Theorem dvfsumabs 22962

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumabs.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
dvfsumabs.a	|- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
dvfsumabs.v	|- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
dvfsumabs.b	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
dvfsumabs.c	|- ( x = M -> A = C )
dvfsumabs.d	|- ( x = N -> A = D )
dvfsumabs.x	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
dvfsumabs.y	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
dvfsumabs.l	|- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumabs	|- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Distinct variable groups:   A, k   x, k, M   k, N, x   ph, k, x   x, X   x, C   x, D   x, V   x, Y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, k)   C( k)   D( k)   V( k)   X( k)   Y( k)

Proof of Theorem dvfsumabs

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 12187	. . . . . 6 |- ( M..^ N ) e. Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
3		dvfsumabs.x	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> X e. CC )
4		dvfsumabs.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 11165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		eluzelz 11169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ZZ )
9		fzval2 11788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) )
11		inss1 3682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M [,] N ) i^i ZZ ) C_ ( M [,] N )
12	10, 11	syl6eqss 3514	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ ( M [,] N ) )
13	12	sselda 3464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> y e. ( M [,] N ) )
14		dvfsumabs.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
15		cncff 21912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
17		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) = ( x e. ( M [,] N ) |-> A )
18	17	fmpt 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC <-> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) : ( M [,] N ) --> CC )
19	16, 18	sylibr 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ( M [,] N ) A e. CC )
20		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
21	20	nfel1 2600	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. CC
22		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
23	22	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. CC <-> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
24	21, 23	rspc 3176	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( M [,] N ) -> ( A. x e. ( M [,] N ) A e. CC -> [_ y / x ]_ A e. CC ) )
25	19, 24	mpan9 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( M [,] N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
26	13, 25	syldan 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( M ... N ) ) -> [_ y / x ]_ A e. CC )
27	26	ralrimiva 2839	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC )
28		fzofzp1 12008	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
29		csbeq1 3398	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( k + 1 ) -> [_ y / x ]_ A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
30	29	eleq1d 2491	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k + 1 ) -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC ) )
31	30	rspccva 3181	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
32	27, 28, 31	syl2an 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( k + 1 ) / x ]_ A e. CC )
33		elfzofz 11936	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
34		csbeq1 3398	. . . . . . . . 9 |- ( y = k -> [_ y / x ]_ A = [_ k / x ]_ A )
35	34	eleq1d 2491	. . . . . . . 8 |- ( y = k -> ( [_ y / x ]_ A e. CC <-> [_ k / x ]_ A e. CC ) )
36	35	rspccva 3181	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ( M ... N ) [_ y / x ]_ A e. CC /\ k e. ( M ... N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
37	27, 33, 36	syl2an 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> [_ k / x ]_ A e. CC )
38	32, 37	subcld 9987	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
39	2, 3, 38	fsumsub 13837	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
40		vex 3084	. . . . . . . 8 |- y e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = M -> y e. _V )
42		eqeq2 2437	. . . . . . . . 9 |- ( y = M -> ( x = y <-> x = M ) )
43	42	biimpa 486	. . . . . . . 8 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> x = M )
44		dvfsumabs.c	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> A = C )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( y = M /\ x = y ) -> A = C )
46	41, 45	csbied 3422	. . . . . 6 |- ( y = M -> [_ y / x ]_ A = C )
47	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y = N -> y e. _V )
48		eqeq2 2437	. . . . . . . . 9 |- ( y = N -> ( x = y <-> x = N ) )
49	48	biimpa 486	. . . . . . . 8 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> x = N )
50		dvfsumabs.d	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> A = D )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( y = N /\ x = y ) -> A = D )
52	47, 51	csbied 3422	. . . . . 6 |- ( y = N -> [_ y / x ]_ A = D )
53	34, 29, 46, 52, 4, 26	telfsumo2 13851	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) = ( D - C ) )
54	53	oveq2d 6318	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - sum_ k e. ( M..^ N ) ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
55	39, 54	eqtrd 2463	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) )
56	55	fveq2d 5882	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) )
57	3, 38	subcld 9987	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
58	2, 57	fsumcl 13787	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) e. CC )
59	58	abscld 13486	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
60	57	abscld 13486	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
61	2, 60	fsumrecl 13788	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) e. RR )
62		dvfsumabs.y	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. RR )
63	2, 62	fsumrecl 13788	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) Y e. RR )
64	2, 57	fsumabs 13849	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) )
65		elfzoelz 11921	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
66	65	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ZZ )
67	66	zred 11041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR )
68	67	rexrd 9691	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. RR* )
69		peano2re 9807	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
70	67, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
71	70	rexrd 9691	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR* )
72	67	lep1d 10539	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
73		ubicc2 11750	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
74	68, 71, 72, 73	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
75		lbicc2 11749	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR* /\ ( k + 1 ) e. RR* /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
76	68, 71, 72, 75	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) )
77	6	zred 11041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. RR )
78	77	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR )
79	8	zred 11041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. RR )
80	79	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR )
81		elfzole1 11929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> M <_ k )
82	81	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M <_ k )
83	28	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
84		elfzle2 11804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
86		iccss 11703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ ( M <_ k /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
87	78, 80, 82, 85, 86	syl22anc 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) )
88	87	resmptd 5172	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
89		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
90	89	subcn 21885	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
92		iccssre 11717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
93	77, 79, 92	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
94	93	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ RR )
95		ax-resscn 9597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
96	94, 95	syl6ss 3476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M [,] N ) C_ CC )
97		ssid 3483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> CC C_ CC )
99		cncfmptc 21930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. CC /\ ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
100	3, 96, 98, 99	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> X ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
101		cncfmptid 21931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M [,] N ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
102	96, 97, 101	sylancl 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> x ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
103	100, 102	mulcncf 22385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( X x. x ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
104	14	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> A ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
105	89, 91, 103, 104	cncfmpt2f 21933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
106		rescncf 21916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) ) )
107	87, 105, 106	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( M [,] N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) |` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
108	88, 107	eqeltrrd 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) e. ( ( k [,] ( k + 1 ) ) -cn-> CC ) )
109	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR C_ CC )
110	87, 94	sstrd 3474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k [,] ( k + 1 ) ) C_ RR )
111	87	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( M [,] N ) )
112	3	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> X e. CC )
113	96	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> x e. CC )
114	112, 113	mulcld 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
115	19	r19.21bi 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
116	115	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> A e. CC )
117	114, 116	subcld 9987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M [,] N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
118	111, 117	syldan 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
119	89	tgioo2 21808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
120		iccntr 21826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
121	67, 70, 120	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( k [,] ( k + 1 ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
122	109, 110, 118, 119, 89, 121	dvmptntr 22912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) )
123		reelprrecn 9632	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
125		ioossicc 11721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
126	125	sseli 3460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( M (,) N ) -> x e. ( M [,] N ) )
127	126, 117	sylan2 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( ( X x. x ) - A ) e. CC )
128		ovex 6330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X - B ) e. _V
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X - B ) e. _V )
130	126, 114	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> ( X x. x ) e. CC )
131	3	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> X e. CC )
132	125, 96	syl5ss 3475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ CC )
133	132	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> x e. CC )
134		1cnd 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> 1 e. CC )
135	109	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> x e. CC )
136		1cnd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> 1 e. CC )
137	124	dvmptid 22898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) )
138	125, 94	syl5ss 3475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) C_ RR )
139		iooretop 21773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) )
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) N ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
141	124, 135, 136, 137, 138, 119, 89, 140	dvmptres 22904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> x ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> 1 ) )
142	124, 133, 134, 141, 3	dvmptcmul 22905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) )
143	3	mulid1d 9661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. 1 ) = X )
144	143	mpteq2dv 4508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. 1 ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
145	142, 144	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X x. x ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> X ) )
146	126, 116	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> A e. CC )
147		dvfsumabs.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
148	147	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M (,) N ) ) -> B e. V )
149		dvfsumabs.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
150	149	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> A ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> B ) )
151	124, 130, 131, 145, 146, 148, 150	dvmptsub 22908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( M (,) N ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( M (,) N ) |-> ( X - B ) ) )
152	78	rexrd 9691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> M e. RR* )
153		iooss1 11672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR* /\ M <_ k ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
154	152, 82, 153	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) ( k + 1 ) ) )
155	80	rexrd 9691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> N e. RR* )
156		iooss2 11673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR* /\ ( k + 1 ) <_ N ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
157	155, 85, 156	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( M (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
158	154, 157	sstrd 3474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) C_ ( M (,) N ) )
159		iooretop 21773	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
160	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k (,) ( k + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
161	124, 127, 129, 151, 158, 119, 89, 160	dvmptres 22904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
162	122, 161	eqtrd 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
163	162	dmeqd 5053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
164		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) )
165	128, 164	dmmpti 5722	. . . . . . . . 9 |- dom ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) )
166	163, 165	syl6eq 2479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> dom ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( k (,) ( k + 1 ) ) )
167	162	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) = ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) )
168	167	fveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) )
169		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) )
170	164	fvmpt2 5970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) /\ ( X - B ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
171	169, 128, 170	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) |-> ( X - B ) ) ` x ) = ( X - B ) )
172	168, 171	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( X - B ) )
173	172	fveq2d 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( X - B ) ) )
174		dvfsumabs.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. ( M..^ N ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
175	174	anassrs 652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( X - B ) ) <_ Y )
176	173, 175	eqbrtrd 4441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
177	176	ralrimiva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y )
178		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x abs
179		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x RR
180		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x _D
181		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
182	179, 180, 181	nfov 6328	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) )
183		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x y
184	182, 183	nffv 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y )
185	178, 184	nffv 5885	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
186		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <_
187		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x Y
188	185, 186, 187	nfbr 4465	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y
189		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) = ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) )
190	189	fveq2d 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) )
191	190	breq1d 4430	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y <-> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
192	188, 191	rspc 3176	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) -> ( A. x e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` x ) ) <_ Y -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y ) )
193	177, 192	mpan9 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ y e. ( k (,) ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ) ` y ) ) <_ Y )
194	67, 70, 108, 166, 62, 193	dvlip 22932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
195	194	ex 435	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) ) )
196	74, 76, 195	mp2and 683	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) <_ ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
197		ovex 6330	. . . . . . . . 9 |- ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V
198		nfcv 2584	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( k + 1 )
199		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. ( k + 1 ) )
200		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x -
201		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ ( k + 1 ) / x ]_ A
202	199, 200, 201	nfov 6328	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
203		oveq2 6310	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( X x. x ) = ( X x. ( k + 1 ) ) )
204		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> A = [_ ( k + 1 ) / x ]_ A )
205	203, 204	oveq12d 6320	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
206		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) = ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) )
207	198, 202, 205, 206	fvmptf 5979	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k + 1 ) e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) e. _V ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
208	74, 197, 207	sylancl 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) )
209	67	recnd 9670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. CC )
210	3, 209	mulcld 9664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. k ) e. CC )
211	210, 37	subcld 9987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC )
212		nfcv 2584	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x k
213		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( X x. k )
214		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ k / x ]_ A
215	213, 200, 214	nfov 6328	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A )
216		oveq2 6310	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( X x. x ) = ( X x. k ) )
217		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> A = [_ k / x ]_ A )
218	216, 217	oveq12d 6320	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( X x. x ) - A ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
219	212, 215, 218, 206	fvmptf 5979	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( k [,] ( k + 1 ) ) /\ ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) e. CC ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
220	76, 211, 219	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) = ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) )
221	208, 220	oveq12d 6320	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
222		peano2cn 9806	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( k + 1 ) e. CC )
223	209, 222	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
224	3, 223	mulcld 9664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( k + 1 ) ) e. CC )
225	224, 210, 32, 37	sub4d 10036	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - [_ ( k + 1 ) / x ]_ A ) - ( ( X x. k ) - [_ k / x ]_ A ) ) )
226		1cnd 9660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> 1 e. CC )
227	209, 226	pncan2d 9989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
228	227	oveq2d 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( X x. 1 ) )
229	3, 223, 209	subdid 10075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X x. ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) )
230	228, 229, 143	3eqtr3d 2471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) = X )
231	230	oveq1d 6317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( X x. ( k + 1 ) ) - ( X x. k ) ) - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) )
232	221, 225, 231	3eqtr2rd 2470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) = ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) )
233	232	fveq2d 5882	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` ( k + 1 ) ) - ( ( x e. ( k [,] ( k + 1 ) ) |-> ( ( X x. x ) - A ) ) ` k ) ) ) )
234	227	fveq2d 5882	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = ( abs ` 1 ) )
235		abs1 13349	. . . . . . . 8 |- ( abs ` 1 ) = 1
236	234, 235	syl6eq 2479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) = 1 )
237	236	oveq2d 6318	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) = ( Y x. 1 ) )
238	62	recnd 9670	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y e. CC )
239	238	mulid1d 9661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( Y x. 1 ) = Y )
240	237, 239	eqtr2d 2464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> Y = ( Y x. ( abs ` ( ( k + 1 ) - k ) ) ) )
241	196, 233, 240	3brtr4d 4451	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ Y )
242	2, 60, 62, 241	fsumle 13847	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M..^ N ) ( abs ` ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
243	59, 61, 63, 64, 242	letrd 9793	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( M..^ N ) ( X - ( [_ ( k + 1 ) / x ]_ A - [_ k / x ]_ A ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )
244	56, 243	eqbrtrrd 4443	1 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( M..^ N ) X - ( D - C ) ) ) <_ sum_ k e. ( M..^ N ) Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081   [_csb 3395   i^i cin 3435   C_ wss 3436   {cpr 3998   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   dom cdm 4850   ran crn 4851   |` cres 4852   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   CCcc 9538   RRcr 9539   1c1 9541   + caddc 9543   x. cmul 9545   RR*cxr 9675   <_ cle 9677   - cmin 9861   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   (,)cioo 11636   [,]cicc 11639   ...cfz 11785  ..^cfzo 11916   abscabs 13286   sum_csu 13740   TopOpenctopn 15308   topGenctg 15324  ℂ_fldccnfld 18958   intcnt 20019   Cn ccn 20227   tX ctx 20562   -cn->ccncf 21895   _D cdv 22805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-sum 13741  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-cmp 20389  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809

This theorem is referenced by: (None)