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Theorem dvfsumabs 19860
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumabs.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
dvfsumabs.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
dvfsumabs.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
dvfsumabs.b  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
dvfsumabs.c  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
dvfsumabs.d  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
dvfsumabs.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
dvfsumabs.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  e.  RR )
dvfsumabs.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( X  -  B ) )  <_  Y )
Assertion
Ref Expression
dvfsumabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
Distinct variable groups:    A, k    x, k, M    k, N, x    ph, k, x    x, X    x, C    x, D    x, V    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, k)    C( k)    D( k)    V( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem dvfsumabs
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11268 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 dvfsumabs.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
4 dvfsumabs.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 eluzel2 10449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
9 fzval2 11002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
106, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ ) )
11 inss1 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M [,] N )  i^i  ZZ )  C_  ( M [,] N )
1210, 11syl6eqss 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  ( M [,] N ) )
1312sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  y  e.  ( M [,] N ) )
14 dvfsumabs.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
15 cncff 18876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  A ) : ( M [,] N ) --> CC )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  A ) : ( M [,] N ) --> CC )
17 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  A )  =  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )
1817fmpt 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A ) : ( M [,] N
) --> CC )
1916, 18sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  CC )
20 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
2120nfel1 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  CC
22 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
2322eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
2421, 23rspc 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. x  e.  ( M [,] N ) A  e.  CC  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
2519, 24mpan9 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M [,] N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
2613, 25syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
2726ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
28 fzofzp1 11144 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
29 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
3029eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( k  +  1 )  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  CC )
)
3130rspccva 3011 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  CC )
3227, 28, 31syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  e.  CC )
33 elfzofz 11109 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
34 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  k  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ k  /  x ]_ A )
3534eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  k  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ k  /  x ]_ A  e.  CC )
)
3635rspccva 3011 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ( M ... N )
[_ y  /  x ]_ A  e.  CC  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  CC )
3727, 33, 36syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  [_ k  /  x ]_ A  e.  CC )
3832, 37subcld 9367 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  CC )
392, 3, 38fsumsub 12526 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A
) ) )
40 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
4140a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  =  M  ->  y  e.  _V )
42 eqeq2 2413 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  M  ->  (
x  =  y  <->  x  =  M ) )
4342biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  x  =  M )
44 dvfsumabs.c . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  A  =  C )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  M  /\  x  =  y )  ->  A  =  C )
4641, 45csbied 3253 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  C )
4740a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  =  N  ->  y  e.  _V )
48 eqeq2 2413 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  N  ->  (
x  =  y  <->  x  =  N ) )
4948biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  x  =  N )
50 dvfsumabs.d . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  A  =  D )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  N  /\  x  =  y )  ->  A  =  D )
5247, 51csbied 3253 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  [_ y  /  x ]_ A  =  D )
5334, 29, 46, 52, 4, 26fsumtscopo2 12537 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A )  =  ( D  -  C ) )
5453oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  sum_ k  e.  ( M..^ N ) (
[_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) )
5539, 54eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C ) ) )
5655fveq2d 5691 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) ) )
573, 38subcld 9367 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
582, 57fsumcl 12482 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
5958abscld 12193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  e.  RR )
6057abscld 12193 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  e.  RR )
612, 60fsumrecl 12483 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( abs `  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  e.  RR )
62 dvfsumabs.y . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  e.  RR )
632, 62fsumrecl 12483 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y  e.  RR )
642, 57fsumabs 12535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( abs `  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) ) )
65 elfzoelz 11095 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
6665adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
6766zred 10331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR )
6867rexrd 9090 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  RR* )
69 peano2re 9195 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
7067, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
7170rexrd 9090 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR* )
7267lep1d 9898 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  <_  (
k  +  1 ) )
73 ubicc2 10970 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
7468, 71, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
75 lbicc2 10969 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  e.  RR*  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )
7668, 71, 72, 75syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )
776zred 10331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7877adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
798zred 10331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
8079adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
81 elfzole1 11102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  k )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  <_  k
)
8328adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
84 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  N )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
86 iccss 10934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( M  <_ 
k  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )  -> 
( k [,] (
k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
8778, 80, 82, 85, 86syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  ( M [,] N ) )
88 resmpt 5150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) )
90 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9190subcn 18849 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
9390mulcn 18850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
95 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
9677, 79, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
9796adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  RR )
98 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  CC
9997, 98syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M [,] N )  C_  CC )
100 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  CC  C_  CC )
102 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( M [,] N ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( M [,] N )  |->  X )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
1033, 99, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  X )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
104 cncfmptid 18895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M [,] N
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  ( M [,] N )  |->  x )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )
10599, 100, 104sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  x )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
10690, 94, 103, 105cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  ( X  x.  x ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
10714adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  A )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
10890, 92, 106, 107cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M [,] N
)  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
109 rescncf 18880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( M [,] N ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )  |`  (
k [,] ( k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) )
-cn-> CC ) ) )
11087, 108, 109sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( M [,] N )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  |`  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  e.  ( ( k [,] (
k  +  1 ) ) -cn-> CC ) )
11189, 110eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  e.  ( ( k [,] ( k  +  1 ) ) -cn-> CC ) )
11298a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  C_  CC )
11387, 97sstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k [,] ( k  +  1 ) )  C_  RR )
11487sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
1153adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  X  e.  CC )
11699sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  x  e.  CC )
117115, 116mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  ( X  x.  x )  e.  CC )
11819r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  A  e.  CC )
119118adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  A  e.  CC )
120117, 119subcld 9367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  e.  CC )
121114, 120syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  e.  CC )
12290tgioo2 18787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
123 iccntr 18805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
12467, 70, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( k [,] ( k  +  1 ) ) )  =  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
125112, 113, 121, 122, 90, 124dvmptntr 19810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  (
k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) )
126 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
127126prid1 3872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
129 ioossicc 10952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
130129sseli 3304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( M (,) N )  ->  x  e.  ( M [,] N
) )
131130, 120sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  e.  CC )
132 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  -  B )  e. 
_V
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  ( X  -  B )  e.  _V )
134130, 117sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  ( X  x.  x )  e.  CC )
1353adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  X  e.  CC )
136129, 99syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  CC )
137136sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  x  e.  CC )
138 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  1  e.  CC )
140112sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
141138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
142128dvmptid 19796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
143129, 97syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  C_  RR )
144 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M (,) N )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) N )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
146128, 140, 141, 142, 143, 122, 90, 145dvmptres 19802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  x ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  1 ) )
147128, 137, 139, 146, 3dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  x.  1 ) ) )
1483mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
149148mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  |->  ( X  x.  1 ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N ) 
|->  X ) )
150147, 149eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  X ) )
151130, 119sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  A  e.  CC )
152 dvfsumabs.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M (,) N ) )  ->  B  e.  V )
153152adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M (,) N
) )  ->  B  e.  V )
154 dvfsumabs.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
155154adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  B ) )
156128, 134, 135, 150, 151, 153, 155dvmptsub 19806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) )  =  ( x  e.  ( M (,) N )  |->  ( X  -  B ) ) )
15778rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  M  e.  RR* )
158 iooss1 10907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  M  <_  k )  ->  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
159157, 82, 158syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) ( k  +  1 ) ) )
16080rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  RR* )
161 iooss2 10908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  (
k  +  1 )  <_  N )  -> 
( M (,) (
k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
162160, 85, 161syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
163159, 162sstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  C_  ( M (,) N ) )
164 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k (,) ( k  +  1 ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
166128, 131, 133, 156, 163, 122, 90, 165dvmptres 19802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  -  B
) ) )
167125, 166eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  (
k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  -  B
) ) )
168167dmeqd 5031 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  dom  ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) )
169 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) )  =  ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) )
170132, 169dmmpti 5533 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) )  =  ( k (,) ( k  +  1 ) )
171168, 170syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) )  =  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
172167adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) )  =  ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) )
173172fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) `  x ) )
174 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )
175169fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  /\  ( X  -  B
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) )  |->  ( X  -  B ) ) `  x )  =  ( X  -  B ) )
176174, 132, 175sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) 
|->  ( X  -  B
) ) `  x
)  =  ( X  -  B ) )
177173, 176eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
)  =  ( X  -  B ) )
178177fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  ( X  -  B )
) )
179 dvfsumabs.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( M..^ N )  /\  x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( X  -  B ) )  <_  Y )
180179anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( X  -  B ) )  <_  Y )
181178, 180eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 x ) )  <_  Y )
182181ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) ) ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
) )  <_  Y
)
183 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x abs
184 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x RR
185 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  _D
186 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) )
187184, 185, 186nfov 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) )
188 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
y
189187, 188nffv 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  (
k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) ) `  y )
190183, 189nffv 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) )
191 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  <_
192 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x Y
193190, 191, 192nfbr 4216 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) )  <_  Y
194 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `  y ) )
195194fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) ) )
196195breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
) )  <_  Y  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `  y ) )  <_  Y )
)
197193, 196rspc 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( k (,) ( k  +  1 ) )  ->  ( A. x  e.  (
k (,) ( k  +  1 ) ) ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  x
) )  <_  Y  ->  ( abs `  (
( RR  _D  (
x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) ) `  y
) )  <_  Y
) )
198182, 197mpan9 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  y  e.  ( k (,) (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) ) `
 y ) )  <_  Y )
19967, 70, 111, 171, 62, 198dvlip 19830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  (
( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) `  k
) ) )  <_ 
( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k ) ) ) )
200199ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  k  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k ) ) )  <_  ( Y  x.  ( abs `  (
( k  +  1 )  -  k ) ) ) ) )
20174, 76, 200mp2and 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  (
( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) `  k
) ) )  <_ 
( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k ) ) ) )
202 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )  e. 
_V
203 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( k  +  1 )
204 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  x.  (
k  +  1 ) )
205 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  -
206 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A
207204, 205, 206nfov 6063 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
208 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( X  x.  x )  =  ( X  x.  ( k  +  1 ) ) )
209 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  A  =  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )
210208, 209oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  =  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A ) )
211 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )  =  ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) )
212203, 207, 210, 211fvmptf 5780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A ) )
21374, 202, 212sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A ) )
21467recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  CC )
2153, 214mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  k )  e.  CC )
216215, 37subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A )  e.  CC )
217 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
k
218 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  x.  k
)
219 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ k  /  x ]_ A
220218, 205, 219nfov 6063 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
)
221 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( X  x.  x )  =  ( X  x.  k ) )
222 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  A  =  [_ k  /  x ]_ A )
223221, 222oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( X  x.  x
)  -  A )  =  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A ) )
224217, 220, 223, 211fvmptf 5780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  /\  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k )  =  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
) )
22576, 216, 224syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k )  =  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
) )
226213, 225oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) `  ( k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 k ) )  =  ( ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A )  -  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A
) ) )
227 peano2cn 9194 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
228214, 227syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
2293, 228mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
230229, 215, 32, 37sub4d 9416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) )  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A
)  -  ( ( X  x.  k )  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )
231138a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  1  e.  CC )
232214, 231pncan2d 9369 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k )  =  1 )
233232oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( X  x.  1 ) )
2343, 228, 214subdid 9445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  x.  ( ( k  +  1 )  -  k
) )  =  ( ( X  x.  (
k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) ) )
235233, 234, 1483eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k
) )  =  X )
236235oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( X  x.  ( k  +  1 ) )  -  ( X  x.  k ) )  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )
237226, 230, 2363eqtr2rd 2443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) ) 
|->  ( ( X  x.  x )  -  A
) ) `  (
k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x
)  -  A ) ) `  k ) ) )
238237fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( k [,] ( k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `
 ( k  +  1 ) )  -  ( ( x  e.  ( k [,] (
k  +  1 ) )  |->  ( ( X  x.  x )  -  A ) ) `  k ) ) ) )
239232fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  (
( k  +  1 )  -  k ) )  =  ( abs `  1 ) )
240 abs1 12057 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  1 )  =  1
241239, 240syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  (
( k  +  1 )  -  k ) )  =  1 )
242241oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k ) ) )  =  ( Y  x.  1 ) )
24362recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  e.  CC )
244243mulid1d 9061 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( Y  x.  1 )  =  Y )
245242, 244eqtr2d 2437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  Y  =  ( Y  x.  ( abs `  ( ( k  +  1 )  -  k
) ) ) )
246201, 238, 2453brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( abs `  ( X  -  ( [_ ( k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  Y )
2472, 60, 62, 246fsumle 12533 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( abs `  ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
24859, 61, 63, 64, 247letrd 9183 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( X  -  ( [_ (
k  +  1 )  /  x ]_ A  -  [_ k  /  x ]_ A ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
24956, 248eqbrtrrd 4194 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) X  -  ( D  -  C
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M..^ N ) Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   abscabs 11994   sum_csu 12434   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658   intcnt 17036    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   -cn->ccncf 18859    _D cdv 19703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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