, 238, 245	3brtr4d 4202	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ Y )
247	2, 60, 62, 246	fsumle 12533	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
248	59, 61, 63, 64, 247	letrd 9183	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
249	56, 248	eqbrtrrd 4194	1 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211   i^i cin 3279   C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   <_ cle 9077   - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   abscabs 11994   sum_csu 12434   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂ_fldccnfld 16658   intcnt 17036   Cn ccn 17242   tX ctx 17545   -cn->ccncf 18859   _D cdv 19703

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707