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Theorem dvfsum2 22986
Description: The reverse of dvfsumrlim 22983, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum2.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum2.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum2.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum2.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum2.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum2.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum2.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum2.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  <_  C )
dvfsum2.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsum2.0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
dvfsum2.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsum2.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsum2.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsum2.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsum2.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsum2.e  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  E )
Assertion
Ref Expression
dvfsum2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  E )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    x, E   
k, M, x    S, k, x    k, X, x   
k, Y, x    x, T    U, k, x    x, V    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    E( k)    G( x, k)    V( k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsum2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
2 fzfid 12186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
3 dvfsum2.b2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 11796 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum2.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum2.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 3149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  RR )
122, 11fsumrecl 13800 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum2.a . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2802 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  RR )
15 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
1615nfel1 2606 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR
17 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
1817eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
1916, 18rspc 3144 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
201, 14, 19sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
2112, 20resubcld 10047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )
22 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ x Y
23 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
24 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  -
2523, 24, 15nfov 6316 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
26 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
2726oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
2827sumeq1d 13767 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
2928, 17oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
30 dvfsum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
3122, 25, 29, 30fvmptf 5966 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
321, 21, 31syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
33 dvfsum2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
34 fzfid 12186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
35 elfzuz 11796 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3635, 6syl6eleqr 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
374, 36, 10syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
3834, 37fsumrecl 13800 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
39 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ A
4039nfel1 2606 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [_ X  /  x ]_ A  e.  RR
41 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  A  =  [_ X  /  x ]_ A )
4241eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
4340, 42rspc 3144 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
4433, 14, 43sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
4538, 44resubcld 10047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )
46 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ x X
47 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C
4847, 24, 39nfov 6316 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )
49 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  X
) )
5049oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
5150sumeq1d 13767 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
5251, 41oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5346, 48, 52, 30fvmptf 5966 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5433, 45, 53syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5532, 54oveq12d 6308 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
5655fveq2d 5869 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
5721recnd 9669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
5845recnd 9669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  CC )
5957, 58abssubd 13515 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  =  ( abs `  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
6056, 59eqtrd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
61 dvfsum2.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( T (,) +oo )
62 ioossre 11696 . . . . . . . . . 10  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
6361, 62eqsstri 3462 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
65 dvfsum2.b1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
66 dvfsum2.b3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
6764, 13, 65, 66dvmptrecl 22976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
6867ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
69 dvfsum2.e . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  E )
7069eleq1d 2513 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  e.  RR  <->  E  e.  RR ) )
7170rspcv 3146 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  E  e.  RR ) )
721, 68, 71sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7321, 72resubcld 10047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  e.  RR )
7463, 33sseldi 3430 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
75 reflcl 12032 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
7774, 76resubcld 10047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
78 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ m  B  e.  RR
79 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
8079nfel1 2606 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
81 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
8281eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
8378, 80, 82cbvral 3015 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  <->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
8468, 83sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
85 csbeq1 3366 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
8685eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
8786rspcv 3146 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
8833, 84, 87sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
8977, 88remulcld 9671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
9089, 45readdcld 9670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
9190, 88resubcld 10047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
9263, 1sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
93 reflcl 12032 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
9592, 94resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  RR )
9695, 72remulcld 9671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  e.  RR )
9796, 21readdcld 9670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
9897, 72resubcld 10047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  e.  RR )
99 fracge0 12040 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
10092, 99syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
101 dvfsum2.0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
102101expr 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( D  <_  x  ->  0  <_  B ) )
103102ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )
)
104 dvfsum2.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
105 dvfsum2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
106 dvfsum2.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
107104, 74, 92, 105, 106letrd 9792 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  Y )
108 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  Y ) )
10969breq2d 4414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  E ) )
110108, 109imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
( D  <_  x  ->  0  <_  B )  <->  ( D  <_  Y  ->  0  <_  E ) ) )
111110rspcv 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )  ->  ( D  <_  Y  ->  0  <_  E )
) )
1121, 103, 107, 111syl3c 63 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  E )
11395, 72, 100, 112mulge0d 10190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E ) )
11421, 96addge02d 10202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
115113, 114mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
11621, 97, 72, 115lesub1dd 10229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) )
117 dvfsum2.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
118 dvfsum2.md . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
119 dvfsum2.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
12013renegcld 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -u A  e.  RR )
12167renegcld 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  -u B  e.  RR )
1223renegcld 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  -u B  e.  RR )
123 reelprrecn 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
12513recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
126124, 125, 65, 66dvmptneg 22920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  -u A ) )  =  ( x  e.  S  |-> 
-u B ) )
1278negeqd 9869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  -u B  =  -u C )
128 dvfsum2.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
129 dvfsum2.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  <_  C )
13067adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S ) )  ->  B  e.  RR )
1311303adant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  B  e.  RR )
132 simp2r 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  -> 
k  e.  S )
133683ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
1349rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  ->  C  e.  RR ) )
135132, 133, 134sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  e.  RR )
136131, 135lenegd 10192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  -> 
( B  <_  C  <->  -u C  <_  -u B ) )
137129, 136mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  -u C  <_  -u B )
138 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) )
139 dvfsum2.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
14061, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139dvfsumlem3 22980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  <_  (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  /\  (
( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  <_  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
) ) )
141140simprd 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  <_  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
) )
14277recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
14388recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
144142, 143mulneg2d 10072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  =  -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
14538recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
14644recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  CC )
147145, 146neg2subd 10003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  ( [_ X  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
14837recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  CC )
14934, 148fsumneg 13848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  =  -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
150149oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
151145, 146negsubdi2d 10002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  =  ( [_ X  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
152147, 150, 1513eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )  =  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
153144, 152oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
15489recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  CC )
155154, 58negdid 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
156153, 155eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  =  -u (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
15790renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
158156, 157eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
159 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( X  -  ( |_ `  X ) )
160 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  x.
161 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
162161nfneg 9871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ X  /  x ]_ B
163159, 160, 162nfov 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )
164 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  +
165 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) -u C
16639nfneg 9871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ X  /  x ]_ A
167165, 24, 166nfov 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A )
168163, 164, 167nfov 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
169 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
170169, 49oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
171 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
172171negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
173170, 172oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  =  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B ) )
17450sumeq1d 13767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )
-u C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) -u C
)
17541negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  -u A  =  -u [_ X  /  x ]_ A )
176174, 175oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) -u C  -  -u A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )
177173, 176oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x
) ) -u C  -  -u A ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
17846, 168, 177, 138fvmptf 5966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
17933, 158, 178syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  -u [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )
-u C  -  -u [_ X  /  x ]_ A ) ) )
180179, 156eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  =  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
181 csbnegg 9872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  [_ X  /  x ]_ -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
18233, 181syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ -u B  =  -u [_ X  /  x ]_ B )
183180, 182oveq12d 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X )  -  [_ X  /  x ]_ -u B
)  =  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B ) )
18495recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  CC )
18572recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
186184, 185mulneg2d 10072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  =  -u (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E ) )
18712recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  CC )
18820recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
189187, 188neg2subd 10003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C ) )
19011recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  CC )
1912, 190fsumneg 13848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  =  -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
192191oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( -u sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
193187, 188negsubdi2d 10002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C ) )
194189, 192, 1933eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )  =  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
195186, 194oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
19696recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  e.  CC )
197196, 57negdid 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  -u ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
198195, 197eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
19997renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
200198, 199eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
201 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)
202 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) -u C
20315nfneg 9871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x -u
[_ Y  /  x ]_ A
204202, 24, 203nfov 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A )
205201, 164, 204nfov 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
206 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
207206, 26oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
20869negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  -u B  =  -u E )
209207, 208oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
) )
21027sumeq1d 13767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )
-u C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C
)
21117negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  -u A  =  -u [_ Y  /  x ]_ A )
212210, 211oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) -u C  -  -u A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )
213209, 212oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x
) ) -u C  -  -u A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  -u E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
21422, 205, 213, 138fvmptf 5966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) )
-u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
2151, 200, 214syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  -u E
)  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) -u C  -  -u [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
216215, 198eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
217208adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  -u B  =  -u E )
2181, 217csbied 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ -u B  =  -u E )
219216, 218oveq12d 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ -u B
)  =  ( -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
) )
220141, 183, 2193brtr3d 4432 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( -u (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
) )
22190recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
222221, 143neg2subd 10003 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  -u [_ X  /  x ]_ B )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
22397recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  CC )
224223, 185neg2subd 10003 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  -u E
)  =  ( E  -  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
225220, 222, 2243brtr3d 4432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  ( E  -  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
226221, 143negsubdi2d 10002 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
227223, 185negsubdi2d 10002 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  =  ( E  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
228225, 226, 2273brtr4d 4433 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  -u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) )
22998, 91lenegd 10192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <->  -u ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  -u ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E ) ) )
230228, 229mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  E )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
23173, 98, 91, 116, 230letrd 9792 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
232 1red 9658 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
233 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  D  <_  X
234 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
0
235 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <_
236234, 235, 161nfbr 4447 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
0  <_  [_ X  /  x ]_ B
237233, 236nfim 2003 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
238 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
239171breq2d 4414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
240238, 239imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( D  <_  x  ->  0  <_  B )  <->  ( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
241237, 240rspc 3144 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  -> 
0  <_  B )  ->  ( D  <_  X  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
24233, 103, 105, 241syl3c 63 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
243 fracle1 12039 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_ 
1 )
24474, 243syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
24577, 232, 88, 242, 244lemul1ad 10546 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
246143mulid2d 9661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
247245, 246breqtrd 4427 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
24889, 88, 45, 247leadd1dd 10227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
24990, 88, 45lesubadd2d 10212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <-> 
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
250248, 249mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
25173, 91, 45, 231, 250letrd 9792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
25221, 72readdcld 9670 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E )  e.  RR )
253 fracge0 12040 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
25474, 253syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
25577, 88, 254, 242mulge0d 10190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
25645, 89addge02d 10202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
257255, 256mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
258140simpld 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  -u B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  Y )  <_  (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  -u B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) )
-u C  -  -u A
) ) ) `  X ) )
259258, 216, 1803brtr3d 4432 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
26090, 97lenegd 10192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <->  -u ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  -u ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
261259, 260mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
262 fracle1 12039 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_ 
1 )
26392, 262syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_  1 )
26495, 232, 72, 112, 263lemul1ad 10546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <_  ( 1  x.  E ) )
265185mulid2d 9661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  =  E )
266264, 265breqtrd 4427 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  <_  E )
26796, 72, 21, 266leadd1dd 10227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( E  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
268185, 57addcomd 9835 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
269267, 268breqtrd 4427 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  E )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
27090, 97, 252, 261, 269letrd 9792 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E ) )
27145, 90, 252, 257, 270letrd 9792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E
) )
27245, 21, 72absdifled 13496 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )  <_  E  <->  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  E )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  E
) ) ) )
273251, 271, 272mpbir2and 933 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )  <_  E
)
27460, 273eqbrtrd 4423 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   [_csb 3363    C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   ...cfz 11784   |_cfl 12026   abscabs 13297   sum_csu 13752    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  24151  log2sumbnd  24382
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