Theorem dvfsum2 21642

Description: The reverse of dvfsumrlim 21639, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum2.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum2.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum2.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum2.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum2.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum2.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum2.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum2.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum2.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum2.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum2.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> B <_ C )
dvfsum2.g	|- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
dvfsum2.0	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x ) ) -> 0 <_ B )
dvfsum2.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsum2.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsum2.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsum2.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsum2.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsum2.e	|- ( x = Y -> B = E )

Assertion

Ref	Expression
dvfsum2	|- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) <_ E )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   x, E   k, M, x   S, k, x   k, X, x   k, Y, x   x, T   U, k, x   x, V   x, Z

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   E( k)   G( x, k)   V( k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsum2

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. S )
2		fzfid 11915	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) e. Fin )
3		dvfsum2.b2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
4	3	ralrimiva 2830	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. Z B e. RR )
5		elfzuz 11569	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
6		dvfsum2.z	. . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
7	5, 6	syl6eleqr 2553	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -> k e. Z )
8		dvfsum2.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> B = C )
9	8	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( B e. RR <-> C e. RR ) )
10	9	rspccva 3178	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. Z B e. RR /\ k e. Z ) -> C e. RR )
11	4, 7, 10	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) ) -> C e. RR )
12	2, 11	fsumrecl 13332	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C e. RR )
13		dvfsum2.a	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
14	13	ralrimiva 2830	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S A e. RR )
15		nfcsb1v 3414	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ Y / x ]_ A
16	15	nfel1 2632	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ Y / x ]_ A e. RR
17		csbeq1a 3407	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> A = [_ Y / x ]_ A )
18	17	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( A e. RR <-> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
19	16, 18	rspc 3173	. . . . . . . 8 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S A e. RR -> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
20	1, 14, 19	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. RR )
21	12, 20	resubcld 9890	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
22		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ x Y
23		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C
24		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ x -
25	23, 24, 15	nfov 6226	. . . . . . 7 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A )
26		fveq2 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` Y ) )
27	26	oveq2d 6219	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` Y ) ) )
28	27	sumeq1d 13299	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
29	28, 17	oveq12d 6221	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
30		dvfsum2.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
31	22, 25, 29, 30	fvmptf 5902	. . . . . 6 |- ( ( Y e. S /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. RR ) -> ( G ` Y ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
32	1, 21, 31	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` Y ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
33		dvfsum2.1	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. S )
34		fzfid 11915	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
35		elfzuz 11569	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
36	35, 6	syl6eleqr 2553	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
37	4, 36, 10	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. RR )
38	34, 37	fsumrecl 13332	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. RR )
39		nfcsb1v 3414	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ X / x ]_ A
40	39	nfel1 2632	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ X / x ]_ A e. RR
41		csbeq1a 3407	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> A = [_ X / x ]_ A )
42	41	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( A e. RR <-> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
43	40, 42	rspc 3173	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> ( A. x e. S A e. RR -> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
44	33, 14, 43	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. RR )
45	38, 44	resubcld 9890	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
46		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ x X
47		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C
48	47, 24, 39	nfov 6226	. . . . . . 7 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A )
49		fveq2 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` X ) )
50	49	oveq2d 6219	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
51	50	sumeq1d 13299	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
52	51, 41	oveq12d 6221	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
53	46, 48, 52, 30	fvmptf 5902	. . . . . 6 |- ( ( X e. S /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. RR ) -> ( G ` X ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
54	33, 45, 53	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` X ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
55	32, 54	oveq12d 6221	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
56	55	fveq2d 5806	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
57	21	recnd 9526	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
58	45	recnd 9526	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. CC )
59	57, 58	abssubd 13060	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
60	56, 59	eqtrd 2495	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
61		dvfsum2.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( T (,) +oo )
62		ioossre 11471	. . . . . . . . . 10 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
63	61, 62	eqsstri 3497	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ RR )
65		dvfsum2.b1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
66		dvfsum2.b3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
67	64, 13, 65, 66	dvmptrecl 21632	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
68	67	ralrimiva 2830	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. S B e. RR )
69		dvfsum2.e	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> B = E )
70	69	eleq1d 2523	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( B e. RR <-> E e. RR ) )
71	70	rspcv 3175	. . . . . 6 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S B e. RR -> E e. RR ) )
72	1, 68, 71	sylc 60	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
73	21, 72	resubcld 9890	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) e. RR )
74	63, 33	sseldi 3465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
75		reflcl 11766	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
77	74, 76	resubcld 9890	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. RR )
78		nfv 1674	. . . . . . . . . 10 |- F/ m B e. RR
79		nfcsb1v 3414	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ m / x ]_ B
80	79	nfel1 2632	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ m / x ]_ B e. RR
81		csbeq1a 3407	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = m -> B = [_ m / x ]_ B )
82	81	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( x = m -> ( B e. RR <-> [_ m / x ]_ B e. RR ) )
83	78, 80, 82	cbvral 3049	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. S B e. RR <-> A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR )
84	68, 83	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR )
85		csbeq1 3401	. . . . . . . . . 10 |- ( m = X -> [_ m / x ]_ B = [_ X / x ]_ B )
86	85	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( m = X -> ( [_ m / x ]_ B e. RR <-> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
87	86	rspcv 3175	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> ( A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR -> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
88	33, 84, 87	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. RR )
89	77, 88	remulcld 9528	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
90	89, 45	readdcld 9527	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
91	90, 88	resubcld 9890	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) e. RR )
92	63, 1	sseldi 3465	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR )
93		reflcl 11766	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. RR -> ( |_ ` Y ) e. RR )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. RR )
95	92, 94	resubcld 9890	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) e. RR )
96	95, 72	remulcld 9528	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) e. RR )
97	96, 21	readdcld 9527	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
98	97, 72	resubcld 9890	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) e. RR )
99		fracge0 11774	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. RR -> 0 <_ ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
100	92, 99	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
101		dvfsum2.0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x ) ) -> 0 <_ B )
102	101	expr 615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( D <_ x -> 0 <_ B ) )
103	102	ralrimiva 2830	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. S ( D <_ x -> 0 <_ B ) )
104		dvfsum2.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR )
105		dvfsum2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D <_ X )
106		dvfsum2.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X <_ Y )
107	104, 74, 92, 105, 106	letrd 9642	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D <_ Y )
108		breq2 4407	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( D <_ x <-> D <_ Y ) )
109	69	breq2d 4415	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ E ) )
110	108, 109	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( ( D <_ x -> 0 <_ B ) <-> ( D <_ Y -> 0 <_ E ) ) )
111	110	rspcv 3175	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S ( D <_ x -> 0 <_ B ) -> ( D <_ Y -> 0 <_ E ) ) )
112	1, 103, 107, 111	syl3c 61	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ E )
113	95, 72, 100, 112	mulge0d 10030	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) )
114	21, 96	addge02d 10042	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) <-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
115	113, 114	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
116	21, 97, 72, 115	lesub1dd 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) )
117		dvfsum2.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
118		dvfsum2.md	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
119		dvfsum2.t	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. RR )
120	13	renegcld 9889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> -u A e. RR )
121	67	renegcld 9889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> -u B e. RR )
122	3	renegcld 9889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> -u B e. RR )
123		reelprrecn 9488	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
125	13	recnd 9526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
126	124, 125, 65, 66	dvmptneg 21576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> -u A ) ) = ( x e. S |-> -u B ) )
127	8	negeqd 9718	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> -u B = -u C )
128		dvfsum2.u	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. RR* )
129		dvfsum2.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> B <_ C )
130	67	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) ) -> B e. RR )
131	130	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> B e. RR )
132		simp2r 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> k e. S )
133	68	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> A. x e. S B e. RR )
134	9	rspcv 3175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. S -> ( A. x e. S B e. RR -> C e. RR ) )
135	132, 133, 134	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C e. RR )
136	131, 135	lenegd 10032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> ( B <_ C <-> -u C <_ -u B ) )
137	129, 136	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> -u C <_ -u B )
138		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) )
139		dvfsum2.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y <_ U )
140	61, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139	dvfsumlem3 21636	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) <_ ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) /\ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ -u B ) <_ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ -u B ) ) )
141	140	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ -u B ) <_ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ -u B ) )
142	77	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. CC )
143	88	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. CC )
144	142, 143	mulneg2d 9912	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) = -u ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
145	38	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
146	44	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. CC )
147	145, 146	neg2subd 9850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - -u [_ X / x ]_ A ) = ( [_ X / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
148	37	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. CC )
149	34, 148	fsumneg 13375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C = -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
150	149	oveq1d 6218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) = ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - -u [_ X / x ]_ A ) )
151	145, 146	negsubdi2d 9849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) = ( [_ X / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
152	147, 150, 151	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) = -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
153	144, 152	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
154	89	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. CC )
155	154, 58	negdid 9846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
156	153, 155	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) = -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
157	90	renegcld 9889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
158	156, 157	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
159		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( X - ( |_ ` X ) )
160		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x x.
161		nfcsb1v 3414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ X / x ]_ B
162	161	nfneg 9720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x -u [_ X / x ]_ B
163	159, 160, 162	nfov 6226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B )
164		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x +
165		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C
166	39	nfneg 9720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x -u [_ X / x ]_ A
167	165, 24, 166	nfov 6226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A )
168	163, 164, 167	nfov 6226	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) )
169		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> x = X )
170	169, 49	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( X - ( |_ ` X ) ) )
171		csbeq1a 3407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> B = [_ X / x ]_ B )
172	171	negeqd 9718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> -u B = -u [_ X / x ]_ B )
173	170, 172	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) = ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) )
174	50	sumeq1d 13299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C )
175	41	negeqd 9718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> -u A = -u [_ X / x ]_ A )
176	174, 175	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) )
177	173, 176	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) )
178	46, 168, 177, 138	fvmptf 5902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. S /\ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) e. RR ) -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) )
179	33, 158, 178	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) )
180	179, 156	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) = -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
181		csbnegg 9721	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. S -> [_ X / x ]_ -u B = -u [_ X / x ]_ B )
182	33, 181	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ X / x ]_ -u B = -u [_ X / x ]_ B )
183	180, 182	oveq12d 6221	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ -u B ) = ( -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - -u [_ X / x ]_ B ) )
184	95	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) e. CC )
185	72	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. CC )
186	184, 185	mulneg2d 9912	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) = -u ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) )
187	12	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C e. CC )
188	20	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
189	187, 188	neg2subd 9850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - -u [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C ) )
190	11	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) ) -> C e. CC )
191	2, 190	fsumneg 13375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C = -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
192	191	oveq1d 6218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) = ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - -u [_ Y / x ]_ A ) )
193	187, 188	negsubdi2d 9849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C ) )
194	189, 192, 193	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) = -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
195	186, 194	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
196	96	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) e. CC )
197	196, 57	negdid 9846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
198	195, 197	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
199	97	renegcld 9889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
200	198, 199	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
201		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E )
202		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C
203	15	nfneg 9720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x -u [_ Y / x ]_ A
204	202, 24, 203	nfov 6226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A )
205	201, 164, 204	nfov 6226	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) )
206		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = Y -> x = Y )
207	206, 26	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
208	69	negeqd 9718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> -u B = -u E )
209	207, 208	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) = ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) )
210	27	sumeq1d 13299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C )
211	17	negeqd 9718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> -u A = -u [_ Y / x ]_ A )
212	210, 211	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) )
213	209, 212	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Y -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) )
214	22, 205, 213, 138	fvmptf 5902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. S /\ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR ) -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) )
215	1, 200, 214	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) )
216	215, 198	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
217	208	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> -u B = -u E )
218	1, 217	csbied 3425	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ -u B = -u E )
219	216, 218	oveq12d 6221	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ -u B ) = ( -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - -u E ) )
220	141, 183, 219	3brtr3d 4432	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - -u [_ X / x ]_ B ) <_ ( -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - -u E ) )
221	90	recnd 9526	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. CC )
222	221, 143	neg2subd 9850	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - -u [_ X / x ]_ B ) = ( [_ X / x ]_ B - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
223	97	recnd 9526	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. CC )
224	223, 185	neg2subd 9850	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - -u E ) = ( E - ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
225	220, 222, 224	3brtr3d 4432	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) <_ ( E - ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
226	221, 143	negsubdi2d 9849	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) = ( [_ X / x ]_ B - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
227	223, 185	negsubdi2d 9849	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) = ( E - ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
228	225, 226, 227	3brtr4d 4433	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) )
229	98, 91	lenegd 10032	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <-> -u ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) ) )
230	228, 229	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) )
231	73, 98, 91, 116, 230	letrd 9642	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) )
232		1red 9515	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
233		nfv 1674	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x D <_ X
234		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x 0
235		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x <_
236	234, 235, 161	nfbr 4447	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x 0 <_ [_ X / x ]_ B
237	233, 236	nfim 1858	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( D <_ X -> 0 <_ [_ X / x ]_ B )
238		breq2 4407	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( D <_ x <-> D <_ X ) )
239	171	breq2d 4415	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) )
240	238, 239	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( ( D <_ x -> 0 <_ B ) <-> ( D <_ X -> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
241	237, 240	rspc 3173	. . . . . . . . 9 |- ( X e. S -> ( A. x e. S ( D <_ x -> 0 <_ B ) -> ( D <_ X -> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
242	33, 103, 105, 241	syl3c 61	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ [_ X / x ]_ B )
243		fracle1 11773	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( X - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
244	74, 243	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
245	77, 232, 88, 242, 244	lemul1ad 10386	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) )
246	143	mulid2d 9518	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) = [_ X / x ]_ B )
247	245, 246	breqtrd 4427	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ [_ X / x ]_ B )
248	89, 88, 45, 247	leadd1dd 10067	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
249	90, 88, 45	lesubadd2d 10052	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <-> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
250	248, 249	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
251	73, 91, 45, 231, 250	letrd 9642	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
252	21, 72	readdcld 9527	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) e. RR )
253		fracge0 11774	. . . . . . 7 |- ( X e. RR -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
254	74, 253	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
255	77, 88, 254, 242	mulge0d 10030	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
256	45, 89	addge02d 10042	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
257	255, 256	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
258	140	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) <_ ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) )
259	258, 216, 180	3brtr3d 4432	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
260	90, 97	lenegd 10032	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <-> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
261	259, 260	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
262		fracle1 11773	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. RR -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) <_ 1 )
263	92, 262	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) <_ 1 )
264	95, 232, 72, 112, 263	lemul1ad 10386	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) <_ ( 1 x. E ) )
265	185	mulid2d 9518	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. E ) = E )
266	264, 265	breqtrd 4427	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) <_ E )
267	96, 72, 21, 266	leadd1dd 10067	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ ( E + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
268	185, 57	addcomd 9685	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
269	267, 268	breqtrd 4427	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
270	90, 97, 252, 261, 269	letrd 9642	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
271	45, 90, 252, 257, 270	letrd 9642	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
272	45, 21, 72	absdifled 13042	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) <_ E <-> ( ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) ) ) )
273	251, 271, 272	mpbir2and 913	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) <_ E )
274	60, 273	eqbrtrd 4423	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) <_ E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   [_csb 3398   C_ wss 3439   {cpr 3990   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397   + caddc 9399   x. cmul 9401   +oocpnf 9529   RR*cxr 9531   <_ cle 9533   - cmin 9709   -ucneg 9710   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   (,)cioo 11414   ...cfz 11557   |_cfl 11760   abscabs 12844   sum_csu 13284   _D cdv 21474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-cmp 19125  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478

This theorem is referenced by:  logfacbnd3  22698  log2sumbnd  22929