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Theorem dvfsum2 21348
Description: The reverse of dvfsumrlim 21345, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum2.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum2.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum2.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum2.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum2.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum2.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum2.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum2.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  <_  C )
dvfsum2.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsum2.0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
dvfsum2.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsum2.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsum2.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsum2.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsum2.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsum2.e  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  E )
Assertion
Ref Expression
dvfsum2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  E )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    x, E   
k, M, x    S, k, x    k, X, x   
k, Y, x    x, T    U, k, x    x, V    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    E( k)    G( x, k)    V( k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsum2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
2 fzfid 11779 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
3 dvfsum2.b2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 11436 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum2.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum2.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 3061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  RR )
122, 11fsumrecl 13195 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum2.a . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  RR )
15 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
1615nfel1 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR
17 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
1817eleq1d 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
1916, 18rspc 3056 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
201, 14, 19sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
2112, 20resubcld 9764 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )
22 nfcv 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ x Y
23 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
24 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  -
2523, 24, 15nfov 6103 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
26 fveq2 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
2726oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
2827sumeq1d 13162 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
2928, 17oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
30 dvfsum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
3122, 25, 29, 30fvmptf 5778 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
321, 21, 31syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
33 dvfsum2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
34 fzfid 11779 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
35 elfzuz 11436 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3635, 6syl6eleqr 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
374, 36, 10syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
3834, 37fsumrecl 13195 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
39 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ A
4039nfel1 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ X  /  x ]_ A  e.  RR
41 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  A  =  [_ X  /  x ]_ A )
4241eleq1d 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
4340, 42rspc 3056 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
4433, 14, 43sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
4538, 44resubcld 9764 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )
46 nfcv 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ x X
47 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C
4847, 24, 39nfov 6103 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )
49 fveq2 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  X
) )
5049oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
5150sumeq1d 13162 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
5251, 41oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5346, 48, 52, 30fvmptf 5778 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5433, 45, 53syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5532, 54oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
5655fveq2d 5683 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
5721recnd 9400 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
5845recnd 9400 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  CC )
5957, 58abssubd 12923 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
6056, 59eqtrd 2465 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
61 dvfsum2.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( T (,) +oo )
62 ioossre 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
6361, 62eqsstri 3374 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
65 dvfsum2.b1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
66 dvfsum2.b3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
6764, 13, 65, 66dvmptrecl 21338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
6867ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
69 dvfsum2.e . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  E )
7069eleq1d 2499 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  e.  RR  <->  E  e.  RR ) )
7170rspcv 3058 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  E  e.  RR ) )
721, 68, 71sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7321, 72resubcld 9764 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  e.  RR )
7463, 33sseldi 3342 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
75 reflcl 11630 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
7674, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
7774, 76resubcld 9764 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
78 nfv 1672 . . . . . . . . . 10  |-  F/ m  B  e.  RR
79 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
8079nfel1 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
81 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
8281eleq1d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
8378, 80, 82cbvral 2933 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  <->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
8468, 83sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
85 csbeq1 3279 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
8685eleq1d 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
8786rspcv 3058 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
8833, 84, 87sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
8977, 88remulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
9089, 45readdcld 9401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
9190, 88resubcld 9764 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
9263, 1sseldi 3342 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
93 reflcl 11630 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
9592, 94resubcld 9764 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  RR )
9695, 72remulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  e.  RR )
9796, 21readdcld 9401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
9897, 72resubcld 9764 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  e.  RR )
99 fracge0 11638 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
10092, 99syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
101 dvfsum2.0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
102101expr 610 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( D  <_  x  ->  0  <_  B ) )
103102ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )
)
104 dvfsum2.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
105 dvfsum2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
106 dvfsum2.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
107104, 74, 92, 105, 106letrd 9516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  Y )
108 breq2 4284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  Y ) )
10969breq2d 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  E ) )
110108, 109imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
( D  <_  x  ->  0  <_  B )  <->  ( D  <_  Y  ->  0  <_  E ) ) )
111110rspcv 3058 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )  ->  ( D  <_  Y  ->  0  <_  E )
) )
1121, 103, 107, 111syl3c 61 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  E )
11395, 72, 100, 112mulge0d 9904 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E ) )
11421, 96addge02d 9916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
115113, 114mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
11621, 97, 72, 115lesub1dd 9943 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) )
117 dvfsum2.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
118 dvfsum2.md . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
119 dvfsum2.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
12013renegcld 9763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -u A  e.  RR )
12167renegcld 9763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -u B  e.  RR )
1223renegcld 9763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  -u B  e.  RR )
123 reelprrecn 9362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
12513recnd 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
126124, 125, 65, 66dvmptneg 21282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  -u A ) )  =  ( x  e.  S  |-> 
-u B ) )
1278negeqd 9592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  -u B  =  -u C )
128 dvfsum2.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
129 dvfsum2.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  <_  C )
13067adantrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S ) )  ->  B  e.  RR )
1311303adant3 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  e.  RR )
132 simp2r 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  -> 
k  e.  S )
133683ad2ant1 1002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
1349rspcv 3058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
135132, 133, 134sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  e.  RR )
136131, 135lenegd 9906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  -> 
( B  <_  C  <->  -u C  <_  -u B ) )
137129, 136mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  -u C  <_  -u B )
138 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) )
139 dvfsum2.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
14061, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139dvfsumlem3 21342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  <_  (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  /\  (
( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  <_  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
) ) )
141140simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  <_  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
) )
14277recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
14388recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
144142, 143mulneg2d 9786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  =  -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
14538recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
14644recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  CC )
147145, 146neg2subd 9724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  ( [_ X  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
14837recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  CC )
14934, 148fsumneg 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  =  -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
150149oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
151145, 146negsubdi2d 9723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  =  ( [_ X  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
152147, 150, 1513eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
153144, 152oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
15489recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  CC )
155154, 58negdid 9720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
156153, 155eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  =  -u (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
15790renegcld 9763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
158156, 157eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
159 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( X  -  ( |_ `  X ) )
160 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  x.
161 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
162161nfneg 9594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ X  /  x ]_ B
163159, 160, 162nfov 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )
164 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  +
165 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) -u C
16639nfneg 9594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ X  /  x ]_ A
167165, 24, 166nfov 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )
168163, 164, 167nfov 6103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
170169, 49oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
171 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
172171negeqd 9592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
173170, 172oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  =  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B ) )
17450sumeq1d 13162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )
-u C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) -u C
)
17541negeqd 9592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  -u A  =  -u [_ X  /  x ]_ A )
176174, 175oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) -u C  -  -u A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
177173, 176oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x
) ) -u C  -  -u A ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
17846, 168, 177, 138fvmptf 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
17933, 158, 178syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
180179, 156eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
181 csbnegg 9595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  [_ X  /  x ]_ -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
18233, 181syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
183180, 182oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  =  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B ) )
18495recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  CC )
18572recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
186184, 185mulneg2d 9786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  =  -u (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E ) )
18712recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  CC )
18820recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
189187, 188neg2subd 9724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C ) )
19011recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  CC )
1912, 190fsumneg 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  =  -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
192191oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
193187, 188negsubdi2d 9723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C ) )
194189, 192, 1933eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
195186, 194oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
19696recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  e.  CC )
197196, 57negdid 9720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
198195, 197eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
19997renegcld 9763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
200198, 199eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
201 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)
202 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) -u C
20315nfneg 9594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ Y  /  x ]_ A
204202, 24, 203nfov 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )
205201, 164, 204nfov 6103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
206 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
207206, 26oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
20869negeqd 9592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  -u B  =  -u E )
209207, 208oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
) )
21027sumeq1d 13162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )
-u C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C
)
21117negeqd 9592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  -u A  =  -u [_ Y  /  x ]_ A )
212210, 211oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) -u C  -  -u A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
213209, 212oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x
) ) -u C  -  -u A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  -u E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
21422, 205, 213, 138fvmptf 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
2151, 200, 214syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
216215, 198eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
217208adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  -u B  =  -u E )
2181, 217csbied 3302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ -u B  =  -u E )
219216, 218oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
)  =  ( -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
) )
220141, 183, 2193brtr3d 4309 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( -u (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
) )
22190recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
222221, 143neg2subd 9724 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
22397recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
224223, 185neg2subd 9724 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
)  =  ( E  -  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
225220, 222, 2243brtr3d 4309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  ( E  -  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
226221, 143negsubdi2d 9723 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
227223, 185negsubdi2d 9723 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  =  ( E  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
228225, 226, 2273brtr4d 4310 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  -u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) )
22998, 91lenegd 9906 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <->  -u ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  -u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) ) )
230228, 229mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
23173, 98, 91, 116, 230letrd 9516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
232 1red 9389 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
233 nfv 1672 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  D  <_  X
234 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
0
235 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <_
236234, 235, 161nfbr 4324 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
0  <_  [_ X  /  x ]_ B
237233, 236nfim 1851 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
238 breq2 4284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
239171breq2d 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
240238, 239imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( D  <_  x  ->  0  <_  B )  <->  ( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
241237, 240rspc 3056 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )  ->  ( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
24233, 103, 105, 241syl3c 61 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
243 fracle1 11637 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_ 
1 )
24474, 243syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
24577, 232, 88, 242, 244lemul1ad 10260 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
246143mulid2d 9392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
247245, 246breqtrd 4304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
24889, 88, 45, 247leadd1dd 9941 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
24990, 88, 45lesubadd2d 9926 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <-> 
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
250248, 249mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
25173, 91, 45, 231, 250letrd 9516 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
25221, 72readdcld 9401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E )  e.  RR )
253 fracge0 11638 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
25474, 253syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
25577, 88, 254, 242mulge0d 9904 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
25645, 89addge02d 9916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
257255, 256mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
258140simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  <_  (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X ) )
259258, 216, 1803brtr3d 4309 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
26090, 97lenegd 9906 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <->  -u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
261259, 260mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
262 fracle1 11637 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_ 
1 )
26392, 262syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_  1 )
26495, 232, 72, 112, 263lemul1ad 10260 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <_  ( 1  x.  E ) )
265185mulid2d 9392 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  =  E )
266264, 265breqtrd 4304 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <_  E )
26796, 72, 21, 266leadd1dd 9941 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( E  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
268185, 57addcomd 9559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
269267, 268breqtrd 4304 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
27090, 97, 252, 261, 269letrd 9516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
27145, 90, 252, 257, 270letrd 9516 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E
) )
27245, 21, 72absdifled 12905 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )  <_  E  <->  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E
) ) ) )
273251, 271, 272mpbir2and 906 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )  <_  E
)
27460, 273eqbrtrd 4300 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   [_csb 3276    C_ wss 3316   {cpr 3867   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   +oocpnf 9403   RR*cxr 9405    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   (,)cioo 11288   ...cfz 11424   |_cfl 11624   abscabs 12707   sum_csu 13147    _D cdv 21180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  22447  log2sumbnd  22678
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