MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfre Structured version   Unicode version

Theorem dvfre 21405
Description: The derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvfre  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )

Proof of Theorem dvfre
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 21362 . . 3  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
2 ffn 5554 . . 3  |-  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR 
_D  F ) --> CC 
->  ( RR  _D  F
)  Fn  dom  ( RR  _D  F ) )
31, 2mp1i 12 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
)  Fn  dom  ( RR  _D  F ) )
41ffvelrni 5837 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  ( RR 
_D  F )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  e.  CC )
54adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  e.  CC )
6 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
7 fvco3 5763 . . . . . 6  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC 
/\  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( *  o.  ( RR  _D  F ) ) `
 x )  =  ( * `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
81, 6, 7sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( *  o.  ( RR  _D  F ) ) `
 x )  =  ( * `  (
( RR  _D  F
) `  x )
) )
9 ax-resscn 9331 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
10 fss 5562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : A --> CC )
119, 10mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> CC )
12 dvcj 21404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( RR  _D  (
*  o.  F ) )  =  ( *  o.  ( RR  _D  F ) ) )
1311, 12sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( RR  _D  (
*  o.  F ) )  =  ( *  o.  ( RR  _D  F ) ) )
14 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> RR  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
1514adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( F `  y )  e.  RR )
1615cjred 12707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( * `  ( F `  y
) )  =  ( F `  y ) )
1716mpteq2dva 4373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( y  e.  A  |->  ( * `  ( F `  y )
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( F `  y ) ) )
1815recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( F `  y )  e.  CC )
19 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  F : A --> RR )
2019feqmptd 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
21 cjf 12585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  * : CC --> CC
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  * : CC --> CC )
2322feqmptd 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  *  =  ( z  e.  CC  |->  ( * `  z ) ) )
24 fveq2 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  (
* `  z )  =  ( * `  ( F `  y ) ) )
2518, 20, 23, 24fmptco 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( *  o.  F
)  =  ( y  e.  A  |->  ( * `
 ( F `  y ) ) ) )
2617, 25, 203eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( *  o.  F
)  =  F )
2726oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( RR  _D  (
*  o.  F ) )  =  ( RR 
_D  F ) )
2813, 27eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( *  o.  ( RR  _D  F ) )  =  ( RR  _D  F ) )
2928fveq1d 5688 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( *  o.  ( RR  _D  F
) ) `  x
)  =  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( *  o.  ( RR  _D  F ) ) `
 x )  =  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )
318, 30eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
* `  ( ( RR  _D  F ) `  x ) )  =  ( ( RR  _D  F ) `  x
) )
325, 31cjrebd 12683 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  e.  RR )
3332ralrimiva 2794 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  ->  A. x  e.  dom  ( RR  _D  F
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  RR )
34 ffnfv 5864 . 2  |-  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR 
_D  F ) --> RR  <->  ( ( RR  _D  F
)  Fn  dom  ( RR  _D  F )  /\  A. x  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  e.  RR ) )
353, 33, 34sylanbrc 664 1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323    e. cmpt 4345   dom cdm 4835    o. ccom 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   *ccj 12577    _D cdv 21318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-icc 11299  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-rest 14353  df-topn 14354  df-topgen 14374  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322
This theorem is referenced by:  dvnfre  21406  dvferm1lem  21436  dvferm1  21437  dvferm2lem  21438  dvferm2  21439  dvferm  21440  c1lip2  21450  dvle  21459  dvivthlem1  21460  dvivth  21462  dvne0  21463  dvfsumle  21473  dvfsumge  21474  dvmptrecl  21476
  Copyright terms: Public domain W3C validator