Theorem dvfsum2 22604

Description: The reverse of dvfsumrlim 22601, when comparing a finite sum of increasing terms to an integral. In this case there is no point in stating the limit properties, because the terms of the sum aren't approaching zero, but there is nevertheless still a natural asymptotic statement that can be made. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum2.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum2.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum2.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum2.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum2.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum2.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum2.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum2.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum2.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum2.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum2.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> B <_ C )
dvfsum2.g	|- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
dvfsum2.0	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x ) ) -> 0 <_ B )
dvfsum2.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsum2.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsum2.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsum2.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsum2.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsum2.e	|- ( x = Y -> B = E )

Assertion

Ref	Expression
dvfsum2	|- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) <_ E )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   x, E   k, M, x   S, k, x   k, X, x   k, Y, x   x, T   U, k, x   x, V   x, Z

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   E( k)   G( x, k)   V( k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsum2

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. S )
2		fzfid 12068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) e. Fin )
3		dvfsum2.b2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
4	3	ralrimiva 2868	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. Z B e. RR )
5		elfzuz 11687	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
6		dvfsum2.z	. . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
7	5, 6	syl6eleqr 2553	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -> k e. Z )
8		dvfsum2.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> B = C )
9	8	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( B e. RR <-> C e. RR ) )
10	9	rspccva 3206	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. Z B e. RR /\ k e. Z ) -> C e. RR )
11	4, 7, 10	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) ) -> C e. RR )
12	2, 11	fsumrecl 13641	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C e. RR )
13		dvfsum2.a	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
14	13	ralrimiva 2868	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S A e. RR )
15		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ Y / x ]_ A
16	15	nfel1 2632	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ Y / x ]_ A e. RR
17		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> A = [_ Y / x ]_ A )
18	17	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( A e. RR <-> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
19	16, 18	rspc 3201	. . . . . . . 8 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S A e. RR -> [_ Y / x ]_ A e. RR ) )
20	1, 14, 19	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. RR )
21	12, 20	resubcld 9983	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. RR )
22		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ x Y
23		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C
24		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ x -
25	23, 24, 15	nfov 6296	. . . . . . 7 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A )
26		fveq2 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` Y ) )
27	26	oveq2d 6286	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` Y ) ) )
28	27	sumeq1d 13608	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
29	28, 17	oveq12d 6288	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
30		dvfsum2.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
31	22, 25, 29, 30	fvmptf 5948	. . . . . 6 |- ( ( Y e. S /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. RR ) -> ( G ` Y ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
32	1, 21, 31	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` Y ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
33		dvfsum2.1	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. S )
34		fzfid 12068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
35		elfzuz 11687	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
36	35, 6	syl6eleqr 2553	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
37	4, 36, 10	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. RR )
38	34, 37	fsumrecl 13641	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. RR )
39		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ X / x ]_ A
40	39	nfel1 2632	. . . . . . . . 9 |- F/ x [_ X / x ]_ A e. RR
41		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> A = [_ X / x ]_ A )
42	41	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( A e. RR <-> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
43	40, 42	rspc 3201	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> ( A. x e. S A e. RR -> [_ X / x ]_ A e. RR ) )
44	33, 14, 43	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. RR )
45	38, 44	resubcld 9983	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. RR )
46		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ x X
47		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C
48	47, 24, 39	nfov 6296	. . . . . . 7 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A )
49		fveq2 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` X ) )
50	49	oveq2d 6286	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
51	50	sumeq1d 13608	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
52	51, 41	oveq12d 6288	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
53	46, 48, 52, 30	fvmptf 5948	. . . . . 6 |- ( ( X e. S /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. RR ) -> ( G ` X ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
54	33, 45, 53	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` X ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
55	32, 54	oveq12d 6288	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
56	55	fveq2d 5852	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
57	21	recnd 9611	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
58	45	recnd 9611	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) e. CC )
59	57, 58	abssubd 13369	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
60	56, 59	eqtrd 2495	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
61		dvfsum2.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( T (,) +oo )
62		ioossre 11589	. . . . . . . . . 10 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
63	61, 62	eqsstri 3519	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ RR )
65		dvfsum2.b1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
66		dvfsum2.b3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
67	64, 13, 65, 66	dvmptrecl 22594	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
68	67	ralrimiva 2868	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. S B e. RR )
69		dvfsum2.e	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> B = E )
70	69	eleq1d 2523	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( B e. RR <-> E e. RR ) )
71	70	rspcv 3203	. . . . . 6 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S B e. RR -> E e. RR ) )
72	1, 68, 71	sylc 60	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
73	21, 72	resubcld 9983	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) e. RR )
74	63, 33	sseldi 3487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
75		reflcl 11914	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
77	74, 76	resubcld 9983	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. RR )
78		nfv 1712	. . . . . . . . . 10 |- F/ m B e. RR
79		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ m / x ]_ B
80	79	nfel1 2632	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ m / x ]_ B e. RR
81		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = m -> B = [_ m / x ]_ B )
82	81	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( x = m -> ( B e. RR <-> [_ m / x ]_ B e. RR ) )
83	78, 80, 82	cbvral 3077	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. S B e. RR <-> A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR )
84	68, 83	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR )
85		csbeq1 3423	. . . . . . . . . 10 |- ( m = X -> [_ m / x ]_ B = [_ X / x ]_ B )
86	85	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( m = X -> ( [_ m / x ]_ B e. RR <-> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
87	86	rspcv 3203	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> ( A. m e. S [_ m / x ]_ B e. RR -> [_ X / x ]_ B e. RR ) )
88	33, 84, 87	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. RR )
89	77, 88	remulcld 9613	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. RR )
90	89, 45	readdcld 9612	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
91	90, 88	resubcld 9983	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) e. RR )
92	63, 1	sseldi 3487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR )
93		reflcl 11914	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. RR -> ( |_ ` Y ) e. RR )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. RR )
95	92, 94	resubcld 9983	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) e. RR )
96	95, 72	remulcld 9613	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) e. RR )
97	96, 21	readdcld 9612	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
98	97, 72	resubcld 9983	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) e. RR )
99		fracge0 11922	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. RR -> 0 <_ ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
100	92, 99	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
101		dvfsum2.0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x ) ) -> 0 <_ B )
102	101	expr 613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( D <_ x -> 0 <_ B ) )
103	102	ralrimiva 2868	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. S ( D <_ x -> 0 <_ B ) )
104		dvfsum2.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR )
105		dvfsum2.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D <_ X )
106		dvfsum2.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X <_ Y )
107	104, 74, 92, 105, 106	letrd 9728	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D <_ Y )
108		breq2 4443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( D <_ x <-> D <_ Y ) )
109	69	breq2d 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ E ) )
110	108, 109	imbi12d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( ( D <_ x -> 0 <_ B ) <-> ( D <_ Y -> 0 <_ E ) ) )
111	110	rspcv 3203	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S ( D <_ x -> 0 <_ B ) -> ( D <_ Y -> 0 <_ E ) ) )
112	1, 103, 107, 111	syl3c 61	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ E )
113	95, 72, 100, 112	mulge0d 10125	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) )
114	21, 96	addge02d 10137	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) <-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
115	113, 114	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
116	21, 97, 72, 115	lesub1dd 10164	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) )
117		dvfsum2.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
118		dvfsum2.md	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
119		dvfsum2.t	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. RR )
120	13	renegcld 9982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> -u A e. RR )
121	67	renegcld 9982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> -u B e. RR )
122	3	renegcld 9982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> -u B e. RR )
123		reelprrecn 9573	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. { RR , CC }
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
125	13	recnd 9611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
126	124, 125, 65, 66	dvmptneg 22538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> -u A ) ) = ( x e. S |-> -u B ) )
127	8	negeqd 9805	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> -u B = -u C )
128		dvfsum2.u	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. RR* )
129		dvfsum2.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> B <_ C )
130	67	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) ) -> B e. RR )
131	130	3adant3 1014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> B e. RR )
132		simp2r 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> k e. S )
133	68	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> A. x e. S B e. RR )
134	9	rspcv 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. S -> ( A. x e. S B e. RR -> C e. RR ) )
135	132, 133, 134	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C e. RR )
136	131, 135	lenegd 10127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> ( B <_ C <-> -u C <_ -u B ) )
137	129, 136	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> -u C <_ -u B )
138		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) )
139		dvfsum2.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y <_ U )
140	61, 6, 117, 104, 118, 119, 120, 121, 122, 126, 127, 128, 137, 138, 33, 1, 105, 106, 139	dvfsumlem3 22598	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) <_ ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) /\ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ -u B ) <_ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ -u B ) ) )
141	140	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ -u B ) <_ ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ -u B ) )
142	77	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) e. CC )
143	88	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> [_ X / x ]_ B e. CC )
144	142, 143	mulneg2d 10006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) = -u ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
145	38	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
146	44	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [_ X / x ]_ A e. CC )
147	145, 146	neg2subd 9939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - -u [_ X / x ]_ A ) = ( [_ X / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
148	37	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. CC )
149	34, 148	fsumneg 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C = -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
150	149	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) = ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - -u [_ X / x ]_ A ) )
151	145, 146	negsubdi2d 9938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) = ( [_ X / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )
152	147, 150, 151	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) = -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
153	144, 152	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
154	89	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) e. CC )
155	154, 58	negdid 9935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
156	153, 155	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) = -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
157	90	renegcld 9982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
158	156, 157	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) e. RR )
159		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( X - ( |_ ` X ) )
160		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x x.
161		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ X / x ]_ B
162	161	nfneg 9807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x -u [_ X / x ]_ B
163	159, 160, 162	nfov 6296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B )
164		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x +
165		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C
166	39	nfneg 9807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x -u [_ X / x ]_ A
167	165, 24, 166	nfov 6296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A )
168	163, 164, 167	nfov 6296	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) )
169		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> x = X )
170	169, 49	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( X - ( |_ ` X ) ) )
171		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> B = [_ X / x ]_ B )
172	171	negeqd 9805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> -u B = -u [_ X / x ]_ B )
173	170, 172	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) = ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) )
174	50	sumeq1d 13608	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C )
175	41	negeqd 9805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> -u A = -u [_ X / x ]_ A )
176	174, 175	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) )
177	173, 176	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) )
178	46, 168, 177, 138	fvmptf 5948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. S /\ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) e. RR ) -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) )
179	33, 158, 178	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) = ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. -u [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -u C - -u [_ X / x ]_ A ) ) )
180	179, 156	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) = -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
181		csbnegg 9808	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. S -> [_ X / x ]_ -u B = -u [_ X / x ]_ B )
182	33, 181	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ X / x ]_ -u B = -u [_ X / x ]_ B )
183	180, 182	oveq12d 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) - [_ X / x ]_ -u B ) = ( -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - -u [_ X / x ]_ B ) )
184	95	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) e. CC )
185	72	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. CC )
186	184, 185	mulneg2d 10006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) = -u ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) )
187	12	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C e. CC )
188	20	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
189	187, 188	neg2subd 9939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - -u [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C ) )
190	11	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) ) -> C e. CC )
191	2, 190	fsumneg 13687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C = -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
192	191	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) = ( -u sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - -u [_ Y / x ]_ A ) )
193	187, 188	negsubdi2d 9938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( [_ Y / x ]_ A - sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C ) )
194	189, 192, 193	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) = -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
195	186, 194	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
196	96	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) e. CC )
197	196, 57	negdid 9935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( -u ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + -u ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
198	195, 197	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
199	97	renegcld 9982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
200	198, 199	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR )
201		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E )
202		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C
203	15	nfneg 9807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x -u [_ Y / x ]_ A
204	202, 24, 203	nfov 6296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A )
205	201, 164, 204	nfov 6296	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) )
206		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = Y -> x = Y )
207	206, 26	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
208	69	negeqd 9805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> -u B = -u E )
209	207, 208	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) = ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) )
210	27	sumeq1d 13608	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C )
211	17	negeqd 9805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> -u A = -u [_ Y / x ]_ A )
212	210, 211	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) )
213	209, 212	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Y -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) )
214	22, 205, 213, 138	fvmptf 5948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. S /\ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) e. RR ) -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) )
215	1, 200, 214	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. -u E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) -u C - -u [_ Y / x ]_ A ) ) )
216	215, 198	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) = -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
217	208	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> -u B = -u E )
218	1, 217	csbied 3447	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ -u B = -u E )
219	216, 218	oveq12d 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) - [_ Y / x ]_ -u B ) = ( -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - -u E ) )
220	141, 183, 219	3brtr3d 4468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - -u [_ X / x ]_ B ) <_ ( -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - -u E ) )
221	90	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) e. CC )
222	221, 143	neg2subd 9939	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - -u [_ X / x ]_ B ) = ( [_ X / x ]_ B - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
223	97	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. CC )
224	223, 185	neg2subd 9939	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - -u E ) = ( E - ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
225	220, 222, 224	3brtr3d 4468	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( [_ X / x ]_ B - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) <_ ( E - ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
226	221, 143	negsubdi2d 9938	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) = ( [_ X / x ]_ B - ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
227	223, 185	negsubdi2d 9938	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) = ( E - ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) )
228	225, 226, 227	3brtr4d 4469	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) )
229	98, 91	lenegd 10127	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <-> -u ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ -u ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) ) )
230	228, 229	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) - E ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) )
231	73, 98, 91, 116, 230	letrd 9728	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) )
232		1red 9600	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
233		nfv 1712	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x D <_ X
234		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x 0
235		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x <_
236	234, 235, 161	nfbr 4483	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x 0 <_ [_ X / x ]_ B
237	233, 236	nfim 1925	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( D <_ X -> 0 <_ [_ X / x ]_ B )
238		breq2 4443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( D <_ x <-> D <_ X ) )
239	171	breq2d 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) )
240	238, 239	imbi12d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( ( D <_ x -> 0 <_ B ) <-> ( D <_ X -> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
241	237, 240	rspc 3201	. . . . . . . . 9 |- ( X e. S -> ( A. x e. S ( D <_ x -> 0 <_ B ) -> ( D <_ X -> 0 <_ [_ X / x ]_ B ) ) )
242	33, 103, 105, 241	syl3c 61	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ [_ X / x ]_ B )
243		fracle1 11921	. . . . . . . . 9 |- ( X e. RR -> ( X - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
244	74, 243	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X - ( |_ ` X ) ) <_ 1 )
245	77, 232, 88, 242, 244	lemul1ad 10480	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) )
246	143	mulid2d 9603	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 x. [_ X / x ]_ B ) = [_ X / x ]_ B )
247	245, 246	breqtrd 4463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <_ [_ X / x ]_ B )
248	89, 88, 45, 247	leadd1dd 10162	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
249	90, 88, 45	lesubadd2d 10147	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <-> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( [_ X / x ]_ B + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
250	248, 249	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) - [_ X / x ]_ B ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
251	73, 91, 45, 231, 250	letrd 9728	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) )
252	21, 72	readdcld 9612	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) e. RR )
253		fracge0 11922	. . . . . . 7 |- ( X e. RR -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
254	74, 253	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( X - ( |_ ` X ) ) )
255	77, 88, 254, 242	mulge0d 10125	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) )
256	45, 89	addge02d 10137	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) <-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
257	255, 256	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
258	140	simpld 457	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` Y ) <_ ( ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. -u B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) -u C - -u A ) ) ) ` X ) )
259	258, 216, 180	3brtr3d 4468	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) )
260	90, 97	lenegd 10127	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <-> -u ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ -u ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) ) )
261	259, 260	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
262		fracle1 11921	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. RR -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) <_ 1 )
263	92, 262	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) <_ 1 )
264	95, 232, 72, 112, 263	lemul1ad 10480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) <_ ( 1 x. E ) )
265	185	mulid2d 9603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. E ) = E )
266	264, 265	breqtrd 4463	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) <_ E )
267	96, 72, 21, 266	leadd1dd 10162	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ ( E + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
268	185, 57	addcomd 9771	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
269	267, 268	breqtrd 4463	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. E ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
270	90, 97, 252, 261, 269	letrd 9728	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X - ( |_ ` X ) ) x. [_ X / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
271	45, 90, 252, 257, 270	letrd 9728	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) )
272	45, 21, 72	absdifled 13351	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) <_ E <-> ( ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) - E ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) /\ ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) <_ ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + E ) ) ) )
273	251, 271, 272	mpbir2and 920	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ X / x ]_ A ) - ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) ) <_ E )
274	60, 273	eqbrtrd 4459	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( G ` Y ) - ( G ` X ) ) ) <_ E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   [_csb 3420   C_ wss 3461   {cpr 4018   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   (,)cioo 11532   ...cfz 11675   |_cfl 11908   abscabs 13152   sum_csu 13593   _D cdv 22436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440

This theorem is referenced by:  logfacbnd3  23699  log2sumbnd  23930