Theorem dvfsumabs 22297

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumabs.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumabs.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
dvfsumabs.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumabs.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumabs.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumabs.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumabs.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
dvfsumabs.y	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
dvfsumabs.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumabs	|- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V   x, Y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)   Y( k)

Proof of Theorem dvfsumabs

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 12063	. . . . . 6 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumabs.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
4		dvfsumabs.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 11095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 11099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 11684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3539	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumabs.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
15		cncff 21270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
17		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
19	16, 18	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. CC )
20		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2621	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. CC
22		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. CC <-> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
24	21, 23	rspc 3190	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC -> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
25	19, 24	mpan9 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
26	13, 25	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
27	26	ralrimiva 2857	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC )
28		fzofzp1 11888	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3423	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2512	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC ) )
31	30	rspccva 3195	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
32	27, 28, 31	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
33		elfzofz 11822	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3423	. . . . . . . . 9 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2512	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ k / x ]_ A e. CC ) )
36	35	rspccva 3195	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
37	27, 33, 36	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
38	32, 37	subcld 9936	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
39	2, 3, 38	fsumsub 13582	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
40		vex 3098	. . . . . . . 8 |- y e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = M -> y e. _V )
42		eqeq2 2458	. . . . . . . . 9 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
43	42	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
44		dvfsumabs.c	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> A = C )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
46	41, 45	csbied 3447	. . . . . 6 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
47	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = N -> y e. _V )
48		eqeq2 2458	. . . . . . . . 9 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
49	48	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
50		dvfsumabs.d	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> A = D )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
52	47, 51	csbied 3447	. . . . . 6 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
53	34, 29, 46, 52, 4, 26	telfsumo2 13596	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
54	53	oveq2d 6297	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
55	39, 54	eqtrd 2484	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
56	55	fveq2d 5860	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) )
57	3, 38	subcld 9936	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
58	2, 57	fsumcl 13534	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
59	58	abscld 13246	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
60	57	abscld 13246	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
61	2, 60	fsumrecl 13535	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
62		dvfsumabs.y	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
63	2, 62	fsumrecl 13535	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) Y e. RR )
64	2, 57	fsumabs 13594	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) )
65		elfzoelz 11808	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
66	65	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
67	66	zred 10974	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
68	67	rexrd 9646	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
69		peano2re 9756	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
70	67, 69	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
71	70	rexrd 9646	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
72	67	lep1d 10483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
73		ubicc2 11646	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
74	68, 71, 72, 73	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
75		lbicc2 11645	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
76	68, 71, 72, 75	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
77	6	zred 10974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. RR )
78	77	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
79	8	zred 10974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. RR )
80	79	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
81		elfzole1 11815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
82	81	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
83	28	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
84		elfzle2 11699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
86		iccss 11601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
87	78, 80, 82, 85, 86	syl22anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
88	87	resmptd 5315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
89		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
90	89	subcn 21243	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
92		iccssre 11615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
93	77, 79, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
95		ax-resscn 9552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
96	94, 95	syl6ss 3501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
97		ssid 3508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> CC C_ CC )
99		cncfmptc 21288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. CC /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
100	3, 96, 98, 99	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
101		cncfmptid 21289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
102	96, 97, 101	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
103	100, 102	mulcncf 21732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( X x. x ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
104	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
105	89, 91, 103, 104	cncfmpt2f 21291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
106		rescncf 21274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) ) )
107	87, 105, 106	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
108	88, 107	eqeltrrd 2532	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
109	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
110	87, 94	sstrd 3499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
111	87	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M [,] N ) )
112	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> X e. CC )
113	96	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> x e. CC )
114	112, 113	mulcld 9619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
115	19	r19.21bi 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
116	115	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
117	114, 116	subcld 9936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
118	111, 117	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
119	89	tgioo2 21181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
120		iccntr 21199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
121	67, 70, 120	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
122	109, 110, 118, 119, 89, 121	dvmptntr 22247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) )
123		reelprrecn 9587	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
125		ioossicc 11619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
126	125	sseli 3485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
127	126, 117	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
128		ovex 6309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X - B ) e. _V
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X - B ) e. _V )
130	126, 114	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
131	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> X e. CC )
132	125, 96	syl5ss 3500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
133	132	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> x e. CC )
134		1cnd 9615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> 1 e. CC )
135	109	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> x e. CC )
136		1cnd 9615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> 1 e. CC )
137	124	dvmptid 22233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) )
138	125, 94	syl5ss 3500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ RR )
139		iooretop 21146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) )
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
141	124, 135, 136, 137, 138, 119, 89, 140	dvmptres 22239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> x ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> 1 ) )
142	124, 133, 134, 141, 3	dvmptcmul 22240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) )
143	3	mulid1d 9616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
144	143	mpteq2dv 4524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
145	142, 144	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
146	126, 116	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
147		dvfsumabs.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
148	147	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
149		dvfsumabs.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
150	149	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
151	124, 130, 131, 145, 146, 148, 150	dvmptsub 22243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X - B ) ) )
152	78	rexrd 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
153		iooss1 11573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
154	152, 82, 153	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
155	80	rexrd 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
156		iooss2 11574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
157	155, 85, 156	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
158	154, 157	sstrd 3499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
159		iooretop 21146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
160	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
161	124, 127, 129, 151, 158, 119, 89, 160	dvmptres 22239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
162	122, 161	eqtrd 2484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
163	162	dmeqd 5195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
164		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) )
165	128, 164	dmmpti 5700	. . . . . . . . 9 |- dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) )
166	163, 165	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
167	162	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
168	167	fveq1d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) )
169		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) )
170	164	fvmpt2 5948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) /\ ( X - B ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
171	169, 128, 170	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
172	168, 171	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( X - B ) )
173	172	fveq2d 5860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( X - B ) ) )
174		dvfsumabs.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
175	174	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
176	173, 175	eqbrtrd 4457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
177	176	ralrimiva 2857	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
178		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x abs
179		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x RR
180		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x _D
181		nfmpt1 4526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
182	179, 180, 181	nfov 6307	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
183		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x y
184	182, 183	nffv 5863	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y )
185	178, 184	nffv 5863	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
186		nfcv 2605	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <_
187		nfcv 2605	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x Y
188	185, 186, 187	nfbr 4481	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y
189		fveq2 5856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
190	189	fveq2d 5860	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) )
191	190	breq1d 4447	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y <-> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
192	188, 191	rspc 3190	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
193	177, 192	mpan9 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y )
194	67, 70, 108, 166, 62, 193	dvlip 22267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
195	194	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) ) )
196	74, 76, 195	mp2and 679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
197		ovex 6309	. . . . . . . . 9 |- ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V
198		nfcv 2605	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( k + 1 )
199		nfcv 2605	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. ( k + 1 ) )
200		nfcv 2605	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x -
201		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ ( k + 1 ) / x ]_ A
202	199, 200, 201	nfov 6307	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
203		oveq2 6289	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( X x. x ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
204		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
205	203, 204	oveq12d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
206		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
207	198, 202, 205, 206	fvmptf 5957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
208	74, 197, 207	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
209	67	recnd 9625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
210	3, 209	mulcld 9619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. k ) e. CC )
211	210, 37	subcld 9936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
212		nfcv 2605	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x k
213		nfcv 2605	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. k )
214		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ k / x ]_ A
215	213, 200, 214	nfov 6307	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A )
216		oveq2 6289	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( X x. x ) = ( X x. k ) )
217		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> A = [_ k / x ]_ A )
218	216, 217	oveq12d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
219	212, 215, 218, 206	fvmptf 5957	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
220	76, 211, 219	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
221	208, 220	oveq12d 6299	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
222		peano2cn 9755	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( k + 1 ) e. CC )
223	209, 222	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
224	3, 223	mulcld 9619	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( k + 1 ) ) e. CC )
225	224, 210, 32, 37	sub4d 9985	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
226		1cnd 9615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> 1 e. CC )
227	209, 226	pncan2d 9938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
228	227	oveq2d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
229	3, 223, 209	subdid 10018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
230	228, 229, 143	3eqtr3d 2492	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
231	230	oveq1d 6296	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
232	221, 225, 231	3eqtr2rd 2491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) )
233	232	fveq2d 5860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) )
234	227	fveq2d 5860	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( abs ` 1 ) )
235		abs1 13109	. . . . . . . 8 |- ( abs ` 1 ) = 1
236	234, 235	syl6eq 2500	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = 1 )
237	236	oveq2d 6297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) = ( Y x. 1 ) )
238	62	recnd 9625	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. CC )
239	238	mulid1d 9616	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. 1 ) = Y )
240	237, 239	eqtr2d 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y = ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
241	196, 233, 240	3brtr4d 4467	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ Y )
242	2, 60, 62, 241	fsumle 13592	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
243	59, 61, 63, 64, 242	letrd 9742	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
244	56, 243	eqbrtrrd 4459	1 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   [_csb 3420   i^i cin 3460   C_ wss 3461   {cpr 4016   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990   |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   RR*cxr 9630   <_ cle 9632   - cmin 9810   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   (,)cioo 11538   [,]cicc 11541   ...cfz 11681  ..^cfzo 11803   abscabs 13046   sum_csu 13487   TopOpenctopn 14696   topGenctg 14712  ℂ_fldccnfld 18294   intcnt 19391   Cn ccn 19598   tX ctx 19934   -cn->ccncf 21253   _D cdv 22140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-cmp 19760  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144

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