Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumabs Unicode version

Theorem dvfsumabs 19860
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumabs.m
dvfsumabs.a
dvfsumabs.v
dvfsumabs.b
dvfsumabs.c
dvfsumabs.d
dvfsumabs.x ..^
dvfsumabs.y ..^
dvfsumabs.l ..^
Assertion
Ref Expression
dvfsumabs ..^ ..^
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dvfsumabs
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11268 . . . . . 6 ..^
21a1i 11 . . . . 5 ..^
3 dvfsumabs.x . . . . 5 ..^
4 dvfsumabs.m . . . . . . . . . . . . 13
5 eluzel2 10449 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . 13
84, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12
9 fzval2 11002 . . . . . . . . . . . 12
106, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
11 inss1 3521 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syl6eqss 3358 . . . . . . . . . 10
1312sselda 3308 . . . . . . . . 9
14 dvfsumabs.a . . . . . . . . . . . 12
15 cncff 18876 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11
17 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12
1817fmpt 5849 . . . . . . . . . . 11
1916, 18sylibr 204 . . . . . . . . . 10
20 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . 12
2120nfel1 2550 . . . . . . . . . . 11
22 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . 12
2322eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11
2421, 23rspc 3006 . . . . . . . . . 10
2519, 24mpan9 456 . . . . . . . . 9
2613, 25syldan 457 . . . . . . . 8
2726ralrimiva 2749 . . . . . . 7
28 fzofzp1 11144 . . . . . . 7 ..^
29 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9
3029eleq1d 2470 . . . . . . . 8
3130rspccva 3011 . . . . . . 7
3227, 28, 31syl2an 464 . . . . . 6 ..^
33 elfzofz 11109 . . . . . . 7 ..^
34 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9
3534eleq1d 2470 . . . . . . . 8
3635rspccva 3011 . . . . . . 7
3727, 33, 36syl2an 464 . . . . . 6 ..^
3832, 37subcld 9367 . . . . 5 ..^
392, 3, 38fsumsub 12526 . . . 4 ..^ ..^ ..^
40 vex 2919 . . . . . . . 8
4140a1i 11 . . . . . . 7
42 eqeq2 2413 . . . . . . . . 9
4342biimpa 471 . . . . . . . 8
44 dvfsumabs.c . . . . . . . 8
4543, 44syl 16 . . . . . . 7
4641, 45csbied 3253 . . . . . 6
4740a1i 11 . . . . . . 7
48 eqeq2 2413 . . . . . . . . 9
4948biimpa 471 . . . . . . . 8
50 dvfsumabs.d . . . . . . . 8
5149, 50syl 16 . . . . . . 7
5247, 51csbied 3253 . . . . . 6
5334, 29, 46, 52, 4, 26fsumtscopo2 12537 . . . . 5 ..^
5453oveq2d 6056 . . . 4 ..^ ..^ ..^
5539, 54eqtrd 2436 . . 3 ..^ ..^
5655fveq2d 5691 . 2 ..^ ..^
573, 38subcld 9367 . . . . 5 ..^
582, 57fsumcl 12482 . . . 4 ..^
5958abscld 12193 . . 3 ..^
6057abscld 12193 . . . 4 ..^
612, 60fsumrecl 12483 . . 3 ..^
62 dvfsumabs.y . . . 4 ..^
632, 62fsumrecl 12483 . . 3 ..^
642, 57fsumabs 12535 . . 3 ..^ ..^
65 elfzoelz 11095 . . . . . . . . . 10 ..^
6665adantl 453 . . . . . . . . 9 ..^
6766zred 10331 . . . . . . . 8 ..^
6867rexrd 9090 . . . . . . 7 ..^
69 peano2re 9195 . . . . . . . . 9
7067, 69syl 16 . . . . . . . 8 ..^
7170rexrd 9090 . . . . . . 7 ..^
7267lep1d 9898 . . . . . . 7 ..^
73 ubicc2 10970 . . . . . . 7
7468, 71, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . 6 ..^
75 lbicc2 10969 . . . . . . 7
7668, 71, 72, 75syl3anc 1184 . . . . . 6 ..^
776zred 10331 . . . . . . . . . . . 12
7877adantr 452 . . . . . . . . . . 11 ..^
798zred 10331 . . . . . . . . . . . 12
8079adantr 452 . . . . . . . . . . 11 ..^
81 elfzole1 11102 . . . . . . . . . . . 12 ..^
8281adantl 453 . . . . . . . . . . 11 ..^
8328adantl 453 . . . . . . . . . . . 12 ..^
84 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . 12
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . 11 ..^
86 iccss 10934 . . . . . . . . . . 11
8778, 80, 82, 85, 86syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10 ..^
88 resmpt 5150 . . . . . . . . . 10
8987, 88syl 16 . . . . . . . . 9 ..^
90 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 fld fld
9190subcn 18849 . . . . . . . . . . . 12 fld fld fld
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ..^ fld fld fld
9390mulcn 18850 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld fld
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^ fld fld fld
95 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9677, 79, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
98 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . . . 14
9997, 98syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
100 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . 14
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
102 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . . . 13
1033, 99, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 ..^
104 cncfmptid 18895 . . . . . . . . . . . . 13
10599, 100, 104sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12 ..^
10690, 94, 103, 105cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . . . 11 ..^
10714adantr 452 . . . . . . . . . . 11 ..^
10890, 92, 106, 107cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . . 10 ..^
109 rescncf 18880 . . . . . . . . . 10
11087, 108, 109sylc 58 . . . . . . . . 9 ..^
11189, 110eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8 ..^
11298a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
11387, 97sstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12 ..^
11487sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
1153adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
11699sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
117115, 116mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
11819r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
120117, 119subcld 9367 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
121114, 120syldan 457 . . . . . . . . . . . 12 ..^
12290tgioo2 18787 . . . . . . . . . . . 12 fldt
123 iccntr 18805 . . . . . . . . . . . . 13
12467, 70, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 ..^
125112, 113, 121, 122, 90, 124dvmptntr 19810 . . . . . . . . . . 11 ..^
126 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . 14
127126prid1 3872 . . . . . . . . . . . . 13
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
129 ioossicc 10952 . . . . . . . . . . . . . 14
130129sseli 3304 . . . . . . . . . . . . 13
131130, 120sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12 ..^
132 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
134130, 117sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
1353adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
136129, 99syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
137136sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
138 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
140112sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
141138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
142128dvmptid 19796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
143129, 97syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
144 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
146128, 140, 141, 142, 143, 122, 90, 145dvmptres 19802 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
147128, 137, 139, 146, 3dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
1483mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
149148mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
150147, 149eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
151130, 119sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
152 dvfsumabs.v . . . . . . . . . . . . . 14
153152adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
154 dvfsumabs.b . . . . . . . . . . . . . 14
155154adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
156128, 134, 135, 150, 151, 153, 155dvmptsub 19806 . . . . . . . . . . . 12 ..^
15778rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
158 iooss1 10907 . . . . . . . . . . . . . 14
159157, 82, 158syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
16080rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
161 iooss2 10908 . . . . . . . . . . . . . 14
162160, 85, 161syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
163159, 162sstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12 ..^
164 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . . 13
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
166128, 131, 133, 156, 163, 122, 90, 165dvmptres 19802 . . . . . . . . . . 11 ..^
167125, 166eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10 ..^
168167dmeqd 5031 . . . . . . . . 9 ..^
169 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
170132, 169dmmpti 5533 . . . . . . . . 9
171168, 170syl6eq 2452 . . . . . . . 8 ..^
172167adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
173172fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
174 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
175169fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . 14
176174, 132, 175sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
177173, 176eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12 ..^
178177fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11 ..^
179 dvfsumabs.l . . . . . . . . . . . 12 ..^
180179anassrs 630 . . . . . . . . . . 11 ..^
181178, 180eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10 ..^
182181ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9 ..^
183 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12
184 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14
185 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14
186 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . 14
187184, 185, 186nfov 6063 . . . . . . . . . . . . 13
188 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13
189187, 188nffv 5694 . . . . . . . . . . . 12
190183, 189nffv 5694 . . . . . . . . . . 11
191 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
192 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
193190, 191, 192nfbr 4216 . . . . . . . . . 10
194 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
195194fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11
196195breq1d 4182 . . . . . . . . . 10
197193, 196rspc 3006 . . . . . . . . 9
198182, 197mpan9 456 . . . . . . . 8 ..^
19967, 70, 111, 171, 62, 198dvlip 19830 . . . . . . 7 ..^
200199ex 424 . . . . . 6 ..^
20174, 76, 200mp2and 661 . . . . 5 ..^
202 ovex 6065 . . . . . . . . 9
203 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10
204 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
205 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
206 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . 11
207204, 205, 206nfov 6063 . . . . . . . . . 10
208 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11
209 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . 11
210208, 209oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10
211 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
212203, 207, 210, 211fvmptf 5780 . . . . . . . . 9
21374, 202, 212sylancl 644 . . . . . . . 8 ..^
21467recnd 9070 . . . . . . . . . . 11 ..^
2153, 214mulcld 9064 . . . . . . . . . 10 ..^
216215, 37subcld 9367 . . . . . . . . 9 ..^
217 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10
218 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
219 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . 11
220218, 205, 219nfov 6063 . . . . . . . . . 10
221 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11
222 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . 11
223221, 222oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10
224217, 220, 223, 211fvmptf 5780 . . . . . . . . 9
22576, 216, 224syl2anc 643 . . . . . . . 8 ..^
226213, 225oveq12d 6058 . . . . . . 7 ..^
227 peano2cn 9194 . . . . . . . . . 10
228214, 227syl 16 . . . . . . . . 9 ..^
2293, 228mulcld 9064 . . . . . . . 8 ..^
230229, 215, 32, 37sub4d 9416 . . . . . . 7 ..^
231138a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ..^
232214, 231pncan2d 9369 . . . . . . . . . 10 ..^
233232oveq2d 6056 . . . . . . . . 9 ..^
2343, 228, 214subdid 9445 . . . . . . . . 9 ..^
235233, 234, 1483eqtr3d 2444 . . . . . . . 8 ..^
236235oveq1d 6055 . . . . . . 7 ..^
237226, 230, 2363eqtr2rd 2443 . . . . . 6 ..^
238237fveq2d 5691 . . . . 5 ..^
239232fveq2d 5691 . . . . . . . 8 ..^
240 abs1 12057 . . . . . . . 8
241239, 240syl6eq 2452 . . . . . . 7 ..^
242241oveq2d 6056 . . . . . 6 ..^
24362recnd 9070 . . . . . . 7 ..^
244243mulid1d 9061 . . . . . 6 ..^
245242, 244eqtr2d 2437 . . . . 5 ..^
246201, 238, 2453brtr4d 4202 . . . 4 ..^
2472, 60, 62, 246fsumle 12533 . . 3 ..^ ..^
24859, 61, 63, 64, 247letrd 9183 . 2 ..^ ..^
24956, 248eqbrtrrd 4194 1 ..^ ..^
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  cvv 2916  csb 3211   cin 3279   wss 3280  cpr 3775   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837   crn 4838   cres 4839  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cfn 7068  cc 8944  cr 8945  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951  cxr 9075   cle 9077   cmin 9247  cz 10238  cuz 10444  cioo 10872  cicc 10875  cfz 10999  ..^cfzo 11090  cabs 11994  csu 12434  ctopn 13604  ctg 13620  ℂfldccnfld 16658  cnt 17036   ccn 17242   ctx 17545  ccncf 18859   cdv 19703 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
 Copyright terms: Public domain W3C validator