Theorem dvfsum2 23065

Description: The reverse of dvfsumrlim 23062, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum2.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum2.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum2.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum2.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum2.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum2.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum2.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum2.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum2.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum2.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum2.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> B <_ C )
dvfsum2.g	|- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
dvfsum2.0	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x ) ) -> 0 <_ B )
dvfsum2.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsum2.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsum2.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsum2.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsum2.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsum2.e	|- ( x = Y -> B = E )

Assertion

Ref	Expression
dvfsum2	|- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) <_ E )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   x, E   k, M, x   S, k, x   k, X, x   k, Y, x   x, T   U, k, x   x, V   x, Z

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   E( k)   G( x, k)   V( k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsum2

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. S )
2		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) e. Fin )
3		dvfsum2.b2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
4	3	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. Z B e. RR )
5		elfzuz 11822	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
6		dvfsum2.z	. . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
7	5, 6	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -> k e. Z )
8		dvfsum2.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> B = C )
9	8	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( B e. RR <-> C e. RR ) )
10	9	rspccva 3135	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. Z B e. RR /\ k e. Z ) -> C e. RR )
11	4, 7, 10	syl2an 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) ) -> C e. RR )
12	2, 11	fsumrecl 13877	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C e. RR )
13		dvfsum2.a	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
14	13	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S A e. RR )
15		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ Y / x ]_ A
16	15	nfel1 2626	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ Y / x ]_ A e. RR
17		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> A = [_ Y / x ]_ A )
18	17	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( A e. RR <-> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
19	16, 18	rspc 3130	. . . . . . . 8 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S A e. RR -> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
20	1, 14, 19	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. RR )
21	12, 20	resubcld 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
22		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ x Y
23		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C
24		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ x -
25	23, 24, 15	nfov 6334	. . . . . . 7 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A )
26		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` Y ) )
27	26	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` Y ) ) )
28	27	sumeq1d 13844	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
29	28, 17	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
30		dvfsum2.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
31	22, 25, 29, 30	fvmptf 5981	. . . . . 6 |- ( ( Y e. S /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. RR ) -> ( G ` Y ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
32	1, 21, 31	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` Y ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
33		dvfsum2.1	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. S )
34		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
35		elfzuz 11822	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
36	35, 6	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
37	4, 36, 10	syl2an 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. RR )
38	34, 37	fsumrecl 13877	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. RR )
39		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ X / x ]_ A
40	39	nfel1 2626	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ X / x ]_ A e. RR
41		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> A = [_ X / x ]_ A )
42	41	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( A e. RR <-> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
43	40, 42	rspc 3130	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> ( A. x e. S A e. RR -> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
44	33, 14, 43	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. RR )
45	38, 44	resubcld 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
46		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ x X
47		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C
48	47, 24, 39	nfov 6334	. . . . . . 7 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A )
49		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` X ) )
50	49	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
51	50	sumeq1d 13844	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
52	51, 41	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
53	46, 48, 52, 30	fvmptf 5981	. . . . . 6 |- ( ( X e. S /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. RR ) -> ( G ` X ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
54	33, 45, 53	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` X ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
55	32, 54	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
56	55	fveq2d 5883	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
57	21	recnd 9687	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
58	45	recnd 9687	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. CC )
59	57, 58	abssubd 13592	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
60	56, 59	eqtrd 2505	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
61		dvfsum2.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( T (,) +oo )
62		ioossre 11721	. . . . . . . . . 10 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
63	61, 62	eqsstri 3448	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ RR )
65		dvfsum2.b1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
66		dvfsum2.b3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
67	64, 13, 65, 66	dvmptrecl 23055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
68	67	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. S B e. RR )
69		dvfsum2.e	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> B = E )
70	69	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( B e. RR <-> E e. RR ) )
71	70	rspcv 3132	. . . . . 6 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S B e. RR -> E e. RR ) )
72	1, 68, 71	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
73	21, 72	resubcld 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) e. RR )
74	63, 33	sseldi 3416	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
75		reflcl 12065	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
77	74, 76	resubcld 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. RR )
78		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ m B e. RR
79		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ m / x ]_ B
80	79	nfel1 2626	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ m / x ]_ B e. RR
81		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = m -> B = [_ m / x ]_ B )
82	81	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( x = m -> ( B e. RR <-> [_ m / x ]_ B e. RR ) )
83	78, 80, 82	cbvral 3001	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. S B e. RR <-> A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR )
84	68, 83	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR )
85		csbeq1 3352	. . . . . . . . . 10 |- ( m = X -> [_ m / x ]_ B = [_ X / x ]_ B )
86	85	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( m = X -> ( [_ m / x ]_ B e. RR <-> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
87	86	rspcv 3132	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> ( A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR -> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
88	33, 84, 87	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. RR )
89	77, 88	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
90	89, 45	readdcld 9688	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
91	90, 88	resubcld 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) e. RR )
92	63, 1	sseldi 3416	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR )
93		reflcl 12065	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. RR -> ( |_ ` Y ) e. RR )
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. RR )
95	92, 94	resubcld 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) e. RR )
96	95, 72	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) e. RR )
97	96, 21	readdcld 9688	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
98	97, 72	resubcld 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) e. RR )
99		fracge0 12073	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. RR -> 0 <_ ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
100	92, 99	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
101		dvfsum2.0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x ) ) -> 0 <_ B )
102	101	expr 626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( D <_ x -> 0 <_ B ) )
103	102	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. S ( D <_ x -> 0 <_ B ) )
104		dvfsum2.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR )
105		dvfsum2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D <_ X )
106		dvfsum2.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X <_ Y )
107	104, 74, 92, 105, 106	letrd 9809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D <_ Y )
108		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( D <_ x <-> D <_ Y ) )
109	69	breq2d 4407	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ E ) )
110	108, 109	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( ( D <_ x -> 0 <_ B ) <-> ( D <_ Y -> 0 <_ E ) ) )
111	110	rspcv 3132	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S ( D <_ x -> 0 <_ B ) -> ( D <_ Y -> 0 <_ E ) ) )
112	1, 103, 107, 111	syl3c 62	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ E )
113	95, 72, 100, 112	mulge0d 10211	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) )
114	21, 96	addge02d 10223	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) <-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
115	113, 114	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
116	21, 97, 72, 115	lesub1dd 10250	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) )
117		dvfsum2.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
118		dvfsum2.md	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
119		dvfsum2.t	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. RR )
120	13	renegcld 10067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> -u A e. RR )
121	67	renegcld 10067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> -u B e. RR )
122	3	renegcld 10067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> -u B e. RR )
123		reelprrecn 9649	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
125	13	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
126	124, 125, 65, 66	dvmptneg 22999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> -u A ) ) = ( x e. S |-> -u B ) )
127	8	negeqd 9889	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> -u B = -u C )
128		dvfsum2.u	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. RR* )
129		dvfsum2.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> B <_ C )
130	67	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) ) -> B e. RR )
131	130	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> B e. RR )
132		simp2r 1057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> k e. S )
133	68	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> A. x e. S B e. RR )
134	9	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. S -> ( A. x e. S B e. RR -> C e. RR ) )
135	132, 133, 134	sylc 61	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C e. RR )
136	131, 135	lenegd 10213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> ( B <_ C <-> -u C <_ -u B ) )
137	129, 136	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> -u C <_ -u B )
138		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) )
139		dvfsum2.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y <_ U )
140	61, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139	dvfsumlem3 23059	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) <_ ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) /\ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ -u B ) <_ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ -u B ) ) )
141	140	simprd 470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ -u B ) <_ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ -u B ) )
142	77	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. CC )
143	88	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. CC )
144	142, 143	mulneg2d 10093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) = -u ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
145	38	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
146	44	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. CC )
147	145, 146	neg2subd 10022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - -u [_ X / x ]_ A ) = ( [_ X / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
148	37	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. CC )
149	34, 148	fsumneg 13925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C = -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
150	149	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) = ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - -u [_ X / x ]_ A ) )
151	145, 146	negsubdi2d 10021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) = ( [_ X / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
152	147, 150, 151	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) = -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
153	144, 152	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
154	89	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. CC )
155	154, 58	negdid 10018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
156	153, 155	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) = -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
157	90	renegcld 10067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
158	156, 157	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
159		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( X - ( |_ ` X ) )
160		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x x.
161		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ X / x ]_ B
162	161	nfneg 9891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x -u [_ X / x ]_ B
163	159, 160, 162	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B )
164		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x +
165		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C
166	39	nfneg 9891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x -u [_ X / x ]_ A
167	165, 24, 166	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A )
168	163, 164, 167	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) )
169		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> x = X )
170	169, 49	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( X - ( |_ ` X ) ) )
171		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> B = [_ X / x ]_ B )
172	171	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> -u B = -u [_ X / x ]_ B )
173	170, 172	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) = ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) )
174	50	sumeq1d 13844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C )
175	41	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> -u A = -u [_ X / x ]_ A )
176	174, 175	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) )
177	173, 176	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) )
178	46, 168, 177, 138	fvmptf 5981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. S /\ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) e. RR ) -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) )
179	33, 158, 178	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) )
180	179, 156	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) = -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
181		csbnegg 9892	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. S -> [_ X / x ]_ -u B = -u [_ X / x ]_ B )
182	33, 181	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ X / x ]_ -u B = -u [_ X / x ]_ B )
183	180, 182	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ -u B ) = ( -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - -u [_ X / x ]_ B ) )
184	95	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) e. CC )
185	72	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. CC )
186	184, 185	mulneg2d 10093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) = -u ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) )
187	12	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C e. CC )
188	20	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
189	187, 188	neg2subd 10022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - -u [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C ) )
190	11	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) ) -> C e. CC )
191	2, 190	fsumneg 13925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C = -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
192	191	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) = ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - -u [_ Y / x ]_ A ) )
193	187, 188	negsubdi2d 10021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C ) )
194	189, 192, 193	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) = -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
195	186, 194	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
196	96	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) e. CC )
197	196, 57	negdid 10018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
198	195, 197	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
199	97	renegcld 10067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
200	198, 199	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
201		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E )
202		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C
203	15	nfneg 9891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x -u [_ Y / x ]_ A
204	202, 24, 203	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A )
205	201, 164, 204	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) )
206		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = Y -> x = Y )
207	206, 26	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
208	69	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> -u B = -u E )
209	207, 208	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) = ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) )
210	27	sumeq1d 13844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C )
211	17	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> -u A = -u [_ Y / x ]_ A )
212	210, 211	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) )
213	209, 212	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Y -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) )
214	22, 205, 213, 138	fvmptf 5981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. S /\ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR ) -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) )
215	1, 200, 214	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) )
216	215, 198	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
217	208	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> -u B = -u E )
218	1, 217	csbied 3376	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ -u B = -u E )
219	216, 218	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ -u B ) = ( -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - -u E ) )
220	141, 183, 219	3brtr3d 4425	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - -u [_ X / x ]_ B ) <_ ( -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - -u E ) )
221	90	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. CC )
222	221, 143	neg2subd 10022	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - -u [_ X / x ]_ B ) = ( [_ X / x ]_ B - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
223	97	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. CC )
224	223, 185	neg2subd 10022	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - -u E ) = ( E - ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
225	220, 222, 224	3brtr3d 4425	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) <_ ( E - ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
226	221, 143	negsubdi2d 10021	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) = ( [_ X / x ]_ B - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
227	223, 185	negsubdi2d 10021	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) = ( E - ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
228	225, 226, 227	3brtr4d 4426	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) )
229	98, 91	lenegd 10213	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <-> -u ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) ) )
230	228, 229	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) )
231	73, 98, 91, 116, 230	letrd 9809	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) )
232		1red 9676	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
233		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x D <_ X
234		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x 0
235		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x <_
236	234, 235, 161	nfbr 4440	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x 0 <_ [_ X / x ]_ B
237	233, 236	nfim 2023	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( D <_ X -> 0 <_ [_ X / x ]_ B )
238		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( D <_ x <-> D <_ X ) )
239	171	breq2d 4407	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) )
240	238, 239	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( ( D <_ x -> 0 <_ B ) <-> ( D <_ X -> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
241	237, 240	rspc 3130	. . . . . . . . 9 |- ( X e. S -> ( A. x e. S ( D <_ x -> 0 <_ B ) -> ( D <_ X -> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
242	33, 103, 105, 241	syl3c 62	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ [_ X / x ]_ B )
243		fracle1 12072	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( X - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
244	74, 243	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
245	77, 232, 88, 242, 244	lemul1ad 10568	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) )
246	143	mulid2d 9679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) = [_ X / x ]_ B )
247	245, 246	breqtrd 4420	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ [_ X / x ]_ B )
248	89, 88, 45, 247	leadd1dd 10248	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
249	90, 88, 45	lesubadd2d 10233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <-> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
250	248, 249	mpbird 240	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
251	73, 91, 45, 231, 250	letrd 9809	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
252	21, 72	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) e. RR )
253		fracge0 12073	. . . . . . 7 |- ( X e. RR -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
254	74, 253	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
255	77, 88, 254, 242	mulge0d 10211	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
256	45, 89	addge02d 10223	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
257	255, 256	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
258	140	simpld 466	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) <_ ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) )
259	258, 216, 180	3brtr3d 4425	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
260	90, 97	lenegd 10213	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <-> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
261	259, 260	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
262		fracle1 12072	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. RR -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) <_ 1 )
263	92, 262	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) <_ 1 )
264	95, 232, 72, 112, 263	lemul1ad 10568	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) <_ ( 1 x. E ) )
265	185	mulid2d 9679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. E ) = E )
266	264, 265	breqtrd 4420	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) <_ E )
267	96, 72, 21, 266	leadd1dd 10248	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ ( E + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
268	185, 57	addcomd 9853	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
269	267, 268	breqtrd 4420	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
270	90, 97, 252, 261, 269	letrd 9809	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
271	45, 90, 252, 257, 270	letrd 9809	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
272	45, 21, 72	absdifled 13573	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) <_ E <-> ( ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) ) ) )
273	251, 271, 272	mpbir2and 936	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) <_ E )
274	60, 273	eqbrtrd 4416	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) <_ E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   [_csb 3349   C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   |_cfl 12059   abscabs 13374   sum_csu 13829   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  logfacbnd3  24230  log2sumbnd  24461