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Theorem dvferm2lem 22553
Description: Lemma for dvferm 22555. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
dvferm.b  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
dvferm.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
dvferm.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
dvferm.d  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
dvferm2.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
dvferm2.z  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  <  0 )
dvferm2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
dvferm2.l  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
dvferm2.x  |-  S  =  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)
Assertion
Ref Expression
dvferm2lem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, F, z    y, U, z   
y, X, z    ph, y    y, S, z    z, T
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( y)

Proof of Theorem dvferm2lem
StepHypRef Expression
1 dvferm.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
2 ne0i 3789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
3 ndmioo 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
43necon1ai 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
51, 2, 43syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
65simprd 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
7 eliooord 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
81, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  U  /\  U  <  B ) )
98simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U  <  B )
10 ioossre 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1110, 1sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
1211rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
13 xrltle 11358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B ) )
1412, 6, 13syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  <  B  ->  U  <_  B )
)
159, 14mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  <_  B )
16 iooss2 11568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  U  <_  B )  ->  ( A (,) U )  C_  ( A (,) B ) )
176, 15, 16syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  ( A (,) B ) )
18 dvferm.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  X )
1917, 18sstrd 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) U
)  C_  X )
20 dvferm2.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)
21 mnfxr 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- -oo  e.  RR*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
23 dvferm2.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
2423rpred 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2511, 24resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  e.  RR )
2625rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  e.  RR* )
275simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2826, 27ifcld 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR* )
29 mnflt 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  -  T )  e.  RR  -> -oo  <  ( U  -  T ) )
3025, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> -oo  <  ( U  -  T ) )
31 xrmax2 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( U  -  T )  e.  RR* )  ->  ( U  -  T )  <_  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3227, 26, 31syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <_  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3322, 26, 28, 30, 32xrltletrd 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> -oo  <  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
3411, 23ltsubrpd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <  U )
358simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  U )
36 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  -  T )  =  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  -> 
( ( U  -  T )  <  U  <->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
)
37 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  -> 
( A  <  U  <->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
)
3836, 37ifboth 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U  -  T
)  <  U  /\  A  <  U )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  <  U )
3934, 35, 38syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  U
)
40 xrre2 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T
) ,  A )  /\  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U ) )  ->  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  e.  RR )
4122, 28, 12, 33, 39, 40syl32anc 1234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR )
4241, 11readdcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  e.  RR )
4342rehalfcld 10781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)  e.  RR )
4420, 43syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
4544rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
46 xrmax1 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( U  -  T )  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
4727, 26, 46syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A ) )
48 avglt1 10772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) ) )
4941, 11, 48syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) ) )
5039, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  (
( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
) )
5150, 20syl6breqr 4479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  <  S
)
5227, 28, 45, 47, 51xrlelttrd 11366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  S )
53 avglt2 10773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( if ( A  <_ 
( U  -  T
) ,  ( U  -  T ) ,  A )  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  +  U )  /  2 )  < 
U ) )
5441, 11, 53syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  < 
U  <->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A
)  +  U )  /  2 )  < 
U ) )
5539, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( if ( A  <_  ( U  -  T ) ,  ( U  -  T ) ,  A )  +  U )  /  2
)  <  U )
5620, 55syl5eqbr 4472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  <  U )
57 elioo2 11573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  U  e.  RR* )  ->  ( S  e.  ( A (,) U )  <->  ( S  e.  RR  /\  A  < 
S  /\  S  <  U ) ) )
5827, 12, 57syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( A (,) U )  <-> 
( S  e.  RR  /\  A  <  S  /\  S  <  U ) ) )
5944, 52, 56, 58mpbir3and 1177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  ( A (,) U ) )
6019, 59sseldd 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
6144, 56ltned 9710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  =/=  U )
62 eldifsn 4141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  <->  ( S  e.  X  /\  S  =/= 
U ) )
6360, 61, 62sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( X 
\  { U }
) )
64 dvferm2.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
6544, 11, 56ltled 9722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  <_  U )
6644, 11, 65abssuble0d 13346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  =  ( U  -  S ) )
6725, 41, 44, 32, 51lelttrd 9729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  -  T
)  <  S )
6811, 24, 44, 67ltsub23d 10153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  -  S
)  <  T )
6966, 68eqbrtrd 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
7061, 69jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
)
71 neeq1 2735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
z  =/=  U  <->  S  =/=  U ) )
72 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  (
z  -  U )  =  ( S  -  U ) )
7372fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( z  -  U ) )  =  ( abs `  ( S  -  U )
) )
7473breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
z  -  U ) )  <  T  <->  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
) )
7571, 74anbi12d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( z  =/=  U  /\  ( abs `  (
z  -  U ) )  <  T )  <-> 
( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U )
)  <  T )
) )
76 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  S  ->  ( F `  z )  =  ( F `  S ) )
7776oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  S  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  =  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) )
7877, 72oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  U )
)  /  ( z  -  U ) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) )
7978oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  =  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
8079fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  S  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) )
8180breq1d 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  S  ->  (
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) )
8275, 81imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  S  ->  (
( ( z  =/= 
U  /\  ( abs `  ( z  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  U ) )  / 
( z  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <->  ( ( S  =/=  U  /\  ( abs `  ( S  -  U ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) )  <  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) ) ) )
8382rspcv 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ( X  \  { U } )  -> 
( A. z  e.  ( X  \  { U } ) ( ( z  =/=  U  /\  ( abs `  ( z  -  U ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  U ) )  /  ( z  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )  -> 
( ( S  =/= 
U  /\  ( abs `  ( S  -  U
) )  <  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  -  (
( RR  _D  F
) `  U )
) )  <  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
8463, 64, 70, 83syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
85 dvferm.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
8685, 60ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
8718, 1sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
8885, 87ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  e.  RR )
8986, 88resubcld 9983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR )
9044, 11resubcld 9983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  RR )
9144recnd 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
9211recnd 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
9391, 92, 61subne0d 9931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  =/=  0 )
9489, 90, 93redivcld 10368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  e.  RR )
95 dvferm.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
96 dvfre 22520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> RR  /\  X  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
9785, 95, 96syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
98 dvferm.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
9997, 98ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  RR )
10099renegcld 9982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  e.  RR )
10194, 99, 100absdifltd 13347 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  -  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )  <  -u ( ( RR 
_D  F ) `  U )  <->  ( (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  -  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
)  <  ( (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  + 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) ) ) )
10284, 101mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  -  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  <  (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) )  /\  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  (
( ( RR  _D  F ) `  U
)  +  -u (
( RR  _D  F
) `  U )
) ) )
103102simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  ( ( ( RR  _D  F ) `
 U )  + 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  U ) ) )
10499recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  e.  CC )
105104negidd 9912 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  U )  +  -u ( ( RR  _D  F ) `  U
) )  =  0 )
106103, 105breqtrd 4463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) )  /  ( S  -  U ) )  <  0 )
10794lt0neg1d 10118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  <  0  <->  0  <  -u ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) ) ) )
108106, 107mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  -u (
( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  ( S  -  U ) ) )
10989recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  CC )
11090recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  -  U
)  e.  CC )
111109, 110, 93divneg2d 10330 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) )  / 
( S  -  U
) )  =  ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  /  -u ( S  -  U )
) )
112108, 111breqtrd 4463 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) )
11390renegcld 9982 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( S  -  U )  e.  RR )
11444, 11posdifd 10135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  <  U  <->  0  <  ( U  -  S ) ) )
11556, 114mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( U  -  S ) )
11691, 92negsubdi2d 9938 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( S  -  U )  =  ( U  -  S ) )
117115, 116breqtrrd 4465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  -u ( S  -  U )
)
118 gt0div 10404 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  S )  -  ( F `  U )
)  e.  RR  /\  -u ( S  -  U
)  e.  RR  /\  0  <  -u ( S  -  U ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) ) )
11989, 113, 117, 118syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  S
)  -  ( F `
 U ) )  /  -u ( S  -  U ) ) ) )
120112, 119mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  -  ( F `  U ) ) )
12188, 86posdifd 10135 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  U )  <  ( F `  S )  <->  0  <  ( ( F `
 S )  -  ( F `  U ) ) ) )
122120, 121mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) )
123 dvferm2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
124 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( y  =  S  ->  ( F `  y )  =  ( F `  S ) )
125124breq1d 4449 . . . . 5  |-  ( y  =  S  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  U )  <->  ( F `  S )  <_  ( F `  U )
) )
126125rspcv 3203 . . . 4  |-  ( S  e.  ( A (,) U )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) U ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  ( F `  S )  <_  ( F `  U
) ) )
12759, 123, 126sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  <_  ( F `  U ) )
12886, 88lenltd 9720 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  <_  ( F `  U )  <->  -.  ( F `  U
)  <  ( F `  S ) ) )
129127, 128mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  U )  <  ( F `  S )
)
130122, 129pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   {csn 4016   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   abscabs 13149    _D cdv 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-icc 11539  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-rest 14912  df-topn 14913  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437
This theorem is referenced by:  dvferm2  22554
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