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Theorem dvfsum2 23065
Description: The reverse of dvfsumrlim 23062, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum2.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum2.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum2.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum2.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum2.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum2.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum2.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum2.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  <_  C )
dvfsum2.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsum2.0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
dvfsum2.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsum2.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsum2.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsum2.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsum2.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsum2.e  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  E )
Assertion
Ref Expression
dvfsum2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  E )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    x, E   
k, M, x    S, k, x    k, X, x   
k, Y, x    x, T    U, k, x    x, V    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    E( k)    G( x, k)    V( k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsum2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
2 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
3 dvfsum2.b2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 11822 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum2.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum2.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 3135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  RR )
122, 11fsumrecl 13877 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum2.a . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  RR )
15 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
1615nfel1 2626 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR
17 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
1817eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
1916, 18rspc 3130 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
201, 14, 19sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
2112, 20resubcld 10068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )
22 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x Y
23 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
24 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  -
2523, 24, 15nfov 6334 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
26 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
2726oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
2827sumeq1d 13844 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
2928, 17oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
30 dvfsum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
3122, 25, 29, 30fvmptf 5981 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
321, 21, 31syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
33 dvfsum2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
34 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
35 elfzuz 11822 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3635, 6syl6eleqr 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
374, 36, 10syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
3834, 37fsumrecl 13877 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
39 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ A
4039nfel1 2626 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ X  /  x ]_ A  e.  RR
41 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  A  =  [_ X  /  x ]_ A )
4241eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
4340, 42rspc 3130 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
4433, 14, 43sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
4538, 44resubcld 10068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )
46 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x X
47 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C
4847, 24, 39nfov 6334 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )
49 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  X
) )
5049oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
5150sumeq1d 13844 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
5251, 41oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5346, 48, 52, 30fvmptf 5981 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5433, 45, 53syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5532, 54oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
5655fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
5721recnd 9687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
5845recnd 9687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  CC )
5957, 58abssubd 13592 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
6056, 59eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
61 dvfsum2.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( T (,) +oo )
62 ioossre 11721 . . . . . . . . . 10  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
6361, 62eqsstri 3448 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
65 dvfsum2.b1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
66 dvfsum2.b3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
6764, 13, 65, 66dvmptrecl 23055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
6867ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
69 dvfsum2.e . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  E )
7069eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  e.  RR  <->  E  e.  RR ) )
7170rspcv 3132 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  E  e.  RR ) )
721, 68, 71sylc 61 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7321, 72resubcld 10068 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  e.  RR )
7463, 33sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
75 reflcl 12065 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
7774, 76resubcld 10068 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
78 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ m  B  e.  RR
79 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
8079nfel1 2626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
81 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
8281eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
8378, 80, 82cbvral 3001 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  <->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
8468, 83sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
85 csbeq1 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
8685eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
8786rspcv 3132 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
8833, 84, 87sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
8977, 88remulcld 9689 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
9089, 45readdcld 9688 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
9190, 88resubcld 10068 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
9263, 1sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
93 reflcl 12065 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
9592, 94resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  RR )
9695, 72remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  e.  RR )
9796, 21readdcld 9688 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
9897, 72resubcld 10068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  e.  RR )
99 fracge0 12073 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
10092, 99syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
101 dvfsum2.0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
102101expr 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( D  <_  x  ->  0  <_  B ) )
103102ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )
)
104 dvfsum2.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
105 dvfsum2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
106 dvfsum2.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
107104, 74, 92, 105, 106letrd 9809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  Y )
108 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  Y ) )
10969breq2d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  E ) )
110108, 109imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
( D  <_  x  ->  0  <_  B )  <->  ( D  <_  Y  ->  0  <_  E ) ) )
111110rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )  ->  ( D  <_  Y  ->  0  <_  E )
) )
1121, 103, 107, 111syl3c 62 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  E )
11395, 72, 100, 112mulge0d 10211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E ) )
11421, 96addge02d 10223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
115113, 114mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
11621, 97, 72, 115lesub1dd 10250 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) )
117 dvfsum2.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
118 dvfsum2.md . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
119 dvfsum2.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
12013renegcld 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -u A  e.  RR )
12167renegcld 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -u B  e.  RR )
1223renegcld 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  -u B  e.  RR )
123 reelprrecn 9649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
12513recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
126124, 125, 65, 66dvmptneg 22999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  -u A ) )  =  ( x  e.  S  |-> 
-u B ) )
1278negeqd 9889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  -u B  =  -u C )
128 dvfsum2.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
129 dvfsum2.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  <_  C )
13067adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S ) )  ->  B  e.  RR )
1311303adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  e.  RR )
132 simp2r 1057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  -> 
k  e.  S )
133683ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
1349rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
135132, 133, 134sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  e.  RR )
136131, 135lenegd 10213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  -> 
( B  <_  C  <->  -u C  <_  -u B ) )
137129, 136mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  -u C  <_  -u B )
138 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) )
139 dvfsum2.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
14061, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139dvfsumlem3 23059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  <_  (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  /\  (
( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  <_  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
) ) )
141140simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  <_  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
) )
14277recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
14388recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
144142, 143mulneg2d 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  =  -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
14538recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
14644recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  CC )
147145, 146neg2subd 10022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  ( [_ X  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
14837recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  CC )
14934, 148fsumneg 13925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  =  -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
150149oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
151145, 146negsubdi2d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  =  ( [_ X  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
152147, 150, 1513eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
153144, 152oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
15489recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  CC )
155154, 58negdid 10018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
156153, 155eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  =  -u (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
15790renegcld 10067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
158156, 157eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
159 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( X  -  ( |_ `  X ) )
160 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  x.
161 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
162161nfneg 9891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ X  /  x ]_ B
163159, 160, 162nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )
164 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  +
165 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) -u C
16639nfneg 9891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ X  /  x ]_ A
167165, 24, 166nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )
168163, 164, 167nfov 6334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
170169, 49oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
171 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
172171negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
173170, 172oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  =  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B ) )
17450sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )
-u C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) -u C
)
17541negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  -u A  =  -u [_ X  /  x ]_ A )
176174, 175oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) -u C  -  -u A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
177173, 176oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x
) ) -u C  -  -u A ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
17846, 168, 177, 138fvmptf 5981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
17933, 158, 178syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
180179, 156eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
181 csbnegg 9892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  [_ X  /  x ]_ -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
18233, 181syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
183180, 182oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  =  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B ) )
18495recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  CC )
18572recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
186184, 185mulneg2d 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  =  -u (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E ) )
18712recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  CC )
18820recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
189187, 188neg2subd 10022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C ) )
19011recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  CC )
1912, 190fsumneg 13925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  =  -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
192191oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
193187, 188negsubdi2d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C ) )
194189, 192, 1933eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
195186, 194oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
19696recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  e.  CC )
197196, 57negdid 10018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
198195, 197eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
19997renegcld 10067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
200198, 199eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
201 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)
202 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) -u C
20315nfneg 9891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ Y  /  x ]_ A
204202, 24, 203nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )
205201, 164, 204nfov 6334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
206 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
207206, 26oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
20869negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  -u B  =  -u E )
209207, 208oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
) )
21027sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )
-u C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C
)
21117negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  -u A  =  -u [_ Y  /  x ]_ A )
212210, 211oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) -u C  -  -u A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
213209, 212oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x
) ) -u C  -  -u A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  -u E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
21422, 205, 213, 138fvmptf 5981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
2151, 200, 214syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
216215, 198eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
217208adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  -u B  =  -u E )
2181, 217csbied 3376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ -u B  =  -u E )
219216, 218oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
)  =  ( -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
) )
220141, 183, 2193brtr3d 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( -u (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
) )
22190recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
222221, 143neg2subd 10022 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
22397recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
224223, 185neg2subd 10022 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
)  =  ( E  -  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
225220, 222, 2243brtr3d 4425 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  ( E  -  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
226221, 143negsubdi2d 10021 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
227223, 185negsubdi2d 10021 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  =  ( E  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
228225, 226, 2273brtr4d 4426 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  -u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) )
22998, 91lenegd 10213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <->  -u ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  -u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) ) )
230228, 229mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
23173, 98, 91, 116, 230letrd 9809 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
232 1red 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
233 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  D  <_  X
234 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
0
235 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <_
236234, 235, 161nfbr 4440 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
0  <_  [_ X  /  x ]_ B
237233, 236nfim 2023 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
238 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
239171breq2d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
240238, 239imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( D  <_  x  ->  0  <_  B )  <->  ( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
241237, 240rspc 3130 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )  ->  ( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
24233, 103, 105, 241syl3c 62 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
243 fracle1 12072 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_ 
1 )
24474, 243syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
24577, 232, 88, 242, 244lemul1ad 10568 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
246143mulid2d 9679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
247245, 246breqtrd 4420 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
24889, 88, 45, 247leadd1dd 10248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
24990, 88, 45lesubadd2d 10233 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <-> 
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
250248, 249mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
25173, 91, 45, 231, 250letrd 9809 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
25221, 72readdcld 9688 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E )  e.  RR )
253 fracge0 12073 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
25474, 253syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
25577, 88, 254, 242mulge0d 10211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
25645, 89addge02d 10223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
257255, 256mpbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
258140simpld 466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  <_  (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X ) )
259258, 216, 1803brtr3d 4425 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
26090, 97lenegd 10213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <->  -u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
261259, 260mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
262 fracle1 12072 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_ 
1 )
26392, 262syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_  1 )
26495, 232, 72, 112, 263lemul1ad 10568 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <_  ( 1  x.  E ) )
265185mulid2d 9679 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  =  E )
266264, 265breqtrd 4420 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <_  E )
26796, 72, 21, 266leadd1dd 10248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( E  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
268185, 57addcomd 9853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
269267, 268breqtrd 4420 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
27090, 97, 252, 261, 269letrd 9809 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
27145, 90, 252, 257, 270letrd 9809 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E
) )
27245, 21, 72absdifled 13573 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )  <_  E  <->  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E
) ) ) )
273251, 271, 272mpbir2and 936 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )  <_  E
)
27460, 273eqbrtrd 4416 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   [_csb 3349    C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   |_cfl 12059   abscabs 13374   sum_csu 13829    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  24230  log2sumbnd  24461
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